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Full text of "L'Enseignement mathématique"

_o^i^ ^kj^ijUf^^ 



L'ENSE[GNEME^ T 

MATHÉMATIQUE 



Digitized by the Internet Archive 

in 2010 with funding from 

University of Ottawa 



http://www.archive.org/details/lenseignementmat16inte 



L'ENSEIGiNëiVIElNT 

MATHÉMATIQUE 

MKI HOnOI.OCIK 1-1 OIUJANISATIOX Di: I. ENSEIGNEMENT 

PlIir.OSOl'HIK KT HISIOIIIE DES M A IHEMAIIQUES 

CHKOMQUK se I E Xf I Kl Q U K MELANGES 151 I! I. I <) (i K A l> H I K 



REVUE INTERNATIONALE 

PAMA ISS A NT TOUS T. K S DEUX MOIS 
DIRIGÉE PAR 



C.-A. LAISANT 

Docteur es sciences. 

ancien Kxamiualeur d'admission à l'Ecole 

polytechnique de Pans. 



H. FEHR 

Uoctear es sciences, 

Professeur à l'Université 

de fienêve. 



AVKC. I.A llOI.I.AKOKATIO-N 1)K 

A. BUHL 

Docteur es sciences 
Professeur A la Faculté des Sciences de Toulouse. 

COMITÉ DE PATRONAGE 

P. APPELL (Paiisi. - .MoK. CANTOR ( Heidelbergi. - E. CZUBER (Vienne'.— W. -P. ERMAKOF , Kiet). 

J. FRANEL (Zurich 1. - Z.-G. de GALDEANO (Saragossei. - Sir G. GREENHILL i Londres i. 
F.KLEIN(Gotiinj:eni. — G.LORIA (Gènes . — P. MANSIONiGandi. —MITTAG-LEFFLER (Stockholm). 

E. PICARD ( Paris 1. — Dav.-Eug. SMITH uNew-Yorki. - C. STEPHANOS (.Athènes). 
F. GoMKs TEIXEIRA iPorIn — A. VASSILIEF Kasan>. — A. ZIWET iAnn Arhor, Michigan, U. S. A.). 



Organe officiel de la Couimis.sion internationale de V Enseignement inathéniatif/ue. 



SEIZIEME A.NNEE 



1914 




PARIS 
G.\UTHIKR-VILL.\BS, ÉDITKLH 



19] 



GENEVE 
GEOHG c^ C'^ ÉDITELHS 



II 



(;i:^F.VK 
i.Mi'iiiMKKiK Ki.Mjrc; 



L UTILISATION 

DK I.A 

GÉOMhiTRIE NON-ELCLIDIE.\.\E 
DANS LA PHYSIOL'E DE LA REL ATIV 



Henri Poincaré a montré que Tespace représentatif n'est ni 
homooène, ni isotrope, ni forcément à trois dimensions; qu'il 
peut s'adapter à une foule de géométries différentes, et qu'il est 
simplement commode de raisonner sur lui comme s'il était un 
continu mathématique à trois dimensions auquel on applique la 
métrique d'pAiclide. Ce choix de la géométrie euclidienne à trois 
dimensions, parmi toutes les autres possibles, se légitime par des 
raisons de simplicité mathématique et d'opportunisme physique. 
La géométrie d'Euclide est plus simple que la géométrie de 
Lobatschefski et de Riemann comme un polynôme du premier 
degré est moins compliqué qu'un polynôme du second ; et les 
solides naturels — en particulier notre corps — avec lesquels nous 
effectuons nos mesures se comportent, à peu près, dans leurs 
déplacements comme les substitutions du groupe euclidien. Mais 
l'expérience ne nous impose pas pour cela notre géométrie : elle 
nous montre seulement qu'elle est la plus commode. 

On pouirait à la rigueur se servir des géométries de Lobatschefski 
et de Riemann pour construire la mécanique et la physique. L'af- 
firmation même que la géométrie d Euclide est mathématique- 
ment la plus simple ne se passe pas de commentaires. Le principe 
de dualité qui est évident dans la géométrie de Riemann et dans 
la géométrie analytique de Lobatschefski, ne l'est pas dans celle 
d Euclide ; la théorie de l'équivalence des figures planes, aisée 
en géométrie non-euclidienne est compliquée en géométrie ordi- 
naire dès que l'on veut se donner la peine d'être rigoureux. L'as- 
sertion de Poincaré ne se défend que par une interprétation 
particulière — très remarquable d'ailleurs — de la géométrie 
non-euclidienne. Considérons les coordonnées rectangulaires 
euclidiennes .r, //, :; d'un point et les coordonnées correspon- 
dantes §, //, ^ en géométrie lobatschefskienne : savoir le sinus des 
rapports des distances de ces trois points aux trois plans coor- 



fi /. . /.' o u (, 1 1: li 

doniK^s il la (•(tnstaiitc lohaischcrskieiiiic lli. Posons 

ikx 2/, y .. ik 



.r^ +/' + z- — /'^ • ' y- -I- 1 -' + :.-' _ /.- ■ ' x- + _r- -f- z' — k- ' 
ou, en prenant le ladioal positivement. 



on trouvera alors qu'à tout point iÇ, tj, ^ de l'espace lobatschef- 
skien correspond un point de l'espace euclidien situé au-dessus 
du plan fondamental ^ = 0; au plan et à la droite du premier 
espace, une sphère et un cercle coupant ortho^oualement le plan 
fondamental ; à la sphère, au cercle et à l'angle lobatschefskiens, 
une sphère, un cercle et un angle euclidiens ; à la distance lobat- 
schefskienne de deux points, le logai'ithnie du rapport anharmo- 
nique de ces deux points et des intersections du plan fondamental 
avec un cercle passant par ces deux points et le coupant ortho- 
gonalement, etc. La transformation ainsi obtenue des propriétés 
de l'espace lobatschefskien en propriétés d'un demi-espace eucli- 
dien, leur confère une apparence compliquée : à certaines expres- 
sions lobatschefskiennes du premier degré, correspondent des 
expressions euclidiennes du second. En ce sens, ce n'est pas à 
proprement parler, la géométrie lobatschefskienne mais seulement 
sa transformée euclidienne qui est moins simple que la géométrie 
ordinaire. 

Il y a plus. On peut se demander si, réellement, les mouvements 
de nos solides naturels se comportent, à peu près, suivant les 
substitutions du groupe euclidien, et non, par exemple, suivant 
celles du groupe de Lobatschefski ? Les raisons d'opportunisme 
physique invoquées en faveur de la géométrie du savant grec se 
retourneraient alors au bénéfice de celle du savant russe. C'est 
précisément la révolution que vient d'opérer, selon M. Vladimir 
Varicak \ la substitution de la nouvelle physique de la relativité 
à l'ancienne. 

A première vue, les analogies entre cette physique nouvelle et 
la géométrie non-euclidienne sont frappantes. Dans l'ujie comme 
dans l'autre intervient un certain pai-amèlre, appelé respective- 
ment conibure spatiale et vitesse de la lumière, tels que l'on est 
tout naturellement conduit à mesurer le rayon de courbure spatiale 
par la vitesse de la lumière. Dans l'une comme dans lautre, ce 
paramètre est une grandeur finie; et, pour une valeur infinie 



1 Physikalische Zeitsohrid 11, pp. '.i;i, 287,580, l'Jln; 12, pp. Hi9. 1911 — .Sit/.ungsberichte Aer 
K. serbischen Akndeniie zu Belgrad. p. 8S, 1911 ^ .lalircsbericht der deutschen Mathematiker- 
Vereinigiing. 1912 — \\'ii\df>inosci iiiatematvczne. 't. I9l:i — l'rimjcdbc o tooriji relativnobti, 
prestanipano iz 19(i8. Korjige " Hada i. Jiigoslavenske akadeiiiije ziianosti i niiijetnosli, 1913. 



PHYSIQUE DE i.A n i: i.Ai I VIT f: : 

qu'on lui accorde, on retioiive, respectivcnienl, la géoniëlrie d'Kii- 
clide et la niécanicjne de Newton comme cas limites. A la contrac- 
tion de Lorentz dans la physique de la relativité correspond la 
déformation des lart>eurs dans l'interprétation euclidienne four- 
nie par Poincaré de la géométrie lobatschefskienne, où l'élément 

Wnédàre da =^ -^ ne se peut déplacer, en général, sans subir de 

y 

déformations. Dans la physique de la relativité, la règle du paial- 
lélogramme des vitesses cesse d'être valable : il n'y a pas de 
parallélogramme dans la géométiie de Lobatschefski. Le déve- 
loppement de celle-ci s'est heurté à de nombreuses antinomies 
apparentes : il en est de même du développement de celle-là avec 
les paradoxes d'Ehrenfest et de Born. 

Ces analogies conduisirent M. Vladimir Varicàk à exprimer les 
équations de la physique d'Einstein à l'aide de la géométrie de 
lA>batschefski. 11 lui apparut bien vite que, non seulement les for- 
mules se simplifiaient, mais qu'elles acquéraient une signification 
géométrique en absolue corrélation avec l'interprétation de la 
théorie classique au moyen de la géométrie d'Euclide. Cette simi- 
litude va si loin qu'il n'y a pas lieu, parfois, de modifier l'énoncé 
des théorèmes de la théorie classique, à la seule condition de 
substituer aux figures euclidiennes les figures correspondantes 
de la géométrie lobatschefskienne, en prenant pour constante 
spatiale le paramètre c = '?, . 10^" cm. La géométrie de Lobatschef- 
ski se présente ainsi comme l'instrument le plus adéquatement 
approprié au traitement mathématique de la physique de la rela- 
tivité. Elle revendique pour son compte la précellence attribuée 
jusqu'à nos jours à celle d'Euclide. 

Définition et représentation i^raphique des \>itesses. — La vitesse de 
la lumière joue dans la physique nouvelle le rôle de la vitesse infi- 
nie dans la mécanique ancienne. M. Vladimir Varicàk commence 
par définir la vitesse de manière à représenter celle de la lumière 
par une grandeur infinie. Comme unité de longueur, il prend 
e =: 3 . 10" cm, c'est-à-dire le parcours de la lumière en une 
seconde, et il pose 

( 1 ) — =z t 11 - =: 1 h » , 



à la vitesse <> correspond le segment L' dont la longueur est mesurée 
par le nombre h d'après la relation 

(2) u = ih~' - . 

<■ 

Suivant la manière d'écrire anglaise, (2 représente la fonction 
inverse de la tangente hyperbolique. Cette définition ne dillère 



8 /. . liOUGIER 

pas considéraîjlenient de la conception ordinaire qne nous nous 
faisons des vitesses. Pour représenter des mouvements uniformes 
on se sert, dans la mécanique classique, de vecteurs proportion- 
nels aux vitesses en question. Dans les limites de notre expérience 
ordinaire, la formule (2) conduit aux mêmes lésultats. C'est seule- 
ment pour des vitesses de Tordre de celle de la lumière, que se 
révèle une divergence croissante qui tend bien vite à l'inlini. 
Nous avons posé 



13| 



U 



7 + l(- 



+ 



- + 



Prenons maintenant ('=1 km. sec, on obtient alors 
11 1 



10 = 



+ :tï 



10' 



+ 



10-6 



+ 



Si nous négligeons les termes de la série à droite du premier^ 
nous commettrons une erreur qui n'influera pas sur la dixième 
décimale. Nous aurons alors un vecteur de 1 km. pour représenter 
une vitesse de 1 km. /sec. Si l'on considère des vitesses, énormes 
pour la mécani(iue ordinaire, de 100 km. /sec, on aura 

Y 1 1 1 



3 . 10 



i+ r 



+ 



3.3=*. 10» ' 5 . 3' . 10 



+ 



et le segment U ne dépassera 100 km. que d'environ 3 mm. La dif- 
férence n'est pas encore pratiquement appréciable. A la vitesse de 
100,000 km. /sec correspondra un segment de 103,990 km. ce qui 
constitue, déjà, une différence notable. Mais si nous considérons 
les vitesses des rayons /S qui, d'après la célèbre expérience de 
Kaufmann, sélèvent à 216,000 et 279,780 km. /sec, les vecteurs qui 
les représentent seront de 272,400 et 503,400 km. Enfin pour 
i> = c on aura th // = 1, d'oîi U = x . 







V 

c 


/ 





/--"^ 




/} 




/ 









Fig. 1. 




Fig. 2. 



On peut représenter ces rapports graphiquement d'une façon 
fort simple. En prenant // comme abscisse et — comme ordonnée, 



PII Y SI O r i: I) E I. A R K LA T I V I T E 




jours davantage. 

La loi cT addition des vitesses d'iunstein. — I^'additioii vecto- 
rielle des vitesses se retrouve dans la physique de la relativité. 
Considérons deux vitesses i\ et i'g qui comprennent entre elles 
un angle a. Les segments L\ et U., leur correspondent, que mesurent 
les nombres //, et u.^ suivant la relation 

(4| - = lli ?<i , — ^ th «2 . 

c c 

On porte le segment OA =^ U, dans la direction de v>j à partir 
du point 0, et Ion place sous l'angle « le segment AB = Uj • La 
résultante est exprimée par le vecteur OB = L'. Le triangle lobat- 
schefskien OAB comprend la relation 

(5) cil u = cil »i ch »2 -|- sh «ish ii^ cos a . 

Si l'on pose 

V 

1 ~ 

|6l ch u = , sh u = 



on obtient 



V \f/ , , ''iCa CO 



iCa cos a 

et, après quelques transformations, 



cl ' \ Jl. *'i''2 ^O'^ ^- 



+ 1 



(^)'+(7y-(?r"--'-+-^^^ 



t'iCj cos a 

d'où suit finalement 



V/'^ 



^ >^+>■:+:î'l-eosa- 

(7) 



\\\\ cos V. 
1 + -—- 



10 A HOl'GIEH 

C'est la loi d'Iuiisteiii pour la composition des vitesses. 

Si (', et <>\ sont faibles par rapport à la vitesse de la luiiiière on 
peut néglii^cr le dernier membre dans le numéiateur et le déno- 
miiial«'iir de Texpression (7*, et on retrouvera la lormule oïdinaire 



(8) »■ = \/v» + i'^ + -h- r cos a . 

' ' 1 ' 2 ' l 2 

Si Ton accorde au paramètre r une valeui* infinie, on retombe 
dans la géométrie d'Euclide, et la formule (7) se réduit exacte- 
ment à i9i. 

Si les vitesses c, et c, comproiiiienl l'angle «=;(), elles ont la 
mètne direction, et l'on a, d'après i.")), // r=: //^ -j- u,^. La vitesse 
rèsidtante <>> se déduit de la formule 

(Il »i + ih «2 
th // =1 



1 -|- lll «1 lll «3 

ou 

+ ''s 



|9| 



l +^' 



La résultante est celles arilhnicticiucmenl plus petite ([uc la 
somme des composantes, mais elle est représentée, comme dans 
la tbéorie classique, par un segment <|ui é(iuivaut à la somme des 
segments représentant les composantes. Si l'on (îompose deux 
vitesses égales U, dans la même direction, la résultante sera repré- 
sentée par le segment IV)^. 

iSon coimnutnlwilé de l'addition veclorielie des vitesses. — Dans 
la géométrie de Lobatschefski il n'y a pas de parallélogramme. La 
lésullante de deux vitesses ne peut donc être rej^résentée par la 
diagonale d'un parallélogramme. 11 s'ensuit (jue les composantes 
ne sont pas commutatives. Pour j)lus de simplicité, |)renons deux 

vitesses <pii foiinenl 1 angle «= -^ . D'après la lormule 5 nous 

avons 

( JO) c'Ii u = cil lit lll lit . 

d'où l'on tire lacilcnicnl 

lU'- Il I^ \\\'- lit -\- lir-//2 i\\- lll \\\- lle^ 

ou 



il) '•-v/>':+ ' ''"•''^' 



v/^; 



l'UYSKjVK DE I. A HK I AT I \ I i K M 

Dans la fiouip W nous avons 

OA = «1 , AH = «j , OB = H . 

Dans la gëotnétrie h\ iierbolicpie. la somme des anj^les d un 
triangle est toujours plus petite que deux droits. Dans le triangle 
OAB on a par conséquent 

*i + ï» < ^ • 

Portons le segment //, dans la 
<lirection OC normalement à ()A. 
et plaçons sous l'angle droit le 
segment u^ : nous atteignons le 
point D, qui est différent de B. 
Dans lancienne mécanique ces 
deux points coïncident. Si Ton 
compose les vitesses suivant l'ordre 

inverse, on obtient une résultante de même grandeur, mais de 
direction différente. La diiFérence de direction 




Fig. 3. 



(12i 



< BOD = ^ 



peut facilement se représenter comme une fonction des compo- 
santes. 

Si l'on introduit dans la formule 



(13| 



col go :^ 



Ig 3tl + ter a, 



1 — tg 'l 'g *s 

la valeur tirée du triangle lobatschefskien OAB 

ih »i th u-, 

(gai z= . tir ïj = 

i1m/2 

on obtient 

(14) coisco z= 



tli «i sh «1 -}- th »t sh (^1 



sh Hx sli Wj — lli »i th «2 

ce qui. par suite de i et de (i se transforme en 



(15) 



v--(7y+v--(^r 

-<\/'-(^)V'-(7/) 



Dans la géométrie de Lobatschefski il n'y a pas de ligures 
semblables. U n'y a pas davantage, dans la théoi-ie de la relativité. 



12 



i{() r G I /•; // 



de similitude ciiu'mati(iiie. (^iiaiid on imiltij)lif> toutes les compo- 
santes par le nombre 1:, la résultante est /.• fois plus grande tians 
l'ancienne mécanique, mais non dans la nouvelle. On doit dessiner 
toutes les figures avec leui' i^randeur absolue, et, comme l'unité 
de loni^ueur est trop grande, on ne peut en donner qu'une repré- 
sentation schématique et tioncjuée. 

Les coordon/iêes de ]\'eie/:st/as.s. — (Convenons maintenant de 
prendre comme unité de longueur 1 cm., et de njesurer le temps 
de façon que la vitesse de la lumière soit 1 cm. par unité de temps. 
Nous désignerons ce temps nouveau par /, et nous considérerons 
une montre comme un simple instrument de mesure, propre à 
indiquer combien de fois un même pluMiomène s'est reproduit, 
toujours dans les mêmes conditions, depuis un événement déter- 
miné choisi pour origine des 



Z' 



temps. Nous expi-imerons 
ainsi l'indication du temps 
dune montre déterminée 
toujours par un seul nom- 
bre / = et. 

Un événement élémentaire 
sera représenté par un sys- 
tème de quatre valeurs r, y, 
z, I que nous considéreions 
.^ comme les coordonnées ho- 
mogènes deWeierstrass d'un 
point dans un espace lobat- 
schefskien à trois dimen- 
sions. 

Par le point M lig. 'i] me- 
nons trois arcs d'horicycles 
normaux aux plans des coor- 
FiR. 'i. données; abaissons du même 

point trois perpendiculaires 
5, 7, ^ sur ces plans, et soient N, K, S les pieds des trois perpen- 
diculaires, 

X = OP . V = PN , Z = NM 




seront les coordonnées lobatsclicfskiciines, et 



16) 



.«• := sli Ç -=2 sti X fil ^ l'Ii Z 

)• = sli Tj = sli 'l (Il z , 

: = slir = shZ . 

/ = chX = (hX ihV cl. Z 



/> // } .s / <) U E I) E I. A H E I.A I I V I ] E 



les coordonnées vveieistrassieniies, expiiniccs en fonction (l«'s 
pi'emièros, du point M. On trouve alors ("aciletncnt ([ue les ai'cs 
d'horicycl(>s MA. MB et M(! sont les .7-, //, c en (jucstion. et (|u(' les 
coordoiuuM's weierstrassiennes de cliaque point satisfont à ré(|ua- 
tion (|uadrati(pie 



|17) 



/-' — .1» 






On sait le rôle de cet invariant dans l'interprétation iniaoiiKiii r 
à quatre dimensions de Minkowski. 

Le groupe de tr ans furnid Lions de Lorentz- hJnslein . — Le «Jioupe 
de Newton 



Il8| 



<,'t 



t' = t 



exprime une translation le lon^- de la ligne des .r dans la oéomé- 
trie euclidienne. Le groupe de Lorentz-Kinstein 



191 



vt 



v/' - (7)' ■ 



t ,.r 



^'-(^y 



s'interprète également comme une translation le long de l'axe des 
.< dans la géométrie de Lobatschefski. 

Si nous demeurons dans le plan, ftous pouvons dire : le groupe 
de transformations de Lorentz-Einstein définit un mouvement le 
long des hyperci/cles qui ont l'ave des x comme ligne médiane. 

L'hypercycle \ = ^ est le lieu des points qui sont à une dis- 
tance constante b de la ligne des .r. La longueur de son arc com- 
pris enti-e deux points M et M' est (fig. 5 



(20i 



s = (X — \')c\\b 



La translation du segment .s le long de Ihypercycle dans le 
sens négatif est donnée par les équations 



(21 1 \' = X — 



^^h 



Y' = V 



pour le passage du point M' au point 
M" on a 



X" zzz X' _ -— , Y" = Y' 

eh II 



(22| X" = X 



s + s' 



Y" — Y 




l'i A. liOlGlER 

d'oîi résulte la propriété (pidiit les tianslations le lonjn- d'un 
hypercycle de foinier un i>r<)upe. 

Soit u la projection X.N' de laie MM' sur Taxe des .r. On a alors 

(23) X' = \ — Il . Y' = Y , 

donc 

sJi X' z= sh X cil a — (h X sli ii , 

(24| 

sh Y' = sh Y . 

Kn multipliant la preniiéie étpiation par eh Y' =i ch Y, on obtient 

(25) sh X' ch Y' = sh X ch Y ch u — ch X ch Y sli h , sh Y' = sh Y . 
D'après la figure 51 on a de plus 

(26) chOM' = chX' ch Y' . on ch/'=:ch(X -HichY . 
c'est-à-dire 

(27) ch ;•' r= ch X cli Y ch n — sh X cli Y sh ii . 

Jusqu'à présent nous avons appliqué les coordonnées lohat- 
schefskiennes. Si nous voulons passer aux coordonnées weier- 
strassiennes, nous devons nous servir des formules de transfor- 
mation 16) qui pei-mettent d'écrire les équations 'i()) et (27) sous 
la forme 

(28) .r' =z x ch u — / sh u . y' :zz y , 1' z:^ l ch u — .»' sh u . 

Si Ton pose d'après la formule (6) 

en u = — , sh u 



\/-(^y' ■ V'-œ' 



eVl^ct, on obtient aussitôt le groupe de transformations de 
Lorentz-Einstein sous son aspect habituel il9). Nous voyons ainsi 
(jue la transformation de l'espace et du temps entraînée par un 
mouvement uniforme de vitesse //, est complètement caractérisé 
par la translation du point M représentant un événement élé- 
mentaire. 

Dans l'espace, on obtient les hypercycles qui ont l'axe des .r 
j)our ligne médiane comme lignes d'intersections de deux hypér- 
sphères 

V — f/j = , z — di = , 

dont les plans médians sont les plans des coordonnées XY et 
XZ. Le groupe de transformations de Lorentz-Kinstein (28), auquel 



PII y s in CE ni: i.a n i: i.a t i v i t e ir. 

s"appli(|ue ItMiuatioii /' -^= '/. se peut interpréter alors : comme 
nue ùans/a/ion le /on^ de la lii(ne <V intersection de ces deii.i 
hyperspheres. La trajectoire diin jM)inl {\\\n corps solide emporté 
d'un mouvement de translation le long de l'axe des .r, est un 
hypercycle. Les dimensions transversales du corps restent inva- 
riables dans ce déplacement. 

Si nous prenons le paramètre e ^= x , la géométrie de Lobal- 
schefski se changera dans celle d'Fuiciide; les horicycles .r, y, z 
deviendront des lignes droites; les coordonnées de Weiersti-ass 
se transformeront dans les coordonnées cartésiennes ordinaires ; 
les hypercycles se trouveiont être des parallèles à l'axe des ./• ; au 
groupe de transformations 281 ou 19 se substituera celui de 
Newton (18 . 

F^a forme infinitésimale du groupe de F.orentz-Kinstein est 

Une première soite dinvaiiants est formée par les hvpeicvclos 
\ = h 

(oO) (.)(/ . .ri =: /- — .«•-' — V- colli- /> = . 

Les normales à l'axe des .v sont des invariants de seconde sorte 

(;^l ) fo(/ . .ri ^ colh H =1 . 

X 

car on a 

U(o)i =: — 1 + '.)'^ = F(w| . 

Avec les coordonnées rectangulaires lobatschefskiennes léquation 
de ces normales est X :=: //. 

Temps local. — Si deux observateurs sont animés de vitesses 
uniformes mais différentes suivant des directions parallèles, cha- 
cun d'eux peut prétendre avec le même bon droit qu'il est en 
repos vis-à-vis de l'autre. Géométriquement parlant, cela veut 
dire que nous pouvons toujours considérer un point d'un plan 
comme en repos, moyennant un changement convenable du 
système de coordonnées. Il suffit pour cela d'abaisser la normale 
de ce point sur l'axe des ./ . et de prendre cette normale comme 
nouvel axe des ordonnées. Mais dans cette transformation le para- 
mètre du temps est modifié. 

L'unité de temps de l'observateur en un point déterminé doit 
être représentée par le cosinus hyperbolique de l'abscisse lobat- 
schefskienne de ce point. Si dans un premier système ((ig. 6 , 
l'unité de temps de l'observateur en ou en M est égale à 1 , 
l'unité de temps de l'observateur en O' ou M' sera égale à ch//. 



16 



I. n () u (. I E li 



<|..a.ul „„ pose 00' = n. Il s.MnI.h. alors a Tobservatenr en ivpos 
en O. que la montre qui se meut avec la vitesse u reste avec la 
sienne clans le rapport eh n : 1. Dans l'évaluation de la durée d'un 
événement avec la montre mobile, l'observateur en repos doit 
trouver un nombre plus petit. La relation suivante se vérifie 



(32) 



/' r= 



-V'-œ' 




Mais, dans le second système, l'unité de temps de l'observateur 
en O est égal a «1», pendant que l'unité de temps de l'observateur 

en O est égal à ch //. Les deux 
systèmes sont entièrement équi- 
valents. On ne saurait donc parler 
d'une durée en soi. Il n'est pas da- 
vantage permis, en conséquence, 
d'accorder à la simultanéité de 
deux événements une sigiiification 
absolue. Tel est bien le résultat 
des recherches d'p]instein sui- la 
%/\/^' ^=X nouvelle notion, purement locale. 
^^ '^ du temps. 

'''^' *'■ Conclusions. — Sans qu'il soit 

besoin de poursuivre l'exposé 
. . beaucoup plus complet de M. Va- 

ncak, qui s étend à divers phénomènes d'optique et à la s(.lution 
des^ paradoxes d'Khrenfest et de Born. les exemples précédents 
su hsent a montrer comment la géométrie de Lobatschefski se 
substitue naturellement à celle d'Kuclide dans la physique de la 
relativité. C est en partant d'elle que M. Emile Borel est parv-nu 
a mettre en lumière des conséquences qui avaient jusqu'alors 
échappe aux plus sagaces relativistes ^ : les observateurs qu'em- 
porte un système peuvent le tenir pour constamment en transla- 
tion, tandis qu'il apparaît animé d'un mouvement de rotation à 
des observateurs extérieurs ; d'oii la possibilité de rendre compte 
des mouvements de rotation qui apparaissent à des observateurs 
en repos par des hypothèses où les mouvements intrinsèques sont 
unifiuement des mouvements de translation. 

A quoi tient cette convenance de la géométrie non-euclidienne 
a la physique de la relativité ? M. Varicak semble l'interpréter par 
une anisotropie géométrique de l'espace, qui rendrait compte en 
particulier, de la contraction de I.orentz. Mais l'espace est un 
continuum amorphe; il est dénué par lui-même d'cUicace et de 
forme, et seuls les corps qui y sont plonges, ou le réseau de lignes 



' c, n., 20 j.-.nviir lilKi. 



p II Y S loi i: I) E L A II i: I. A ri V I r i: i : 

et (le surfaces fiuoii (•(nivieiit d'y tracer, lui en donnent une pai- 
métaphore. La oéoniéliie métrique est, non pas l'étude des pro- 
priétés de lespace, mais celle de la structure du groupe des 
mouvements des corps solides et des groupes dérivés que Ton 
peut former avec ce groupe fondamental. Alors, à s'en tenir au 
pointde vue purement descriptif d'Rinstein, on voit ([ue la notion 
du corps solide ordinaiie disparaît dans la pliysif|iie de la rela- 
tivité. Le groupe de transformations de Lorentz-P^instcin corres- 
pond non à des déplacements euclidiens, mais à des déplacements 
hyperboliques. Au jioint de vue explicatif de Lorentz, les corps 
se contractent dans le sens de leur mouvement et la variation de 
leur forme est entraînée pai" l'équilihre entre les actions électro- 
magnétiques des électrons qui les composent et la pression cons- 
tante et uniforme de Téthei" sur eux. 

Est-ce à dire que la géométrie de Lobatschefski soit physique- 
ment viaie et celle d'Ruclide fausse? La proposition n'a pas de 
sens. On peut conseiver la géométrie ordinaire pour traiter de la 
physi({ue de la relativité, et c'est ce qu'ont fait Lorentz et l'Ein- 
stein ; on peut aux trois coordonnées d espace habituelles ajoute»' 
une quatrième dimension imaginaire, et c'est ce qu'a fait Min- 
kowski ; on peut enfin se servir, si bon semble, de nouvelles 
géométries comme celle que MM. Wilson et Lewis ^ se sont accor- 
dés à construire. Chacune de ces interprétations a ses avantages 
particuliers. Celle de M. \ aricàk, à l'aide de la géométrie de 
Lobatschefski, sauvegarde le pai'allélisme entre les énoncés eucli- 
diens de l'ancienne physique et ceux de la nouvelle. Le langage 
d'univers de Minkowski révèle des analogies insoupçonnées : il y 
a bien des manières de projelei' l'espace à quati'e dimensions 
{x,y, z, il sur l'espace à trois dimensions .r, y, z, et le temps /; 
des phénomènes ambigus et contradictoires dans un certain mode 
de projection deviennent simples et harmonieux avec un autre 
Enfin, l'interprétation même de Minkowski conduit naturelle- 
ment à la géométrie de MM. Wilson et Lewis, qui pei-met de 
retrouver comme autant de théorèmes, en partie, les invaiiants 
physiques dont la présence en mécanique et en électromagné- 
tisme est entraînée par le principe de relativité. 

Il y a là une confirmation surprenante, après coup, des thèses 
philosophiques d'Henri Poincaré sur la commodité géométrique. 
Les axiomes de la géométrie ne sont pas des vérités nécessaires 
cjui s'imposeraient analytiquement à l'esprit ou synthétiquement 
a priori ii l'expérience, mais ce sont des conventions commodes 
en vei'tu de certaines particularités de notre corps et de notre 



' Hi-oceedings oftlii; iimerican Aciidemy df Arls nnil Sciences, nov. 19rj. — VA.. i\ nn aiilre 
poinl de vue, l'iii-ticle do M. (Iniller iGenévi-i sur les oquiitioiis <lii principe de liolntivité el de 
la GéoMU'trie : ÀrchU-es des Sciences pki/siqiies et iiatiiiellcs. t. \\\V. fév. \'.>\'A 

L'Ensei^m-nienc ninthéni., Kl' année; 1914 i 



18 .4 . A UBli Y 

milieu. Or. précisément, une approximalion plus poussée des 
si'ioiu'es j)hysi(iues a conduit récemment ceitains savants à préfé- 
rer d'autres ^éométries à celle d'Iùicliile. parce qu'elles expriment 
plus commodément encore — dans certains cas du moins — les 
phénomènes de notre univers. C'est ainsi qu'une même question 
de physique mathématique est tiaitée par les uns et les autres à 
1 aide des géomélries réelles ou imat^iiiaires, à trois ou quatre 
dimensions, tri'luclide, de Lohatschelski . de Miid<o\vski, de 
MM. \N ilson et Lewis. On ne saurait njieux montrei' qu'il n'y a là 
qu'une question de pure commodité ; et, en présence des concep- 
tions nouvelles, le tranquille philosophe jréomètrc est en droit de 
conclure : « Nous avions adopté une convention parce qu'elle nous 
semblait commode et nous disions que rien ne pourrait nous con- 
traindre à labandonner. Aujourd'hui certains physiciens veulent 
adopter une convention nouvelle; ils jugent cette convention nou- 
velle plus commode, voilà tout; et ceux qui ne sont pas de cet 
avis peuvent légitimement conserver l'ancienne pour ne pas trou- 
l)lor leurs vieilles habitudes ^ ». 

L. Rou(;iF,ii Lyoui. 



EGALITES MULTIPLES^ DE G. TARKY 



f'di- suite (le iahoitdance des inalières. nous ayons dû retarder la puhli- 
rntion de celle intéressante Note du regretté G. Takky. En nous envoyant le 
manuscrit, M. Auhry nous écrit : « J'ai l'honneur de vous adresser ci-joint 
une élude' de M. G. Tarry qui me parait des plus intéressantes et résultant 
de fragments d'une correspondance active que nous avons depuis quelque 
temps, fragments que j'ai réunis, coordonnés et présentés aussi clairement 
que j'ai pu. M. Tarry étant malade se désintéressait de cette étude et j'ai 
jugé qu'il serait regrettable qu'elle restât inconnue, aussi je lui ai demandé 
de in'autoriser à en solliciter l insertion dans /'« Ens. math... » — On sait 
que M. l'nrry mourut le J I juin iUL'l. N. de la Réd. 

Dki-imtiox. — L'égalité de plusieurs quantités est dite n"^^" 
quand elle a lieu, en même temps pour les carrés de ces qnanlit('s. 



' H. PoiNnAïu'i, Dernières pensées, p. 54. 

* Toute cette théorie est due à M. G. Tarry, dont on connaît les beaux travaux, si originaux 
et si suggestifs, sur la géométrie générale, la géométrie «le situation, les carrés magiques, la 
géométrie modulaire et les imaginaires de Galois. Je n'ai fait que rédiger, sous forme didac- 
tique et avec son autoi-isntion, ces rui'ieuses démonstrations, aux résultats .i la fois si élémen- 
taires et si généraux, dont il avait bien voulu me faire part, .l'y ai en outre ajouté, à lilrc 
d'application, le cas ])articulier des égalités doubles (Note .1.) A. Ai;nnv, Dijon. 



E(. A LIT i: s M u I. r 1 1' 1. 1: s 1 9 

pour leiiis riibes,... pour leurs /r'"-" puissances '. ()\\ indirpie une 
telle éijalité par la notation 

n 

rt + ... - a + ... 

On ne s'occupera ici que des égalités complètes, c'est-à-dire 
d'un même nomlire de termes dans chaque membre; les termes 
sont supposés entiers et positifs. 

Leinine 1. On ne change pas la nature d'une égalité n"^'* en mul- 
tipliant tous ses termes par un même nombre. On supposera, en 
conséquence, que tous les termes sont débarrassés de leurs fac- 
teurs communs Frolow . 

Lemme II. La somme, membre a membre, de deux égalités h^p'*" 
est elle-même une égalité n"P'® (Frolow). 

Lemme III. On a une nouvelle égalité n"P'* en ajoutant un même 
nombre positif ou négatif h à tous les termes d'une égalité n"P'' 
Frolow . Soit en effet 

« + /. + ... 4 a + .5 + ... . 

Posons 

irt 4- /«/■ = a^ + A«^'^' + Ba^~- + ... 

A. B, ... désignant des quantités indépendantes de (i\ il viendra 

(a -f- /i/' + \h + Ai^' + ... = la + /n^' + (.3 + /jl*' + ... 
d'où 

// 
i« + A) -\- \b + Al 4- ... z= (X + Al + (,; + h] + ... . 

Lemme W . D une équation n — 1 "p'". on peut déduire une équa- 

tion n"!*'^ d'un nombre double de termes. En effet, de rt-|-...=a-(-... 
on tire, à cause de II et de III, légalité 

a" + ... + (fl + h)" + ... = a" + ... + la + Ai" + ... . 

Théorè.me 1. — Les 2° premiers entiers fournissent une égalité 
n — 1 "p'^ On a, en effet, 

la) 1 + 4 = 2 + 3 

doii, il cause du lemme IV,' 

1+ i + ,2 + 4| + i3+4| = 2 + 3 + (l + 4| + (4 + 4) 

ou bien 

1+4+6+7=2+3+5+8 . 



' Elle est dite aussi /nultigrade ou ait.r n premiers degrés. 



20 A . A i H l{ Y 

De même 

1 + '♦ + 6 + : + |2 + 8) + (3 + 8,1 + (5 + 8) + (8 + 8| 

— 2 + 3 + 5 + 8 + ri + 8) + l'i + 8| -I- (6 + 8> + (7 + 8i 

et ainsi de suite. 

Corollaire I. Si on ne sastieint pas à n'avoir que des entiei's 
consécutifs, on peut obtenir des égalités bien plus simples. Ainsi 
en faisant successivement /i = 'A, 5, 7, 4, 1, ... au lieu de 4,8, J(j, ... 
en partant de « on trouve 

(pi 1 + 5 + 6 = 2 + 3 + 7 

(yl 1 + 5 + 8 + 12 = 2 + 3 + 10 + 1 1 

loi 1 + 5 + 9+17 + 18 = 2 + 3+11 + 15+19 

(£) 1 + 6 + 7 + 1 7 + 18 + 23 = 2 + 3 + 1 1 + 13 + 21 + 22 



(?) 



^ 1 + 4 + 6 + 12+ 14 I _^ ( 2 + 2 + 8 + 11 + 13 
( + 17 + 18 + 23 + 23 ^ ~ / + 18 + 19 + 21 + 24 



Le choix de la valeur de h se détermine par l'examen des diffé- 
rences des ternies de la précédente égalité. Ainsi pour l'égalité 
quadruple \ô), on a les deux groupes de différences 



4 


8 


16 


17 


1 9 


13 


17 




4 


12 


13 


8 


12 


16 






8 


9 
1 




4 


8 
4 



La différence 4 étant répétée le plus grand nombre de fois, en 
prenant A=z4, on aura, pour l'égalité quintuple le) la disparition 
du plus grand nombi-e possible de termes. 
11. Soit l'identité 

I rt — h\ -\- h = \a — r ) + c 
traitée de même, elle donne en faisant h z=z a — 'Ih, 

(2a — '6h\ + (rt — cl + r = |2rt — 21, _ c) + (rt — 'Ih + c) + /> ; 
celle-ci, pour A^« — 'le, donne 
(3fl — 'il — 2f) + (2fl — 3c) + irt — 21) + n + /; 

3 

= (3a — -Ih — 3c| + |2a — 3/>) -\- \ a -\- h — 2c) -\- c . 



/•■ C. A I.!T i: s M I I.T 1 1' I. E S 



21 



Va ainsi de suite. On pourrait d'ailleurs, en attiiijuaiit a A d'autres 
valeurs, obtenir une infinité d'autres formules particulières. 

THKOKi-;ME II. — Les n = 4 2k + 1 premiers entiers peuvent se 
partager en deux suites formant une égalité double. On suppose 
k>>(). Disposons les ternies conuiie dans le.xemple ci-dessous 



28 


27 


26 


25 


2'i 


23 


22 


21 


20 


19 


18 


17 


16 


15 


1 


2 


•6 


\ 


5 


6 


- 


8 


9 


10 


11 


12 


13 


14 



on aura un nombre impair de quadrilles de la forme 





lA» + D'i — iB' + C^ = consl. 



et tels qu'on aura 

iA + Di — |B + Cl = 2 , 
On peut donc écrire : 
(ar 23 + 2 + 26+ 4 + 23 -f- 5 + 21 + 7 

= 27 + 1 + 25 + 3 + 24 + 6 + 22 + 8 . 
Or. pour le dernier ({uadrille. qui est de la forme 




on voit aisément que la valeur de ^A^ -\- B'^, — iC- + D- est le 
double de celle de A- + D- — B^ + C^!. Donc on a : 



(20' + 10»' — .19^ + 9^ + tl8'+ 12^ — (17'^+ 11^ 
et de là 



ltS*+ I52|_(13«+ 14' 



(|3) 20 + 18+ 14 + 13 + 12 + 10 = 19+ 17 + 16 + 15 + 11 + 9 . 

ce qui. avec « . démontre le théorème. 

Corollaire. PourA-;=0, on n'aurait cjunn quadrille, ce qui ne 
pourrait conduire à une égalité telle que a . ni à une autre telle 
que {§]. 

Pour /»•= 1, on a une égalité analogue à § . 

Pour A\> 1, on a une égalité ^ et h — 1 égalités [a\. 



22 J . A U Itli Y 

Dailleurs, pour cjuune ('galitë entre les n premiers entiers 
puisse avoir lieu, il faut que n soit non seulement pair, mais en- 
core multiple de U, car la somme des 'lin premiers entiers est im- 
paire en même temps que m. 

Théorème III. — Supposons, dans le lemme IV, (|ue a, ... a, ... 
dési<inent les 4«, les 8n, les 16«, ... premiers entiers; en iaisant 
successivement h=^kn, 8/i, 16/j, ... on verra, à cause du lemme \ , 
que les k[2k -\- 1], les 8'2/i' -f- 11, ... premieis entiers donnent des 
éi>alités respectivement doubles, triples, (piadi-uples, ... Par con- 
séquent, les 2"^(2k+l) premiers entiers peuvent se grouper en 
den.t suites formant une égalité m"P''. 

Note I. — Egalités doubles. 

Théoiu^me I. — Une égalité double doit avoir plus de deu.r ternies 
dans chaque membre. 

2 

Thèori-.me 11. — On ne saurait avoir x-|-x + x = y-|-z-(- \v. 
Théoiîkme III. — Les trois ternies ne sauraient être à la fois en 
progression arithmétique ou géométrique dans les deux membres. 

Problème 1. Résoudre x= i/' -\- z' -\- w' . (^lanj^eons y', z' et w' 
en .V — 2/, y — z et z\ la question revient ii la résolution de 

2 

.r = (.r — //) -j- [y — ci -|- z ou simplement de .i'' = i.r — y "^ -|- 
{y — s)'^ H- z'^, d'où on tire 

.r = r- z + - . 
y 

Posons en conséquence z = tv, //^=ut, u et v étant premiers entre 
eux ; il viendra 

.r ^ lit — i7 -| il on / =: su 

II 

et par suite 

.r = {ir — f -|- r'j.v , V = u^s . z =z in:s : 

d'où, en négligeant le facteur commun .s-, la formule 

2 

in' — «f -|- c'i ■=! t'(t' — II) — « (f — u] -)- «i' , 
qui donne une infinité de solutions, // et v restant arbitraires. 
Cor. I/égalité proposée peut s'écrire + 04" ■'' = fj' + "•' + <<''. 

ou, en ajoutant — .r à cliaffue terme, — .v — .i =z [y — .ri -)- 

(3 — :v\ -\- I n' — x\, ce (pii fournit celte autre relation 

( HV — «* — »'') -|- {U\' — /<* — f^l =: 11^ -\- (■'■' -(- I « — \''^ . 



E G A 1. I T K S M U I. T 1 1> I. E s TA 

Problème II. liésoitdi-e — ./• + •'' = i^' -h ^' — ''' ■ l'-<i ivoiis ainsi 
cette égalité 

— .r + .»• = (.*• — _v — Cl -f ( — ,r — 1 ■+ ;l -|- (2vi 

on .r' -f- .r' = I .»• — V — :i'+l — .r — V -|- :|*-|- i2)|- . 

dOii, en sinipliliaiit et continuant comme au précédent problème, 

t z=. 51' , ) ::= su , ; nz Si' , 2./' =z '.isir -\- sv* , 

et, en néglig-eant le coefïicient .v. 

2 

— |3m* + r'i + {'Su- + r'i = (3/r— t-— 2mv') + (— 'Su* + \' — 2f<f| -|- 4«r . 

2 

Coi: I. [/égalité proposée peut encore s'écrire — .v -{- .r = 

— >/' — ;' — (t'' : elle a donc toujours au moins deux solutions. 

2 2 

Ainsi — 7 + 7 :=: — '.i — 5 4-**^ peut encore s'écrire — 7 -|- 7 :^ 
3 + 5 — 8, ou bien, en ajoutant 7 partout, 

2 2 

7 + l 'i = 2 + 4 + 15 = — 1 + 10 + 12 . 

II. Ajoutant .v à tous les termes de l'égalité ainsi complétée 

— .r + .r •-= i/' -\- i' + tr'. on trouve .r + '2.v = y" -\- z" -f- ti'" : on 
a donc en même temps la solution de cette nouvelle égalité. 
Théorème I\ . — Posons 

a- + Ir ={a — fhr + "' + gl'f + ifl> - ghr , 
il viendra 

(a) fa-gh = if^ + g' — fo^h . 

Donc .S7' a. et h sont liés par la relation a on aura 

2 

« + /; = [a — fh] -f (/, 4- a^) 4 (/■// — />//, . 

Ainsi, les suppositions /'=2, gr=i\ f=z 1, g=^ — 1 ; f=z3, g'^ ^ : 
/"^S, ^=2 ; ... donnent ces théorèmes : 

si 2a — h := 'Sh , on aura : a -\- h =z \o — 2/u -\- \l) -\- /n + h . 

si a -\- h = 'Sh , on aura : a -{- h =: \a — /o + l'' — fi) + 2A : 

si 'Sa — Il z=: ~h . ou aura : a -\- b =z \a — 3/n + [l> + In -\- 2h . 

si 3a — 2h = TA . ou aura : a -\- h ^ [a — 'Sh) -\- tli + 2li\ -\- h . 



2'i A . A r un Y 

Prohrcnie III. loiimile ii'ènèidlc de /'é^'af/fc doithlc. Pctsoiis 

a-+ v=: ,,v+ /i + c. + ..■ ; 
on aura 

i' = C + z- + .r« + Itz + 2/.r + 2cu' = 2)7 + <*+:- + <r* 

(I Où 

tz + /ir + cir = v/ 

ce qui deinaiide qu'on puisse poser r.n'=///. Feiivons ou consé- 
quence 

il viendra 

||;) {al> + /xV + cf^i + iah + «c + cd) = {ah -\- ne + hd + cc/l + rt/> -f cd . 

Cor. I. On peut tirer de là une infinité d'égalités doubles. l*ar 
^'xeuiple posons c = b et ajoutons aux six termes — compris le 
terme zéro — le nombre hb — ab — bd : il viendi-a la formule 

\h — a— d\ -\- {h -j- a\ -\- {h -\- d\ = [h -\- a -\- d) -\- \li — a\ -\- {h — d] 

qui se simplifie, tout eu restant symétrique en y faisant d=z'lo. 

2 

II. Résolution de X -\-B = .v -|- // -|- s. Assimilant à (jS), on voit 
qu'on a à résoudre 

A' + B' = |A + ac)^-\- (B — rtr— tv/l* + \cdf 
d où 

Brt — Art + Bd 



lïi 



rt* -^ cl^-^ od 



Ainsi soit A:=17, B = 3; on voit, après quelques tâtonnements, 
que c est entier pour « = 2, d^3. On trouve en conséquence 

t • = — I h = ^-Zl^ = 4 

" a -\- d 

2 

et par suite l'égalité double cherchée 3 + 17 =: — 3 -j- 8 + 15. 

l.e problème a autant de solutions qu'il y a de valeurs de a et 
de d (jui lendent entière la valeur du second membre de y. 

On reinar(|ueia cjue <y) fournit les théorèmes IV. 

2 

m. Poiu- que l'équation k -\- Yi =z y. -\- y -\- 'A soit résoluble, il 
faut et il suffit que le nombre A^ + B^ — AB, s'il n'est pas divisible 
par 3, ait au moins deux facteurs premiers de la forme 6h + ^ '• 



' Ce théon-me et le suivant m'ont été communiqués sans démonstration pitr M. G. Tarry. 



É GAI.I T E S M l I.TI l> I. !■: S 25 

Si celte é(|u;iti()n est i-és()liil)le, on doit poiivoii' cciiie : 
A = ah + hd -\- rd . lî = al> + ac + id . 

( )i' on a dans ce cas : 

A-' + B- — Ali = \a- + d- 4- ad\yl>- + <•- + ln-\ . 

Ainsi la condition nécessaire et suHisante est (pie le nombre 
A2-|-B'^— AB puisse se décomposer en deux facteurs de forme 
.v'^ -\- if- -\- vy , expressson (pii ne peut av<»i i [XMir facteurs que 3 ou 
des nombres premiers de iorme (>/< + 1. 

Si le nombre A- + B"^ — AB =^ A + B'^— 3AB est divisible 
par 3, il en est de même de A + B; or ce cas a été traité plus 
haut. Théorème IV.) 

IV . Supposons qu 'on puisse écrire A' + 1^^ — A B ^ .\^ -(- ^ " — X ^ ; 
en posant x = 2X — Y. y = 2Y — X, on aura : 

^ , ^ - A + B ± .»■ A + B ± y A + B l^ ■>• qi r 
101 A + B =: — \- r; + n • 

.1 o •> 

Kn eifet, cette relation revient à 

(£) :i(A- + B- — ABi = X- + .1- + xy 

ou bien à 



A2 + B^'-AB=::(^:^1±^'Y + 



3 

if) donne [x — y '^ + 3.*// = mod 3 , d'où v = y et 2.v + y = 0. 
D'ailleurs on a : ■ 

(A + Bi- = (X + Y)- = i2X — Y)- = .r-' = r • 

Ainsi si A -f- C est un non-multiple de 3, il en est de même de r 
et de y, et on prendra, pour les signes de .x et de //, ceux qui 
donnent pour [ôj des nombres entiers. 

V. L'équation x + y = z + A + B est toujours soluhle, et elle a 
même, en général, quatre solutions. On n'a, pour s'en assurer, 
(pi'à changer dans /3i a et h. 1" en ± r/ et ±b, 2" en ±h et ±(i- 



Note II. — Carrés panmagiques de module A/i. 

Soit n=i3. Considérons, par exemple, l'égalité entre les 12 pre- 
miers entiers 

1 + 1 1 -I- :^ 4- 9 + 8 + : = 12 f 2 + 10 + 4 + 5 + 6 



26 



A. AU Bl{ y 



dont les tonnes sont assujeltis à cette coiidilioii (pie dans le même 
membre, il n'y ail pas de nombies complémentaires à 13; et foi- 
mons avec ces nombres la figure ci-dessoiis 



1 


t 


11 


11 


;j 


3 


9 


9 


H 


S 


7 


7 


12 


12 


o 


2 


10 


10 


1 


i 


5 


5 


6 


6 



de (piadrilles dilFérents disposés horizontalement et tels que les 
nombres inférieurs soient les compléments à 13 des nombres su- 
périeurs. Répétons identiquement cinq fois cette rangée sous la 
première: nous aurons évidemment un axwé pannid unique (c'est-ii- 
dire tel qu'il reste magique en le séparant par une verticale ou 
une horizontale et assemblant autrement le carré, ou encore tel 
que toutes ses lignes^ soient magiques . 

De même, construisons la colonne ci-contre dune manière ana- 
logue à l'aide de l'érralité 



12 -f- 3(i + 'i8 + 60 4- 108 + 132 = u -f 24 + 72 + 8'i + 96 + 120 . 

et répétons la colonne cinq fois côte à côte: on obtiendra un 

second carré pan magique. 

Additionnons, nombre à noml)re, les deux carrés, 
il en l'ésultera un troisième carré panmagique des 
144 premiers entiers, dont voici ci-dessous un frag- 
ment : 



12 


120 


12 


120 


36 


96 


36 


96 


48 


8'. 


'.8 


84 


60 


72 


60 


72 


108 


24 


108 


24 


132 





132 






13 


121 


23 


131 


24 


132 


l'i 


122 


37 


97 


47 


107 


48 


108 


38 


98 



On iemai'(|ue que, par sa construction, tout carré 
de quatre nombres de ce derniei' est magique, ce 
qu'on désigne en disant qu'il est :i grille carrée de k. 

On ne connaissait pas de mc'tliode simple de con- 
struction de tels carrés. Ouant à ceux de module 



' On appelle ligne arithiiuliqiie dans un caric^ niagitiue, de module n, 
l'ensemble des n nombres d'une même horizontale, d'une même verticale, 
d'une même diagonale, ou d'une même parallèle à une diagonale, celte 
p.-M-allele se composant de deux parties aboutissant aux extrémités d'uni! 
même verticale : on l'appelle aussi diagonale biixée. 



M OUVE M EN r I) l N E I' I. A N A /' E 2 7 

■(i/j + 2, M. G. lAitHv ' (loil hiculùl faire xoir ([ue ces cariés sont 
doués de In lignes magiques et pas davantage. 

M. G. Tarry est en outre l'auteur d'une foule de reniarcjucs, 
extensions, méthodes et découvertes sui- les carrés magiques, 
théorie qu'il a poussée jusfpi'à ses dernières limites, par ses con- 
stelltitions'^ et ses carrés magi((ues aux n premiers degrés, dont il 
publiera sous peu la consliuctioii. 

A. AtRRY Dijon;. 



SLR i;l\TP:( '.RATION DES EOl A TIONS 

DU 

MOUVEMENT D'UNE PLANÈTE AUTOUR DU SOLEIL 



Les équations did'érentielles du mouvement d'un point maté- 
riel m, assujetti à l'action d'une force centrale newtonienne, sont : 

. d'-x m.r d"^ v nn 

'' IW ~ ~ 7" ' W' ~ '~ ~r^ 

r^ = .<•-* -j_ , '^ . 

J'introduis une nouvelle variable indépendante .v pai- l'écpiation 

dt = rds . 



' A lire du même savant, sur le inOiiie sujet : 

N. A., \S99. Sur tes lignes arithmétiques. — A. /•'., IIMIO, Le prob. des :jlj officiers, solution 
longtemps cherchée de la célèbre question d'Euler. — A. /•'., 1903, Carrés paninagiques de 
baseSn, figures longtemps crues impossibles. — A. /■'., 1904, Carrés cabalistiques ipanmagiques 
et aux deux premiers degrés) eH^(7 £<>«,« (on des 8'/;* olïiciers) de hase 8n. — A. F,. 1905, /.e 
carré trimagique de 128 imagique aux trois premiers degrés!. — C. H., 190(i, Sur un carré ma- 
gique, note présentée par H. Poincaré et ann.inçant la possibilité de construire des carrés 
H magiques (magiques aux n premiers degré.si. — Soc. Philom., 1911". I.a magie arith. dévoilée. 
— Soc. math., 1911, Sur la magie arith. 

* tur un carré magique supposé répéti- à droite et à gauclie, au-dessus et au-dessous, on 
promène un carton percé do fenêtres de la dimension des cases. Il v a des dispositions de ces 
lenètres telles que la somme des nombres vus on même temps est constante quelle que soit 
la position du carton sur le carre magique: une semblable disposition est une constellation, 
qui, par conséquent, constitue la magie la i>lus générale qui puisse être im.iginée, surtout si 
on étend cette conception aux espaces supérieurs. M. Tahkv a calcub- qu'un carré magique 
de module n comporte (k — 1| 1 constellations ditl'crentes et [(« — 1) Ij"'"' s'il est généralisé 
dans l'espace a m dimensions. (Voir Cx. .A it .\ o L' x , Espaces arith.. p. 75 et seq.i 



:!8 JV. i: n M A KOF I' 

Les intéiiiales (hvs ('(|ualions ,1 sont : 

.>• = [a . eus ixM + I) . sii: (a.s)]- — [<• . cos (a.v( -f- r/ , siii (a.s|]- , 

)■ =: 2(fl . cos (a.v) + /> . sin |a.s-)| [(• . cos |a.s) + r/ . sin (a.v)j , 

/■ = [«. cos \a.s) -\- h . sin (a.s))- + \c . cos (a.s) -f- (/ . sin (a.sl]- , 

/ = !'/■ . (Is . 

Les cinq constantes d , h, c. d, a doivent satisfaire à la l'elatioit 

III =z 2 a- !<■/■■' -|- Ir -j- (-2 -\- d-\ . 

Dans le cas du mouvement hyperboliiiue, les lonctions trifrono- 
métriques doivent être iemplac('es par les fonctions hyperbo- 
liques: les constantes doivent satisfaire à la i-elation : 

III — 2a2(/>2 _)- (I- — a- — c"! . 
Dans le cas du mouvement parabolique, les intég'rales sont : 

.*• = (rt -|- hs\''^ — [c -\- ds)~ , 
y =z 2(rt + hs\ \c -\- dsi . 
/• = ta + hs)"^ + (c + fisr . 

l = I l'ds . 

et les constantes doivent satisfaire à la i-elation : 

m = 2(/>- + d'^\ . 

Une force répulsive newtonienne ne saurait produire cpiuiï 
mouvement hyperbolique. 

W. Ermakoki' Kief). 



SL'li QUELOUES POINTS 
DE LA THÉORIE DES ENSEMBLES 



On sait quelle est, dans la tliéorie des ensembles de points, 
î'impoitance du lliéorème, dit Thkokè.mi-: de CANToii-BKXDixsox : 
tout ensemble fermé F se compose d'un ensemble dénonibiable 
D et d'un ensemble parfait P. La première démonstration de 
ce théorème, due à Bendixson, était basée sur la notion impor- 
tante, mais délicate et subtile de nombre oïdinal transfini. et 
ce n'est que vingt ans plus tard (pie W.-H. Youx(;' et quelcjucs 
mois après lui E. [-ixdelof- ont réussi à l'établir d'une manière 
plus directe. D'autres démonstrations de ce théorème ont été don- 
nées depuis; on pourrait les diviser en deux catégories: dans 
celles de la première on cherche à détacher de l'ensemble donné 
F la partie parfaite P et on montre que l'ensemble des points non 
enlevés est dénombrable. dans celles de la seconde, a;i contraiie, 
on détache de F la partie dénombrable et l'on fait voir que l'en- 
semble des points non supprimés est parfait. 

Cette dernière manière me semble la plus rationnelle, voici 
pourquoi : les points de D ien supposant, pour simplifier qu'on 
se borne aux ensembles linéaires^ sont répartis sur des segments 
ne contenant aucun point de P; il suffît donc, pour enlever 
les points de D, de les enfermer dans un ensemble d'intervalles 
convenablement choisis. C'est parle choix de ces intervalles auxi- 
liaii'es que se distinguent surtout les démonstrations que j'ai en 
vue. 

Le plus simple, à mon avis, est d'envisager, avec jp". Behnsi fin, 
l'ensemble des intervalles à extrémités rationnelles. 11 suffît alors, 
pour détacher D, d'enlever au sens étroit) ceux des intervalles de 
Bernstein qui contiennent des parties dénombi-ables de F, car 
l'ensemble enlevé est nécessaii-ement dénombiable, et l'on voit 
immédiatement que l'ensemble non suppririié est parfait. Dans un 



1 « Sets of Intervais on the Straight Line », 1902. l'roc. I.oitd. Math. Soc, XXXV, pp. i\b- 
1268. Le théorème de C. B. découle immédiatement d'une propriété importante des ensembles 
fermés que W- H. Young établit à la p. 208 de ce travail. D'autres démonstrations du théorème 
de C. B. ont été exposées par le même auteur dans les l'roc. Lond. Math. .Soc. ("-i. !■ PP- 2:to- 
*2'»8 et Quart. Joiirii. of Math., 35, pp. 102-11("i (cf. The Theory of .Sets of l'oints, pp. 53-(i:ti. 

» I . R., 137 (19031, pp. r.97-700 et Acta Mathematica. 29. pp 183-190. 



oO /;. M I H I M A y () FF 

travail intéressant inséré clans le vol. XII des Proc. ofthesevt. of 
Sciences de la Kôn Aknd. çan Wetenschappen, L.-E.-J. BnouwER 
s'est servi d'un ensemble d'intervalles piésentant nne certaine 
analogie avec celui de Bernstein. mais ce qui rend l'emploi de 
l'ensemble de Bernstein particulièrement commode, c'est que les 
intervalles de cet ensemble qui recouvrent un point quelconque 
de la droite fondamentale n'ont pas de borne inférieur*;. 

Toutes ces considérations s'étendent du reste immédiatenient 
a un espace à un nombie ([uelconque de dimensions. 

Je vais montrer qu'on pourrait leur donner une forme plus intui- 
tive dans le cas d'un ensemble linéaire. 

Soit AB l'intervalle fondamental sur lequel est réparti l'ensem- 
ble donné F, que je supposerai borné. On sait que l'ensemble F se 
compose des extrémité A, B et des points de AB qui ne sont pas 
intérieurs à un ensemble d intervalles ô répartis sur AB. Les 
intervalles d sont dits intervalles contigus à F, mais je les appel- 
lerai, avec W.-H. Yonng, intervalles noirs; je dirai en général, 
qu'un point est noir, s'il n'appartient pas à F, et qu'il est blanc, 
sil fait partie de F. 

Soit maintenant M, un point ([uelconque de la droite à gauche de 
A et Mj un point quelconque à droite de B ; soient Mg, M^ , ... les 
milieux des intervalles ô. Pour démontrer le théorème de Cantor- 
Bendixson, j'envisagerai l'ensemble des intervalles y[i^\j'i ^j) 
que j'appellerai crochets; cet ensemble est dénombrable. puisque 
chacun des crochets est caractérisé par deux indices. 

Considérons maintenant les crochets qui contiennent les paîties 
dénombrables de F (crochets de V espèce). L'ensemble D des 
points de F intérieurs à ces crochets est dénombrable; montrons 
que l'ensemble des points qui restent est parfait. Soit P cet 
ensemble. 

P est fermé, car un point intérieur a un crochet de l""'' espèce 
ne saurait être point limite de P. 

P est dense en lui-même. Soit en effet Pj un point de P et d un 
intervalle (pielconque entourant P,. Si d ne contenait aucun point 
de P. autie que P, . l'ensemble des points blancs intérieurs à d 
serait dénombrable; </ contiendrait donc des points noirs de cha- 
que côté de P^ et on voit que P,, contrairement à l'hypothèse, se 
trouverait à l'intérieur d'un crochet de 1"' espèce. Donc d contient 
toujours des points de P, autres que P,, et l'ensemble P est dense 
en lui-même. 

Cette démonsti'ation peut èti"e rapprochée de celle de \\ . 11. 
Young, citée plus haut et de celle de Brouwer. 

.l'ajouterai encore que la considération des crochets peut être 
utile danr l'étude des problèmes relatifs à la mesure des ensem- 
bles fermés. 

D. MiHi.MAxoFF (Genève). 



sua LA CONSTRUCTION DES COURBES 

TRANSCENDANTES PLANES DONT LES ÉQUATIONS 

SONT A COORDONNÉES SÉPARÉES 



Dans des articles récents insérés dans Y Enseignement mathéma- 
tique, j'ai signalé 1 intérêt de la classification des couibes trans- 
cendantes particulières qui résulte des beaux travaux de Chasles 
et de FouiiET sur les caractéristiques des systèmes de courbes 
planes, de Clebsch-Lixdiïmanx sur les connexes algébriques et de 
M. Gino LoRiASurles courbes panalgébriques. Entre la Ijèoniétrie 
analytique qui fut, dans ces derniers temps, développée dune 
manière excessive et la (ièométrie supérieure, une place est certai- 
nement due à létude de la Géométrie supérieure plane, c'est-à- 
dire des applications des équations différentielles aux courbes 
spéciales remarquables transcendantes ou algébriques. Parmi les 
multiples résultats qui ont été obtenus relativement aux courbes 
transcendantes, j'ai trouvé trop peu de traces de recherches con- 
cernant leurs constructions effectives. 

L'Antiquité nous a transmis de belles solutions de divers pro- 
blèmes de constructions géométriques ; les questions de cette 
nature nont jamais cessé de préoccuper les géomètres et nous 
possédons actuellement un très grand nombre de constructions 
géométriques de courbes algébriques point par point, ou tangente 
par tangente. Mais en ce qui concerne les courbes transcendantes, 
par suite de l'impossibilité de les construire au moyen de la règle 
et du compas, des considérations analogues font défaut. 

Aussi ai-je cru devoir consacrer quelques recherches à l'étude 
de la construction effective des courbes transcendantes planes. 
La question se pose sous la forme suivante : 

1° Une courbe transcendante plane est supposée matériellement 
réalisée; on en possède un gabarit, par exemple. Quelles sont les 
courbes transcendantes remarquables qu'il est possible den faire 
dériver en effectuant des constructions élémentaires au moyen de 
la règle et du compas ? 

Connaissant les tangentes et les centres de courbure de la 
courbe primitive en ses divers points, sera-t-il possible de cou- 



32 K . T l HRl E K E 

stiiiii'(> clt'iiu'iitaircnuMil les mènies éloineiils pour les courbes 
transformées .' 

2" Héciproquenient, l'étude d'une courbe transcendante étant 
imposée, choisir le plus simplement possible une courbe primi- 
tive dont on puisse la iaire dériver, au sens qui |)réoède. 

Le problème ainsi posé est évidemment un cas particulier de la 
théorie des groupes de courbes se déduisant les unes des autres 
par des transformations rationnelles : les constructions élémen- 
taires au moyen de la règle et du compas s'expriment en effet par 
des formules de transformations rationnelles. Inversement, au 
contraire, une translbrmalion rationnelle ne peut en général être 
effectuée à laide de constructions élémentaires. 

Il résulte donc de ce qui précède qu'une construction élémen- 
taire laissera invariant l'ordre minimum de l'équation rationnelle 
satisfaite par une courbe transcendante particulière. Toutes les 
courbes qui dérivent ainsi dune couibe algébri([ue sont algébri- 
ques et, réciproquement, une courbe algébrique ne peut être 
déduite que de courbes algébriques par des constructions élémen- 
taires ; de même, en opérant sur une courbe panalgébrique parti- 
culière, on déduira de celle-ci de nouvelles courbes qui seront 
nécessairement panalgébiiques. L ensemble des courbes panalgé- 
briques se décompose ainsi en groupes de courbes se rattachant 
entre elles au moyen de constructions (démentaires. 

J'ai déjà signalé un exemple de ce fait dans un article intitulé : 
Application d'une transformation de M. Brocaud à la constr/iction 
de certaines courbes transcendantes. 11 s'agit de la transformation 
qui a permis de déduire du cercle le trifolium oblicpie. Prenant 
p'our courbe transcendante primitive la spirale d Archimède, en 
raison de sa grande simplicité et de son importance historique, 
on constitue une famille de courbes se rattachant à elle au moyen 
de constructions élémentaires : la spirale hyperbolique, la déve- 
loppante de cercle, la tractrice compliquée de Coti:s, le lituus de 
CoTKs, les spirales de Gai.ii.ki-: et autres spirales de Peiimat, en 
sont les exemples les plus remarquables. Une autre famille de 
courbes transcendantes, liées entre elles par des transformations 
bien simples, est celle qui comprend la cjuadialrice rfe Dinosthate, 
les courbes plus générales que celle-ci rencontrées j)ar (>hasi.f,s, 
à propos de Ihélicoïde gauche, la cochléoïde de Fai.kknbur(;, la 
syncochléoïde et les courbes connexes. J'ai montré que la trans- 
formation de M. Brocard, <pii n'avait pas jusqu'ici été utilisée 
dans le domaine des courbes transcendantes, permet de déduire 
les cochléoïdes de la spiiale hyperboli((ue : les deux familles pré- 
cédentes, importantes du point de vue historique principalement, 
forment ainsi une famille unique de courbes quadratrices. 

Mais ce qui est encore plus remar(|uable, c'est que la cijcloïde 
elle aussi se rattache à cette famille. Par la transformation de 



(■()('/{ n /•; s •/' i{ A N s (■ i: N D.i N r i: s w.i 

M. BiiocAiu), en ell'cl, il est possible de dt-diiiic les (.■oiiihcs tians- 
ceiulantes pailiciilières dcuiuatioiis polaires 

/• == . sin , 
/• = . cos , 

de la spirale d Aiclumède. I, ('([ualioii de la eyeloï<lc. en coftidoii- 
nées polaires tan<>eiitielles de IIi-ssk, est d'autre paît 

CTf 311 y sin <f . 
es ^ f cos ^ , 
W 3= sin y — ^ cos <f ... 

suivant la position du point pris pour pôle. Cette cycloïde est 
donc Tantipodaire d une des courbes précédentes, déduites de la 
spirale d'Archimède. // est donc possible de rattacher la construc- 
tion tangente pai- tangente de la cifcloïde à la spirale d'Archimède 
supposée donnée point par point. 

Dans l'article cité, on trouvera d'autres exemples d'applications 
de la transformation île Buocahu aux épis, à la spirale logarith- 
mique... Je termineiai les considérations qui la concernent, en 
faisant observer que cette transformation peut être remplacée par 
la transformation définie par les formules 

Oj ^ Oi . /'s =r /'i sin '), : 

celle-ci se rattache à Vi/n'ersion généralisée, k lacjuelle sont consa- 
crés les paragraphes 1(S7 et 188 d'un récent ouvi-age'; il suffit 
d'appliijuer la transformation par inversion généralisée à la spirale 
d'Archimède et à un cercle passant par le pôle ou à une droite 
quelconque, jîour obtenir la quadratrice de Dinostrate ou la courbe 
podaire de la cycloïde par rapport à un sommet. La construction 
des tangentes s'effectue immédiatement si l'on suj)pose connues 
celles de la spirale d'Archimède. 

De même que les courbes panalgébriques, les courbes d'ordre 
0) = 2 se divisent en groupes : l'une des courbes d'ordre o) ^ 2 
étant réalisée matériellement, on pourra en faire dériver de nou- 
velles courbes. Il sera aussi intéressant de supposer données les 
courbes panalgébriques: en opérant sur une courbe d'ordre éo = 2 
et sur un certain nombre de courbes panalgébri(iues, on construira 
des courbes d'ordre 6)^2. En opérant de même sur une courbe 
d'ordre o) = 3 et sur des courbes données d'ordres w ^n 2. m = 1, 
<a = 0, on construira de nouvelles courbes d'ordre O)^::^ ."5. Kl ainsi 



' H. BoLAssic et K. Ti itiui:ni:. Ext'rcices et coniplciiieiits île in;illu'iniiti(|iies 
1012 ipp. l'(9-15tM. 

L'Knsei<j:neiiiiMit iiiiillicni., I ('. • iimice , l'.M'i. 



34 E. ri uni ERE 

de suite. Ku opérant enfin sur vww. eourbe hypertranscendante 
donnée et sur des eoui-bes transcendantes dOi'dres o) finis, on 
formera de nouvelles courbes hypertranscendantes. Ainsi (juc je 
lai précédenuiient signalé, la courbe hypergéométrique d'Kuler 
est un exemple de courbe hypertranscendante, d'après un théo- 
rème de M. O. Hoi.DKR sur la fonction eulérienne de seconde 
espèce. On pourra, par conséquent, rattacher à cette courbe 
hypergéométriqne de nouvelles courbes hypertranscendantes. 

Un cas particulièrement intéressant est celui qui concerne la 
construction de la développée d'une courbe transcendante. La 
construction tangentiellc de la développée est immédiate ; mais 
pour construire la développée point par point il faudra connaître 
non seulement la courbe primitive, mais encore une courbe d'ordre 
égal ou moindre: la radiale, selon la dénomination de Tiicker. 
Une courbe transcendante et sa radiale étant toutes deux connues 
point par point, on pourra construire la développée de la première 
point pai' point : jai déjà signalé l'exemple de la clothoïde et de sa 
développée, qui sont toutes deux d'ordre o) = 3; la radiale de la 
clothoïde est une courbe panalgébrique : le lituns de C^otes. 

Au lieu de se donner point par point la radiale de la courbe 
transcendante, on pourrait se donner tangente par tani^ente la 
courbe que dans de récents travaux « Ueber bestândig elliptisch, 
parnbolisch oder hypevholisch gekviïmnite Kun'en « (Mathematischk 
Anxalex, 1912. p. 285 et pp. 51).3-595), M. 11. Mohiîmaxx a associée 
à toute courbe plane sous le nom de « Minkowski.sche Kriimmiings- 
bild)). Mais la construction au moyen de la radiale est plus pra- 
tique, parce que les images de Mixkowski sont généralement bien 
moins simples que les radiales de Tïcker. 

Parmi les constructions géométriques opérant sur plusieurs 
courbes transcendantes, je signalerai d'une manière toute parti- 
culière la construction des co/i/bes transcendantes à coordonnées 
séparées. Je dirai qu'une courbe est représentée par une équation 
à coordonnées séparées, lorsque cette équation sera donnée sous 
la forme : 

(Ml lorsqu'elle sera susceptible dèlrc mise sous cette forme, les 
deux fonctions /"./:, ^^1//' des deux coordonnées cartésiennes .r et y 
étant particiiliérenient simples. C'est ce qui arrive dans le cas d'un 
très g'rand nombre de courbes transcendantes particulières, ainsi 
que des exemples ultérieurs le mettront en évidence. 

Aux paragraphes 211-215 des Exercices et coniplénients de nia- 
ihéniatiqnes générales, M. M. Boiasse et moi avons étudié une 
transformation géométi'ique opérant sur trois courbes qui nous 
a él(' utile pour efl'ectuer la construction, au moyen de deux 



cor R h E s TUA N S C E N D A A T /, > 35 

paraboles et cl nn oeicle. des (|uaitiques crécjuation 

1.1» _ 1,== -|_ (,=> — 1)^ = rt» = const ; 

qui, dans certaines conditions, admettent le nombre maximum 
de tangentes doubles réelles que lixent pour les quarticjues les 
formules de Pllcker. — Cette transformation se déQnit ainsi : 
Etant données trois courbes fC,), (C^), (C3), on considère un rec- 
tangle i'ariable et mobile, dont les côtés gardent des directions 
invariables et dont trois sommets décrivent respectivement les trois 
courbes (C,), (G,), (C3) imposées. Le lieu iC) du quatrième sonnnet 
est la courbe transformée des trois premières qu'il s'agit d'étudier. 

On observera que lorsque C/), fCg), iC^) sonttiois lignes droites, 
il en est de même de la courbe transformée C*. Si donc les trois 
premières courbes sont données ponctuellement et tangentielle- 
uient à la fois, la courbe C pourra être construite point par point 
et tangente par tangente : la tangente à (C) est, en effet, la trans- 
formée des tangentes à (C,), (C2) et (C3I. Nous avons d'ailleurs 
fait connaître la relation qui lie leurs coefficients angulaires. — 
Un cas de cette transformation mérite un examen particulier: 
c'est celui pour le({uel l'une des courbes est la bissectrice .r = 1/ 
des axes coordonnés (supposés rectangulaires). La relation entre 
les coefficients angulaires se simplifie encore, de même que celle 
qui lie les courbures : les constructions des tangentes et des cercles 
osculateurs deviennent beaucoup plus simples. 

Considérons les deux courbes directrices (C„) et iC^) et suppo- 
sons-les représentées par les deux équations : 

(Cjl y = f\x\ . 

IC3I .r = g\ri : 

le déplacement et la variation du rectangle ABCD sont ainsi 
définis : ses côtés restent parallèles aux axes coordonnés ; le som- 
met A décrit la droite d'équation .r =:. z/ \ les deux sommets B et D 
voisins de A décrivent respectivement les courbes (C3i et (C^i ; le 
sommet C situé sur la même diagonale que A décrit la courbe C ; 
l'équation de celle-ci est 

/■|.*-| = ^(r) . 

Ce mode de génération des courbes (Ci à coordonnées séparées 
s'applique à un grand nombre de courbes connues. C'est ainsi 
qu'en partant de deux chaînettes panalgébriques d'équations 

U-,) V = ch 2.r •+ <•» , 

ici j:- = ch 2>- — c* , 



36 



E. TU R H I K H E 



éi^ak's entre elles et par c'(niséqueiit iK'cessilaiil iiii nahaiit iini(|iie, 
on construit la coiiihe o) =: 2 d'équation 

cl. -ly — cil -Ix = ic" , 

analogue à une courbe renconlrée par M. Gonies rt:i.\i:iiJA dans 
des recherches sur la théorie du développement des fonctions 
analytiques en série ordonnée suivant les puissan<'es du sinus de 
la variable; quant à la courbe de M- leixeira, courbe dont l'équa- 
tion est : 

cti 2>- — cos 2.» = 2c" 

il faudra deux gabarits, pour la construire effectivenient : lun 
d'eux représentera une sinusoïde et l'autre une chaînette ordi- 
naire. Lorsque le paramètre c varie, les trajectoires orthogonales 
des courbes précédentes et de celles de M. Teixeira sont de nou- 
velles courbes à coordonnées séparées : 



tançr x =z k t;inçj 1- 



/11. 



les courbes (C^) et (C3) sont, dans le premier cas, deux tangen- 
toïdes dont l'une est homothélique de l'autre et qui, par consé- 
quent, peuvent être construites à l'aide d'un seul gabarit. Dans 
le second cas, au contraire, il faudra utiliser deux courbes trans- 
cendantes : pour construire, en efl'et, les trajectoires orthogonales 
des courbes de M. Teixeira, il sera nécessaire de posséder deux 
gabarits représentant l'un une tangentoïde ordinaire, et l'autre 
une tangentoïde hyperbolique. Je citerai encore la courbe d'Kuler 
représentée par l'équation 



elle n'est pas sous la forme à variables séparées; mais il est pos- 
sible de la réduire aisément à une telle forme: 



il suflira encore d lin seid gabarit jx.ur construire les deux courbes 
Cj et C,, coirespondantes : 



log X 



loo- V 



Kn prenant pour [i^^ iC^ deux coui-bes algébriques, on obtient 
ainsi pour courbe (Ci une courbe qui est nécessairement algé- 
brique. En prenant une courbe algébrique et une couibe trans- 
cendante d'ordre 0)^, on est conduit a une courl)e de même ordre 



C (} UR H E N /' n A N S VEND A N T E S :;: 

o)y : c'est le cas de la courhe d'('<iiiali()ii (iiint I.oiua, Spe/iclle 
ebene Kiirven. II. p. ^'i')) 

>■'' — 2v cos .»• = a : 

qui est construite avec une hypeibo.le et une sinusoïde: elle est 
panalgébrique. Plus i'énéialcnient. en op(''rant sur deux courbes 
d'ordres w^ et w^ (Wg >- w., la courbe transformée sera d'ordre 
0)^ _|_ ûîg, ou d'un ordre moindre mais supérieur à 0)3 . 

Mais si les deux ordres sont égaux, la courbe résultante pourra 
n'être pas d'ordre «^ = o^^. Il ponira y avoir un (ihfiissement 
d'ordre. Prenons par ex(Miiple les deux courbes d'équations 

K désignant un polynôme du ([uatrième degré : ce sont deux 
courbes panalgébriques : la courbe résultante est algébrique. On 
pourrait encore citer les courbes : 

X =z m . log V , y =: // . log x . 

ni et )i étant deux nombres algébriques dont le rapport est ra- 
tionnel. Au cas simple où /;2 = /î=1. on a les deux logarith- 
miques directrices considérées dans la même transformation, déjà 
proposée par M. Brocahd dans la (piestion 2798 de X Intermédiaire 
des Malhèniaticiens, 1904, p. 162. 

Je terminerai en donnant quelques exemples de courbes trans- 
cendantes qui peuvent ainsi être construites comme courbes à 
coordonnées séparées : les courbes d'équation 

sin X . sin y z=: const. , 

et leurs trajectoires orthogonales 

cos X 

^ const. , 

cos )• 

qui se présentent dans l'étude de la surface minima de Scherk ; 
le dilogarithme d'Kuler ; le double-sinus les deux courbes (C.,) et 
(C3I sont alors identiques ; les lignes de MERCAToii-Su.MXKi! et la 
chaînette de Comor.is, en particulier... 

Kmile TntiuKRi: Montpellier . 



SLR UN DOUBLE SYSTEME DE LKiNES 
D'IXE SURFACE 



1. — Le système de lignes que je vais roiisidérer jouit de la 
propriété d'avoir, en chaque point, la courbure normale étjale à 
la racine carrée de la courbure totale de la surface en ce point, 
savoir à la moyenne géométrique des courbures principales; ces 
lignes n'existent donc que dans les régions à points elliptiques 
où la courbure totale est positive; leur équation diiïerentielle est : 



Bdu- + 2\ydiidv 4- D"</r-' 
Edu- + •l^dud',- + G</.- 



/DD" — D'- 



(E, F, G; D, D', D" étant respectivement les coefficients de la 
première et de la deuxième forme fondamentale), et peut s'écrire : 

(Il (D/EG — F- — E^/DD" — IJ'-i du- + 



2(D'j/EG — F-— F/JJD" — D'-lf/«rfk' + 



(DVEG — F-' — Gj/DU" — D'-)rfr- = . 

Si Ion prend pour système //, c le système des lignes de cour- 
bure (F = D' = 0), notre équation s'écrit 

(D/ËG — E\/\)\r\du- + |D"i/ÊG — Gl/DD^i(/t- = . 

Lorsque D et D" sont j)()sitifs, elle donne : 

/dy \2 _ / "ËF 
\Jhij "" V ^^^' ' 

il faut alors prendre le radical donné avec la détermination posi- 
tive ; si D et D" sont négatifs, nous aurons 






i)()U II I. E S Y S T i: M i: I) E 1. 1 <; n e s -m 

et il faut, par conséquent, piciidi»' le ladical «hmiu- avec la dëlei- 
niination négative. 

Ces rormules montrent d'alxtrd ([iie par cliacpie point de la 
région passent deux lignes de notre système, également inclinées 
sur chaque ligne de courbure. 

2. — Indi(iuons par L les lignes considérées et o|jserv<»ns (pie 



tg(l-»') = 



t /g /eu '-" /GD 



mais l'éqnalion des lignes caractéristiques' c dans notre système 
étant 

Bdu- — W'dv- = 



nous voyons que Ton a : 

tg \cv\ 
et, par suite : 






tg2(Lv) = tglo'l . 

formule qui exprime une relation simple entre les angles que font 
avec une ligne de courbure les lignes L et c dun système. 

Nous pouvons obtenir une autre relation angulaire en considé- 
rant langle L^"]' projection, sur la sphère de Gauss, de langle 
iLi'j d'une ligne L avec la ligne v de courbure. 

On a alors, comme on sait, la formule 



tg (Lv)' =z tg(I 



■V^" ■ 



dans laquelle e, g sont les coefïicients extrêmes de la troisième 
forme fondamentale. On trouve : 

/Ë> El)" , , , , , ED" /'* /ËirV 

et enfin : 

tg(Lf|' = colg(cr) colg(Li'| . 



' (ies lignes correspondent aux directions conjuguées et également inclinées sur les lignes 
de courbure: elles ont été étudiées |)iir Fucci iReudiconti délia R. Accademia dei Lincei, 
Vol. V (18891. |>. 501-5071, Riîina (Ibid., p. 881-885i et d'autres auteurs. J'ai fait observer que 
leur équation différentielle peut s'obtenir en égalant à /éro le jacobien entre la deuxième 
forme fondamentale et le jacobien des deux premières formes. Si. au contraire, on égale à zéro 
le jacobien entre la première forme fondamentale et le jacobien des deux premières formes, 
on obtient l'équation des lignes bissectrices <les lignes de courbure et que je voudrais appeler 
lignes de torsion parce que leurs directions correspondent aux maximum et minimum de 
torsion géodésique. 



'i(i h. ocriiiniNTi 



Cette formule montre que la lanoente de langlc projection, 
sur la sphère de Gauss, d une lione L avec une li<^ne de courbure, 
est éi>ale au produit des tangentes des an<^les d"uneli<>iie caracté- 
ristique et L d'un système, avec l'autre liiii^ne de courbure. 

3. — Démontrons maintenant la proposition suivante : 

Les deux lignea L (/ ni passent par chaque point de notre rèi^ion 
séparent harnioniquenient une Ut^ne raractèristique et une lii(ne de 
torsion passant par ee point. 

\in elFet, les coetficients aiii^ulaires des tan<ientes aux deux 
lignes L, à une ligne caractéristique c et à une ligne de torsion t 
sont respectivement: 

'* / gd" * /gd /"(TU 

~ V ^^' ' V ÉD^' ' V '■^t»" " 

et l'on voit alors aisément que le lapporl anharmonique de ces 
quatre directions est — 1. 

4. — Calculons la torsion géodèsique en un point d'une ligne L. 
Prenons encore comme système («, \>) celui des lignes de cour- 
hure et rappelons que la toision géodèsique s'exprime alors par 
la formule 

1 (GD — ED"|</Mrf^' 

(2) 



i' (/EG(Erf«2 _|. Grfr-') • 



Nous avons donc pour un point de notre ligne, si D et D" sont 
positifs, 



--V1' 



1^ _ i GD — ED''|/EGIJD'' _ 

T ~ /ÊG (E /GÏF + G /ËÏÏi — v/ËG(l/GD + /ElFl ~ 

* /îTd" 

■l_ ^ V EG _ / (/GD — (/ED"i^ 4 /dD" _ 

/ËG ~ V ËG V "ËG ~ 

t / GD + ED" ^ /ÏÏÏV' * /dît 

V'-^1g -VwVw ' 

et enfin, indicpiant par K et H respectivement la courbure totale 
et moyenne on a, en vertu de formules bien connues : 

(3) .p = V— 211 — 2j/K . \/K. . 



DOf H A E S } .s y È M i: I) E 1. 1 C. N E S 
Si D et D" sont lU'oatifs, on peut écrire 



'.1 



(GD 



T j/EG y— E 



„ '• / iJîr 

'V KG _ ^ZZ-ËW — [/— GD '* /dd" _ 

W + /— gT) "" j/ËG V "ÊG ~ 

. / — ED" — GD — 2(/ËGÏ3îr 4 /oïyî 
V KG V I^G" 



i = V/2H — 2/K J/K 



On peut donc exprimer la torsion géodésique en un point dune 
ligne [., à laide des courbures moyenne et totale de la surface. 
Ces formules peuvent êtie simplifiées par l'introduction des tor- 
sions géodésiques des lignes caractéristiques et de torsion passant 
par le point en considération. 

En effet, dans notre système coordonné, les équations différen- 
tielles des lignes caractéristiques et de torsion étant respective- 
ment 

Hdu- — Wdv- = Edu- — Gdv- = , 

nous voyons aisément à laide de la formule i2i que les torsions 
géodésiques t^, , t^ de ces lignes .de Tun système sont données 
par les formules 

., = l/H^' - K . 



H ' 



On en déduit 



H = 



K = 



et, si Ion substitue dans les formules (3) et f4), on trouve 
lorsque D et D" sont positifs, et 
lorsque D et D" sont négatifs. 



'r2 /.*. oc c m PI NT I 

Si donc T et r' iii(li(jiiciit les inoyemies liaiMuoiiitjiies entre t, 
et — T., et T , T,, nous aurons 

t^ c t 



1 , 1 / -, 

La torsion géodésique d'une ligne L en un point est donc égale 
à la racine carrée du rapport entre la torsion principale (maxi- 
nuini ou minimum de torsion géodésique) et la moyenne harmo- 
nique des deux torsions géodésiques, des lignes caractéristique 
et de torsion (de l'un système) passant par le point en considé- 
ration. 

5. — (Cherchons maintenant les relations qui lient les. coeiTi- 
cients des deux premièies formes fondamentales, loi'squ'on prend 
pour système cooidonné (//, v] celui des lignes L. Dans ce cas 
l'équation (1) doit se réduire à renfermer le seul terme en diidi', 
donc : 



D [/\LG — V- — i:/DU" — D'-= 
D" j/EG — K- — G j/lJIJ" — D'- = 

La première donne : 

et, si l'on substitue dans la seconde, on trouve 

E-D'- — F-'D- z= , 
d'où l'on déduit pour D les deux valeurs : 

V 

Si l'on prend D = -^r- et l'on substitue dans la formule 5 , on 

trouve 

GD' , D D' D" 

D = — , donc : _ = _=._. 

Mais alors' la surface serait sphérique ou plane. Il faut donc 
exclure le cas D = — - et il reste, par conséquent, D = p- ; 

la formule 5 donne alors D" =: rr- . 



* V. BiANCHi. Lozioni di Geoniftria dillei-enzial.^. Vol. I, p. \i\ (on note). 



I 

i 



I) U H I. !■: s Y S T I-: M E h E I. I C. N E S \\\ 

On a tloiic les iclalidiis 

D \y D" 

"'' Ê = - F = TT = '^ • 

lorsqu'on prend pour système coordonné celui des lignes !.. 

11 importe de remarquer la forme simple à laquelle se réduisent, 
dans le nouveau système, les «'<|uations îles diflérentes lignes do 
la surface. 

L'équation des lignes de courbure est E<7«'' — Gf/t»'^ = 0, 

celle des lignes de torsion : KFc?«^ + 'lVX\dndK' + V(^dv^ = 0, 

et celle des lignes caractéristiques : EVdn'- — 'lEGd/td^' -\- 
¥Gdi>^ = 0. 

I/interprétation gëoniétrique de / se déduit immédiatement de 
l'expression de la courbure totale K ; on trouve ).'■ = K, donc X est 
la moyenne géométrique des courbures principales. 

6. — Cherchons les équations qui vérifient les coordonnées 
cartésiennes .r. //. ; d'un point mobile de notre surface, expri- 
mées en fonction des paramètres //, i> des deux lignes L. 

A cet effet nous observerons que les dérivées secondes des 
coordonnées s expriment par les dérivées premières et par les 
cosinus X, Y, Z de direction positive de la normale à la surface, à 
l'aide des formules^ : 

ÔM-' ~ ( 1 i ÔH ^ ( 2 S c>r ^ ' 

^^^12;.^ .12)^ ,^ 

tiudv I l ^ i>u I 2 ) .ir 

ô^_^22/ôa- (22)ôx 
^t-' — ( 1 \ .^« "^ I 2 Uv- "^ 

dans lesquelles les symboles j ■ de Christoffel se rapportent a 

la première forme fondamentale. 

Si Ion multiplie la première par F et la seconde par E et on les 
ajoute, il en résulte, d'après b) : 

duM- ^ eu' - [ M i ^ f 1 ^ J .^» ^ L( 2 S "^ ^ ( 2 i J >H. 

Si. au contraire, on multiplie la seconde par G et la troisième 
par F et on les ajoute, on obtient : 

.>- ^ .^«.v - [' 1 \ ^ ^ 1 ^ Jô» ^ L' 2 ^ ^ ( 2 ^ J.v 



» V. BlANOllI. l. C, p. 110. 



li. () C ( 11 1 P I .\TI 



Ainsi les coordonnées x, y, z d'un point mobile d'une surface^ 
e.ipriniées en fonction des paramètres u, v de deux /ii^fies L, véri- 
jient simultanément deux équations du type : 



a \- h — :, =: a — + ,5 — , 



I , (>-6 .v'o ,c^^ 
I '> -T. + '■ -— = « — 






^oii a, l>. c sont pi()|>oi'tiomit'ls aux coefficients de la première 
forme foiidamenlale. a, /? sont des combinaisons linéaiies des 
deux premiers coeHicients avec les symboles de (Ihristoffel 



Ir) 



I 1 S 

derniers coefficients avec les s.vmboles de Christollel 



m- 



, et a', ^' sont des combinaisons linéaires des deux 

y-2, 

i 1 ; 

Supposons, au contraire, que les équations (7) constituent un 
système coinplèlement intéyrable et soient x{u,i>), //(//, ^'), z{u, i^) 
trois solutions linéairement indépendantes; je dis alors que les 
lignes {u, i'] tracent, sur la surface .?=.<■«, ç) i/=:y(u, i^) z = z{u, ^) 
un système de lignes L. 

En effet, écrivons les équations (7 pour = .r, y, r. puis mul- 
tiplions-les respectivement par X, Y, Z et ajoutons-les; nous 
aurons 









LX — .5 -|- cLa ::= a 2,A — -\- ,j Z-\ — 



hY 



c'est-à-dire 
do il : 



D : D' : D" = a : — h : c . 



Et, comme a, b, c sont, par hypothèse, pro|)orli()nnels à E, F, G, 
nous en déduisons : D : D' : D" = E : — F : G et, par conséquent, 
les lignes //, c sont des lignes 1^. 



Juin \UIA. 



R. (^ccMii'ixTi Palerme). 



TNE APPLICATION 
DE LA MÉTHODE DE FAUSSE POSITION 



Laoranne a reiH-outré, à propos de la constiiiclion des cartes 

géographiques, le problème suivant : 

Ktaut donnés trois points R, R', R". trouver deux pcdnls A et B 

RA R'A K"A 
tels que les rapports rrrv , dTjt . ôttiT , soient entre eux dans des 

rapports donnés, les différences des angles ARB. AR'B. AR"B 
étant également données. 

Nous allons dabord essayei' de donner une s(duti<Mi purement 
géométrique de cette question. 

Comme première simplification, nous pouvons remarcjuei- qu'il 
nous suflit de construire, au lieu de la figure donnée, une figure 
qui lui soit semblable. Nous pouvons alors considérer AB comme 
une donnée, et essayei' de déterminer les points R. H' et R". 

Donnons-nous arbitrairement le point R dans le plan : nous 
pouvons alors construire le triangle RR'R" de deux manières dif- 
férentes suivant que nous l'astreignons à 1 une ou l autre des con- 
ditions cherchées. En effet, dans le premier cas les rapports 

R'A R"A , . . ... , 

jp^ et TTTTTT deviennent connus puisqu ils sont dans un rapport 

R A 

connu avec tt^ . Les points R' et R" doivent se Irouxcr sur des 

cercles lieux des points dont les distances à .V et B sont dans un 
rapport connu. 

Le problème revient alors à construire un triangle R R' R" dont 
le sommet R est donné, et qui soit semblable à un triangle donné. 
La solution de ce problème est élémentaire. .Appelons \\r'/" le 
triangle ainsi construit. 

Si au contraire nous imposons la seconde condition, les lieux 
des points R et R' seront deux cercles passant par.VetB, puisque 
la connaissance de l'angle .\RB entraîne celle des angles AR'B 
et AR"B. 

Le triangle construit ainsi sera R/v{ , et il difï'érera générale- 
ment de R/'/-". Le problème est justement de choisir le point R 
de façon que ces deu.x tiiangles coïncident. Il suffit évidemment 



'!(•> A HAI.I.IF 

pour cela (jne /' coïiu'ido avec i\ , car les triangles semblables 
\\r' r" et R/'i/"i ayant alors un côté coin nui ii H/', le troisième som- 
met sera aussi commun. 

Sur la perpendiculaire au plan de la ligure menée par R por- 
tons des lontrueurs \\in\, Hyw, égales aux coordonnées rectangu- 
laires du point /j . Si l'on fait varier la position du point R dans 
le plan, les points m[ et yWi vont décrire deux surfaces (A'IÎ) et [)?[,. 

Portons sur la iiKMiie droite les longueurs correspondantes R/«', 
Wp' , coordonnées du point /', nous obtiendrons deux surfaces 
(M') et (P'f. 

Pour que /•' coïncide avec /' il faut et il sullit ([ue les points ni 
et m' coïncident, ainsi que p et p' . 

Le point m se trouvera donc sur la courbe [F) d'intersection 
des surfaces (M') et (M',), et le point y>> sur la courbe IJ] d'intersec- 
tion des surfaces fP'l et fP,). 

Si l'on construit les projections y el ô de ces courbes sur le plan 
de la figure, leurs points d'intersection seront des points R el le 
problème s'achèvera alors sans aucune ditliculté. 

Comme on le voit, cette méthofle nous a seulement permis de 
ramener le problème à celui de l'intersection de deux surfaces 
construites point par point. Mais on peut remarquer que, malgré 
cela, elle est susceptible d'un mode d'approximation qui est exac- 
tement celui de la mé,thode de Newton pour déterminer une racine 
dune équation, c'est-à-dire l'intersection d'une droite et d'une 
courbe. 

Voici comment nous procéderons : 

Nous nous appuierons sur ce fait qu'une surface peut être rem- 
placée dans un certain intervalle par un ))lan. Comme pour déter- 
miner un plan il faut .3 points, nous allons nous donner 3 points 
Rj , R^ , R3, auxquels vont correspondre les 4 séries de trois 
points 

M, Mj M, 

P: l^ Pb 

m'. m 2 M, 

\\ l'I P3 

Déterminons le segment ah d'intersection des triangles M^M^M, 
et MiM^Ms, et soint a^ sa position sur le plan RjRjR,. 

Déterminons de même le segment cf/ d'intersection des triangles 
PjPjP-j et PIPîPs et soit yô sa position sur le plan R, R-^Rg. 

Si les points R^RjRg ont été choisis avec assez d'habileté, les 



METHODE DE FAUSSE J'OSlTIOiW i? 

segments a/î et yè aurons nn point roninum q qui sera plus ap- 
proché de la solution (pie les points R, , R^, K^. 

C'est à partir de ce point q que nous pourrons partii- pour ap- 
pliquer la méthode de Newton. 




Considérons la parallèle aux projetantes menées par q, elle 
coupe les surfaces (M) et (M'i en deux points /* et ///. Les plans 
tangents à (M) et (M') en ces points ont pour intersection une 
droite Jf*. 



'i8 



.V (.ENNIMA TA s 



De inèine les points cl intersection ti et n' de la même proje- 
tante avec les surfaces (P) et (P') donnent une droite J^ . 

La parallèle anx projetantes qui s'appuie sur /îjx et Jjt fournit 
un point p, , plus approché cjue o et Ton peut continuer ainsi 
indéfiniment. 

La détermination des plans tangents aux surfaces (M; ou (P 

est assez simple. On peut l'obtenir en effet en construisant sur la 

surface en un point deux tangentes particulières correspondant 

au déplacement du point \\ sur le cercle RAB ou sur le cercle 

,. , , RÂ . 

lieu des j)()ints lois que 77^ soit constant. 

L. Ballii- Anooidème . 



SLR LES TRIANGLES HERONIENS 

No II i'ei/es form n /es . 



1. — Soient p, q, r les trois côtés et i' le demi-périmètre d'un 
triangle héronien. 

Si F représente la surface, on a : 



F = \^s[s — p) \s — q) \s — r) 



F peut s'écrire 



V (.s- — q] [s — !•) 

OU. cctmme s = s — /? -(~ *' — Ç -\- ^ — '■- 

F rr: \s — q\ |,s — m * / 



Posons 



s — q s — qj s — /' 

y .« — q s — ?• .s — q s 



\s — q) {s — / 



P .. 



— P 



alors on obtient 



P^ / i 7 

-7 — y x -\- X -(- .r.r 



/■ /; / / .V c I. E s II i: u o .v / 1: y s 



\'^ 



Oi", piiisf[iie I' (l(»it èlrc im iKtmhie iJitionnol. rexpif'ssion 
_,• _|_ ,i' -\- .v.v' représente un cane parfait. On a 

.,• -|_ .,•' 4- .,■.,■' — y . 
<n\ Il est un nombre rationnel : <>n en tire 



Par conséquent 1 tievient 



1 + ., 



- p 



I + -rn . 



(21 



(3) 



On trouve ensuite ]>our les côtés du triangle 

[.s — fi s — /• 1 
s _ p .s — p\ 

I + 



, 1 I 



ou ( l'a p l'es (2) 
c'est-à-dire 






'1 = 7^ 



XI v" — .ri 



+ /I : 



I + ., 



(6i 



Or. nous pouvons remplacer le triangle p, (j. r pai' un tiiangle 
semblable V/, b. c , où : 



:- • /' 



/y 



'I 



s - i> s — p 

ï.a surface de ce triangle est par conséquent : 



r--'-"T. K 

L ■«• - i> _ 



et 



On obtient à l'aide de 3), 4 , 5 et (i : 
a = .»» + ■>• 

(■ z:= 1 1 + .ri > y" — .ri 

K = 1 1 + •♦' ' ^^ — .*i.rr . ou 

l.'Knseijjneiiient iii;ithéiii. , lll'MiinHe; l'.M4. 



K = 



l 

II 

III 

IV 



50 A^. r.ENN/MATJS 

J3aiis ces lortmiles .v et // sont dos ii(>ml)ios posilifs ralioniiels et 
//'- >> r à cause tie 111 . 

Remarque. — On peni dcMnonfrcr iiHincdialonient (|iie les ex- 

pl'cssiiMis 

.i' + y' , (1 +/).».■ , H + .ri (/ — .»•) . 

on .i\ // et //■- — .<■ sont des nombres positifs, peuvent toujours 
<''tie les eôtes diin tiiani^le. car les trois dillei-ences 

■ '■■' ^- .1^ . .s- — (J + i*i.r , .s- _ ( I 4- .M ^y■' — ,r| . 

où 

.s- = - I.»--' +_,* 4- ,1 _|_ ,«,.,. -f ,1 + ..-M/ — .rit . 

sont positives. 

l'-n l'Het, on I louve : 

.s- — i.r^ + .t"! = •>■( r' — .»•) , 

■s- — I I + v'') .»• = v" X , 

.V — il + .ri 11' — .n = .rrl -|- .ri . 

.Mais, si ces trois dilîerences sont positives, chacune des quan- 
tités I, II, 111 est plus petite que la somme et plus grande que la 
dilTérence des deux autres; par conséquent 1, II, 111 peuvent être 
considérés comme les trois côtés d'un triangle. 

2. — De la formule IV on reconnaît que la hauteur // correspon- 
dante à la hase r est égale à 2:r//. 

I,a question est maintenant de savoii- dans quelles conditions 
cette hauteur se confond avec le cAté a ou b. 

1) h = a. Alors 

r^ -j- v'' 1= 2.>v , c'esl-à-dire que .r = y , 

d oii il suit que : 

a = 2.r« , /; = .ri.r" + h , r = .ri.r" — 1) ; 

|jar conséquent .r doit être plus grand (|ue 1. 
Quand .r = 2, on a : 

« = « , h = H) , c = û 

triangle rectangle, semblable au plus petit triangle pythagoricien 
3, 4, 5). 

2) h = b. Alors 

- 2>y = I I -f- i^i.r , i; est-à-(lii-e i =: 1 ; 

<lonc. seulement (juand // = 1, h = b. 



r m i .\ ('. I. !■: s // /•; /.' o n i k n s 



TjI 



Ici .<■ est pins petit ([uc l piiiscpie //^ = 1 > r . |,es ocUés du 
trianyle sont alors : 



rt = 1 + x^ 



Prenons x = — , nous obtenons 



1 — .r" . 



h = 1 



triangle rectangle, sem])lable au plus petit triangle pythagoricien. 
3. — Nous allons maintenant démontrer la j)roposition suivante : 
Les côtés a et b ne sont égaux entre eux (jue quand .r = 1. Si 

l'on a, au contraire, .v ^ 1, on aura aSb. 
Rn effet, il suit de la formule III que 









/ > X . 


doni' : 
11 






r*(.r — Il > -'-(.r — Il . 


si 








> — 1 


> 


, 


ou <■ > ' • c'esl-à-dire 


donc 






l>> a ; 


2| 






f[x — Il < .r[.r — Il , si 


ou 






.rf + .1- < x' + r" ; 


donc 









xf + X > .x-=» + )' 



.r< l : 



h <. a : 
;> quand .v = 1, il suit de 1 et 11 que : 

c/ =z 1 + 1* , h z= \ -\- y^ ; c'est-à-dire que (i = h 

Mais en outre on a, comme il est facile de le reconnaître : 
c^a , suivant ((ue Ion a y^^2x -\- 1 , 



et 



.■|. , 



,)^||2 -i- x)x 



Si donc a = b (et par conséquent .r =r f!, on a 
(■ ^ a :=: h , selon que v^ est ^ 3 . 



< 



< 



52 N. a i: \ M M A TA S 

D'où il suit que a =z b := c nosl j)as possililo, car alors y seiait 
égal à }/ 'à , r'esl-à-dire à un nonihio iirationnel et le trian<^le 
(fl, b. c] ne serait plus un (lianyle héronien. D'ailleurs, quun 
triangle dont les tic)is côtés sont égaux ne peut pas être un 

triangle héronien. c'est ce qui suit immédiatement de la formule 

1 

de l'aire: F = y a'^ ]/ ',^ ; alors V est nu nombre irrationnel, lors- 
que le côté a est rationnel. 

4. — On sait que d'un triangle obliquangle héronien on obtient 
à l'aide de chacune de ses trois hauteurs deux triangles rectangles 
héroniens aussi et dont la somme ou la difTérence égalent le 
triangle donné. 

(considérons le côté <^' =: 1 1 -{- .v [i/^ — ./ 1 comme la base du 
triangle {a, b , c) ; alors la hauteur h = 2.ri/ peut se trouvei- en 
dehors ou à l'intérieur du triangle : dans le pi-emier cas le triangle 
apparaît comme la différence et dans le second cas comme la 
somme de deux triangles rectangles héroniens ayant une cathète 
commune, la hauteur h. 

Nous démontrerons maintenant la proposition suivante: 

Soit :v^t/, alors la hauteur h-^^'l.vi/ se trouve à l'extérieur 
du triangle. 

On reconnaît dabord (jne pour .v > // .v doit être plus grand 
que 1. Car poui' .v ;= 1 on aurait .v'^ = 1 =z .i\ et, puisque .t\> //, 
.r'^ !> y^ ou encore .r > //^, ce (jui est inadmissible à cause de la 
formule 111. 

Pour v <i i on aurait .<- <; .r. et, puis{jue .<>■//, -c'^ > //■' ; 
pai' conséquent •< I> ^'^ ]> //'^, c'est-à-dire r'^i/^, ce qui n'est 
pas possible. Donc, .v doit être plus grand que 1. Mais alors // est 
aussi plus grand que 1 puisque y- > .r , d'autre part (t est plus 
petit que b (d'après le n** 3 , ou 

•»' +.i^< Il +.^'i-'- ■ 

Or, le triangle (a, b. c est la dillerence de deux triangles rec- 
tangles ayant respectivement comme côtés 

// r= .1(1 + V*) . h = 2.rv . .*()'' — li : 

«=:.*'+ y" . Il r= 2.»v . .r* — i* : 

A étant leur hauteur c(tmmune : donc. // se trouve en dehois du 
triangle, c. q. f. d. 

Admettons maintenant (pie les valeurs de .r sont pUis petites 
que celles de y. 

Il faut distinguer deux cas : 

Il .. < r , V > I . 



ni I A ya i.i: s ii i: no .\ 1 1: s s 53 

l.e triangle //, />, r peut se diviser en deux hiaiiglf- 1 l'ctaiinles 
htMoniens ayant lespectivement comme cotés : 

I) = > '\ + ri , // = 2.ry . .n\^ — 1. : 

a = .»- + 1° . Il = iiy . y" — * ■ . 

h étant leur hauteur coinniune : h se trouve compris dans le 
triangle [a, b, c . 

2i » <.v< t . 

On a d'abord '/' <Z >/ '• d autre part, puisque j ■< //^ " cause 
de la formule 111 , à plus forte laison .< est plus petit que //. donc 
,r <C 1 et par conséquent b <i n d'après le n** o . 

Or, le triangle //, b, c, est égal à la dilFérence de deux triangles 
rectangles ayant comme côtés : 

a = y + v'' , h = ixy , .^^ — .t" ; 

h = l'A -L 1^1 , /, = 2.rv , .ni — v'i ; 

h étant leur hauteur commune : h se trouve en dehors du triangle 
ia, b, c). 

Remarque. — Dans le cas ci-dessus, comme dans celui où .r> ,y, 
la hauteur h se trouve en dehors du triangle [a, b, c . Mais pour 
•i' > // on a a <^ b, tandis que pour i' <C // <! f ^^ côté a est plus 
grand que b. 

En résumé : 

f •''!>//: h se trouve en dehors du triangle en même temps 
que a est plus petit que b \ 

2 .f =z 1/ ; h se confond avec a ; 

3 ■r<r/: 

o, y >> 1 ; h se trouve dans lintérieur du triangle; 
(?i ?/ =z l; h se confond avec b ; 

y) y <Z l; h se trouve en dehors du triangle et a est plus 
grand que b. 

X. CxEXMMArAs Munich . 



CHKOMULE 



Conférence internationale de l'Enseignement mathématique. 

Paris, l-'i asril l'Jl'i. 

Nous avons déjà annoncé, dans le ii" du 15 novembre dernier, 
le programme détaillé de la Conférence internationale (|ue la 
(Commission internationale de l'enseignement mathématique tien- 
dra à Paris du 1 au 4 avril li)l't. 

La séance générale d'onvertnie aura lieu à la Sorbonne sous la 
présidence de M. G. Darboux, Secrétaire perpétuel de l'Académie 
des Sciences, représentant le Ministre de Tlnstruction publique. 
Elle comprendra une allocution de bienvenue de M. 1*. A»>peli,, 
membre de Tlnstitut. doyen de la Faculté des Sciences de Paris, 
un discours du président de la Commission, M. F. Klrix (Gœttin- 
gue), une allocution du représentant du Ministre, puis deux 
conférences, l'une de M. Fmile Bohel, *•///• l'adaptation de l'ensei- 
gnement aiijc progrès de la science, l'autre de M. Maurice d'OcAGNM-:, 
sur le rôle des nialhèntatiqttes dans les sciences de l'ingénieur. 

Les séances du 2. '.\ et 4 avril seiont consacrées aux rapports et 
discussions sur les deux principaux objets mis à l'ordre du jour 
de la conférence : 

A. — Les rèsiilttils obtenus dans l'introduction du calcul diffé- 
rentiel et intégral dans les classes supérieures de l'enseignenient 
mon en. 

B. — De la place et du rôle des mathcniatiques dans l'enseigne- 
ment technique supérieur. 

Sur la demande du Comitt: central. M. F. Bi:ke, professeur à 
l'Université de Budapest, a bien voulu se charger du rapport géné- 
ral sur la question A et M. P. Siuckei,. professeur à llnivoisité 
de lleidelberg, du rapport sur la question B. Lcui- exposé sera 
basé sur les documents qui ont été fournis par les piincipaux i)ays 
en réponse aux deux questionnaires' arrêtés par le Comité central 
dans sa réunion tenue ii lleidelberg en juillet 191.'3. 

Ces rapports et le compte rendu complet de la Conférencr 



* KeproduilS dans les qii.Tlrt! laii'^ues des conpfn'S, dans X'Eiis. math, du 15 septembre 1'.M3. 



I II no y I n i: i: :>:> 

seroni ])iil)lies dans V lluseignenienl ni(ilhi'nuili(jin', organe ollicifl 
de la Commission. 

Rappelons en outre que le pro<;ramnie prévoit une séance com- 
mune avec la Société mathématique de France, pour le mercredi 
soir !'■' avril, et une séance avec la Société des inj^énienrs civils de 
France, pour le vendredi soir 3 avril. 

La Conférence sera close le samedi soir 4 avril par une récej)tion 
chez S. A. le prince Boxapaute, membre de l'Institut. 

Les membres de la Conférence participeront ensuite, du (i au 
<S avril, à la réunion or<ranisée par la Société française de Philo- 
sophie et dont on trouveia ci-après (juelques indications. 

Admission anjc séances. Carte de participant. — La séance «géné- 
rale d'ouverture est publique. — Les séances de travail sont 
réseivées : P aux membres de la Commission et des Sous-com- 
missi()ns nationales ; 2" aux personnes munies d'une carte de 
participant. Cette carte peut être obtenue auprès du secrétaire- 
général par l'intermédiaire des membres de la (^ommissidii. 

Les adhésions sont reçues, dès maintenant jusqu au 1" mars 
1914, auprès du secrétaire-général. M. H. Fehk, 110, Florissant. 
Genève Suisse . Les mathématiciens français peuvent aussi 
s'adresser à M. Ch. Bioche, 50, rue \otre-Dame-des-(>hamps. 
Paris, O"". 

Rédaction accordée par les chemins de fer f/-a/içais. — Les 
membres de la Conférence se rendant à Paris bénéficieront d'une 
réduction de 50°,,, sur tous les réseaux français. L'aller et le retour 
devront être effectués suivant le même itinéraire. Des indications 
précises concernant les formalités à remplir seront fournies aux 
adhérents dès maintenant en même temps que la carte de parti- 
cipant. Seules les adhésions reçues avant le 1*" mars 1914 pour- 
ront être prises en considération. H. Fehr. 

Congrès de Philosophie mathématique. 

Paris, 6-8 n^Til 191i. 

La Société française de Philosophie, d accord avec les Rditeuis 
de l'Lncyclopédie des Sciences mathématiques convie les Mathé- 
maticiens réunis i\ Paris à l'occasion de la Conférence inter- 
nationale de l'enseignement mathématique à un certain nombre 
de séances où seront présentés et discutés des rapports surdiversos 
questions de philosophie mathématique. 

Ces séances auront lieu ii la Sorbonne les lundi li avril, mardi 
7 (H'ril et mercredi N aviil. La séance d ouverture auia lieu le 
lundi matin (5 avril, sous la présidence de M. Emile Boltrocx. 
de l'Académie française et de l'Institut, président d'honneui- de 
la réunion. Les séances sert)nt consacrées à la lecture de Rap- 



56 



( Il nON I <) U E 



poils sur des sujets choisis d'avance. Des séajices seront spéciale- 
ment réservées à des entreliens et des discussions sni' les princi- 
paux sujets misa Tordre du jour. 

La réunion débutera par une léception préparatoire tiui aura 
lieu le dimanche .1 avril de h h. à 7 h. chez M. Xavier Léon, pré- 
sident de la Société fVan(;aise de Philosophie, H9. rue des Malhu- 
rins, Paris. 

Au moment où nous rédii^eons ces notes, nous n'avons encore 
sous les yeux que la liste des travaux de collaborateurs français; 
elle comprend des mémoires ou rapports de MM. .1. Hai)amahi> 
(Paris) sur les principes et le raisonnement mathématifpie; P. Lan- 
(iEviN (Parisi sur la nouvelle conception du temps ; L. Coin unAT 
(Paris) sur l'abus de l'intuition dans renseignement mathéma- 
tique; L. Bhunschvicg (Paris), les mathématiques et l'expérience ;. 
H. DuruMiER (Poitiers', la logique des classes et la théorie des en- 
sembles ; M. WixTER (Paris), la notion de temps. 

Il nous manque notamment les noms des collaborateurs que 
MM. Enriquès et Timerding se sont chargés de recruter. 

Ces travaux feront l'objet d'un numéro spécial de la Re\>ue de 
Métaphysique et de Moirilc, dirigée par M. Xavier Lkox, Librairie 
Armand Colin, 103, boul. S'-Michel, Paris. 

Commission internationale de l'enseignement mathématique. 

Alleiuag'ne. — La Sous-commission allemande vient d& 
publier deux nouveaux fascicules de ses monographies sur l'en- 
seignement mathématique. L'un, par M. Tiîost, est consacré à 
l'enseignement mathématique dans les écoles professionnelles 
moyennes; l'autre, par MM. Flrtwaxcjleh et Ruhm, a pour objet 
la préparation mathématique des géomètres-arpenteurs. 

Die raalliematischen t-'achor an den niederen gewerbliclicn Leliranstahen 
in Deutschland, von Dip.-Ing. W. Trost, Berlin, Abhandliingen ùber deu 
maltiemalischen UnteiM-iclil in Deulsclilaiid, Band I\ , Heft 5, vi-150 p. 

Die malhemalische Ausbildung der Dciitschen Landmesser, von D'" Pli. 
KiKiAVANGi.KK (Wien) iind C. Ruhm (Bonn), Abiiandlungen, Band IV, Hefl 8,^ 
v)-50 j). ; B. G. Tenbner, Leipzig. 



Académie des Sciences de Paris. 

Prix décernés. — Prix proposés. ' 

La séance annuelle de l'Académie des Sciences de Paris a eu 
lieu le iô décembre. Dans son discours d'ouverture, le Prési- 
dent annuel, M. le professeur Félix Guyon a d'abord raj)polé la 
mémoire des académiciens et des membres correspondants dis- 
parus dans le courant de l'année. Il signale ensuite les événements 



i II II () y I o u I-: :>: 

scienlKiqiics (.|iii oui paiLiculiercineiil retenu 1 aUciitioii do l'Aca- 
démie cette année et mentionne, en pi-emière lione. les progrès 
accomplis dans la solution du prohlcme des tiois corps, f»iàce 
aux reinar(pial)les recherches de M. Siindmann '. Poiii' ce ([ni 
conceiiie ce travail, le prt'sideiit s'est exprimé en ces termes : 

« [^"Académie des Sciences de Paris, dont les membi-es ont pris, 
de tout temps, une part si importante à la solution du célèbre 
problème « des trois c^orps », est heureuse de sion;ilci- des rechei- 
ches relatives à cette difficile cpiestiou : un jeune astronome 
d'IIelsinofois. M. Sunduiann. les a très heureusement conduites. 

« La Commission académique chargée de leur examen a conclu, 
par lOrgane de son rapporteur, M. Emile Picard, notre très savant 
confrère, « que le mémoire de M. Suhdmann est un tiavail faisant 
époque pour les analystes et astronomes mathématiciens ». Il fait 
remarquer « que ce nest pas un des moindres étonnements du 
lecteur, que de voir avec quelle simplicité, en s'appuyant sui' des 
résultats aujourd'hui classiciues, que le savant finlandais arrive à 
la solution d un problème réputé si ditlicile ». L Académie décerne 
à ce très remarquable travail le prix G. de Pontécoulant ; elle a 
décidé, sur la demande de !a Commission, que la valeur en serait 
doublée. » 

M. Van TiEGHEM, Secrétaire perpétuel, a proclamé les lauréats 
des prix décernés et les bénéficiaires de la Fondation Bonaparte. 
La séance s'est terminée par la lecture de l'éloge historique que 
M. Gaston Darboux, Secrétaire perpétuel, a consacié à Henri 
Poincaré. 

Prix ukcerxés. 

Nous avons déjà mentionné les prix décernés à M.M. Mourice 
Leblanc, Sundmann, Molk et Cl. Guichard. 

Parmi les prix concernant les sciences mathémati([ues la liste 
contient en outre les suivants : 

Prix Francœiir. — Le prix a été décerné à M. .\. Claude, mem- 
bre adjoint du Bureau des Longitudes, pour l'ensemble de ses 
travaux astronomiques. 

P//.1' Bordiii Sciences mathématiques . — L'Académie avait pro- 
posé la question suivante pour sujet du prix Bordin à décerner 
en 1913 : Perfectionner en quelque point important la théorie 
arithmétique des formes non quadratiques. Aucun mémoire ne lui 
est parvenu. L'Académie remet au concours la même question 
pour sujet du prix à décerner en 1917. 

Le pri.i Monti/on de mécanique a été décerné à ^L Salvace. ins- 
pecteur général des Mines, professeur de machines à l'Kcole 



* Voirie rapport de M. E. Picard reproduit in extenso dans les (loniples rendus du 15 dé- 
cembre 1913 et dans le Bull, des Sciences mathém., octobre 19l:j. 



58 CIIHONIOLE 

nationale supérieiite des Mines tlepuis 1S(S<S, et an Conservatoire 
des Arts et Métiers depnis 1902. 

Pri.v Montyon de statistique. — Un prix de mille francs est 
décerné à M. Albert Qliqukt, ancien élève de rRcole Normale 
supérieure, vice-président de l'Inslilnt des Actuaires français, 
pour lensemble des tiavaux. 

Prix (jitstn\>e lion.v. — I^e piix est décerné à M. Moxtki.. cliai<'é 
de conférences à la Faculté des Sciences de Paris, pour ses tra- 
vaux sur la théorie des fonctions analytiques. 

I^rix Henri de Pareille lOuvrage de Science). — Ce nouveau 
prix annuel, d'une valeur de deux mille cinq cents francs, destiné 
à récompenser rOuvrage de Science qui en paraîtra le plus dii^ne : 
I-ivre de scienj-e original ou livre de vulgaiisation scientifique, 
est décerné à M. Jean Periux, professeui' à la Faculté des Sciences 
de Paris, pour son Ouviage sur les atomes. 

PlilX l'ItOl'OSKS. 

Pri.v Bordin 3000 francs). — Prix biennal à sujet variable. 

1. LAcadémie rappelle qu'elle a mis au concours, pour l'année 
1915 la question suivante : Hèaliser un proi^r'es nolnhle dans la 
recherche des courbes à torsion constante ; déterminer s'il est pos- 
sible celles de ces courbes qui sont algébriques, tout au moins celles 
qui sont iinicursales. 

2. [/Académie avait proposé la question suivante pour sujet du 
prix Bordin à décerner en 1013 : Perfectionner en quelque point 
important la théorie aritliniclique des formes non quadratiques. 

.Vucun mémoire ne lui étant parvenu, l'Académie remet au con- 
cours la même question pour le prix à décerner en 1917. 

Grand Prix des Sciences mathématiques. (Prix du budget : 
3000 francs. Prix biennal à sujet variable . — l/Académie met au 
concuuis, pour Tannée lOKi. la question suivante : Appliquer les 
métliodes d' Henri Poincaré a Vintégration de quelques équations 
différentielles linéaires, algébriques, choisies parmi les plus simples. 
En dehors des mémoires manuscrits. l'Académie se réserve 
d'examiner les ouvrages imprimés qui auront pu être publiés sur 
cette question. 

P/iv Poncelet 2000 francs . — Ce prix annuel, fondt' par 
]yjine Poncelet, est destiné à récompenser alternativement l'ou- 
vrage le plus utile aux progrès des Sciences mathématiques |)ures 
ou appliquées publié dans le couis des dix années (jui auront 
précédé le jugement de l'Académie. 

Le prix Poncelet sera décerné en lOKi à un ouviage sui: les 
Mathf'niatiques puies. 

/^/ir Vaillant 'iOOO francs . — LAcadémie met au concours, 
pour l'année 1917, la question suivante : Déterminer et étudie/- 



c H H () N I () r i: r,t* 

tontes les siii-faces (jiii pein'enl, de rleiu iiKuiieres di/féi entes, être 
engendrées par le déplacement d' une eiutibe invariable. 

f. es conditions coniniiincs à Ions les conconis soni indicinées 
dans les comptes rendus de rAciidemie dos Sciences dn lô dé- 
cenihre U)l.'î, p. 134."). 



Institut des Actuaires français. 
Piux Li;<>\ .^^.\l!ll; 

Ce prix, tonde par M"" \ "' Léon Marie, est destint' à récom- 
penser nne œnvre importante sni' les matières qni intéressent la 
science actuarielle. Il sera décerné tous les ans pai' le jury spécial 
(comprenant les deux membres du bureau et de la commission de 
contrôle) et proclamé à l'assemblée générale ordinaire de 1 année 
suivante. Il ne sera ])as divisé. Son montant est de 500 francs. 

Pourront concoui'ii-, les ou\rages imprimés en français, j)ai'us 
depuis cinq ans au plus, et déposés avant le J.5 septembre tie 
l'année du concours. Ne pourront concourir, les thèses d'agré- 
gatit>n à V Institut des Actuaires français. 

Exceptionnellement, pour l'année 1913, le Prix Léon Marie seia 
proclamé à la séance du mois d avril 1914, et la date extrême des 
candidatures est portée au 2<S février 1914. 

Siège de la Société: 5. rue Las-Cases, Paris. 



Prix Lobatschewsky. 

La Société physico-matliémati(pie décernera un prix de 500 rou- 
bles à l'auteur de la contribution la plus importante à la (jéo- 
métrie non-euclidienne qui aura été publiée au cours des six années 
qui précèdent le 4 novembre 1915. 



Congrès des Mathématiciens allemands, Vienne 1913. 

Les mathén)aticiens allemands ( Deutsche Mathemaliker Veieini- 
gimg'l se sont réunis à Vienne, du 21 au 25 septembre 191.3. à 
l'occasion de la <S5'"*' Réunion des Naturalistes et Médecins alle- 
mands. Après le discours de bienvenue de M. le Prof. 1-. Mïu.Er., 
Kecteur de l'-Lcole technique supérieure de \ ienne, M. le Prof. 
RoHx {Leipzig), président annuel, a ouvert la série des séances 
consacrées aux communications scientifiques. Au nombie de 
trente-huit; celles-ci ont été groupées dans la Section l Mathé- 
matiques du Congrès. Kn voici la liste : 



(U) ( Il It O .\ Kj l I. 

1. V. Mhykk (Kiniigiibergl ; Bericlil iihci- iieiieie, bcsomlers durili Ailx'ileu 

voii Goi-dan ver.inlassle KoiMsclirille der Invariantentheorie (Referai!. 
1. \i. MiJi.LKK (V\'ion| : Eiiie ^^'eite^bildllllfî (1er Giassmaïuisclieu Aiisdeh- 

miugslelire im Sinne der Iiivarianlenllieorie. 
'.t. (i. KoHN iVVien) : Zui- (ieomeliMC der Wiirfe ; ciu Seilensliuk zu pro- 

jekliveii Kigureu. 
I. F. HocKVAK (GrazI : Leber (iea Ziisiiinmeidiaiii; zuischeii den irreduk- 

tibleiC Teilei'n eiiier Korni iiikI lineii) liiieareii Svslein von Niillslellen 

der Forii). 

5. R. Wkitzf.nbokck (Grazt : Ueber eleinciilargeonieliisclie lii\ ariaiitcii 

6. 1"^. Bi.ASCHKF (Wieii) : Aeiideniiigeii dci- Slerbew alirsclioiiiliehkeilen mil 
der Zeit. 

7. ]a. G. DuPasquiek (Xeuenburg) ; Eine ueue Anwendung (ier simullanen 
Differeiilialgleichungeii in dei" mathemalischen Théorie der Lebens- 
versiclierung. 

8. A. Ki.NSTKix (Ziiriclil : Ziini Gravilalionsproblem. 

\K \\ . V. Dyck I .Miiucheiil : Leber die Kcplerinaïuiskriplo der Wiener HoF- 
bibliolliek. 
JO. E. W'aki.sch iJiriiiuii : Zu den Minkiiwskisciien Gi'iuidglciclningen dcM- 
Eleklrodynamik. 

11. R. Mehmke (Sinllgai-t) : Ueber die zaldenniassige, insbesondere gra- 
phische AuHosiing von Systenien uuendlicli vicier Gleichnugen erslen 
Grades mit uiicndlich vielen Unbekannlen. 

12. C. Jlel (Kopenhagen) : Ueber Elemenlarflaciien. 

13. F. Bkrnstein (Gôlliiigcnl : Zur Mengenleiire. 

1 i. H. LiEBMANN iMiincheii) : iJie Enlwicklung der ijelii-e vou den Be- 

riiliriingstranslormalionen ( Referai ). 
\h. F. E.NGEL (Giessen) : Lies Invariantentheorie der Berùhrungstranslor- 

niationtii luid ihre ^'erallgemeinernng ( Referai |. 

16. K. Zi.MM.ER ilunsbiuckl : Ueber ge.schlossene Ranmkurven. 

17. 11. 1 II rzi: iW'ien^ : Ueber eindeiitige stelige Abbildnug von Flachen 
aul sicli selbsl. 

18. IL HAn.N (Czernowilz) : Ueber sietige Abbiidungen. 

19. L. v. ScHKUTKA (Briiiiu) : Zur additiven Zahlentheorie. 

20. P. KoEBE (Leipzig) : Wesen und Ziele der Konliuuilalsmelhode. 

21. .1. Pi.EMELij iCzeruowitz) : Ueber den Verzerruugssalz von P. Koebe. 

22. R. Ko.MG (Leipzig) : Arithmelisch-runktionentheorelische Paralleleu. 
2;». J. Pi.E.MHLiJ (Czernowilz) : Ueber die Abliiiiigigkeit der Losnngen linearer 

Dilferentialgleicliuiigen von den akzessorischen Parametern. 
2». F. Di.\GELDEY iDarmstat) : Ueber ein gewisses Intégral iind eine ein- 
laehe Darsiellung der Kiigelfunklionen. 

25. J. Radon iWieni : Ueber die Aljliangigkeit von Knrveniulegralen vom 
Integralionsweg bei Xebenbedingungeu. 

26. VN'. Gross (W'ien) : Zur Théorie der unhestiminlen Dillcreul ialglflch- 
ungeu. 

27. R. Suppantschitsch i Wiein : leber die Axiomalik der .Melliode der 
kleinsten Quadrate. 

28. E. Ha.ntzschel (Berlin) ; Bediugnngen fur die Losbarkeil eines F'ermal- 
schen Problems. 

29. O. Perro.n (Tiibingen) : Ueber eine eigentiiniliche Schwierigkeil bei 
dei- Intégration .schcinbar sehr einfachei' Differenlialgleichungen. 



c II li ().\ I n u p: 'îi 

.'}0. \Z. .XoiiiKK (l'^iliiiiticiii : l fbfi- riilioiialft l'iiiiktioiiskiirpci-. 

ol. H. CoLKA.NT iGoUiiifitMii : l'eber die Exisleirzbeweise der Hiernaniisclicn 

Fiiiikliononllieoi'it'. 
H2. E. DiNTZi. ( W'iciil : Die l^iit\vicklimi;skooHi/.ioiileM (Ur t>lli|>tis(licii Kiiiik- 

tioiien. insbesoiidei'e bei siiigiilai-eii Modiiln. 
33. V . XoTHKR I Karlsnihei : Ziir Théorie dei- Turbiilen/. . 

SicAXCiî AUMiMSTitA 1 1\ i;. — M. lioHN rappelle d aliord l;i mnit de 
deuxanciens présidents. doiiOAN Krlanoeni et \\ Ki>i;it Si lashonrs^- , 
décèdes depuis la deinière réunion. I.a liste des membres décé- 
dés comprend en outre MM. Fhanz Breslaui, Kkiksexdoui S'-Pé- 
tersbourg , Gutschk Berlin . Her.mks Osnabriick . Konk; Buda- 
pest, PocKKLS Heidelberg , PrAscYCKi S'-Petersbourg , Saalsohï; iz 
(Koniosbero- . Sadow Pittaiîd Calcutta . Schi.ick Hambourg, 
ScHoiTE Groninguel. — Par confie, la Société a re(;u 1(1 nouveaux 
membres. Au mt)ment de la réunion, le nombre des memltres était 
de 770. 

Encyclopédie. — M. W i:iii;i!. cjni représentait la Société mathé- 
matique allemande dans la Commission des .\cadémies pation- 
nant IHlncyclopédie des Sciences mathématiques pures et appli- 
quées (édition allemande l. est remplacé par M. SrAKCKi:i. Heidel- 
berg . 

Oeuvres d'EfiJer. — M. Bcdio rend compte de It'tat actuel de la 
publication des œuvres dRulei'. Il saisit celte occasion pour attirer 
l'attention de ses collègues sui' la Société Léonhard Kulei' destinée 
à fournir un appui financier au comité de publication. Sur la pro- 
position de M. PiuxcsHEiM. rassemblée décide d'adhérer à la So- 
ciété Léonhard Euler et de verser une cotisation annuelle de 
.■)00 francs pendant la prochaine période de cinq ans. M. Prings- 
heim invite en outre ses collègues à se faire inscrire comme 
membres de la dite Société. 

Soii.s-coinmiHsion (illeniande de /' Ense/ii'/ie/iient nnitltenui tique. 
— M. le Praf. Staeckel donne un aperçu de la marche des travaux 
destinés à la Commission internationale de l'Rnseignement mathé- 
matique. La collection des Piapporls sur l'Enseignement mathé- 
malï*que en Allemagne comprend .08 fascicules dont 2'.) sont déjà 
parus. 5 fascicules sont sous presse : les 4 antres paraîtront dans 
le courant de l'année 1914. M. Staeckel signale ensuite la Confé- 
rence internationale C[ue la Commission tiendra à Paris à l'occa- 
sion des vacances de Pâques 1914. 

(Comité. — La Société a reiKUivelé partiellement son Comité. 
Les deux membres soitant de charge au 20 septembre lOI.L con- 
formément aux statuts. MM. vo\ Dyck et von Lit.iKNruAi. ont été 
remplacés par MM. Fixsi erwalderx iMunich et Rldio Zurich . 
M. le Prof. Kix(;e Gœttingue a été désigné comme président 
pour la période du L'" octobre 191.'î au .30 septembre 1914. 

La prochaine réunion aura lieu à Jfnnovre en septembre 1914. 



62 I H l{().\ I O l' E 

Se<iio/i de rc/ise/i^/ie/tie/i/ s(ie/if///(/iie. On sait ([ue les C^onyrès 
des X.ituralistes et Médecins allemands ont toujours accordé une 
laii^e place à rensciijfnenient scientillcjne. Tel a encoi'e été le cas 
à \'ienno. I.a Section de renseignement scientifique (section XV) 
fut présidée par MM. K. Czuiîku et Hoi-leiî. 

Parmi les communications inscrites à l'ordi'e du jour, signalons 
celles de MM. Gri.msehl (Hambourg! et Wrttkunick, sur les ma- 
nipulations physiques dans renseiot)ement secondaire; A. H(>flkk 
Niennei, \> eiimcke ; Braunschweig , O. Pommkii (Vienne), B. 
ScH.MiD Zwickau , sur la science et l'initiation philosophique; 
\V. von DvcK (Munich), sur la préparation des candidiits à l'ensei- 
gnement en Bavière; et R. Mtii.LEn (Vienne), sur la liberté du 
maître quant au progi-ainme et la méthode d'enseignement dans 
les établissements secondaires. 



Société suisse des professeurs de mathématiques. 

Réunion de Baden, octobre l'Jlo. 

La Société suisse des prof'esseuis de mathématiques a tenu sa 
réunion annuelle à Baden, le 6 octobre 15)13, en même temps que 
la Société suisse des professeurs de Gymnases. 

La plupart des participants avaient pris part le dimanche 5, à 
la séance que la Société des piofesseurs de Gymnases avait spé- 
cialement consacrée à la question de la prépaiation pédagogique 
des maîtres de l'enseignement secondaire. La discussion était 
basée sur les rappoits très documentés de MM. v. ^Vvss et Bmax- 
denreh(;eiî ; ce dernier a examiné la question plus particulière- 
ment au point de vue de l'enseignement mathématique. • 

Dans sa précédente léunion annuelle (Lausanne 1912i, la Société 
avait adopté un plan de travail comprenant un ensemble de rap- 
ports sur les tendances actuelles de l'enseignement mathéma- 
tique dans les écoles primaires et secondaires. Ces lapports se 
rattachent aux vaui.v et propositions de réformes à accompli/- Hans 
l'enseignement mathématique adopttis par la sous-commission 
suisse de l'enseignement mathématique. 

La réunion de Baden, présidée par M. L. Cheliek (Bienne , 
avait pour objet la présentation et la discussion des rapports sui- 
vants : 

i" Rapports de MM. ScuKitnKi! Kiisnacht) et Couiibai (Poiren- 
truyj : Ori^anisation de l'enseignement du calcul et de la géoniètrie 
il l'école populaire en vue d'un enseignement rationnel des mathé- 
matiques dans les écoles moyennes. 

2" Rapports de MM. Eci.i et Ludix (Zuiich) et Aitxi Biennei : 
Quelles sont les connaissances mathématiques nécessaires pour 



I II II () \ I <> u i: 



ti:i 



suivre l't'iiseii(neinenl de la plii/si(jtie et de la chimie n l'école 
iiioijenne .' 

'.]" Iia|)p()ils de MM. Gkossmann Zurich cl .Mi:iu;ii;i{ (Jenéve : 
Oitelles sont les e.iigences des Lnii>ersilés, el spécia/enie/it des Uni- 
K'ei sites techniques, au point de vue de hi préparation des candi- 
dats ? (M. Mkkciei! . — Préparation mathématique des candidats h 
l'Ecole polj/teclmique fédérale .' M. (jIiossman.n . 

Les principaux points de ces lappoits avaient été préalal^lcinenl 
discutés dans une séance de commission tenue au piinlemps à 
Aarau. Les rapporteurs les rédig-èrent ensuite sous forme de 
thèses dont le texte fut expédié aux membres en même temps (jue 
la convocation. 

1" Faute de temps, la discussion n a pu avoir lieu que sui' les 
rapports de MM. Schekiski: et CoLisiiAr. qui contiennent d intéres- 
santes considérations d'ordre méthodologique sur la première 
instruction mathématique tournie par lécole primaire. 

2" Les rapports de MM. Aitxi. directeur du Technicum de 
Bienne, Lvdin et Rcli. professeurs à LKcctle cantonale de Zurich, 
montrent quelles sont les connaissances mathématitpies néces- 
saires jjoui- suivre renseignement de la |)hysique et de la géomé- 
trie à lécole moyenne. M. Ai;m se j)lace au point de vue des écoles 
techniques moyennes, tandis que ses deux collègues examinent 
plus particulièrement les exigences de l'enseignement scienti- 
fique dans les Gymnases littéraires et techniques. M. Ludix montre 
les difficultés que présente un enseignement rationnel de la phy- 
sique lorsque le maître ne jieut pas sappuyer sur les éléments du 
Calcul des dérivées. 

M. Lglï présente une série d'exemples de problèmes de mathé- 
niati({ues que 1 on rencontre dans l'étude de la chimie. 

3° M^L Grossmaxx et Mcrcieh examinent les exigences des Uni- 
versités et spécialement des Universités techniques au point de 
vue de la préparation des candidats. M. le professeur Grossmanx 
se borne aux cas des candidats à l'Lcole Polytechnique fédérale : 
il met rassemblée en garde contre le danger qu il y aurait à trop 
étendre les matières d'enseignement au détriment d'une étude 
approfondie des éléments essentiels. ^L Mercier parle au con- 
traire en faveur de l'introduction des éléments du calcul diffé- 
rentiel et intégral dans le programme de l'Ecole moyenne. 

La discussion des rapports 2 et 3 a été renvoyée à une séance 
extraordinaire qui aura lieu au printemps. 

Dans sa séance administrative, la Société a décitle d adhérer 
comme membre à la Société Léonhard Euler. 

Le président annonce ensuite que la Commission internationale 
de l'enseignement mathématique organise une conférence intei- 
nationale qui aurait lieu à Paris, pentlant les vacances tle Pàcpies 
U)i4. L'ordre du jour comprend l'étude des deux questions sui- 



6'i CJIIiONfOli: 

vailles : (Il Le calcul des dérivées el des loiiclioiis piiiuilives dans 
les écoles moyennes (Gymnases classiques, Gymnases scienti- 
fiques, écoles réaies : bi Les niathéniaticjnes dans les ('coles d'iii- 
i>énieurs. .^L IL Fichr fournit quehiues renseignements conq)lé- 
mentaires sur le programme de cette réunion. 

Nouvelles diverses. — Nominations et distinctions. 

Allemag'iie. — M. K. Bœii.m. professeui- à rL'niversit(' de 
Heidelberg, a été nommé pr()fesscur de Mathématiques à l'Uni- 
versilé de Kônigsberg. 

M. D. Hii.iiKiii. professeur ii ILniversité de (icettingiie, a été 
nommé membie correspondant de LAcadémie des Sciences de 
Berlin. 

M. F. Kli:i.\, j)rofesseur à IL niversité de Ckettingue, a été 
nommé membie correspondant des Académies de Berlin et 
Bucarest. 

M. O. Pi;i!iio\, professeur extraordinaire à IT niversité de lu- 
bingue, a été appelé à IL niversité de Heidelberg comme succes- 
seur de M. KŒM(;si5Ki<(;i;ii. 

Angleterre. — Sociè/c ro//(t/c de Londres. La Médaille Syl- 
vester a été attribuée à M. .L \N . L. (ii.AisHi:r., pour ses lecbercbes 
matiiématiques. 

M. H. \. Loiti'Mz, professeui' à l'I niversité de Leyde, a été 
nommé docteur honoraire de lUniveisité de Birmingham. 

Autriclie-Hoog'rie. — AL G. Majci:n, professeur extraordi- 
naire de Géométrie à IL niversité d'Agram, a été nommé profes- 
seur ordinaire. 

^L A. PiMF.Lr, j)rivat-docent à IRcole technique supérieure de 
Dan/.ig, a été nommé professeui- ordinaire de Mécanique à l'Rcole 
techni(jue supérieure allemande de Biiinn. 

M. BoTHi:, privat-docent à ILcole technique siqiérienre de 
Vienne, a été nommé professeur extraoïdinaire de Mathématiques. 

Belgique. — Acadéniic Roi/ale. La (Classe des Sciences a élu 
comme membre elTectif ^L 1*. STnooiJ.\xr Brtixelles , et comme 
coriespondant AL M. Sri yv.kht Gand). Elle a couronné un mé- 
moire de M. Stuyviert sur les congruences de cubiques gauches. 

L'Université de Gand vient de faire paraître le tome il du Liber 
meninrialis, (518 p., 111-4". contenant des notices biographiques sur 
tons les professeurs ayant enseigné aux Facultés des Sciences et 
de Médecine depuis la fondation de 11 niversité. L'ouvrage n'est 
pas dans le commerce. 

Etats-TL'nîs. — M. Bertrand Rrssi-i.i., lecteur au l'rinity (Col- 
lège, à Cambridge Angleterre , a été nommé lecteur de Philoso- 



( lin ON I ou I-: (•,.> 

pliie à ITiiiversilé Harvard. Il fera, à partir du mois do mais, un 
cours sur la théorie de la counaissaiice et la logique. 

France. — M. I'. Ai'I'Ki.i. est nommé président de IWeadcmie 
des Sciences et de llnstitul de France pour J!»14. 

M. Paul f.Evv est nommé examinateur suppléant d'Analyse à 
lEcole Polytechnique de Paris. 

M. Gamiukh, maître de conférences, est nomme professeur de 
Mathématiques à lUniversité de Rennes. 

Ruiiisie. — Le bicentenaire de la loi des ^/ands nombres. Le 
1/14 décembre li)13 l'Académie des Sciences de St-Pétersbourg 
a consacré une séance solennelle au bicentenaiie de la publication 
à Bàle, en 1713, de l'œuvre posthume de Jacques Bernoulli : Ars 
conjectandi. Des discours furent prononcés par MM. A. Vassilikki-, 
A. Mai{koi"!- et A. Tschoupkoff. 

Suisse. — MM. Beiu.im:ii et Henoch ont été admis eti (pialité 
de privat-docents pour les Mathématiques à IL niversité de Berne. 



Nécrologie. 

Sir Robert S. Ball. professeur d'astronomie et de géométrie à 
l'Université de Cambridge, Directeur de l'Observatoire, est décédé 
le 25 novembre 1913 à l'âge de 73 ans. 

M. Ch. S. Denxison, professeur à l'Université de Michigan. est 
décédé à l'âge de 54 ans. 

M. PocKELs, professeur à l'Univei-sité de lleidelberg, est décédé 
le 29 août 1913 à l'âge de 60 ans. 

M. U. \. Wait. professeur à l'Université Cornell à IthacaN.-Y., 
est décédé le 6 septembre 1913 à l'âge de 07 ans. 

M. Weixek. professeui- d'astronomie à l'Univeisité allemande 
de Prague, est décédé à l'âge de (55 ans. 



L'Eiiseif{ncnient mathém., Ili' année; 1914. 



NOTES ET DOCUMENTS 



Commission internationale de l'enseignement mathématique. 

Compte rendu des travdiix des Soiis-coiitininsions nationales. 
(16e article I 



ILES BRITANNIQUES 

N° 29. — Les mathématiques à l'école préparatoire. 

Mdtlieniatics in the pi eparatory School^, by M. E. Kitchenek, ilead 
Master of Golden Parsonage School, lleiiiel Hempslead. — Il y a une Ireii- 
laine d'années, une bonne partie des élèves se présentant au.v « public 
schools » avaient reçu leur première instruction à la maison, et il n existait 
qu une dizaine d'élèves préparatoires reconnues. Actuellement, il en existe 
environ 500 préparant les élèves pour plus de 100 « public Schools », de 
sorte que la grande majorité des élèves ont suivi ce» écoles préf)araloires 
avant leur entrée à la « public school ». Ce passage d'une école dans l'autre 
constitue pour l'élève un brusque changement en ce qui concerne son 
éducation, et le rapport que nous résumons ici a pour but d'examiner les 
ellets de ce changement relativement à l'enseignement mathématique. Il peut 
être divisé en trois parties : 1" Influence des « scholarships » offerts aux 
élèves de moins de 14 ans; 2° Effets dus aux ciiangements d'écoles; 
3" Recommandations. 

Un questionnaire a été envoyé aux grandes « public schools » et un autre 
aux directeui's de 40 ou 50 des plus importantes écoles préparatoires. 

1" Le système des bourses d'entrée (entrance scholarships) dans les 
« public schools » est regrettable. Tout d'abord le travail de 1 école prépa- 
ratoire peut en souflrii- par suite d'une certaine spécialisation en vue 
d'obtenir une bourse dans tel ou tel domaine. Ensuite, le jeune élève qui se 
prépare pour une botirse de mathématique (mathematical scholarship) 
risque toujours de faire travailler sa mémoire au détriment de ses facultés 
initiatrices. Il faut dire cependant que les questions d examen ont été consi- 
dérablement améliorées ces dernières années et qu'elles permettent de se 
rendre mieux compte qu'aulrefois de la capacité de l'élève. Pour les élèves 
en « classics » des « secondary schools » les examens de passage pour les 
mathématiques n'entrent pas pratiquement en ligne de compte; ils sont très 
simples et sont appréciés avec une grande indulgence. 

2" (I y a une dizaine d'années, le passage de l'école préparatoire à la 
« public school » constituait pour les niathémati(|ues une solution de conti- 
nuité ; actuellement cette absence de continuité est beaucoup moins sensible. 



' 1 fasc. lu p. ; |)rix 1 '/« d- ; Wymiin and Sons, Londres. 



y () T E s E T I) (> C U M E .V T S ^i: 

Cela lient en friande pailic à 1 insliluticju de la « Conimon l^nlrance l£xami- 
nalion » pour l'admission dans les « public scliools *. Celle inslilulion dale 
de 1904, elle est dirigée pai* un coniilé de six menibres, dont Irois direclcurs 
de " public çchools » et trois d écoles préparatoires. Les questions d examen 
iiu elle prépare ont été adoptées actuellement par 52 i public schools » ; 
il en est résulté naturellement une certaine unification des programmes des 
écoles préparatoires. En outre un plan d'études de mathématiques pour 
élèves de y à 16 ans fut publié grâce à la coopération de la « Head Masters' 
Conférence » et de 1 « Association of Preparatory Schools ». Ce plan 
d'études a été soumis à toutes les « public schools » et à tous les membres 
de r « Association of Preparatory Schools ». Malheureusement, beaucoup 
ne se sont pas donné la peine de I examiner ; par contre, ceux qui se don- 
nèrent la peine de l'étudier 1 approuvèrent généralement, à quelques exceptions 
près, et il fut adopté dans bien des cas. 

La question suivante avait été posée aux •< public schools » : Trouvez- 
vous que les élèves sortant des écoles préparatoii'cs présentent une certaine 
uniformité dans leurs méthodes? Les réponses à cette question ne sont 
guère satisfaisantes. Il est intéressant de constater qu'on trouve plus d uni- 
formité dans la géométrie qu en arithmétique et en algèbre, et cela malgré 
les transformations qui se sont introduites dans l'enseignement de la 
géométrie durant ces dix dernières années. 

Le manque d'uniformité dans renseignement de l'arithmétique est dû à 
la grande variélé des manuels et au fait que bien des directeurs ne tiennent 
pas compte des rapports qui leur sont envoyés. En 1907. la « Malhematical 
Association » publia un rapport sur renseignement des mathématiques dans 
les écoles préparatoires ' et en 1911, un deuxième rapport sur l'enseignement 
de l'algèbre'. Si Ion se conformait un peu mieux aux propositions renfer- 
mées dans ces rapports, il en résulterait certainement plus d'uniformité 
dans l'enseignement de l'arithmétique et de l'algèbre. 

Les réponses à la question : « Trouvez-vous les élèves sortant des écoles 
préparatoires mieux équipés en mathématiques qu il y a une dizaine 
d'années.' » fuient franchement affirmalives dans presque tous les cas. Il 
faut attribuer ce fait à une plus grande uniformité dans I enseignement grâce 
à la M Common Enirance Examination •■. 

3" Pour lutter contre les inconvénients cités plus haut, on peut recom- 
mandei" : ai linstitution d'un plus grand nombre de « scholarships » sur tous 
sujets, afin d'éviter une spécialisation trop hàlive; bf un examen un peu 
plus sévère des connaissances mathématiques des futurs élèves en classique 
et langues modernes; cl I adoption du plan d études publié par le « Curri- 
culum Committee of the Headmasters' Conférence » pour élèves de 9 à 
16 ans. 

En appendice on trouveia un relevé des questions d examen pour le 
« .Malhematical Scholarship • à « Winchester Collège » 1909 et le plan 
d études de la « Headmasters' Conférence » pour ce qui concerne les mathé- 
matiques. 

J.-P. Dlmuu iGenèvel. 



' Report of the Malhematical Association Committee on the Teachinfç of Mathematics in 
Preparatory Schools, 1907, London, G. Kell and Son, 3 d. 

* Report of the Malhematical Association Committee on the Teaching of Elemenlary 
.\lgebra and Numerical Trigonometry. 1911. London, G. Bell and Son, 3 d. 



BIBLIOGHAPIIII- 



R. D Adhémak. — Leçons sur les principes de l'analyse. Tomk II : Fondions 
synectiques. Méthodes des inti/orantes. Er/iuitions aux dérii'ées partielles 
de premier ordre. Fonctions elliptiques. Fonctions entières. Avec une iiolo 
de Serge Beknsteix. — 1 vol. in-8° de viii-300 p., avec 34 figures, 10 fr. : 
Gauthier-Villars, Paris. 

L'esprit de cet ouvrage a déjà élé signalé ici même (l. XIV, 1912, p. 434) 
lors de la publication du tome I. Il se retrouve ideuliquement dans le tome II, 
ce qui ne peut d'ailleurs étonner, quand il s'agit d'un auteur aussi cons- 
ciencieu.x que M. d'Adhémai'. 

Dans l'élude des fonctions synectiques, le point de vue qui prévaut est 
toujours celui de Cauchy avec les méthodes de majoration qu employait ce 
géomètre pour prouver la convergence des séries ou pour limiter sim- 
plement ses intégrales définies; c'est en s'attacliant à ce point de vue que 
l'auleur étudie les développements plus modernes avec les méthodes de 
majoration qu'ils comportent. 

D'ailleurs, il nous montre bien cjue la méthode des majorantes n'est pas, 
comme beaucoup l'ont cru et le croient peul-èire encore, une méthode acces- 
soire qui sert surtout à prouver la convergencede séri es qu'il est beaucoup 
plus important d'obtenir au point de vue formel. La méthode des majo- 
rantes a un intérêt propre, une élégance et une sou])lesse qui lui permet- 
tent de s appliquer aux problèmes les plus divers ; c'est ce que nous voyous 
ici dans des problèmes foncliounels iqui ont donné lieu dans ces dix der- 
nièi-es années à d'importantes thèses due ;t MM. Grévy. Léau, Lattes et à 
nombre d'autres travaux) où l'holomorphie de la solution se déduit très 
naturellement de la méthode. 

On poui-rait ensuite faire une remarque d'un esprit à peu près analogue 
dans la théorie du prolongement analytique où les auteurs, tels que 
Weierstrass, Méray, Mittag-Leffler, ont encore la place d'honneur, mais où 
arrive tout à coup Fi'edholin qui, en résolvant à sa manière certaines 
équations intégrales, a naturellement prolongé les séries entières qui 
peuvent aussi satisfaire à de telles équations. En d'autres termes l'idée de 
prolongement analytique s'est liée à des choses autrefois fort éloignées de 
la seule considération des séries tayloriennes. 

Dans les intégrales analytiques, particulièrement dans les calculs à la 
Cauchy, M. d Adhémar a tracé des contours élégants, calculé facilement de 
nombreux résidus, déterminé les nombres et les polynômes de Bernoulli et 
finalement présenté la très belle application qui consiste en la résolution, 
par rapport à F, de l'équation aux différences finies : 

Jm: a- \i -' l-"i:. = (ilr.i . 



H mil () a i{ A p II 1 1: (^9 

C'est surloiil avec les (■(Huilions (JiHéieiilit-lks (ju aj^parail le rôle capital 
(les métliodes de majoration. Pour ('auchy l'existence des intégrales reposait 
surtout sur le fait do pouvoii' les développer en séries entières ; pour 
.M. S. Bernstein, iiiii a renouvelé la question, tout repose sur l'emploi de 
séries dont les lornics sont de la lornie : 

.\ ..■" y\\ — xs'i . 
I"l 

Non seulement M. d'Adliéuiar a montré brièvement ce qu'on pouvait 
attendre de ces nouvelles séries, mais il a prié M. Bernstein de revenir 
lui-même sur les traits essentiels de la question, dans une note ajoutée au 
volume. 

Je signale encore deu.x chapitres fort clairs sur les équations au.x dérivées 
partielles et aux différentielles totales: pour 1 équation aux dérivées 
partielles de premier ordre, une grande importance est dounée au théorème 
de Cauchy concernant l'unicité de la solution attachée à une courbe donnée 
non caractéristique. Plus exactement, il y a là un théorème tout à fait 
général heureusement et élégamment préparé dans le cas d'une seule 
équation. 

L'esprit sinon encyclopédique, mais, du moins, prompt à rattacher 
rapidement les uns aux autres différents sujets intéressants, reparait dans 
le dernier chapitre consacré aux intégrales de fonctions non uniformes, aux 
fonctions elliptiques, aux fondions entières. 

Comme pour les fonctions uniformes de Cauchy, l'auteur a fait beaucoup 
(1 ingénieux tracés autour des points critiques et calculé d'aboi'd de nom- 
breuses intégrales définies. Il a fait ensuite 1 inversion de .1 intégrale 
elliptique et donné une idée de la méthode générale d'inversion eu intro- 
duisant la célèbre fonction thêta de Riemann. Il est revenu ensuite au 
principe de Dirichlet pour rétablir la belle formule de Poisson et démontrer 
des théorèmes sur le module maximum d'une fonction holomorphe, ce qui le 
conduit enfin à étudier sommairement fallu re des fonctions entières prises 
sous forme de produits infinis. 

En résumé, pour élever sou enseignement jusqu'à de hautes régions de 
la science, M. d'Adhémar a su prendre quelques chemins particuliers, si 
l'on veut, mais toujours rapides et précis. I.,es perspectives plus ou moins 
engageantes qu'il pouvait voir à droite et à gauche ne 1 ont pas détourné 
du but et cependant il laisse la vue ouverte sui- ces perspectives poui- tous 
ceux qui voudront bien le prendre pour guide. 

Une iudisci'étion nous permet d'annoncer la publication d'un tome III. 
Souhaitons égoïslement que M. d Adhémar se résolve à faire ce nouvel 
effort ; il en épargnerait beaucoup d autres à ceux qui se retournent de plus 
en plus difficilement au milieu du fatras des innombrables publications 
d'aujourd hui. A. Buhl iToulouse). 

\\'. .M. Bakek et A. A. Bourne. — A Shorter Algebra. — 1 vol. in-s vm- 

o20-Lix p. ; 2 s. 6 d. . G. Bell and Sous. Londres. 

Le manuel « Shoiter Algebra » de MM. Baker et Bonrne est un résumé 
de leur Cours d Algèbre en deux volumes intitulé « Elementary Algebra ». 
Il est consacré aux premiers éléments d'Algèbre. Les notions usuelles 
d'Arithmétique étant seules supposées connues, les auteur-s en tirent parti 
pour la première initiation à I Algèbre. La théorie est réduite au minimum. 



70 RIB I.IOGHAPITI E 

mais elle est accompagnée d'iiii giaiid nombre d'exercices. La notion de 
coordonnées et de représentation graphique, introduite à la suite des équa- 
tions du premier degré, est reprise à propos des équations du deuxième 
degré. Après les progressions aiitiiinétiques. géométriques et harmoniques 
et les équations de troisième degré (résolution graphi(jue| les auteurs 
consacrent un dernier chapitre aux rapports et [Moporlions. Chaque notion 
nouvelle est illustrée par un grand nombre d'exercices ol de problèmes ; 
les réponses sont données eu ajjpendice à la lin du volume. 

Ce Cours d'Algèbre est considéré comme suflis;inl à la préparation d'un 
grand nombre d examens dont les auteurs font la nomenclature dans la pré- 
face, enli-e autres des examens d admission dans les universités des Iles Bri- 
tanniques et des colonies. Au reste, MM. Baker et Bourne reproduisent, sous 
le titre « Examination Papers », un certain nombre de questions qui ont 
été proposées à ces divers examens. R. Masson (Genève). 

G.-St.-L. Cakson. — Essays on Mathematical Education, wiiii an intro- 
duction by D.-E. S.MiTH. — 1 vol. in-S, \'A\) p.; Ginn and C", Londres et 
Boston. 

Ce tilro réunit huit conférences et articles de M. Carson à des sociétés 
mathématiques et à divers périodiques scientifiques. Ces études abordent 
des questions d'ordre philosophique ou pédagogique relatives à l'éducation 
mathématique. L'auteur s'adresse plus spécialement au corps enseignant et 
aux mathématiciens anglais. Mais, ainsi que le constate M. D.-E. Smith 
(New-York) dans la Préface en en signalant l'utilité pour son pays, les 
remarques de M. Carson peuvent être considérées comme ayant une portée 
générale. 

La première de ces éludes est intitulée : De quelques principes d édu- 
cation mathéinalique. L'auteur y traile la question de l'adaptation du choix 
des axiomes, postulats et démonstrations, à l'âge et à la préparation des 
élèves. 

M. Carson envisage ensuite le rôle de \ Inluilimi, il reud attentif an fait 
très important, surtout pour la géométrie, que ce terme peut correspondre 
à des degrés de certitude très divers, dont il faut savoir tenir compte dans 
l'enseignement. L'éducation mathématique devrait, dans un premiej' cours 
basé sur lintuition, embrasser l'arithmétique, la géométrie et la mécanique; 
puis, dans un second cours, reprendre les questions en sens inverse pour 
cha(|ue branche alin d arriver linalemont à une conception claire des prin- 
cipes à la base de chaque science. 

Le troisième article l'utile et le réel, établit la différence tiop souvent 
négligée entre le réel, 1 utile et le concret et leur signification spéciale au 
point de vue pédagogique. 

Les mathématiques pures ne sont pas une science pui-ement s[)éculalive, 
mais ont une action directe considérable sur la pensée iiumaine et le déve- 
loppement social. C'est celte notion que M. Carson développe sous le titre: 
De quelques possibilités irréalisées dans l'éducation mathématique. II montre 
dans quelle mesure elle devrait influencer la première éducation mathé- 
matique. 

Dans Enseignement de iarithniétique élémentaire. M. Carson passe en 
l'evue le champ de l'arithmétique élémentaire en cherchant par quels moyens 
cet enseignement peut réaliser son triple but : utilisation pratique, déve- 



I{ I H l.l Oi.HAP II f !■: 71 

ioppeniLUt de la cotnpréliensioii des questions sociales et politiques, et 
développement de la faculté de pensée personnelle. 

La valeur éducative de la géométrie renfei-me des considérations intéres- 
santes établissant l'utilité universelle de la géométrie dans l'éducition, 
indépendamment de son rôle pratique ; ces remar(|ues sont accompaj^nées 
de conseils et indications pédagogiques que 1 auteur tire de sa proprt? expé- 
rience professorale. 

Enfin les deux dernières études se rapportent à la mécanique ; ce sont 
le rôle de la déduction en niécnnique élémentaire et une comparaison entre 
la géométrie et la mécani(/ue. R. Masson ( Genève). 

A. Chatelet. — Leçons sur la théorie des nombres, professées au Collège 

de France (Modules. Entiers algéhriques. Réduction continuelle). — 

1 vol. gr. in-8o de x-156 p. ; 5 fr. 50 ; Gauthier-Viliars, Paris. 

Les ouvrages ayant trait à l'algèbre ou à l'arithmétique pure n'abondant 

pas en France, il y a là une première raison d'accueillir favorablement ces 

nouvelles Leçons. Bien que 1 auteur renvoie volontiers à Tannery, à 

MM. Borel et Drach. à M. Cahen, je retrouve surtout dans son livre les 

élégants et intuitifs procédés de la Géométrie der Zahlcn. de Minkowski. 

Le point de départ est la théorie des substitutions linéaires. Comme une 
telle substitution est évidemment définie par ses coefficients, lesquels 
forment un tableau carré, 1 étude est ramenée à celle de ces tableaux pour 
lesquels on peut établir très simplement des règles de calculs analogues 
fmais plus générales) à celles qui concernent les déterminants. On peut 
aussi introduire immédiatement le langage géométrique eu considérant 

n nombres pi . p2 , ^n comme coordonnées d'un point dans l'espace à 

n dimensions mais, là encore, une généralité supérieure à celle de la géométrie 
peut immédiatement apparaître. Ainsi, si la distance de deux points peut 
être définie à la manière ordinaire, elle peut aussi l'être de manière à ne 
pas employer toutes les propriétés de la distance géométrique mais seulement 
certaines essentielles au sujet. On peut, par exemple, concevoir une distance 
généralisée qui, pour des segments parallèles, est proportionnelle à leur 
longueur. Pour chaque direction issue de 1 origine on a ainsi une unité de 
longueur particulière ou des segments unitaires dont l'ensemble forme 
un volume limité par une certaine surface. Il ne faut évidemment pas perdre 
de vue le sens spécial de ces mots mais il est ensuite fort curieux de voir 
le calcul intégral s y adapter fort bien. 

Le mot module, qui a en mathématiques un si grand nombre de signifi- 
cations différentes, a ici un sens analogue à celui du mot groupe. Les 
modules sont des ensembles de points invariants pour la soustraction ; les 
modules types sont ceux dont tous les points se déduisent d'un tableau 
quelconque par multiplication par une ligne d entiers. 

On est alors amené naturellement à étudier les systèmes d'entiers, 
l'ensemble des multiples d'un nombre, la divisibilité, et comme il est facile 
d'établir qu'un tableau à termes entiers peut se mettre sous une forme 
spéciale (où tous les éléments situés d'un même côté de la diagonale sont 
nuls), on est déjà conduit, par un exemple simple, à ces réductions de 
table.iux qui jouent un si grand rôle dans les travaux d Hermile. 

L étude de la divisibilité conduit aussi à la résolution des équations de 
Diophante. Telle est la première moitié du livre de .M. Chatelet: c'est le 
nombre entier qui y joue le rôle fondamental et, bien entendu, il n'en 



72 H I H I. I OG H A l> Il I E 

pouvait ('Ire aiitfiMiienl , mais il inc seriil)le utile d insister siir la chose, car 
tout le plan de 1 ouvrage est déjà dessiné dans celte preniièi-e moitié. Quand 
nous abordons les nombres algébiiques et leur classifîcalion, nous retrouvons 
1 unilorniité de la marche précédente. Ce n est pas une nouveauté et c'est 
tout à fait naturel, mais c est ce que l'auteur a su faire ressortir très heureu- 
sement. Il nous construit les nombi-es d'un corps pai- une arilliniéti(jue 
analogue à celle des multiples d entiers et montre très nettement, où lanalogie 
ne subsiste pas forcément, ce qui conduit au nouveau concept d idéal. Le 
dernier grand problème qu'il aborde, celui de la réduction conliauelle des 
tableaux, nous ramène aux considérations géométriques de Minkowski. 
M. Chàtelel a élégamment redémontré les deux théorèmes fondamentaux 
dus à cet auteur en laissant la plus grande généi-alité possible à la notion 
de distance généralisée. 

Trois notes tei-minent le volume. La première est consacrée à ra|)))lication 
de la théorie des modules aux foncliojis périodiques ou aux fonctions quasi- 
périodiques de M. Esclangon. Une telle application résulte, très en gros, de 
ce que l'ensemble des périodes d'une fonction périodique forme un module ; 
par suite toutes les constructions de modules, en parlant îles plus simples 
et notamment des modules types, permettent des constructions de plus en 
plus générales pour des systèmes de périodes à existence exacte ou approchée. 

Il y a là, très nettement, bon nombre d'idées originales. 

La seconde note nous donne un exemple numérique de corps algébrique 
pour le corps K (|/82). La troisième nous indique comment l'impossibilité 
de congruences entre idéaux laisse cependant définir les congruences entre 
nombre d un corps relativement à un idéal lui appartenant. Voilà, à coup 
sûr, des aperçus qui sembleront bien vagues à qui n'a jamais pénétré dans 
la science des nombres ; mais tous ceux qui ont entrevu, tant soit peu, son 
aspect énorme et souvent rébarbatif (surtout chez les auteurs allemands) 
verront sans doute, dans le livre de M. Chàtelel, un enchaînement bref et 
coi-rect qui laisse transparaître beaucoup de clarté. A. Buhl iToulouse). 

H. Di.NGi.iiR. — Die Grundiagen der angewandten Géométrie !Les bases 

de la géométrie appliquéel. — 1 vol. in-8", 160 p. ; Akademische Verlags- 
gesellschaft, Leipzig. 

Cet ouvrage porte également en sous-titre : Etude des relations entre la 
théorie et l'expérience dans les sciences exactes, et il a pour but de résoudre 
la question séculaire liée au Postulat d'Euclide, savoir : De toutes les géo- 
mélries logiques, quelles sont celles qui sont applicables à notre espace 
empirique : ou bien : Notre espace empirique est-t-il euclidien ou non- 
euclidien ;' 

L'auteur arrive à celte conclusion : Dans notre espace empirique, la 
géométrie euclidienne seule est admissible; ou : Notre espace einpiri(|ue est 
euclidien. 

Ses idées sont développt'-es dans trois chapitres: I. Le problème ; II. La 
théorie de la niafhénialif/ue appliquée : III. Application à la géométrie. 

Par mathématique appliquée, l'auteur n'entend pas, comme on le fait 
communément, les branches techniques dont les développements théoriques 
sont basés sur les mathématiques ; il réserve son expression à une mathé- 
matique expérimentale déduite de la construction et de la mesure, mais 
dans laquelle on tient un compte précis du coefficient d'exactitude. 

Dans le premier chapitre ; Le problème, il pose la grande question liée à 



H I H 1. 1 <)(. li A l' n 1 1: ::j 

l'axiome des |)arallùles. Cet axiome csl logique, il est iiidépendaiil des 
autres axiomes, donc il ne pent pas en être déduit. En le supprimant ou en 
le remplaçant par un autie, non moins lot^ique. on arrive à d'autres ^éomé- 
tries: mais celles-ci penveut-clles s'appliquer ;i notre espace empirique ou 
piivsiqne ? Voilà l;i question. 

M. Dingler établit ensuite une i^éoméli-ie empiricjiie, dans laquelle il crée 
des plans, des droites et des points réels, comparables entre eux, en parlant 
du procédé mécanique de consti'uction des sur-laces planes. Il étend ensuite 
ses notions de géométrie empi.'i(]ue au corps rigide, mais celui-ci sera de 
nouveau défini plus tard comme un résultanl de la géométrie euclidienne. 

Dans la seconde partie ; Théorie de la nialhéiiintiffue appliquée, l'auteur 
s'étend sur des considérations philosophiques spéciales relatives aux prin- 
cipes d identité et d'exactitude appliqués aux méthodes de mesures. Il insiste 
spécialement sur la règle de Mach : (Choisir, parmi les procédés scienti- 
fiques conduisant au même but. celui qui est le plus simple. i« Machsches 
Oekonomieprinzip. ») 

La troisième et dernière partie conduit aux conclusions déjà indiquées. 
D après l'auteur, la géométrie cesse d'être une science de logique pure, 
pour devenir une science expérimentale ou empirique, comme la physique 
ou la chimie. 

Du fait des prémisses posées dans la seconde partie, le corps rigide doit 
être euclidien et lespace auquel il appartient le devient également. 

Philosophiquement parlant, la lecture de l'ouvrage est attrayante, les 
déductions sont fort belles, et si le lecteur ne prend pas la peine de se 
reporter, à chaque moment, aux bases mêmes de la géométrie, il est tenté de 
<'roire que la solution du problème donnée par M. Dingler est définitive. 

A notre point de vue, elle ne l'est pas. L'espace empirique ou physique 
est continu et illimité ; mathématiquement parlant, il est absolument assi- 
milable à un espace linéaire à trois dimensions. D'autre part, les trois 
objets géométriques fondamentaux : le point, la droite et le plan, restent 
malgré tout des concepts abstraits. La question ue sera résolue que ijuand 
on aura démontré que le plan tel que nous le concevons ; l'élément géomé- 
trique univoquement déterminé par trois points, ne peut pas être engendré 
par deux droites lobatschweskienues au riemanniennes. L. Ckeliek (Biennel. 

A. Gklttner. — Die Grundlagen der Gecmetrographie iLes bases de la 
géométrographiei. — 1 vol. in-8". 53 p. : Quelle & .Meyer. Leipzig. 

Ce petit ouvrage comporte trois parties qui répondent aux trois questions 
suivantes : Quelles sont les bases de la géométrographie ? .Jusqu'où sont- 
elles développées ? Peut-on les perfectionner .' 

Dans la premiè<"e partie l'auteur étudie : Le développement de la géomé- 
trographie. Après avoir fait ressortir 1 utilité de cette nouvelle doctrine, il 
en établit l'histoire et expose les divers systèmes de notation actuellement 
en cours. Nous retrouvons les systèmes Lemoine iLi, Bernés iBl. Grùttner 
(G) et Papperitz iPi. 

La deuxième partie est une : Critique des systèmes géomélrographiques. 
Sans entrer dans tous les détails de la comparaison des systèmes, nous 
dirons sinaplement que l'auteur fait ressoitir la caractéristique du système 
Grùttner (Gi. qui est son système. C'est l'introduction d'un coellicieut i, 
considéré comme unité relative du travail géométrographique. Ce coefficient 



74 Bl HLIOV, HAPlllE 

doit servir ;i remplac^er les nombres de Lemoiiie (/i + /j + '"i + "'2 -|- i)tz\ 
et (/i -f- /Hi -|- /;*2) doniiant, le premier la simplicité , et l'autre \ exactitude 
d'une construction géométi-ographique. U après l'auteur, on doit pouvoir 
mesurer les dillicn^tés géométrographiques d un problème, et c'est pour cela 
qu'il introduit le coefiicient £. 

La troisième partie : Développement raisonné d'un système géométrogra- 
pkifjue. est consacrée à tous les arguments militant en faveur du système 
(G). L'auteur place la pratique du dessinateur à la base de ses considéra- 
tions ; il montre l'insuffisance de la notation du système (L) dans les ques- 
tions du compas, du changement d'instruments, de la prolongation des 
droites, etc. ; puis, se basant sur diverses observations d'ordre psycholo- 
gique et physique, il introduit la mesure du travail A, qu'il appelle unité 
absolue de travail géoméirographique, par opposition à s, qu'il désigne sous 
le nom d unité de mesure des difficultés géométrographiques. Les valeurs A 
et £ sont liées par la relation : s =3 2,5 A. 

Jusqu'à quel point l'empirisme lemporte-t-il dans les considérations rela- 
tives aux valeurs s et A ? C est une question à laquelle nous ne voulons pas 
répondre, mais ces deux nombres nous semblent très cherchés et bien 
factices. Dans tous les cas, ils n'appartiennent plus au domaine de la mathé- 
matique pure. L. Crf.uier (Bienne). 

C. DE Jans. — Les multiplicatrices de Clairaut. Contribution à la théorie 
d'une famille de courbes planes. — 1 vol. in-8°. IV, 136 p. ; 5 fr. : A. Hosle, 
Gand. 

Cette contribution à la théorie d'une famille de courbes planes est une 
monographie des plus intéressantes dans laquelle l'auteur traite les pro- 
priétés générales des courbes de la forme : 

r = Asur'> • 

conuues sous le nom de «Courbes de Clairaut du ['"'type», pour en déduii-e 
ensuite les cas algébriques ainsi que quelques cas plus particuliers. 
La classification de ces courbes donne lieu au tableau suivant : 

{ l. espèce ( — oo <^ jn <^ — 1) 
/ directes ] 
Courbes mono- et \ (2. espèce ( — 1 < m < 0) 

bisymétriques ) / 1. espèce ( 1 < m < 00 ) 

( inverses ] 

( 2. espèce ( < /n <[ 1 ) 

M. de Jans donne ensuite vine construction simple des tangentes, des 
normales et des rayons de courbure, puis quelques autres propriétés rela- 
tives à toute la famille. 

Le IV"^'' chapitre est consacré aux cas algébriques. Nous y trouvons 
l'élude des singularités, du degré, de la classe et du genre des courbes 
considérées. 

Dans le chapitre VI, l'auteur ti-aite plus spécialement le biovale : 

/• = /.■ sin- 6 . 
Eu dehors des propriétés analytiques, il développe encore les conchoïdes de 



BI Itl.lOr.HAP Hl E 75 

celte courbe el indique une ^énéralion cinénialique lie la courbe et ses 
conclioïdes. 

La courbe de Playfair : ;•- ■=z k- sinO est étudiée dans le chapitre VII. 

L'ovoïde : ;• = A- sin^ G fait lobjet dune étude particulière dans le cha- 
pitre YIII. 

Notons en passant les applications physiques fies courbes de Clairaut à 
la l'epi'ésentation du champ de force d nu point courbe (chap. V), ainsi que 
les propriétés physiques du biovale Ichap. VI, § 5) ; il peut être considéré 
comme le lieu des points figuratifs des courants (]ui exercent la même force 
magnétique sur l'origine. 

En résumé, l'auteur qui, pour justifier sa publication, s'est inspiré des 
belles paroles de Helraholz : « Chaque travailleur a le devoir moral de 
communiquer aux autres le résultat de ses recheiches », a rendu un excel- 
lent service à tous les géomètres s occupant de courbes spéciales. Les résul- 
tats qu'il présente sont réellement très intéressants. L. Crelier (Bienne). 

G. LoRiA. — Le Scienze esatte neU'antica Grecia. Seconda edizione 
totalmente riveduta. — 1 vol. in-16 de xxiv-969 p., relié 9 L. 50: Ulrico 
Hoepli, Milan. 

Cet ouvrage donne un tableau de 1 œuvre mathématique si importante des 
anciens Grecs. Il permet à ceux qui étudient l'autiquité classique de com- 
pléter leur connaissance de la vie et de la culture grecque et il leur montre 
comme toutes les bases des théories arithmétiques et géométriques actuelles 
sont contenues en germe dans les travaux du génial peuple hellène. 

Le Livre Preiniev (l georaelri Greci precursori di Euclide) expose le 
premier stade de développement de la Géométrie chez les Grecs; le Livre 
Second (Il periodo aureo délia geometria greca) fait connaître les méthodes 
et les résultats de la brillante période où vécurent Euclide, Archimède. 
Apollonius et leurs disciples directs. 

Le Livre Troisième (Il substrato malematico della iiiosoiîa naturale dei 
Greci) est consacré aux recherches mathématiques des savants antiques qui 
se proposaient de donner une explication satisfaisante des plus remar- 
quables phénomènes naturels. Le lecteur rencontrera dans ce livre 1 astro- 
nome Ptoléraée et le prince de la géodésie : Héron d'Alexandrie. 

Dans le Livre Quatrième et dernier (Il periodo argenteo della geometria 
greca) l'auteur retourne à un monde exclusivement géométrique en exposant 
les quelques progrès dus aux commentateurs des grands auteurs, puis il 
termine par un tableau des différents aspects sous lesquels les Grecs envi- 
sagèrent la Science des nombres et des résultats auxquels ils surent parvenir 
dans ce champ particulièrement fertile. 

La première édition parut de 1893 à 1902 dans différents volumes des 
mémoires de l'Académie de Modène et attira aussitôt l'attention des spécia- 
listes; c est pour répondre à de nombreuses demandes que l'auteur et 
1 éditeur se sont décidés à publier cette œuvre en un volume, après l'avoir 
soumise à une revision rendue indispensable par la découverte récente de 
documents importants. 

Ceux qui cherchent à connaître ce que nous savons de Ihistoire des 
mathématiques grecques consulteront avec intérêt et profit louvrage du 
prof. G. Loria. La littérature mathématique ne possède pas d'œuvi-e analogue 
conçue sur un plan plus vaste. J^^'S- Chatel.\i.\ (La Chaux-de-Fonds|. 



76 H I H I. I OC I! A l' Il 1 1: 

O. Staidi:. — Analytische Géométrie der kabischen Kegelschnitte. — 
1 vol. in-S", 242 p. avec 58 (ig. ; broché, 9 M.; relié, 10 .M.: B. G. 
l'oubnt'r. [.eipzity. 

l'^ti l'iili-cprenaiit celle rtudc tiiKilytifJne des ciil/ifiui's gauches, M. Slande, 
professeur à 1 Université de Hostock, a lail une tiiuvix' utile dont lui sauront 
gi"é tous ceux (|ui s'intéressent à la Géométrie. Son ouvrage comble une 
lacune, car il n'exislail pas do monographie récente sui- ce sujet. 

L'auteur s'appuie sur les méthodes de la géoinél rie analytique en supposant 
seulement connues les notions fondamentales ' sur les différents systèmes 
de coordonnées et quelques théorèmes sur les quadriques. 

Dans une première partie il étudie les cubiques gauches à l'aide des coor- 
données rectilignes. Il considère d'abord les cubiques obtenues par l'inter- 
section d'un cône el d'un cylindre, tous deux du 2^ ordre, et ayant une 
généialrice commune. Le sommet du cône est pris à l'origine et la généra- 
trice commune coïncide avec l'axe OX. I^es équations se simplifient lorsqu'on 
suppose qu en outre le plan XOYest tangent au cône. La discussion conduit 
aux quatre types de cubiques qui! désigne comme suit : I. l'ellipse cubique ; 
II, l'hyperbole cubiipie; III, la parabole cubif|ue hypRibolique ; IV, la 
parabole cubique. 

Examinant ensuite les cubiques gauches en parlant de leurs équations 
paramétriques, l'auteur montre qu'elles sont identiques avec celles des types 
obtenus dans le piemier chapitre. Puis viennent les plans osculateurs, les 
coides. les tangentes, etc. dune cubique, et les quadriques de révolution 
passant par la courbe. La première partie se termine par I élude appro- 
fondie des différents types de cubiques. 

Dans la seconde partie M. Staude envisage les éléments de la courbe en 
coordonnées tétraédriques. le tétraèdre de référence étant celui qui est 
formé par le téti-aèdre oscillateur. Cette inélhode permet d'exposer avec 
beaucoup de simplicité la génération projective des cubiques. 

Comme les précédents ouvrages de M. Staude, celui-ci est rédigé avec 
une grande clarté d'exposition. Il constitue une importante contribution à 
la géométi'ie des cubiques gauches. Les figures, au nombre de 58, sont 
dessinées avec beaucoup de ,<oin. II. Feiik. 

M. TiKHOMANDKiTZKi. — Eléments de la théorie des intégrales abéliennes. 

Nouvelle édition revue, corrigi-e, comph'lée de notes et eu pai'lie retaile 
entièrement. — 1 vol. gr. in-8". de xv-286 p., avec une planche ; 14 fr. En 
vente à la librairie Eggers el C''=, Moïka, 42, Saint-Pétersbourg (Russie). 

Le volume fie M. I ikhomandritzky est un livre qui, grâce au nom de son 
auteur, se recommande de lui-même. Sa lecture ne peut être que profitable 
à tous ceux qui, désireux d approfondir les propriétés des fondions algé- 
briques et de leurs intégrales, tiennent à le faire d après un exposé succinct 
et condensé. Un grand nombre de déductions sont originales en ce sens 
(ju elles ne se trouvent que dans des mémoires de 1 auteur, publiés en 
langue russe et, à cause de cela, d'un accès difficile. L'ouvrage ne fait pas 
davantage double cinploi avec les gr-amis traités qui ont paru sur- la matière. 



' On doit précisément à M. Staude deux excellents ouvrages consacrés aux élémenrs de 
géométrie analytique intitulés : Analytische Géométrie des Puiiktes, dcr geraden Unie und 
der Ebene (Leipzig 1!»o.t1, et Analj/tische Ceornetrie des l'iiitktepaares. des Kegclschnittes und 
der Fldvhe >. Ordn iing {Leipztg iniO, B. G. Teubner). 



i{ I H i.Kx, li A h II I !■: :: 

Poiw s CM l'ciuli'i- cDiiipIc, il Miflil lie lirr lailirle iiisér'ù rcceiiiiiieii t (Jaiis ce 
joiinwil ' cl dans lc(|ii('l .M Tikliomandriizky iudique lui-même en quoi son 
volimic diflcie de Ions ceux (jui oui élë publiés jusqu ici sur le même sujet. 
Voici, d'après la table des inalières, le contenu du livre : 
(^liap. I. Propi'iétés d'une fonction implicite (h'Iinie [)ar une équation 
îtltçébricjue irréductible. 

Il Sur les fonctions rationnelles de la variable indépendante .*■ el de sa 
fonction imjjlicile v définie par une équation algébri(|ue irréductible. 

III. Réduction des intégrales abéliennes aux intégrales des trois espèces; 
les propriétés cai'acléristi(|ucs des intégrales de chaque espèce. 

IV. Fonctions primaii-es. Helalions entre les périodes des intégrales. 

V. Expression d'une (onction rationnelle de .r el r. unifoi-me sur la surface 
de Riemann. par les fonctions primaires. Théoième d Abel. 

VI. Le problème de Jacobi. — - VII. Les fonctions thêta. 

L'ouvrage se termine par une planche relative aux surfaces de Riemann. 

L'intérêl que présente le livre de M. Tikhomandrilzki est donc consi- 
dérable. On peut être assuré qu'il sera beaucoup lu el beaucoup étudié. 
Seule l'imperfection de la langue risquerait de rebuter un peu, si les 
résulta'.s mis par le savant lusse à la portée de tous ne rendaient bien vite 
le lecteur indulgent. Les fautes grammaticales el de style sont nombreuses, 
mais il sera facile de les faire disparaître dans nue auti-e édition. 

Gustave Di'.mas iLausaiinei. 

V. VoLTERR.x. — Leçons sur les fonctions de lignes, professées à la 

Sorbonne en 1912. recueillies el rédigées par J. Pérès. — 1 vol. in-8" 

de vi-230 p. et 7 figures ; 7 fr. 50 : Gauthier-Villars. Paris. 

Ce volume fait suite aux Leruiis sur les équations intcgrules el intégio- 
différentielles déjà publiés par M. Yollerra dans la collection de mono- 
graphies de M. Borel, et analysées purï lùiseignement niuthrinufif/ue il. XV, 
1913, p. 447). 

Ce nouvel exposé atteint à une simplicité et à une profondeur telles qu il 
en est presque déconcertant. On peut croire que les chapitres scientifiques 
dont il s'agit ne sont nés que tout r-écemmenl, parmi les conceptions de 
géomètres comme MM. Hadamard, Fi-edholm ou Volterra lui-même : peut- 
être accorderait-on aussi qu'on en trouve différents germes chez, un 
Poiucaré. Croire cela serait faire montre d'un esprit peu philosophique 
et c'est en Archimède que M. Volterra voit le proto-créateur des méthodes 
Infinitésimales, en allant jus(|u à comprendre dans celles-ci tout ce qui se 
rapporte à lidée moderne de fonctionnalité et de varialion continue. En 
une vingtaine de pages préliminaires, nous voyons, en effet, comment les 
développements modernes des méthodes infinitésimales se placent avec une 
admirable continuité à la suite des niélhodes primilives mais déjà infinitési- 
males du célèbre géomètre de Syracuse. 

Les fonctions de ligues n'apparaissent pas seulement d une manière immé- 
diate sous forme de quantilés variables, de par la varialion d'une courbe 
y := f{x] ; elles se rattachent aussi à de certaines quantités attachées 
elles-mêmes à des équations dilTcrentielles où f{x] peut êtie un coellicient 
transformable. On peut leur rallacher encore les snbslitutious où les coef- 



' Sur l'enstifçiiinieitt dt la théorie dex intégrales ahélienites, Eitseignement inatheniatiqiie. 
t. XV, iinitée l»t3, |>. :i8'i. 



:h bulletin hibliochapiiioce 

ficieuls varient de mauiôie continue. D autre part la résolution des équations 
intégrales correspond à la théorie élémentaire des fondions implicites. 
Dune manière tout à fait générale, M. Vollerra fait ressortir (ju il n'y a pas 
de chapitre d algèbre qui ne donne un chapitre de la nouvelle science 
quand le nombre des variables passe du (ini à linlini. El il le fait avec une 
élégance telle qu'on est tout étonné de retrouver, en effet, le caractère 
algébrique des raisonnements, mais non le caractère sec et aride qui parait 
souvent propre à l'algèbre et détourne de celle science beaucoup d'excellents 
mathématiciens. 

De même, dans ces dernières années, les jeunes géomètres qui devaient 
absolument se mettre au courant des équations intégrales ont pu hésiter sur 
le point de vue à adopter. M. Yolterra semblait plus général mais, si 
M. Fredhoim était plus particulier, il était peut être plus simple et, par 
suite, il pouvait sembler plus commode de commencer par ce dernier. Or, 
en toute impartialité, il me semble bien que tous les avantages sont du côté 
de M. Volterra : on passera très facilement de ses ét|ualions intégrales à 
celles de M. Fredhoim. L'inverse est possible, mais certainement moins simple. 

Je ne puis indiquer ici tous les beaux problèmes que traite le célèbre 
géomètre italien ; il les emprunte particulièrement aux phénomènes hérédi- 
taires qui dépendent non d'un seul instant passé mais d'une iuiinité d'instants 
formant un passé continu. Ce \ui sontpoinldes phénomènes construits pour 
illustrer une théorie; leur réalité physique est indéniable et continuellement 
rappelée. Ils peuvent donner lieu, dans le temps, à des controverses philo- 
sophiques analogues à celles soulevées, dans lespace, par les actions à 
distances. Le corps qui dépend d'un temps passé est comparable à celui 
qui dépend d'une région éloignée de l'espace. Ces quekjues lignes suffiront 
à montrer le prodigieux intérêt que l'ouvrage aura certainement pour les 
géomètres, les physiciens et les philosophes. A. fîi'UL (Toulouse). 



13 U IJ Jn I N I M B L 1 G R A P 1 1 1 U 1^: 



1 . Publications périodiques : 

Annali di Matematica. Série II I, tome XXI. Alla memoria di LagkaiNgh 
nel cenlenario délia sua Morte. — E. J. Wilczynski : Ricerche geomelriche* 
intorno al problenia dei lie corpi. — H. Haiin : Ueber die Abbildung einer 
Strecke auf ein Quadrat. — P. Kœbe : Das Cniformisierungslheorem uud 
seine Bedeutung fui- Funktioncnlheorie und nichteukiidische Géométrie. — 
M. \Y. Stekloff : Sur nue formule générale d analyse et ses diverses appli- 
cations. — A. R. FoKSYTH : The range of minimal surfaces providiug a mi- 
nimum area. — S. Pinchekle : SuH'operazione aggiunta di Lagrange. — 
M. C. Carathéodory : Sur les points singuliers du problème du Calcul des 
Variations dans le plan. — E. E. Levi : Sui crilerii suflîcienti per il mas- 
simo e per il minimo nel Calcolo délie Variazioni. — F. Schur : Ueber die 
berùhrenden Strahlennetze einer Strahlenkongruenz. — E. Borel : Sur la 
théorie des résonateurs et la discontinuité des solutions de certains systèmes 
différentiels. — C. Stkphanos : Sur une propriété caractéristique des déter- 
minants. — H. La.mb : On Some Cases of Wave-Motion on Deep 'VN'ater. — 



nui. I. ET IN m liLlOGRAl' 11 l()UE 79 

J. Hada.maki" ; La roiisli-iiclioii de Weierstriiss et l'exislence «le 1 cxlreniuni 
dans le problème isopériinéli-icjiie. — E. Boktolotti • Espressioni indeler- 
minate. — G. Lauricella : Sopra l'algebra délie fiinzioni permulabili di 
2* specie. 
Archiv der Mathematik und Physik, licrausgegeben von E. Jamnkk. — 

Verlag B. G. Teiibnec, Leipzig. — lîanii 21. — E. Hah.n : (îrundlagen 7.u 
einer Théorie der Lurentztraiistormatioiien. — E. I-andau : Abscliill/ung der 
Koenizientensuninie einer Potenzreihe. — R. Stijkm : Gleicliseilige Polar- 
dreiecke bei einer Ellipse. — C. Grotzsch : Zu nieinem Krilerium fur be- 
diugle Konvergenz unendlicher Heilien. — R. StuRiM : Mininia bei projek- 
liven Gebilden. — R. Stlk.m : Die Basen. in Bezug anf welchc zwei Kreise 
oder z\vei Kugeln zueinander polar sind. — R. Weitzenbock : Ueber eine 
Erweitei'ang des DeterminantenbegrifTes. — K. Schwering : Ganzzahlige 
Dreiecke mil VVinkelbezieliungen. — E. W^œtzMANN : Nenere Untersuchungen 
zur Resonanzlheorie des Hôrens. — H. Kapferer : Beweis des Fermatschen 
Salzes fur die Exponenlen 6 und 10. — E. Study : Die Begriffe Links, 
Rechts. Windungssinn und Drehungssinn. — C. Jordats' et R. Fiedler : 
Courbes Orbilormes. — S. Schicht : Ueber die miltlere Entfernung eines 
Punkles von einem Punktsysteme und die minière Entfernung zweier Punkt- 
systeme voneinander. — F. G. Teixeira : Sur une intégrale définie. — • 
E. r^ANDAu : Abschalzung der Koeflizientensumme einer Polenzrcihe — 
R. Meh.mke : Leber die Bestimmuug des Inhalts eines durcli zwei Projek- 
lioiicn gegebenen Teiraeders und ùber die entsprechende Aufgabe in-iiôhoren 
Riiumen. — W. H. Salmon : On a family of cnbie surfaces of the tetra- 
hedron analogous to the Tucker Circles of a Triangle. — L. Klug : Eiuige 
Siilze liber Kegelschnitle und Fiachen zweiter Ordnung. — A. Dinxik : 
Tafeln der Besselschen Funktionen J i und J 3 • — IL Bohr : Dar- 

steilung der gleichmassigen Konvergenzabzisse einer Dirichletschcn Reihe 

^, — 'L als Funklion der Koelfizienten der Heihe. 

2, Livres nouveaux : 

Bardey-Lietz.man.n-Zlhlke. — ÂufgabensamnilUDg fur Arithmetik. Al- 
gebra u. Analysis. Keformausgabe A : tïii' Gymnasien. IL Teil : Oberstufe. 

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anstalten. I. Teil: Unlerstufe, 1 vol. cari. 220 p., 33 fig. et 2 planches; 

2 M.; IL Teil: Oberstufe, 1 vol. 230 p., 23 fig. : 2 M. 40 : B. G.Tcnbner. Leipzig. 

W. G. Borchardt and A. D. Perrott. — A first numerical Trigonometry. 

— 1 vol. iu-8", XI-159-XXXIV p. : 2 s. 6 d. : G. Bell (S: Son.'<, Londres. 

G. Darboux. — Leçons sur la théorie générale des surfaces et les appli- 
cations géométriques du calcul inlinilésimal. — l"""^ partie : Généralités, 
Coordonnées curvilignes, Sui-faces minima. 2"ie édition, revue et augmentée. 

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A. Denizot. — Das Foucaultsche Pendel und die Théorie der relativen 
Bewegung. — I fasc. in-8", 76 p. ; 3 M. : B. G. Teubner, Leipzig. 

Pierre Duhem. — Le Système du Monde. Histoire des doctrines cosmolo- 
giques de Platon cà Copernic. Tome I. — 1 vol. gr. in-8°, 512 p.. 18 fr. 50; 
librairie Hermann & fils. Paris. 

P. FvRTw.ENGLER und G. Rlh.m. — Die mathematische Ausbildung der 



80 />• U /, /. A' T l y n I H II () (. /.' . / l> II I (>V E 

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Teiihner, Leipzig. 

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port présenté à la cinqiiièim' CoiittM'eiu-c tjriu'r.ilt- tli-s poids cl mesures 
réunie à Paris en octobre lVtl3. — 1 vol. iii-4", 118 p. ; Gaulhier-Villars. 
Paris. 

W. i.KK K. — Leitfaden der Mathematik tVir die oberen Klassen hoberer 
Lebraiistallen. — 1 v(d. iii-8". vi-171 p. : l^.GO M. : B. G. Teiibiier, Leipzig. 

K. Lltz. — Analytische Géométrie der Ebene. Elementares Lehrbiuli 
tûr bohere Lebraiislalleii. — I \(d. iii-8" ; x-;j()l ]>. ; (i M. : B. (î. Teiibner, 
Leipzig. 

P. M.\KNNCHEN. — Geheimnisse der Rechenkûnstler. iMatlit>maiiscbe 
Bibiiothek, ^"131. — 1 vol. in-Ki. 'iS p. . 0.<S(» M. : B. ti. 'I'eul)iier, Leipzig. 

L. .Makj;hand. — Sur les théorèmes de Sylvester et la règle de Newton 

dans la tbéorie des é(]nalioiis alyéljrii|ii(s à cocdicieiils réels. — iTlièso, 
Ecole pol ytecbiii(|iie. Ziiriclii. — 1 tasc iii-Ki. 75 p.; W'olfVatli et Sperlé, 
Neuchàlel. 

P.-L. MoNTKii. (L'-Coloneli. — Théorie du point. Géométiie nirviligne II. 
Courbes dérivées de la circoutereiice. — 1 vcjL iii-8°, 124 p., 49 p.; Diinod 
& Pinal, Paris. 

M. Pasch. — Verânderliche und Funktion. — 1 vol. iii-8", 18(i p. -, 6 M. ; 
B. G. Teubuer. Leip/.iy. 

F. Bldio. — Die Elemente der analytischen Géométrie, zum Gebraucbe 
au hohereii Leliraiisliillcii sowic /uni Selbslsliidiuni. II. : Die analylisclie 
Géométrie des Haiiines. -- 5"'« édition, l vol. in-8o, x-I94 p.: ;i M.; B. G. 
Teubuer, Leipzig. 

FoKT und S(;hlô.mi.ich. — Lehrbuch der analytischen Géométrie. — IL 
Analytische Géométrie des liaumes. -Siibeiite AiiHage bcarbeitct von R. Hi;gek. 
— 1 vol. in-8", vii[-o26 p. ; relié 6,80 M.; B. G.Teubner, Leipzig. 

S. ScHOTT. — Statistik. (Ans Nalui- und Geisteswell . X" 442. i — I vol. 
in-8". 130 p. ; 1.25 .M ; B. G. leubner, Leipzig. 

A. \V, Sta.mpek. — A Textbook on the Teaching of Arithmetic. — l vol. 

in-8", 284 p. ; 1 dolL : Amt-i-iran Book Company, .Ne\v-"^'oi'k. 

IL Yor.T. — Solutions des exercices proposés dans les éléments de 
mathématiques supérieures. — I vol. in-8'j. 277 p. ; (i tr. ; Vniluii, l'aiis. 

A. W irri.No und .M. (ii;BHAKDr. — Beispiele zur Geschichte der Mathe- 
matik. Ein malbeniatisch-historiscbes i>is(.l)inli. IL Teil i .Matlitnial ischc 
Bibiiothek. .N" XVi. — 1 vol. in-8<^ vi-61 p.; 0.80 iM.; B. G. leubner, 
Leipzig. 

L. ZoRKTTi. — Leçons de mathématiques générales, avec une préface 

de P. .\i'i'KLi.. — 1 vol. iii-S". xvi-7.'):i p : 2() tV ; Ganliiier-Villars. Paris. 

Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées. Edition 

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Compléments ; fasc. 1 ; Calcul des variations ; exposé, d'après les articles 
allemands de A. Kneskr, E. Zkk.mklo, et H. Hah.n. par M. Lecat. — 
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matières ccjiilenues dans les cini| volumes xvi-x\ i l'.tOS-1913|, suivies d une 
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en Nollbenius, Amsierdam. 



L'INTEGRALE DE STIELTJES Eï SA GENERALISATION 



L — Primitivement resheint à la classe des loiictioiis con- 
linues, le cluniip des ronetioiis intégrahles a été siiecessive- 
inent étendu de manière à embrasser non seulement toutes 
les fondions bornées — c'est-à-dire toutes les lonctions 
dont les valeurs restent comprises entre deux nombres finis 
appelés les bornes supérieure et inférieure de la fonction — 
mais encore une classe étendue de fonctions non bornées. 
Cette extension a eu comme consé(|uence un progrès notable 
des mathémati(|ues. 

Or, Stieltjes a généralisé la notion d intégrale en rempla- 
çant la variable indépendante x par une fonction monotone 
o-(.r-) non décroissante. Bien qu'il n'ait appliqué sa générali- 
sation de l'intégrale que dans le champ primitif i-estrernt des 
lonctions continues et qu il n'ait guère envisagé son exten- 
sion et son emploi dans le champ des fonctions intégrables au 
sens de Riemann, les conséquences (pTil en lire ont une 
imj)orlance comparable à celles qui résultent de l'application 
de la définition ordinaire de l'intégrale d'une fonction con- 
tinue. Aussi, tout mathématicien versé dans la théorie mo- 
derne de l'intégration et rjui a éprouvé dans ses recherches 
la liberté d'action c|ue le vaste champ des fonctions bornées 
lui permet, ne tarde pas à se demander si dans l'emploi de 
l'intégrale de Stieltjes il ne peut pas aussi dépasser les 
limites du champ primitii". 

Lebesgue a éprouvé ce désir. En 1909, il publie dans les 
Comptes Rendus une Note, où il démontre, par un artifice 
très élégant dé[)endant d'un changement de variable de 
nature en quehjue sorte géométrique, (|ue la notion de l'inté- 
grale de Stieltjes peut être ramenée à celle de l'intégrale 

L'Enseignement innthém.. 16"^ année; l'Jli fi 



S2 /(. //. yoi .\(; 

(i'une fonction bornée. Il établit, en eil'el. (|iie si /"(.r) est 
une ronetion rontiniie et g{.r) une l'onction monotone non 
(lét roissanle, on peut par un rhangement de vaiial)le .v = ^r{y), 
écrire 

ff{.r) dg{.r) = ^ ff(.r[Y) ) (.)) dy = j\\y)dy 

0[y) et par suite (p(^) étant bornées. Il tire de son raisonne- 
)Ment la conséquence rpie l'on peut — je cite les derniers 
mois de sa note — « se permettre le prolongement de roj)é- 
ration de l'intégration de Stieltjes, supposée connue pour 
les fonctions continues, à tout le champ des fonctions soin- 
mables bornées. On définit en somme l'intégrale de Stieltjes 
pour /"sommable bornée et « à variation bornée, ce (pTil 
parait dillicile de faire sans changement de variable. » Le 
raisonnement de Lebesgue est d'une finesse remarcpiable 
mais dune application difïicile dans les cas cpii surviennent 
dans la [)ratique. Il suppose d'ailleurs déjà surmontées les 
(lillicultés de la théorie de l'intégration moderne. Remar(|uons 
enfin cpie Lebesgue n'a pas utilisé sa définition tie l'inlf^grale 
d'une fonction bornée par rapport à une fonction à variation 
bornée. 

.le me [)ropose de donner dans ce cjui suit les traits les 
plus saillants d'une nouvelle théorie de l'intégration par 
rapport à une ionction à variation bornée. Cette théorie 
n'exige ni la connaissance de la théorie des ensembles ni 
celle des intéorales de Riemann ou de Lebesoue. Je signa- 
lerai quelques résultats frappants de cette théorie et quelques 
aj)|)li(alions nouvelles à la ihéorie des séries de Fourier. Le 
le(;teur pourra trouver les détails de la théorie et les démons- 
trations dans difl'éients mémoires présentés à la Société 
royale de Londies et à la London Math. Society^. 

2. — Le rôle (|ue jouent les suites monotones de fonctions 



I c< On InlegiMliun witli Bespect to a Fiinclion of Bounded Varialion ». Pror. /.. .V. S., Série 2, 
Vol 13, f>. 10'J. 

" On the Usual Convergence of'a (Hass ofTrigonometricnl Séries », Ibid., pp. 13-28. 
« On Fourier Séries and Fimetions of Roundcd Variation », Roy. Soc. Pror., A. Vol. 88, 
pp. 5G1-.56K. 

II On the Condition that a Trigonometrical Séries should hâve a Certain Form », Ibid., 
pp. bdit-bTt. 



I. I y r i: <: n a i. i: n /; s / / 1: i. r.i i: s «3 

est rotidamcntal dans ma théorie de rinté^ration. Soit 

/'il») ^ /ii*l ^ ••• ^ /;,(■'•) ^ ■•• -*- /"i»! 

une suite nionolone non décroissanle, ou 

U\x) ^ U(x] > ... ^ /„U) ^ ... -^ /•(.r) 

une suite monotone non croissante. Ijornée dans son 
ensemble, c'est-à-dire telle (jue |)our toute valeur de u et de .r, 

A et B étant des constantes finies. La l'onction limite /'(.r de 
cette suite sera également bornée, 

A s f\.v] ^ B 

et son caractère dépendra de celui des l'onclions /,', j' . C'est 
par l'intermédiaire de telles suites monotones (|ue nous 
répartirons les ionclions bornées en classes jouant un rôle 
important pour 1 intégration. 

Supposons, en efl'et, connue une théorie de l'intégration 
j)ar rapport à gix) d'une certaine classe de Ionclions. On 
étendra alors le champ d'intégration an moyen du principe 
suivant : 

On (lira qti^iine fonction 1'(n possède une intégrale 

I i\\)âgi\) jjai- rapport à une fonction positive non décrois- 
sanle g(x), si elle peut s'exprimer comme limite finie ou 
infinie avec signe déterminé) d'une suite monotone de fonc- 
tions f , , \'.2 dont les intégrales par rapport à g \) sont 

déjà définies, pourvu que la limite des intégrales de toute 
suite ayant ces propriétés soit la même et ait une valeur finie. 
Cette limite s'appelle l'intégrale de i'(\^ par rapport à g(x). 

Etudions d'abord de ce point de vue l'intégration ordi- 
naire par rapport à .r. La classe la plus sijnple de fonctions 
dans une intervalle («, h) est formée par les i'onctions qui 
sont constantes à l'intérieur lau sens étroit de chaque inter- 
valle partiel (.r,. .r,+)) d'une division de («, b) en un nombre 
fini d'intervalles et qui, aux extrémités de ces intervalles 
partiels ont des valeurs quelconques. L'intégrale d'une 



8', 



/f . // i () r\(; 



fbncliou simple, c'est-à-dire d'une l'oïKîlion de cette classe. 
pai- rapport à la vai'iable indépendante .i- est natuielleinent la 
somme 2^r//, (Tiin nombre fini de termes rcdatils à cha(Min 
<les intervalles partiels, r, désig-nant la valeur constante de 
la (onction à l'intérieur de l'inlei-valle Uv, .r,+i) et /' la lon- 
gue ur.tv+i — .Xi de cet intervalle. 

Désignons pour abréger une louclion semi-(;ontinue supé 
rieurementou inlerieurement au sens de Baire par les lettres 
// ou /, abréviations pour iippei' ou lo^ver semi-continuous 
l'unclions. On ëtal)lil lacilement (|ue toule l'onction // est la 
limite d'une suite non croissante et toute l'onction / la limite 
<rune suite non décroissante de l'oni;tions si/nplcs. De j)lus, 
la limite d'une suite non croissante de fonctions a est encore 
une fonction//, celle d'une suite non décM'oissante de fonc- 
tions / est encore une fonction /. Par contre, la limite d'une 
suite non décroissante de fonc^tions // est en général une 
fonction appartenant à une nouvelle classe (jue nous dési- 
gnerons par /// et la limite d'une suite non ("roissanle de 
fonctions / une fonction ap[)artenant a une nouvelle (lasse 
que nous désignerons par ///. Si nous (considérons de même 
des suites monotones de fonctions la et ///, nous retrouve- 
rons soit ces deux (dasses soit deux nouvelles classes //// et 
///// de fonctions. En continuant ainsi nous obtenons une 
séi'ie illimitée de (dasses 



// , / . ni . In , iihi . lui , iiliil . IiiIk , ... 

(le fondions. I']nlin, la considération de suites monotones de 
fonctions de classes diflei-entes nous conduira i\ de nou- 
velles classes non exprimables pai' les symboles précé- 
dents, etc. Toute fond ion boiné(.' l'eprésentable analytique- 
nient rentre dans une des (lasses de fondions ainsi caracté- 
risées. Le problème de rinlégralion S(îra résolu si, à partir 
de la définition de l'intégrale des fondions simples, nous 
pouvons, au moyen du principe général énoncé plus haut, 
attribuer une intégrale d'abord au.x fonctions bornées des 
classes // , / puis des (lasses iil. /// , /////, lui, ... etc. Mais, 
fait intéressant et capital, grâce à un théorème que nous 
indi(|uerons plus loin, nous vei'rons (|u il n'est pas nécessaire 



/, ' I .\ T /•; (. Il . 1 1. 1: I) I: s y / /; /, r.i /■; > 85 

irélutlier séparëineiil an point de vue dcî riiitùgralioii toutes 
ces classes de lonclions et cuTil sulïit de savoir intégrer les 
lonctions ///et les l'onctions /// pour pouvoir allirmer Tinlé- 
orabiiilé de toute Ibnc tioii hornée i-eprésenlal)le annlylifpio- 
menl. 

3. — La théorie de riiilégi'alioii |)ar rapport à une l'onction 
monotone ^(.r) se développe de la même manière. Considé- 
rons (Tabord une l'onction simple f\x) et soil ixt, .fj-f-i) un des 
intervalles partiels à l'intérieur du(|uel la l'onction f[.r) a une 
valeur constante /(.rj -f o) = /(.n^x — o). Nous aurons à tenir 
(compte ici des valeurs de f\.r) aux extrémités de Tintervalle 
.r,, .Vi+i) et nous définirons 

•■'■'•+1 
I /•(.,| ^,^ u-l = /•(.»••) [g{.r. + 0)-g (.r .)] + f\.x-. + 0) \gU;_^_, - 0) - -ix. + 0| | 

Lorsque gi.x:) est continue aux points .r, , .Cj+i les termes cor- 
respondants à ces points s'annulent. En particulier, si 
g{.v)=--..r, nous retombons sur la définition de Tintégrale 
ordinaire d'une constante. L'intégrale de la fonction simple 
f[x) dans l'intervalle [a,b) sera, par définition, la somme 
des intégrales étendues aux intervalles partiels .n , .r,+i . 

On élendi'a ensuite aux fonctions bornées de classes /, //, 
/// et /// la notion d'intégration par rapport à g(x). Il sufiira 
pour cela de montrei- l'existence et l'unicité de la limite des 
intégrales de suites monotones bornées ayant une limite 
donnée, lorsque les termes de la suite et sa limite appar- 
tiennent aux classes /, //, /// ou ul. On étendra ensuite la 
notion d'intégrale par rapport à g(x) à toute fonction bornée 
représentable analvticjuement en démontrant le théorème 
suivant : 

Etant donnée une /onction f(x) bornée et veprésentahle and- 
lijtiquement, on peut trouver une fonction lu qui ne dépasse 
pas f(x et une fonction ul qui n'est pas moindre que f(x \ ces 
deux fonctions auxiliaires ayant la même intégrale par 
rapport à une fonction non décroissante g(x' donnée. 

Il résulte de ce théorème que la l'onction bornée /'(.r) a une 
intégrale par rapport i^g'X) et que la valeur de cette intégrale 



86 IF. II. Y OU m; 

est éofale à la valeur coinniiine des inléoiales des deux f'onc- 
lions auxiliaiies lu et ///. 

Après avoir développé la théorie Ai^ rintégralion des 
loiictions boi'iiées par rapport à une foiu.'tion non décrois- 
sante o-(./;j, nous pouvons aborder Tinlégralion des lonclions 
non bornées. Les mêmes raisonnements sont encore appli- 
cables; ils exigent simplement plus de soin et il est néces- 
saire d'introduire <|uel(fuef"ois l'hvpothèse (|ue les limites 
obtenues sont finies: celte hypothèse était superflue lorsque 
toutes les suites considérées étaient bornées. On arrive de 
celte façon à définir la classe des lonctions sommables 
par rapport à g[pc)^ c'est-à-dire des fonctions bornées ou non 
possédant une intégrale par rapport à g{3c). Cette classe 
comprend, comme nous l'avons déjà dit, toutes les fonctions 
bornées exprimables analytiquement ; elle comprend encore 
toutes les fonctions dont le module | (/(.r) ( est lui-même 
sommable par rapport à^(.r). 

L'extension à l'inlégration par rapport à une fonction «(.r) 
à variation bornée est ensuite immédiat. Si l'on représente 
g{:ic) comme différence g[x) z=l g^ix^i — g'ii^v) de deux fonc- 
tions positives non décroissantes, on définira 

j f\.v\d<j;\.i) — (f\.x\dg^\.x\ — j'f\.x\d^^[x\ 

en montrant que le second membre est indépendant du mode 
de décomposition de ^U). 

4. — Voici une application de la théorie précédente. Con- 
sidérons une série de Fourier quelconque 

(«icos.r -|- />! sin .t) -|- irt8COs2.r + A, sin 2.ri + ... |l) 

J'ai démontré, il y a quelques années, que si 

At cos .*• -)- AjCOs2.r -|- ... (2| 

est la série de Fourier d'une fonction paire, la série trigono- 
métrique 

A,(«iCos.*- + />! sin .r| -j- Aj(rt8CO.s2,r -f- Aj siii 2,ri -}- ••• («i) 

est encore une série de Fourier. La théorie de l'intégrale 



L I S T É c. Ri 1. 1: h i: s t i i: i. i i e s « : 

généralisée de Slielljes me permet de monlrer (|iie ce résultat 
reste encore vrai, si l'on suppose seulement (|ue la série (2 
est la série obtenue par dérivation ternie à terme de la série 
de Fourier 

1 

Ai sin x + ^ A, sin 2.r -|- ... 



d une l'onction impnire a variation bornée. J'ai i'éussi. de 
plus, à montrer que la sommabilité de la fonction gix; repré- 
sentée par 3) est au moins celle de la fonction f x repré- 
sentée par l . Si, par exemple,/'(.r/ou/'.c /oo^.r est sommable. 
on peut ailirmer que o^''.r)^ ou g\x)logx l'est aussi. En parti- 
culier, lorsque les séries (1) et (2; sont les séries de Fourier 
de deux Jonctions dont la y/*""' et la ^'^""^ puissance respecti- 
vement sont somma blés, la fonction représentée par 3, a sa 

., . , , . (i -4- pi ( 1 + <yi 
r puissance sonimable, ou /• = / -. 

y 1 — p<i 

On pourrait aussi établir un théorème du même genre en 
remplaçant la série de Fourier l par sa série alliée 

(«1 cos ,r — l)i sin .n + i«2 cos '2x — />, sin 2x\ -f- ... 

5. — La théorie des séries trigonometriques a fait de 
grands progrès depuis le commencement du XX'" siècle. La 
généralisation de la notion d'intégrale a permis a Lebesgue 
d'étendre la théorie des séries de Fourier et de supprimer 
nombre de restrictions ennuyeuses. Sans celte généralisation 
ces progrès n'étaient pas possibles, car Riemann avait conduit 
les mathématiciens dans un cul-de-sac par sa théorie de 
l'intégration et la théorie des séries de Fourier risquait à la 
fin du XIX* siècle de devenir une collection de curiosités. 

Qu'est-ce donc qu'une série de Fourier? La réponse de 
Lebesgue est formellement la même que celle de Riemann : 
c'est une série trigonométrique 

— «Q -f- («1 cos .»■ + />i sin XI + (rt, cos2.r -{- ^j sin 2.n -j- ... 

dont les coefficients r/„ , bn peuvent s'exprimer au moyen 



ss ir. il. y () L.\ G 

iriine roiuiioii / .r |);tr les formules 



(1^ =z — I /"|.>l *'<Js ii.itl.» , 1)^^ =r — / /■(.») s in nxd.i 



Si mainlenant nous nous demandons à quelles condilions on 
reconnaît si une série t ri gono m étriqué est une série de 
Fourier. on peut l'épondre, (|uand on prend les inlé<^rales 
au sens modt'iiie. qu'il est lU'cessaire et suiîisaul |)Our ((da 
que la série intégrée (ternie a terme 

ir/isiii.r — />i cos .»l -|- •— («2 sin 2.i- — />, co^ 2.i ) -(- ... 

converge poui' tout point .r de Tinlervalle — r: < .r' < - vei's 
une intégrale. On ne pourrait pas donner cette réponse, si 
Ton prenait les intégrales au sens de Riemann, car la série 
intégrée d'une série de Fouri(M' au sens de Riemann ne con- 
verge pas nécessairement vers une intégrale au sens de 
Riemann. 

Les nouvelles séries Irigonomélriques, séries dérivées 
(terme à terme des séries de Fourier des lonctions à varia- 
tion bornées, c|ue jai introduites dans le rang des séries 
maniables, ont des propriétés qui les rapprochent beaucoup 
des séries de Fourier; elles s'obtiennent par les mêmes 
méthodes en employant l'intégration par rapporta une fonc- 
tion à variation bornée au lieu de l'intégiation par rapport 
à .r. .Ainsi, leurs coefïîcients s'expriment par des intégrales 
de Stieltjes 



u 



dFl 






La condition nécessaire et sulïisante pour qu'une série trigo- 
nométrique soit la série dérivée de la série de Fourier d'une 
fonction à variation bornée est analogue à (-elle fjue nous 
avons indiqué plus liant pour 'es séries de Fourier : la série 
intégrée terme à terme doit converger vers une l'onction à 
variation bornée. L'emploi pratique de cette condition est 
assez restreint. Il n'est pas facile de reconnaître si une série 



/. / .\ /• !■: c, Il . 1 1. 1: I) i: s r i e i. r.i i: s 



M 



lrig()noniétri<|iie donnée conveige vers une fonction à vsii-iîi- 
lion hoiiuMî ou même vers une inléoi-ale. Aussi, ;ivais-je 
déjà indifju»' poui* les séries de l'oiirici- de ronclions /(.r;), 
(elles f|ue I /(.i) I '+'' soit sommabic. coniin»' condilion néces- 
saire et sudisanle que 



soil une l'onclicjn bornée de // , fn (.r) désignîinl l;i n"'""' moyenne 
de Cesàro 



/«'■'■' = -I*"» + "^ + ••• + *"J 



.s- =:^V («' oos i.r -\- II- s in i. 



La condition nécessaire et suffisante pour qu'une série tri- 
gonométrique soit la série dérivée de la série de Fourier 
d'une fonction à variation bornée est que 



./ 



/;,' 



soit une fonction bornée de/i. Celle condilion est d autant 
j)lus intéressante quelle jette une vive lumière sur la nature 
des fonctions sommables et qu'elle amène à se demander si 
pour toute fonction sommable il n'existe pas une fonction 
d'ordre supérieur, soit une puissance, soil une autre fonction 
simple qui soil elle-même encore sommable. Envisagé à un 
autre point de vue, ce résultat nous donne la condilion néces- 
saire et sufïisanle pour (|u'une série trigonométrique soil la 
série de Fourier d'une fonction à varialion bornée. 

0. — Signalons encore une des nombreuses propi'iétés 
communes aux séries de Fourier et aux séries dérivées des 
séries de Fouriei- des fonctions à variation bornée. 

Une série dont les premières moyennes de Cesàro conver- 
gent vers une limite finie et déterminée est dite converger 
(Cl). Si les termes de la série sont des fonctions de jt . la 
convergence peut avoii' lieu partout, ou seulementen certains 



90 jr 11. Yo r .\ a 

points .r. Si les points où la convergence n'a pas lieu sont 
parsemés dans le continu de manière à pouvoii* être tous 
enl'eiMnc'S dans un nombre Uni ou inlini d'inlervalles dont la 
somme des longueurs est aussi petite (|ue Ton veut, la série 
est dite convero-ei- Cl) pi'esqiic pailoal. Or Lebesgue a 
démontré, il y a environ dix ans, (jue les séries de Fourier 
convergent(Cl) presque partout. En introduisant les moyennes 
de Cesàro d'ordre à ^ on a généralisé le résultat de Lebesgue 
et démonti'é (|ue la série de l'ourier d'une l'onction f'x] con- 
verge (Cd) presque partout vers f[.v\ loi'Sf|ue o '<[ (î < 1 . J'ai 
démontré d'une manière analogue (ju'une série Irigonomé- 
trique (|ui est la série dérivée de la série de Kourier d'une 
fonction à variation bornée rf.r) converge aussi (C5) presque 
partout vers F' (.ri, lorsque o < (î ^ i . 

La méthode de sommation par les moyennes de Cesàro est 
un cas spécial des méthodes de transformation d'une série 
en série convergente par multiplication de chaque terme de 
la série par une constante (facteur de convergence) conve- 
nable. Les recher(dies que j'ai faites sur ("e sujet, recherches 
auxquelles M. G. H. Hardy aajouté la démonstration élégante 
d'un point que je n'avais rpie prévu, m'ont conduit au théo- 
rème suivant : 

iS/ "V an cos nx + bnsinnxi est la série dérivée de la série 
1 
de Fourier d'une fonclion V{\) à variation bornée, La série 

« a cos nx -|- b siii iix 

"V ; est une série de Fou/'ier convergente 

■^ log n *-' 

presque partout. Sa somme est 

C / [Fi.r + /) — F(.*' — t}](lg{l\ 

*.• 

oii G est une constante et g(l la fonction a variation bornée 

I 1 ' ■ I r-i • -v^ COS nx 

dont La série de tourier est ^ -, . 

7. — Je termine en indiquant un exemple de la simplifica- 
tion que peut apporter l'emploi de l'intégrale généralisée 



/. / .^ '/• /:' a i{ A I. /•; n i-: s r i k l t.i /; s 9 1 

de Stielljes dans la démonstration de lliéorèines iléjà connus. 
Je prendrai pour cela le théorème suivant : 

Si Fnfx' = / In xidx est une fonclion boniée de n , ([ni con- 

i'e/'ge vers une intégi-(ile V {\ = / r(\ d\. e/ si g(x) es/ une 

fonclion a variulion bornée, on aura 

En effet, de même (jue dans la théorie de rintëgralion |)ar 
rapport à r . il est permis dans notre théorie d'intégrer 
terme à terme une suite bornée. On aura donc 

lim I V\^\x)dg[x\ z= J¥[x]dg(x) . 

Or, Fi.rj et F„(.r) étant des fonctions continues, on peut inté- 
grer par parties, ce qui donne 

.1- X .)• X 

lim j \g[x) K„(.r| I — fgix)dF^^{x] j = rF|.i)^(.r)l - /Vi<)rfK(.r| . 

« a a a 

Les premiers termes des deux membres de cette relation 
sont égaux et les seconds sont des intégrales par rapport à 
des intégrales; par (-onséquent, comme on le voit l'acile- 
menl, on peut exprimer les seconds termes par des intégrales 
de Lebesgue, par exemple 

X X 

f g{x)dV^x) = fg\x)f\x)dx . 
a a 

Par suite, l'égalité des seconds termes des deux membres 
donne le théorème chercthé. 

Cette démonstration si brève n'emploie que des théorèmes 
fondamentaux, bien connus pour l'intégration ordinaire. 
Tout mathématicien peut donc en suivre le raisonnement: 
il lui suffit d'accepter ces théorèmes fondamentaux. La pre- 
mière démonstration que j'ai donnée de ce théorème remplit 



«12 -/. \\l SS //.//: F 

au fonliair*^ plusieurs pages; elle est délicate, elle utilise le 
ehangement de variable à la façon de Lehesgue et nécessite 
pour sa conipiéliension des connaissances étendues et une 
attention soutenue. 

J'espère en avoir assez dil j)our convaincre delà simplicité 
et de l'intérêt de la tliéoi'ie de Tintégration j)ar rapport à 
une ("onction à variation bornée. 

W. H. VoLNG (Genève). 



LE BICENTENAIRE DE LA LOI DES GRANDS NOMBRES 



Le 1/14 décembre 1914, l'Académie des Sciences de Saint-Péters- 
l)our<r a consacré une séance solennelle à la célébration du bicen- 
tenaire de la publication à Bàle, en 171.'». de l'œuvre posthume de 
.Jacques Bernollm : Ars conjectandi. On sait que la quatrième 
partie de cet ouvrage contient l'énoncé et la démonstration du 
célèbre théorème de Jacques Behnoulli, le plus simple cas d'un 
ensemble de théorèmes qui constitue la loi des grands nombres. 

La séance fut suivie par un nombreux public ; elle comprenait 
trois discours. Tout d'abord M. le Prof. A. Vassh.iei parla des 
questions de la théorie des probabilités jusqu'au théorème de 
Bernoulli. Puis M. Maukof, membre de l'Académie, et qui avait 
|)ris l'initiative de la séance, examina la loi des grands nombres 
considérés comme un ensemble de théorèmes mathématiques. Lnfin 
M. le Prof. A. Tschouphok montra le r<Me de la loi des grands 
nombres dans la science contemporaine. 

Nous croyons intéresser les lecteurs de cette Revue en leur 
donnant un aperçu de ces trois conférences. 



I 

M. le Prof. A. Vassilief a donné un aperçu historique du déve- 
loppement de deux notions fondamentales : de la probabilité 
mathémati(jue ou a priori et de la probabilité a posteriori ou 
empirique. Dans la « Summa de Aritmetica Geometiia Proportioni 
c Proportionalità » de Paciùolo, dans les ouvrages de Tartaglia. 



/, ./ LUI DES I.HA.ShS .\ (j M li li i: s '.t:; 

(le Cardan et de (lalilée, on trouve les jDiemieis essais de la réso- 
lution des problèmes relatifs aux jeux de hasard. 0\\ rencontre 
chez (>ardan même des phrases que l'on peut ref»-arder c(»mme un*- 
divinati(m de la loi des «rrands nombres. Mais c'est dans la célèbr*- 
correspondance de Pascal et de hVrmat de l(i.")'t et dans rouvra<fc 
de lluyj.ihens « De ratiociniis in ludo aleac " lO.")? que sont 
données les méthodes systématiques pour la détei-mination des 
probabilités a priori; c'est là qu'on trouve les piemiers exemples 
des équations aux diOerences et l'emploi systématique de la théorie 
des combinaisons. Mais pour ces trois grands mat hémaliciens les 
problèmes avaient avant tout un intérêt mathématique; dans un 
passage de la lettre adressée en 1654 « Celeberrimic .Vcademiu' 
Parisiensi » Pascal se réjouit que la résolution de ces problèmes 
soumette à la puissance de l'esprit ce qiti n'est pas accessible à l'e.r- 
périence. On voit par là (jue Pascal, en restant dans le domaine 
des jeux de hasard, était loin de voir la liaison de cette question 
avec les événements fortuits de la vie humaine ou de la météo- 
rologie. 

D'un autre côté ce sont les besoins de la vie piatique qui ont 
amené déjà les jurisconsultes romains à considérer certaines pio- 
babilités empiri(|ues. Xolamment L Ipianus lie commencement du 
111' siècle a. D. dans son commentaire sur la lex Falcidia a 
publié la première table des vies probables pour les dilTérents 
âges. Les questions de l'assurance maritime contre les avaries 
— dans les républiques italiennes de Venise et de Gênes, — les 
assurances de vie et les rentes viagères en Hollande Jean de ^^ itt. 
1071 ont amené ;i considéi-er les probabilités empiriques ou a 
posteriori. Déjà en 1060 on trouve dans le « Jouinal des Savants » 
une table de mortalité. En Angleterre ce sont les travaux de 
Graunt, de Petty. de Ilalley qui, entre 1601 et lOO.'î. élaborent les 
méthodes relatives à la théorie de la population. 

Le giand Leibniz s'est occupé à la fois et des questions relatives 
<aux probabilités empiriques, et de celles qui ont pour but de 
déterminer pour diffèients jeux de hasard les probabilités a priori. 
En 1082 il a publié son : « Essay de quelques raisonnements nou- 
veaux sur la vie humaine et sur le nombre des hommes ^ )> D'un 
autre côté il a attribué toujours une grande importance à l'étude 
des jeux. Dans ses manuscrits on trouve le calcul des probabilités 
pour le jeu de quinquenove et des études sur les jeux de la Bas- 
sette, de l'Hombre et du Solitaire-. 

En outre Leibniz a été amené aux questions de la théorie des 
probabilités par ses études sur la logique et par ses travaux de 
jurisprudence. Il avait le droit de dire dans sa lettre à .lean Ber- 



' Kr.oi'p, Wcrkc ^■oll Leibniz, V. S. 326-337. Hanovor, ISCK. 

* Opuscules de Lcil>niz, ('-dition de (Joiitural. P.-iris. 190 1. p. ôtiS. 



♦1'» ./. V.i s s I l.l K F 

noiilli (> juin 1710 à propos du uiaiiusciit de l'Ai's conjcclandi : 
" l'^go jam a puero hoc aigunienluni vcrsavi tune impriniis cuni 
jiui dareni opeiani. » Sa » Scientia generalis » devait comprendre 
deux parties : la logique du nécessaire et la logique du probable. 
I.a première existe déjà : c'est la mathématique. Quant à la logique 
du probable, elle est à créer et c'est le domaine des sciences juri- 
<li(iues qui en a le plus besoin. ^ Tt mathematicos in necessariis 
six' jurisconsultos in contingentibus l^ogicam hoc est rationis 
artem prae céleris mortalibusoptime exercuisse (Ad stateram juris 
de gradibus probationum et probabilitatum. Opuscules, édition 
(louturat, p. 210. » 

Dans plusieurs de ses ouvrages consacrés à la juiisprudence 
Leibniz s'approche des questions fondamentales de la théorie des 
probabilités ; par exemple, dans le mémoire où il traite la question 
de l'éiection du roi de Pologne, il parle de l'addition et de la 
multiplication des arguments juridiques. Grâce à ces travaux, 
] esprit philosophique de Leibniz a compris que les questions 
des jeux de hasard ne sont qu'un cas spécial d'une doctrine qui 
doit traiter l'appréciation de tout ce qui n'est pas nécessaire et 
certain. Cette doctrine il l'appelle : « De incerti aesfimatione sive 
de aestimandis probabilitatibus. « Les idées de Carnéade et de la 
troisième Académie sur les degrés de probabilité renaissent chez 
Leibniz comme un siècle et demi plus tard ce probabilisme de 
Carnéade et de Leibniz renaît dans les ouvrages philosophiques 
de Cournot. On trouve dans les manuscrits de Leibniz un intéres- 
sant mémoire sous le titre : « De incerti aestimatione » 1678 et là 
nous avons le principe de la pi'obabilité totale énoncé déjà sous sa 
forme contemporaine^ Mais nous ne connaissons pas encore tout 
ce qui est contenu dans les manuscrits de la bibliothèque de 
Haiiovre et nous devons espérer que M. Dietrich ÎNlahnke, qui 
étudie si consciencieusement les manuscrits de I^eibniz relatifs 
aux principes philosophiques de la théorie des probabilités -, nous 
en donnera bientôt un aperçu complet. Jusque-là on peut seule- 
ment affirmer que, avant Jacques BernouUi, personne n'a com])ris 
aussi largement et dans un esprit aussi philosophique les pro- 
blèmes de la théorie des probabilités que Leibniz. Aussi prenait-il 
grand intérêt à la publication de l'Ars conjectandi ; et. dès (|ue le 
livre a paru, dans la même journée du 9 septembi-e 1713, Jean et 
Nicolas Bernouili en avertissent Leibniz^. .Mais il est clair aussi 
quil a été loin de l'idée pleine de génie du théorème de Jacciues 
Bernouili. ()uand ce dernier dans les lettres de 1703' a commu- 



* (tpuscules, éd. Coiilurat, )). 56'.l-571. 

' Biblintheca iitathcinatica, 1913. Voir aussi son intéressant article : <• Leibniz als Gegner 
(ler Gelehrtencinseiligkeit. » Stade, 1912, S. 11-13, 77. 

' GlîRHARDT, Lcihnizens matheni. Schr., III. S. 8'i5. 8.50. 922, 889. 

* (tKbiiardt, s. 77, ff. 



LA LOI h i: s a u . I .\ /) s .\ o m is ji /. s >.ir, 

iii(iiit' à Lciljiii/. 1 idée essentielle de son théoiènie il a rcncDiil i é 
de la part de Leibniz des objections auxquelles iîcrninilli répond 
à la lin du chapitre 4 du livre IV de TAis conjectandi. Il faut 
ajouter cependant que dans la lettre à Bourguet, i-eibni/ ITl'i)* 
énonce déjii comme lui appartenant l'idée de la detcrininatioti de 
la probabilité empiricpie. 

(^uant à Jacques Bernoulli on peut suj)poser <pie c'est son 
voyage en Hollande de Tan 1G81, quand il avait vingt ans, qui 
avait eu une grande influence sur la direction de ses pensées et 
de ses travaux. C'est à Amsterdam qu'il a écrit ses premiers 
ouvrages sur le mouvement des comètes lOS'ii et sur la pesanteur 
de l'éther 1683!"*; le premier de ces ouvrages est dédié ii iludde, 
éminent mathématicien, qui, un des premiers, s'est occupé de la 
question des tables de mortalité. C'est là donc que pouvaient 
prendre naissance ses idées sur la détermination empiri<|ue des 
probabilités; c'est là qu'il a pu commencer, comme il le dit dans 
sa lettre à Leibniz du 30 octobre 1703 « cogitare annon lorte quod 
a priori non latet, saltem nobis innotescere possit a posteriori, ex 
eventu in similibus exemplis multoties observât©. >> Dans les pre- 
mières années après son letour à Bàle jusqu'à ce qu'il y reçut, en 
1(387, la chaire de mathématiques, ses travaux mathématiques, 
physiques, mécaniques sont mêlés à des tra\aux dans le domaine 
de la logique. Ainsi en 1084 il défend « cent thèses philosophiques ^^ 
dont 34 se rapportent à la théorie des syllogismes; les autres sont 
des thèses oratoria* et des thèses miscellanea:' ; plusieurs d'entre 
elles nous frappent par leur originalité, par exemple « Physica est 
pars specialis Matheseos », ou «< \on in omni triangulo très anguli 
sunt duobus rectis .equales », ou « Linea recta rectior posse dari, » 

Parmi ces thèses de 1684 nous n'en trouvons aucune qui aurait 
pu se rattacher aux questions de la théorie des probabilités ; mais, 
en 1685, Bernoulli publie dans le « Journal des Savants » un pro- 
blème sur la détermination de la probabilité mathématique foit 
intéressant au point de vue mathématique '. La même année, 
1685, il imprime un mémoire intéressant : < Parallelismus ratiocinii 
logici et algebraici. » Dans la 19""' thèse, il y énonce comme le 
plus grand mérite des mathématiques qu'elles peuvent avec une 
certitude apodictique discuter les choses éventuelles illa de 
rébus maxime fortuitis velcasualibus v. gr. fortitionibus apodictice 
et certissimo ratiocinio discurrit). Pour confirmer sa thèse, 
Bernoulli donne deux exemples, et tandis que l'un se rattache 
au jeu des trois dés et à la probabilité de la somme indiquée des 
chiffres, c'est-à-dire à la déteiinination de la probabilité a priori, 



' (tiMuiAiîDT, Philnsoph. Schr. von Leibniz, III. S. 570. 

' .lacobi Bernoulli Basileeiisis opéra. Gcneva?, 1744. 

' V. Em STRiÏM. Jacob Bernoulli iind die (j Heihen (Uiblioth. math.. 1910). 



96 . / . I ■ . / .s > / /. / /•; /•• 

l'autre (Problema de paclis dotalibus (lopciul déjà do la probahilito 
pour niic personne de vivre un oei'tain nonil>i-c dannées, c'est-à- 
diied'une pr()babilit('' enipirupie. Rn ayanl supposé ici que la proba- 
bilité de vivre un certain nombre dannées est la même pour une 
jeune femme qui se marie et pour son père et sou beau-père, Ber- 
noulli une année après 1(>(S() : Thèses looicu' de couversione et 
opposifione enuncialionum résout le même problème dans une 
autre suppositi<Ju, notamment qu'il est deux fois plus probable que 
Caja survivra aux vieillards. Va BernouUi appuie cette supposition 
sur la table de mortalité insérée dans le « Journal des Savants » 
en !()()(). Enfin en 1587. dans un méruoiro « Solntio leryemiui 
problematis » ou trouve entre les thèses prises dans les diffé- 
rentes sciences mathématiques une H.v arte conjecturandi. Mais 
en commençant par 1688 nous ne trouvons déjà rien qui aui'ait pu 
nous renseigner sur ses travaux dans le domaine qui a illustré son 
nom, quoique de temps en temps il ajoute des thèses logiques à 
ses ouvrages purement mathématiques fp. ex. au mémoire : « De 
seriebus inlinitis » 11092. 

Telles sont, comme on le voit, les indications peu sullisantes 
sur son travail persistant qui, comme dit Bernoulli lui-même dans 
r« Ars conjectandi », a duré vingt années ijam per i>icen/iii(m pressii 
et qui a abouti à la démonstration du célèbre tliéorèiue. « Ars 
conjectandi » a été publiée en 1713; la loi des grands nombres 
pouvait maintenant devenir le fondement sûr de la science des 
événements collectifs (Massenerscheinungen) et un nouveau point 
de vue pour l'étude de la nature — point de vue statistique — 
s'ouvrait maintenant pour la science. 

Moins de trente années après la publication de r« Ars conjec- 
tandi », deux ouvrages ont été publiés qui avaient appliqué ce 
point de vue à des événements de grande importance. En 1738. 
Daniel Bernoulli publiait sa « Hydrodynamica » ; en 1741, un pas- 
teur prussien Sussmilch — son ouvrage : « Die gottliche Ordnung 
in den \ eriinderungen des menschlichen Geschlechts ans der 
Geburt, dem Tode und der Fortpflanzung desselben ervviesen ». 
Ce dernier ouvrage a été le précurseur des travaux de Quetelet. 
de Lexis et de tant d'autres qui ont fondé la statistique sociale. 
I^'ouvrage de Daniel Bernoulli contenait le premier résultat de la 
théorie cinéti<iue des gaz — la déduction de la loi tle Boyle- 
Mariolte en partant de l'hypothèse du mouvement chaoti(|ue des 
luolécules. Kronig, .loule, Clausius ont exploré le chemin ouvert 
par D. Bernoulli; les travaux de Boltzmann, de Maxwell, de 
r^orentz, de Planck ont montré l'importance de cette voie pour 
toute la physique. Le monde scientifique vit sous l'impression de- 
là théorie des Quanta de M. Planck. On sait quelle était l'opinion 
de l'inoubliable Poincaré sur les conséquences extrêmes aux- 
quelles celte hypothèse doit fatalement nous conduire. Une con- 



/. ./ LOI DES C n A .\ l> S .\ (J M /i /,' /. S 97 

ce|3li()ii métaphysique tles plus audacieuses — celle des atomes d(i 
temps — émise parles philosophes arabes de l'école des « Muta- 
kalliuiun » renaît, basée sur les expériences relatives au rayonne- 
ment noir et aux chaleurs spécifi(jues pour les températuies trr's 
basses. 

El cest toujours le « (lambeau des mathématiques » qui éclaire 
la science sociale comme la science physique. Deux siècles qui se 
sont écoulés depuis la publication de l'a Ars conjectandi « ont de 
plus en plus confirmé la thèse que son illustre auteur a énoncée 
en 1()8Ô : Onines disciplinac Mathesi indigent; Mathesis nn lia, sed 
per Si? sola sibi siifficit. 



M. .4. Markof a commencé son discours en indiquant que le 
théorème de .lacques Bcrnoulli est le premier de l'ensemble des 
théorèmes qui peut être appelé la loi des orands nonibres. On ne 
peut pas déterminer exactement Tannée dans laquelle .1. Bernoulli 
a trouvé sa démonstration. Dans ses lettres à Leibniz (3 octobre 
1703 et 20 avril 1704) * Bernoulli écrit : « Dixi autem in istis me 
posse demonstrare ; viditque demonstrationen jam ante duo- 
decennium Frater et approbavit. » Dans son ouvrai^e « Ars con- 
jectandi » il éloigne à vingt ans l'époque à laquelle il a démontré 
ou commencé à démontrer son théorème : « Hoc igitur est illud 
problemaquod evulgandum hoc loco proposui postquam jam per 
vicenuium pressi. » Il est à remarquer que l'éditeur de l'ouvrage 
posthume, Nicolas Bernoulli. n'a pas apprécié à sa valeur l'impor- 
tance du célèbre théorème. Au contraire, Jacques Bernoulli 
lui-même l'a considéré comme le fondement nécessaire pour la 
recherche des probabilités a posteriori. La démonstration de 
Jacques Bernoulli est tout à fait exacte, quoique liée à une con- 
dition restrictive relative aux nombres des épreuves. Comme la 
formule exacte qui exprime la probabilité que la différence entre 
le rapport du nombre des arrivées d'un événement quelconque A 
au nombre total des épreuves et la probabilité de l'événement ne 
sort pas des limites déterminées et très pénibles à calculer si le 
nombre des épreuves est g'rand, on se sert des formules d'approxi- 
mation. On lencontre le premier exemple d'une telle formule 
d'approximation dans la lettre de Nicolas Bernoulli à Montmort, 
23 juin 1713. Elle se rattache à la question intéressante de la 
stabilité de la distribution des nouveau-nés par rapport à leur 
sexe et a attiré l'attention de Moivre qui, aidé par Stirling. a 



1 Gerhardt, Lcibnizcns math. Schr.. III, S. 77. 88. 
L'Enseignement inathéni., 1C« année ; 1914. 



98 ./. VA S S I II i: F 

obtenu comme lexpiession aj)proximalive de la piol>abililé rinlé- 
•^rale que nous appelons l'intégrale de Laplace (Miscellanea 
analytica, 1730 . M. Markof n'entre pas dans l'étude di'taillée des 
expressions approximatives; il se contente d'indiquer (pie le pei-- 
iectiojinenient des méthodes du calcul approximatif a été le sujet 
des travaux remarquables de Laplace et de Poisson, [-e calcul 
approximatif de la probabilité dans le cas où l'erreur peut être 
sufrisainmeiit évaluée conduit à des théorèmes-limites. Ainsi il 
donne pour le théorème de Bernoulli la drmonslration de I.aplace 
liée à la déduction du second théoi'ème-limite pour le cas le plus 
simple. Tandis que dans le théorème on prend pour la dillerence 
entre le rapport du nombre des arrivées de l'événement A au 
nombre total des épreuves et la probabilité de l'événement A les 
limites fixes, dans le second théorème-limite ces limites sont 
proportionnelles à l'unité divisée par la racine cairée du nombre 
des épreuves que Ion suppose toujours croître indéfiniment. Le 
théorème dit que pour un nombre suffisamment grand d'épreuves 
la probabilité que les limites ne seront pas dépassées s'appioche 
de l'intégrale de Laplace aussi près que Ion veut. 

En combinant le second théorème-limite avec le théorème de 
Bernoulli on parvient à ce que l'on peut appeler le second degré 
du théorème de Bernoulli. Remplacez chaque épreuve séparée 
par un ensemble d'épreuves dont le nombre peut croître indéfi- 
niment et considérez une série indéfinie de ces ensembles. Au 
lieu de l'événement primaire considérez le nouveau qui consiste 
en ce que les résultats dun ensemble ne dépassent pas les limites 
indiquées. Alors le théorème de Bernoulli conduit à son second 
degré, la probabilité de l'événement primaire étant remplacée par 
la valeur-limite de la probabilité du nouvel événement, c'est-à-dire 
par l'intégrale de Laplace. Poisson a employé le calcul approxi- 
matif dans un autre but : pour la généralisation du théoi-ème de 
Bernoulli. Le théorème qu'on appelle maintenant le théorème de 
Poisson ou la loi des grands nombres diffère du théorème de 
Bernoulli en ce que dans le premier la probabilité de l'événement 
ne reste pas constante pour' toutes les épreuves mais peut changer 
d'épi'euve à épreuve. On doit alors remplacer dans l'énoncé du 
théorème de Bernoulli la probabilité constante par la moyeujie 
arithmétique des probabilités. Poisson n'a pas démontré son 
théorème parce qu'il s'est limité au calcul approximatif sans 
évaluer d'une façon sufiisante l'erreur du calcul. 

(>'est P. li. Tchebychef qui le premier a donné en 1846 la 
démonstration du théorème de Poisson dans sa note remarquable 
« Démonstration élémentaire d'une proposition générale de la 
théorie des probabilités », ( « Journal de Crelle », vol. 53). Vingt 
ans après, Tchebychef a donné une autre démonstration du théo- 
rème de Poisson. Cette seconde démonstration, basée sur la consi- 



L.i LOI i)/:s (;n.i.y/)s .\ o y n n i: s 99 

dération de rcspéraiicc inalh('mali(|ii(' i\\u\ (•«•itaiii carr*' ', est 
merveilleusement simple et donne un théorème beaucoup plus 
frénérai (pie celui de Poisson parce (piil s'a^^it darïs ce théoi'ème 
de la somme de j)lusieuis oi-andeurs éventuelles. Mais il faut 
remarquer que les points fondamentaux de la démonstration ont 
été indiqués en 185-*^ par un mathématicien français Bienaymé 
dans son mémoire : « (Considération à Tappui de la découverte de 
I^aplace ». ((Comptes Rendus, vol. .■37s Le mémoire de Brenaymé 
a été réimprimé dans le .tournai de Liouville et place* justement 
devant le mémoire de Tchebychef, sans aucune indication cepen- 
dant sur le lien étroit qui unit les deux mémoires. Depuis, 
Tchebychef, dans une courte note lue au Congrès de Lyon en 1873 
et publiée dans le .lournal de Liouville en 1874 -, en indiquant ce 
lien, a remarqué lui-même (jue sa seconde démonstration est une 
application de la nouvelle méthode donnée par Bienaymé dans 
le mémoire cité. Cette méthode — méthode des moments ou des 
espérances mathématiques ^ — peut être caractérisée de la façon 
suivante : 

On considère les espérances mathématiques de fonctions diverses 
d'une certaine quantité et on en déduit les indications relatives 
aux probabilités de telles ou telles suppositions. Quoique Tche- 
bychef aitatlribué lui-même cette méthode à Bienaymé, M. Markoff 
considère comme plus juste de la nommer méthode de Bienaymé- 
Tchebychef parce que cette méthode a trouvé sa pleine justifi- 
cation dans les travaux de Tchebychef. C'est Tchebychef qui la 
liée avec certains problèmes sur les maxima et les minima, qui 
diffèrent des problèmes du calcul des variations en ce que la con- 
dition de la continuité de la fonction est remplacée par la condition 
de l'invariabilité de son signe, vu que les masses et les proba- 
bilités ne peuvent pas être négatives. D'un autre côté c'est Tche- 
bychefciui a montré que la méthode des espérances mathématiques 
mène au premier et au second théorème-limite. I^e développement 
ultérieur de la loi des grands nombres est de notre temps; il 
consiste dans une extension du domaine de l'application des 
théorèmes-limites, par exemple au cas des épreuves et des gran- 
deurs liées ; ici la méthode de Tchebychef s'applique avec le 
même succès que la méthode de Laplace '. 

A la fin de son discours, M. Markof a rappelé que sui" la tombe 



^ Recueil niathëniatiqiie de Moscou 1806. Journal de Liouville 1867. L'article porte le nom : 
Valeurs moyennes iv. (JEiivres, conip. t. 1, p. fi87-694l. 

2 OEuvres, t. 11, p. 18:5. 

^ M. Markok, dans la troisième édition russe de sa Théorie des probabilités, a placé un 
j>i'and appendice sous le titre : Démonstration du second théorème-limite du calcul des proha- 
bilités par la méthode des moments ; cet appendice est publié séparément en langue française 
comme une édition pour le bicentenaire. Un portrait de J. Bernoulli y .est ajouté. 

* Les travaux i>nportants de M. Markof sur ce sujet sont publiés dans l'appendice cité .i la 
troisième é.lition russe et dans les appendices 11 et 111 .t la traduction allemande faite par 
M. Liebmann : }yahrschcinlichkeitsrechnung, Leipzig, Teubner. 1912. 



100 /. v.i ss 1 1,1 1: F 

de Jacques lieriiouUi suul i^ravos, selon son désir, les paroles 
« Eadem niutata resurgo ». L'espérance exprimée parées paroles 
s'est réalisée : Bernoiilli \it cl vivra élerncllenient dans son 
ihéorcnie. 



Ili 



Le discours de M. Tclwujnof, a ou pour ])ut dOpposer deux 
méthodes de connaissance : la connaissance astronomique, comme 
dit R. Dubois-Ueymond dans sou célèbre discours, et la connais- 
sance statistique. Tandis que la première tend à connaître l'histoire 
d'une individualité planète, homme, moléculej, l'autre ne s'inté- 
resse pas à l'individuel, mais étudie les collectivités, les valeurs 
moyennes. La connaissance astronomique est impuissante dans 
beaucoup des problèmes où le point de vue statistique, fondé sur 
la loi des grands nombres, nous donne au contraire des lésultats 
remarquables (les questions de l'hérédité liées à la loi de Mendel. 
les problèmes de la météorologie, l'étude de la structure des 
systèmes stellaires, elc.i. Les progiès merveilleux de l'atomisme 
dans ces dernières années ont vaincu la prévention des physici<'ns 
contre la méthode statistique. Les lois de la nature, lesquelles 
d'après le point de vue astronomique ne donnaient pas lieu à des 
exceptions, se réduisent maintenant à des constellations les plus 
probables des événements ; la violation de ces lois est au plus 
haut d<'gr('' impi-obable, (juoique possible. Auparavant les lois de 
la nature étaient la source du déterminisme et on cheichail 
lindéterminisme dans ce qui est individuel ; maintenant au con- 
traire, c'est l'individuel qui est considéré comme déterminé et les 
lois de la natuie qui ne représentent que les moyennes statistiques 
portent en elles-mêmes une certaine indéteruiinatiou. 

A. \ Assii.ii-F fSaint-PétersbouiQ . 



SUH L'OPKUATION 

u THANSPURT DE SEGMENTS HECTILK.NES » 

DANS LES CONSTKUGÏIONS 

DE LA (GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE 



I 



Parmi les constructions élémentaires classiques de la géométrie 
descriptive il y en a un certain nombre qui exigent le « transport 
de segments de droites » dune place à Tautre de l'épure; je cite 
comme exemples de cette espèce de constructions celles ayant 
pour but la projection 
P'" sur le plan de piolil 
d'un point P dont on 
connaît la représenta- 
tion (P', P") dans la Mé- 
thode de Monge voir 
lig. 1) ou bien de la 
trace ^3 sur le même 
plan dun plan déter- 
miné par ces traces /, , 
/, (même figure). 

Or ces construc- 
tions, quelques sim- 
ples qu'elles soient, 
ofl'rent des inconvé- 
nients assez graves 
dans leur exécution 
pratique, cardans cha- 
que cas il faut savoir dans quel sens le transport doit avoir lieu. 

Poui- ce qui a rapport à la première des questions ([ue je viens 
de citer, la diiliculté a été vaincue de la manière la plus heureuse 
par M. \\. Waelsch ^ par un procédé désormais ancien, que je vais 
exposer. 




Fig. 1. 



' L'eber einc Aufgahi: au.< tier dar.itelteiiilen Heoinctric iMonatshefti" I". Mitth. nnd Plivs 
T. III, 1892, p. !i2-'JCi. 



lu-J 



^ /. (> n I A 



Appelions /,., la lionedc terre et t^.^,/.,.^ les intersections du plan 
de profil avec les plans horizontal et vertical de projection après 
le rabattement de tous les plans fondamentaux sur l'épuie ; appel- 
ions encore P,j et P23 les intersections des droites /,., et t.,.^ avec les 
ordonnées P'P"etP"P"'; pour distinguer les diderentes régions 
du plan du dessin nous fixerons un sens positif sur la ligne de 
terre t^, et un sur la droite t.^.^ en faisant la convention suivante : 
un observateur étendu sur la droite ^,^ ou /.,3 de manière que le 
sens pieds-tète coïncide avec le sens positif de cette droite a, à sa 
droite, la région positive <lu plan horizontal tt, ou respectivement 
tlu plan vertical 7t.-, . Cela posé, la côte verticale du point arbitraire 
P est le nombre que mesure le segment P'Pj^ ou bien le segment 



P"'P 



sisrne bien déterminé. Par consé- 



23, nombre pris avec un 
quence (fig. l;, si P^ est le point ou se coupent les parallèles me- 




Fig. -1. 



nées du point PYi à Z,.^ et du point P"' à t.^^ se trouve sur la bissec- 
trice b de l'angle fermé par les directions positives des droites t^., 
et Z,3 : de là, la construction qui suit fig. 2 : par le point donné P' 
menons la parallèle à la droite t,, et par le point P^, où elle coupe 
la bissectrice b, conduisons la parallèle à t„^\ cette droite coupera 
au point cherché P'" la parallèle menée par l'autre point donné P" 
à la ligne de terre. Dans la fîg. 2 on a répété cette construction 
sur plusieurs points P, Q, R. S, situés en des différentes régions 
de l'espace pour montrer qu'on peut l'exécuter « automatique- 
ment » sans qu'il soit nécessaire aucune discussion préalable . Il 
est bon de remarcjuer qu'en l'exécutant dans un ordre différent 



(. É o M i: T R 1 1: I) E s (• ni I' 1 1 V i: 



w.\ 




elle donne la première projection diin p(»ihl V (Ictciininé sur ses 
projeetions sur le plan veilieal et snr le plan de piolil. 

Ce procédé appliqué à deux points arbitraires \,H d'une droite 
/• mène à sa pi-ojection sur le plan de pi(dil. car /"' n'est que la 
droite (jui joint A'" 
et D'"; il convient en 
général de choisir 
(fig. 3) comme points 
auxiliaires les deux 
traces T, et T._, de la 
droite /• sur les deux 
premiers plans de 
projection voir fig. 
3). Ajoutons que sur 
la droite /• on peut 
considérer un troi- 
sième point, c'est sa 
trace T3 sur le plan 
de profil ; pour dé- 
terminer ce point 
remarquons que T"., ^. „ 

, . " Fig. 3. 

est le point ou /" 
coupe ^23 ' ^^ '^is- 

nière que T'% := T3 n'est que le point auquel /'" est coupée par la 
perpendiculaire menée du point T^ à la droite ^.,,. En reconnais- 
sant T"3 et '\"\ il est aisé de trouver T'3 par la méthode exposée 

ci-dessus: cette construc- 
tion ofTre une vérification 
car T'3 doit tomber sui- /'. 
La figure prouve aussi 
qu'on peut trouver T'"^ = 
T3 à l'aide de points T'3 
et T"3, sans avoir recours 
à la projection /'". 

De tout cela, on peut 
tirer une construction 
tout cà fait sûre de la troi- 
sième trace t^ d'un plan 
donné par ces traces /, et 
t^ (fig. 4 . Remarquons, 
en effet, que de la même 
manière que /, et /., se 
coupent en un point 1,., 
de la ligne de terre /,.,, 
/_, et ^3 iront se rencontrer dans un point Tj.j de la droite t.,^\ de 
manière que, pour déterminer ^3, on n'a besoin que d'en chercher 




Fig. 



iD'i 



C. I.O H I A 



(lireoleniciil un poiiil: à cet cHVl. il siillil de consitléi-er une 
droite du plan J^t.^\ et den construire, par le procédé exposé ci- 
dessus, la troisième trace T3. Or, comme droite auxiliaire il con- 
vient de choisir la droite /, : elle coïncide avec sa première pro- 
jection /', , tandis que /", tombe sur la dioite /,.^. T'., est le point 
/,/.-,., tandis que r"j est le point := f^f =!■■<. '- appliquons aux points 
'i'3 et T"., une construction précédente et nous obtiendrons le 
point T'"., = Tg ; en le joignant au point Tj, on aura de suite /.,. 
La figure prouve que les deux seg^ments rectilifjnes OT',, et OT^ 
sont égaux entre eux; cela sulTIt pour établir Taccord parlait de 
notre constiuction avec une de celles ((ui sont lappelées par la 
ligure 1. 

Il 

l/o|)(Mation de transporter un segment se présente encore dans 
une autre catégorie de questions, c"est-à-dii-e dans celles rela- 
tives au changement des plans de projection dans la méthode de 




Fig. 5. 



Monge. \ous allons nous en occuper à cause de leur considérable 
importance pratique, en nous bornant, comme c'est permis de le 
faire, au cas dans lequel on ne change qu'un des plans auxquels 
on rapporte toutes les figui'es de l'espace, par exemple, le plan 
vertical. Dans ce cas, les données de la question sont les deux 
lignes de terre, l'ancienne t^.-^ et la nouvelle t*^^ et ce qu'il faut 
trouver est la nouvelle rcpi'ésentation d'un point, d'une droite on 
d'un plan repre'sentés par rapport au système primitif. 



(', /•; () M /•; y n 1 1: n i: s( m r i i v /•; i o:, 

Soient dahoid li;j;. ."> (lonnccs les deux projccliftns l^'el I*" d un 
point P dans le premier système et soit P"* la nouvelle projection 
verticale du point P ; si i*,.^ et P',2 sont les intersections des deux 
litjnes de terre avec les ordonnées V P" et P' P"*, les deux serments 
P"P|.> et P"*P*,., seront «'ifaux entre eux. cai- ils sont tous les deux 
mesurés par la côte horizontale du point donné; par suite, on dit 
d'ordinaire (pie pour trouver P" il sufïit de transporter le segment 
P"P,2 s"^' ^^ perpendiculaire P'P*,., à partir de son pied dans un 
sens dèlerminé. Pour éviter la discussion cpii est nécessaire pour 
lixer dans cha(fuc cas (jiiel est ce sens, appelons Pple point oti la pa- 
rallèle menée de P" à /,., coupe la paiailèle menée de P"' à l\^\ V^ 
tombera <n idem ment sur la bissectrice b de lanyle forint' par la 




Fig. 



direction positive de f,^ et la direction négative de /*,o. Cette bis- 
sectrice menée, pour trouver P"* on peut procéder de la manière 
suivante : Du point P"on mène la parallèle à /,.,; soit P^son intersec- 
tion avec la droite b ; du point P^, on tire la parallèle à T,.^ ; le point 
où elle coupe la perpendiculaire menée de P' à t^.-, est le point 
cherché P"*. (Dans la fig. 5, nous avons exécuté cette construc- 
tion sur plusieurs points P, Q, R, S placés en des régions diffé- 
rents de l'espace). 

A présent, pour déterminer la nouvelle représentation dune 
droite /■, il est évidemment suffisant de répéter cette construction 
sur deux de ses points ; en général, il convient de choisir encore 
comme points auxiliaires ses deux traces T, et T.,, mais il est bon 
de se rappeler la possibilité d'autres choix pour se tirer d'affaire 
dans les cas douteux. Dans la fig. () on a appliqué la construc- 



106 



G . I. () li I A 



tion (jne nous venons dexposci- à la délerniination de la nouvelle 
projection verticale/"" de la droite dont /' et /" sont les projections 
et T, et Tj sont les traces ; nous remarquons sur cette ligure que, 
si du point ou /•' coupe la nouvelle lig-ne de terre on mène la per- 
pendiculaire à cette droite, son intersectiiui avec la droite /"* 
donnera la nouvelle trace verti(;ale U.^ ^*^ 1'^ droite considérée. 

Pour épuiser la question, il nous reste à parlei- des plans (fitf. 7). 
Nous supposerons données les traces t^ et /., d'un plan r dans le 
système dont /,._, est la ligne de terre et nous nous proposons d'en 
trouver la trace verticale dans le système déterminé par la ligne 
de terre l' ^.^. A cet efl'et nous remarquons d'abord que, tandis que 
/, et /., se coupent dans un point r,^ de l'ancienne ligne de terre. 




/, et l* „ se couperont dans un point T*^., de la nouvelle; de ma- 
nière qu'on a tout de suite un point de la droite cherché, c'est le 
point t^t\.,=^ 1*12- Pt)m' en trouver un autre, je remarque que le 
nouveau plan vertical, dans l'ancien système, a sa trace hoiizon- 
tale //j coïncidente avec la nouvelle ligne de terre T^,, tandis que 
sa trace veiticale ti„ est la perpendiculaire menée à t^^ parle point 
1^.^11 1- D'ailleurs la nouvelle trace verticale du plan /-est l'intersec- 
tion des deux plans [^,,^2] et [(ix-,u^. Cette droite a dans l'ancien 
système comnie traces les points U^ = t^ii^ et Uj ^= f-if^- ^^i' 
la droite t., est l'intersection des plans i el tt^, tandis que //, est 
l'intersection des plans ;r., et n' ., , de manière que U^ est en dernière 
analyse Tintersection des trois plans t, , tj., et Tr*^; comme elle se 
trouve sur le nouveau plan vertical, elle coïncide avec sa nouvelle 
projection verticale ; si donc nous déterminons, par le procédé 
précédent, la nouvelle projection verticale C'^ du point U^ = 
(U'2,U"2^ pai' le point résultant ira passer la droite cherchée ; cette 



/. A s /, r () y I) />• / s s /: r /■ i: lll 1 07 

droite L'sl (Jonc cello qui joint les deux pctinls l ,^ et L '"., ; le pro- 
blème est ainsi résolu, sans qu'on ait eu besoin de distinguer les 
différents cas auxquels donne lieu la situation du plan t par iai)port 
aux j)lans de projection. Le lecteur reniar(piera fjue, si B est le 
point de la bissectrice b oii se coupent les parallèles menées de 
U"., à/,2 et de U"*._, à r,.,, les deux triangles rectangles L'^U"., B et 
U'oC'^B sont égaux entre eux; cette observation sullit pour éta- 
blir l'accord de la construction cpie nous avons proposée avec celle 
qu'on trouve dans les traités. 

Les constructions ({ue nous venons d'exposer dans ce para- 
graphe trouvent des applications très imj)ortantes ; cai-, par 
exemple, c'est par un changement diin des plans de projecti(ni 
qu'on résout de la manière la plus siniple les problèmes de déter- 
miner les intersections avec un plan d'un polyèdre ou d"unec<»urbe 
gauche quelconque. 

Gènes, 28 décembre lOlS. Ciino Loiiia. 



LA LIGXE DE TERRE ET LE SEC(3XD BISSECTEUR 

Xotes sur certains principes de la géométrie descripti\>e. 



XriiODLCTlOX. 



U est vraisemblable que la représentation des figures à trois 
dimensions au moyen des projections remonte à une époque très 
reculée. Les projections n'étaient pas seulement employées dans 
les plans topographiques et dans les cartes, mais aussi dans les 
arts de la construction. La géométrie descriptive ne peut donc 
être attribuée à Monge comme une création ; il est cependant 
certain quil a rassemblé des documents épars, des tracés en usage 
dans la pratique; il les a améliorés, complétés, et en a fait une 
véritable science, branche de la géométrie. 

Le point capital de la doctrine de Monge est l'emploi de deux 
plans de projection fixes, rectangulaires, dont l'intersection est 
la ligne de terre. Aussi, dans la représentation du plan — (|ui est 
fondamentale — est-il amené immédiatement à considéier les 
traces ou droites d'intersection avec les deux plans de projection. 
L'importance attribuée aux traces par Monge est telle que les 
plans ne son\ jamais donné?» autiement dans son ouvrage. Son 



los r. Il A 1. 1> Il i: .\ 



«HHilimiatciir, I 1ac;iii; iri: ', n abaiidomic pas cclli' idée, mais se 
rend compte ([irmi plan peut être délini aiiticment que pai- les 
traces ; aussi le premifM- problème du .supplément cst-'\\ le suivant : 
« Construire le plan (|ui passe par trois points donnés dans 
l'espace » l'c 'est-à-dire construire ses traces). 

Combien de temps durèrent ces errements .Me ne saurais le dire 
avec précision. Cn célèl)re professeur de géométrie desci'iptive, 
KiAKs, paraît avoir notablement élargi le cadre trop rigide de 
Monge, si l'on en croit la préface de son traité (huitième édition, 
1888) : « Autrefois un plan était toujours figuré par ses traces sur 
deux plans de projection, et quand on avait à considérer nn plan 
dans la résolution diin ])roblème, (juelles (|uc fussent les données, 
on construisait les traces du plan. Quand il arrivait que les traces 
étaient situées hors des limites de l'épure, on était arrêté et obligé 
de changer les données Aujourd'hui on opère sur les plans, 
(juelle que soit la manière dont ils sont donnés, et le plus souvent 
on arrive au résultat avec moins de constructions que n'en exige 
la détermination des traces. » 

Un point est donc pratiquement acquis : les traces sont inutiles. 
La ligne de terre ne doit donc servir à rien. Il suffit cependant de 
feuilleter les figures du livre de Kiaes pour constater l'emploi 
fréquent des traces et la présence continuelle de la dioite .ri/. 

A la même époque (i882i. rompant avec les traditions de Alonge, 
le colonel Manxheim publia dans les Nouvelles annales de mathé- 
matiques une série d'articles réunis ensuite en une brochure sons 
le titre : Premiers Eléments de la (léométrie descriptive, l/ftce/- 
tissement montre nettement à quel mobile obéissait l'auteur : 
" J'engageais les professeurs à introduire dans les éléments les 
procédés en usage dans les applications... Ces quelques pages 
ont simplement pour but d'introduire dans les éléments les pro- 
cédés employés par les ingénieurs... Actuellement, pour résoudre 
les problèmes élémentaires, on emploie des solutions qui condui- 
sent à des tracés simples, mais qui ne sont simples que grâce à 
la préparation des données. Ces tracés d'ailleurs ne servent plus 
lorsqu'on arrive aux applications. Il me parait donc important, 
dès le début, de n'employer que les solutions mêmes que l'on 
retrouvera plus tard. » La méthode préconisée par le colonel 
Mannheim est donc celle du dessin d'architecture, de machines, 
des épures d'appareillage et du trait de charpente. On se sert de 
deux projections sur deux plans rectangulaires dont les directions 
sont connues^ mais dont les positions .sont arbitraires; ils sont 
cependant placés, par rapport à l'objet à représenter, de manière 
telle que les cotes et les éloignements de tous les points soient 
de môme signe — cest-à-dirc que les plans de projection ne cou- 

1 Géométrie descriptive de Monge. Nouvelle édition iivec un supplément, par M. Haclietle. 
instituteur de l'Ecole Impériale Polytechnique, Paris, 1811, suppliincnt. page 12. 



/. /:• .S /=; (ON i) m s s i: t 1 1: in i ( l'.t 

peut jamais l'objet (iniiré. Moyennant quoi, la dislanc(î des deux 
projections, le plan de lune ayant été rabattu sur le plan de 
l'autre, est absolument indiderente. Plus de lii,nic de terre, plus 
de traces, comme cela se jjasse, ii vrai dire, dans la pi-atique; d'où 
Jurande simplification pour les débutants qui n'ont pas besoin 
d'apprendre les diveises positions des points par rapport aux 
plans de projection, ne peuvent plus se tromper dans les cons- 
tructions lorsque les points ne sont pas dans le premier dièdre, 
et aussi plus jurande lacilité dans la ponctuation des épures. 

11 y avait là, sans nul doute, une idée heureuse, mais il faut 
constater qu'elle n'a fait foitune ni dans lenseiirnement secon- 
daire proprement dit, ni dans les cours préparatoires aux grandes 
écoles. A vrai dire, on a pris l'habitude de se servir moins souvent 
de la ligne de terre et de ne plus la tracer lorsqu'elle est inutile, 
c'est-à-dire de laisser aux plans de projection une certaine 
mobilité. Dans la partie élémentaire de son ouvrage, M. .Iavahv 
fait fréquemment remarquer qu'on peut se passer de ligne de 
terre, sans expliquer d'ailleurs pourquoi. 

I/usage des 4 dièdres des plans de projection devait attirer 
l'attention sur deux situations particulières des points de l'espace. 
Lorsqu'un point est dans l'un ou l'autre des plans bissecteurs de 
ces dièdres, sa cote est égale à son éloignement, en valeur absolue: 
il en résulte que, sur l'épure, les projections du point sont, ou 
symétriques par rapport à la ligne de terre (premier bissecteur), 
ou confondues ^second bissecteur. Toute figure du second bis- 
secteur a donc ses projections confondues. Frappé des avantages 
qui en résultent au point de vue de ['économie graphique, si l'on 
peut ainsi s'exprimer, M. Picqurt, alors examinateur d'admission 
à l'Ecole Polytechnique, essaya, par le moyen de certaines ques- 
tions d'examen \ de faiie pénétrer dans l'enseignement l'usage 
du second bissecteur comme plan auxiliaire, à côté des cin(i 
autres devenus classi<[ues : plans de bout, vertical, horizontal, 
de front, de profil. Or il se trouve, fait paradoxal à première vue 
et cependant presque évident, que le second plan bissecteur est 
connu sans que Von figure la ligne de terre sur l'épure, bien qu'il 
la contienne. Il n'y a, à ma connaissance, qu'un seul ouvrage clas- 
sique où soit faite explicitement cette remarque très importante, 
c'est le Cours de Géométrie descriptis'e de MM. Mahtin et PiutNor 
;tome 1, page 5 . Nous entrons ici dans le vif du sujet. 

Le Svstèmk di: Mox(;e MOOiriK. 

Tel est le nom (pje MM. Martin et Pernot ont donné à l'épure 
faite au moyen de deux plans rectangulaires de projection, l'un 



^ Cf. Lucien Li';vv. Ilxanivits et Examinuteiirs, lU-viio du Mois. 1^' annôe 1 190ti), p. l'i". 



110 



r. Il A II' Il E y 



(I eii\ verlicall ayant été rabattu sur 1 autre lioiizoufal comme 
criiabitude. mais sans que la li^ne de terre ait été tracée. On 
connaît seulement les directions des plans de projection, par 
suite la direction de la ligne de terre, ou, ce qui revient au même, 
celle des lignes de rappel. Les deux projections d'un point, a et a\ 
sont sur une même ligne de rappel, à une dialance supposée inva- 
riable, ceci est essentiel. Supposons fig. 1; le j)oint A, projeté en 
a et a' , invariable dans l'espace tandis que les plans de projection 
se déplacent parallèlement à eux-mêmes; la somme de sa cote et 
de son éloig^nement est constante et égale à aa' . Si donc le plan 
horizontal II s'abaisse de v pour venir en II,, le plan vertical V 
devra se rapporter de la même (juantité r pour venir en V,; par 
suite la ligne de terre O viendra en O, ; elle décrira un plan incliné 



Y 

a 


o. 




A 


\ 






<K 


(J^ 


(3" 




O, 




Fit:. 2. 



de 45 degrés sur H, V, H^ , V, : c'est le second bissecteuh du dièdre 
lIIV) aussi bien que du dièdre (H,V,1, il est fixe. On peut encore 
démontrer l'invariabilité du second bissecteur de la façon sui- 
vante, très simple, mais moins claire : quelle que soit la position 
de la ligne de terre, si la distance aa' est nulle, le i)oint A est 
dans le second bissecteur et ce plan est donc fixe. Ainsi, dans une 
figure aussi simple (jue celle de l'épure du point A, le second bis- 
secteur existe, tout en n'étant représenté par aucune ligne; et son 
usage sera commode et économique (au point de vue graphique) 
dans bien des cas. 

Avant d'y insister, remarquons que la dillerence entre ce sys- 
tème et celui proposé par le colonel Mannheim, où la distance ««' 
n'intervient pas, est plus apparente que réelle. Dans la pratique 



A a; .S' i: ( <) .\ h />' / > .V K ( r i: u ii 



III 



Maniilu'ini;, on tait sonveiil divci'ses proifclioiis vcilicales, adV-- 
rentes à diverses parties, ou morceaux, de la nirme f)rojection 
horizontale, afin de pouvoir tracer l'épure sur une aire tie dimen- 
sions restreintes; on ne lient donc compte (jue des cotes relatives 
des points dans chacune de ces projections, et non pas de leurs 
cotes réelles. Tel est par exemple le cas des épures d'escaliers. 
Cela n'empêche que dans chacune de ces épures partielles, les 
distances des deux projections d'un certain ii^roupement de points 
sont invariables, une fois le ti-acé commencé, de sorte que l'on 
levient au cas que nous étudions. I>e second bissecteur sera-t-il 
pratique à employer? J'avoue n'en rien savoir; mais ce qui est 
certain, c'est que si l'habitude est prise de se passer de li<,nie de 




Kig. 3. 



terre et des traces, on ne pourra éprouver aucune difTiculté dans 
une épure d'arts industriels. Un excès de connaissances théoriques 
ne nuit peut-être pas à l'exécution dun travail concret, en vue 
duquel l'enseignement ne doit pas être d'ailleurs uniquement 
dirigé. 

De la remarque fondamentale qui précède résultent tout de suite 
les faits suivants : 

1" Une droite étant donnée par ses deux projections AA' ifig. 2 , 
le point où elle rencontre le second bissecteur est le point an' où 
se coupent ses deux projections. 

Un plan étant donné par deux droites AA' et BB' se coupant en. 



112 C. UAI l'IlEN 

00', sa trace sur le secoiul hisseotciir csl la droite nh , a' h' . à 

projeelions coiifoii- 
(liies. 

Si on donne une 
droite CC du second 
bissecteur, elle coupe 
le plan précédent au 
point //', intersection 
de ab avec C. 

2" Si un plan est 
donné pai' une droite 
A A' et un point inni' 
(fîg. 3), sa trace sur le 
second bissecteur passe 
par an' ; pour en avoir 
un second point, on 
peut mener une se- 
conde droite du plan 
en joignant i)iin' à un 
point quelconque de 
AA'. Choisissons le 
point à l'infini de AA', 
' c'est-à-dire menons 
'f par mm' la parallèle 
mi, m'i' à AA' ; nous 
obtenons le second 
point cherché //' en 
traçant seulement 2 
droites; il en eût fallu 
3 (ligne de rappel en 
plus) en prenant sur 
AA' un point quelcon- 
que. 

3° Soient (lig. 3; deux 
plans contenant res- 
pectivement les droites 
AA' et BB' et ayant 
mm' comme point com- 
mun. Pour trouver un 
second point de l'inter- 
section je mène par 
mm', dans chacun 
d'eux, la parallèle à la 
droite connue; les tra- 
ces de ces plans sur le 
bissecteur sont <^// et bj , se coupant en nu' . Au total, 6 droites de 




L E S i: COND It l S S K C T E l' H 



11:; 



second (îoiistruction. lin employant l'un des classuiucs plans auxi- 
liaires (debout, vertical, horizontal, ou de front), il en eut fallu 11. 
Remarque. — D'une façon générale, lorsqu'un plan est donné 
par une droite et un point, il est avantageux d'employer la parallèle 
menée par le point à la droite comme seconde droite du plan. 




Fio. 



Exception si la droite donnée est de profil ou parallèle à la ligne 
de terre (on peut employer cette expression la ligne de terre 
n'étant pas figurée, puisque sa direction est «'onnue'. Je signaleiai 
plus loin une autre exception très particulière. 

4'' Si les deux plans (fig. 4 sont donnés chacun par une droite 




■f~^^ l?'QI ^ 



Fis. fi. 



et un point, AA' et mm' le premier ; BB' et nn' le second, la même 
construction s'applique pour trouver un point de l'intersection 
pp' : 6 droites à tracer. 11 en faudrait 9 en employant un plan 
horizontal ou de front, mais 6 seulement avec le plan debout pro- 
jetant m'n' qui donne le point qq' , ou le plan vertical projetant 

L'Enseignement mathém., lfi« année: 1914. j< 



Wt 



C. HALPHEN 



nui. \.c seroiul bissecteur n'est, dans ce cas, ni pins ni moins 
avantaireiix. Jl faudra tracer au moins 3 nouvelles droites pour 
ti'ouver un second point d'intersection. 

Si les plans sont donnés chacun par deux droites paiallèles, 
A A' ////, )n'i\ et BB' /(/, n'J\ il ne faudra que deux droites poui- 
obtenir un point pp' de l'intersection en utilisant le second bis- 
secteur; 4 au moins en employant un autre plan (un plan projetant 
l'une des droites données). On obtiendra un second point de l'in- 
tersection en coupant par un tel plan ; W droites de construction 
seulement en utilisant les traces sur le second bissecteur, au lieu 
de 4 voir exemple 6). 

j" Lorsqu'un plan (fig. 5) est donné par ses traces PQ' (P' et Q 
étant confondues avec la ligne de terre), le point aa' oii elles 
coupen .ly est un point de l'intersection du plan avec le second 




Kig. 7. 



bissecteur. Pour en avoir un second, il sullit de tracer dans ce 
plan une droite quelconque, par exemple la frontale ff' (3 droites); 
le point ^^' est le point cherché. 

Si le plan est parallèle à .vy , comme dans la fii^ure oii P et Q' 
sont conlondues (plan parallèle au 1''' bisse(;teur), c'est une droite 
quelcon(jue nb , (t'h' (ju'on traceia pour obtenir le point z:?/^' , le 
point (w! étant à l'infini sur .<//. On voit (jue II' est équidistant de 
P et .ly. 

Dans tous les cas, il est donc très facile d'obtenir la trace d'un 
plan sur le second bissecteur, et il est souvent avantag^eux de s'en 
servir. I^our ne pas trop multiplier les exemples, je me bornerai à 
citer en dernier lieu une éléj^ante construction devenue classique : 

G. Trouver l'intersection de deux plans donnés chacun par 
2 droites, en ne tractant que 5 lignes de construction (fig. 7). 



/, E S i: ( ■ () y I) H I s s I-: c t i: i n 



115 



Soient o(i , ()' a \ oh, o' h' - t/)«, 0)'«' : w^, ot' ^' , his droites qui 
définissent les deux plans. Fleurs traces sur le second bissecteur 
se rencontrent en un point de leur intersection ii' . Coupons main- 
tenant parle plan piojelanl l'une des dr()ites, o' h' , sur le plan 
vertical, pai' exemple. Il rent-ontrela droite w«, w'm' en m' m , et la 
droite a^ . a ^' en ///«' : mn est donc la projection horizontale de 
lintersection du plan de bout auxiliaire o'h' avec le second plan 
[afii^ . mn rencontre oh en /, rappelé en /', second point de l'inter- 
section cherchée, qui est ij , i'j' . .l droites seulement ont été 
tracées. Si le point oo' ou wco' sont séparément ou simultanément 
àTinfini, la solution est la même, comme il a déjà été dit exemple 4). 



I.A Itl l'HKSKX : A riON CANOMQL'I-: Di: 1>I,AX. 

Toutes les représentations du plan actuellement employées 
exigent au minimum le tracé de 3 droites sur lépure. Si on donne 
le plan par deux droites qui se coupent !à distance finie , la figure 




Vhy. 8. 



formée par les 2 projections se compose de 3 droites; si les 
droites du plan sont parallèles, il y en a 4 : si Ion donne les 
traces, 3 droites suffisent P, Q', .vy . Il n'y a également que 
.3 droites sur la figure si Ton donne le plan par une droite et un 
point, ou par .3 points lignes de rappel . 

Monge, qui considérait les deux plans lixes de projection comme 
indispensables, adoptait la représentation du plan par ses traces 
de façon systématique. Le paragraphe précédent a essayé de 
mettre en lumière l'importance du second bissecteur, qui est, lui, 
FIXE PAU DÉFiNiTiox pour ainsi dire, dans une épure donnée avec 
ou sans ligne de terre. Son emploi nécessite tout d'abord la 
recherche des traces sur le second bissecteur des plans de la 
figure, de même qu'Hachette cherchait pour commencer les traces 
horizontale et verticale d'un plan donné d'une façon quelconque. 

Les problèmes seraient donc simplifiés d'autant, si les plans 
étaient donnés au moyen de leur trace sur le second bissecteur 



116 



r. IIAI.J>HE.\ 



et (I un autre élément. Et si ce second élément est un point aa' . 
la figure ne présentera que 2 droites [fig. 8 : la trace H' ou I 
pour abréger, et la ligne de rappel aa' . C'est en quelque sorte 
V épure canonique du plan. 

Si Ton a besoin dune seconde droite du plan, il sutfit de joindre 
aa' à un point quelconque aa de sa trace. Il n'y a pas avantage, 
dans ce cas, à mener par (A) la parallèle à I, puisque la ligne de 
rappel aa' étant supprimée, on n'économise aucune droite (voir 
remarque du 2*' paragraphe . 

Lorsque les projections verticales a' de tous les points du plan 
sont sur 1, le plan est debout; si 1 est perpendiculaire aux lignes 
de rappel, il est horizontal. 

Si les projections horizontales a de tous les points du plan sont 
sur I, le plan est vertical, — et en particulier de front si I est 
parallèle à la direction de la ligne de terre. 

Si 1 est parallèle aux lignes de rappel et contient toutes les pro- 
jections r/ , a' , des points du plan, il est de profil. 

Ces plans se reconnaissent donc comme dans la figuration habi- 
tuelle. 

Si I est parallèle à la ligne de terre, sans autre condition, le 
plan considéré est parallèle à la ligne de terre. Si fig. 0) les pro- 



Fig. 9 6. 



jections de tous les points sont respectivement symétriques par 
rapport à I, le plan est parallèle au l''' bissecteur (2'' paragraphe, 
exemple .> . Si I est de profil, ou parallèle aux lignes de rappel, 
sans autre condition, le plan considéré est perpendiculaire au 
premier bissecteur. 

On reconnaîtra sans peine que dans un plan perpendiculaire an 
second bissecteur, la trace I est un diamètre des lignes de rappel, 
c'est-à-dire divise en deux parties égales la distance aa' des deux 
projections de tout point du plan. Knfin, les plans parallèles au 
second bissecteur seront caractérisés par ce fait que I est à l'infini, 
et que les projections horizontale et verticale de toute droite du 
plan sont parallèles. 

Rien n'est donc plus simple que de distinguer au moyen de 



/. i: >' /•; I • () .V I) H I s s A r I i: r i< 



ii: 



Vèpure caiioiiiqite les plans icinaiciuables. paiallèles on p<'ipen- 

diculaires aux plans de projection ou aux bissecteurs. Indiquons 

maintenant quekpies exemples des deux pioblèmes fondamentaux. 

Inti-hsi-ction dk dkix i'i.axs. — Si les deux plans llif. 8 sont 




Fig. l(t. 



donnés par leurs traces 1, J, et un point commun un' , l'intersec- 
tion a pour projection nm, n'in',inni' étant le point d'intersection 
de I et J. 

Si les deux plans sont définis chacun par leurs traces et un 




Fis. U. 



point, \aa' , ibb', en coupant par le plan de bout a'b' , on obtient 
un point de lintersection un' au moyen de 4 droites de construc- 
tion. Si le point m/n' d'intersection des traces est en dehors de 
l'épure, on aura un second point en coupant par le plan vertical 
ab , ce qui exigera encore le tracé de adroites. Au cas où ces 



118 



r. HA II' Il ES 



droites ne donneiaienl pas de constnutioiis pialical)les. en éj^ard 
aux données, il sera toujours facile de tracer dans les plans d<' 
nouvelles droites sur lesquelles on pourra opérer. 

Si cha(|ue plan est donné (f!i>. 10 par une droite et sa trace, 
lAA'. .IBB', en coupant pai' le plan projetant l'une d'elles, le plan 

de bout B' par exemple, 
j' on a tians le premier 

plan la droite /;</, p' (j' 
(\\n rencontre BB' en 
nn' ; on obtient ce 
point d'intersection par 
\\ droites seulement. 
Cette intersection est 
mil, m' n' . 

Mais si les droites A 
et B sont dans un même 
plan de front, vertical, 
horizontal ou de bout 
(fig. 11), on aura l'in- 
tei'section en traçant 
une seule dioite de construction, la ligne de rappel n'n. Ce cas 
est comparable au cas classique où les plans sont donnés par 
leurs traces se rencontrant dans l'épure, et où l'on obtient l'in- 
tersection par 2 droites de construction. 

Soit (fîg. 12 un plan \aa' perpendiculaire au second bissecteur 




Fig. 12. 





Fig. n. 



Fig. 1'.. 



[aa = aa'j, et un plan parallèle au second bissecteur passant par 
hb' . On obtient un point nn' de leur intersection au moyen du 
plan de bout a'b' par exemple. Le point mm' est à l'infini suri; 
l'intersection nj , n'f des deux plans est donc parallèle à 1 et ses 
projections sont équidistantes de 1 '4 droites de construction). 
Soit (n<>. l.'l un plan perpendiculaire au premier bissecteur \afi' 



I.I-: s/: (ON/) fil ss iK T i: i 11 



ii'.i 



et un plan parallèle a la lii^iic de teire ]bh' . I.e plan vertical <iq 
les coupe suivant deux droites dont les projeclions verticales 
sont a'a' et b'^' se rencontrant en un'; doii rinleisection cherchée 
mn, in'n' (4 droites . 

Soit l'fii;. 14 un plan de profil I et un plan parallèle au second 
bissecteui- passant \m\v aa' \ n'a est un point de leur intersection, 
lin étant parallèle à 
a' n' ; et de même m' n>' . 
Il n'y a aucune droite it 
tracer pour les trouver; 
il sufîit de porter sur 1 
des longueurs nini' r= 
nn' = an' . 

Les exemples qui pré- 
cèdent sont suffisants, 
je pense, pour montrer 
que cette manière de fi- 
gurer le plan n'introduit 
aucune ditriculté non- Fig. i5. 

velle et conduit à des 

tracés dune extrême simplicité et dune réelle économie gra- 
phique. 

IxTEHSECTioN d'cxe DROITE ET DIX PLAX. — Le plan étant donné 
fig. 15) par sa trace et une droite 1, a'a', aa. et la droite par ses 





projections DD', le plan de bout D' coupe le plan donné suivant 
la droite jSV/', ^a , rencontrant D en m, d'où m' sur D'. 3 droites 
de construction. 

Si le plan est donné par sa trace l et un point hb' , il faut com- 
mencer par y tracer une droite pour être ramené au cas précédent ; 
on aura donc 5 droites de construction. Mais il est possible de 
n'en tracer que 4 en opérant comme suit. Choisissons comme 
■droite du plan la droite by . b'y' . dont une projection, verticale 



120 



r. II. i II' Il EN 



par rxeinplo. est parallèle à la projeclion de mèiiu' nom D' de la 
di'oite donnée. I.e plan de bout D' eoupe 1 en ^^' et by , h'y' à 
riniini; ^ni est donc j)arallèle à hy et coupe DD' au point cherché 
mm' . 

Soit ^lig. Kij \uli' un plan parallèle au premier bissecteur 
aa --= aa') et une droite de ïvoulff. Le plan de bout/"' coupe 1 
en ^^' et à l'infini la droite du plan tiy , a'y' dont la projection 
verticale a'y' sei-ait parallèle à /'. I.a parallèle i^in à ay c"esl-à-diro 
la symétri((ue de ^f par rapport à 1 rencontre /en m, d'où ///' ; 
mm' est le point d'intersection cherche 1 droites . 

Soit encore (fig-. 17) un plan \na' parallèle ii la ligne de terre et 
une droite de piofil pq , p' q' définie pai' deux points. Nous pou- 



f 

CL. ■■ 

! ^ ■ 


1 

■1 

■ »! '. 


I 7 


X^- . . — .A," 


C^- 1 . 


-/ ^v * 


0/ 


7" ^^ 



Fig. 17. 



vons couper par le plan de profil contenant pq\ il rencontre I 
en //' et la parallèle aa, aa' menée par aa' à I en aa' \ iu. i'a' est 
l'intersection du plan donné et du plan de profil. Rabattons ce 
dernier sur le plan horizontal passant par 1 (ou changeons de 
plan vertical en pi'enant pq pour ligne de terre et mesurant les 
cotes à partir de T ; sur des parallèles à I , nous portons </«" = i'a' ^ 
pp" = i'p' , qq" = i'q' ; les rabattements /«" et p"(^' se coupent en 
m" j)rojeté horizontalement en m et verticalement en m' : i' m' =^ 
mtn' . mm' est le point cherché. 

On peut ffig. 18 éviter le rabattement ou changement de place 
en faisant passer par/?y, p' q' un plan quelconcpie défini par les^ 



/. E S E (ON I) n I s s i: ( I liv i{ 



121 



ilroiles pai'allélcs pr, p' r' el ly.v, (]' s' \ sa tiac(; sur le second his- 
secteur est /•.%•, r's' (|iii coupe I en tt' . (.e plan de bout/^'/', par 
exemple, coupe la droite d'p'a', na en b, et I en (\ d(>nc le plan 
donné suivant bc , i\\\'\ i-encontre pr en v . La droilr h' (■«iu|>e cnlin 




Fig. 18. 



pq au point m cherché, v étant rappelé verticalement en v' sur 
p'i\ t'v' rencontre p'q' en m\ projection verticale de m. 

Je nie bornerai à ces exemples déjà trop nombreux pour aborder 
une remarque qui me paraît intéressante. 



Comparaison avec le trait de perspective. 

On a pris l'habitude, en France, de représenter les points A de 
l'espace (fig. 19), en perspective conique, par leurs perspectives a' 
sur le tableau ï (ou plan vertical), et les perspectives a sur le 
même tableau de leurs projections orthogonales a sur un plan G 
perpendiculaire à T, dit plan horizontal ou géoniétral. Le plan T 
étant celui de l'épure, celle-ci se compose, comme en géométrie 
descriptive ordinaire, des deux perspectives na' situées sur une 
même ligne de rappel. Dans un grand nombre de questions uni- 
quement descriptives, la ligne de terre .ty, intersection de G et T, 



122 



// . / /. I' II E N 



la lifi^iit' (riiori/oii. les points de fuite et do distance sont inutiles: 
nous ne voulons parler que de ces questions. 

Les points A et étant fixes, si Ton transporte le tableau ou le 
géométral parallèlement à lui-tnème, les perspectives a et a' 
changent, et il en est de même de leur distance relative aa' , ii 
moins de lier les amplitudes des deux translations par une 
relation assez compliquée. Si le point A est dans le géométral, 
A« ^= 0, a et a sont confondus, et réciproquement. Ainsi, tout 
point dont les deux perspectives sont confondues est dans le plan 
horizontal. Il est bien certain que si l'on fait subir au géométral 
une translation, le point A n'y reste pas, et ses perspectives se 
séparent. Mais si l'on considère une droite AB projetée en a^ sur 




FiR. m 



le géométral, ses deux perspectives a'b' et oh se rencontrent en 
^è', ^perspective de sa trace Bj3 sur G. Changeons le géométral: la 
trace B(S va changer, mais la perspective de la nouvelle trace jouira 
de la même propriété. Ainsi donc, si l'on connaît (fig. 2) les deux 
perspectives A' et A d'une droite (nous parlons ainsi pour abréger), 
la trace horizontale de cette droite a pour perspective leur inter- 
section aa' , sans que le géométral et l'œil soient autrement définis. 
Si donc un plan est défini en perspective par deux droites AA' et 
BB' concourantes en 00' cest-à-dire dans l'espace concourantes 
ou parallèles — sauf le cas où elles seraient parallèles entre elles 



Il-: siiroNi) i: I s s i:< T i: i n 



1 -iw 



et parallèles au tableau , on obtient sa trace hoii/.ontaie ah, a' h' 
sans aucune construction et sans connaître d'autres éléments. 

Tout plan peut alors être défini par la perspective de sa ti-ace 
horizontale 1 et les perspectives d'un de ses points aa' , aussi 
bien que j)ar ses tiaces sur le g'éoniét rai cl sur le tableau, comme 
on le fait fréquemment ; c'est la représentation canonique du plan 
en perspective. 11 est dès lors évident que les tracés précédents 
s'appliquent en perspective, en prenant la précaution de remplacer 
le second bissecteur par le ^éométral, et de considérer comme 
plans pr(»jetants ceux qui passent par le point de vue O. On ne 
parlera que plus tard des horizontales, réservant les notions de 
point de fuite et de ligne d'horizon. .\u contraire, les frontales, 
parallèles à T, ne donnent lieu à aucune restriction. 

Exe.mpi.es. — 1° Intersection de deux plans \no' et Shb' fiy. 8. 




Fig. 2(1. 



En coupant par le plan 0.\B projetant sur le tableau la dioite AB, 
on obtient dans chacun des plans les droites dont les perspectives 
des projections sur le géoniétral sont aa , b§ , se rencontrant en n , 
d'où n' ; l'intersection a pour perspectives inn , m' n' . 

2° Intersection de la droite dd' et du plan \aa fio-. 20 ; voir aussi 
lîg. 15 . Dans ce plan, je trace une droite, par exemple la frontale 
rt/*, a' f \ le plan 08 projetant la projection J de la droite D sur le 
géométral coupe le plan donné suivant //, i'f, rencontrant la droite 
en min\ point cherché. 

Lorsqu'on définira un pian au moyen de sa trace sur le géoméhal 
et dune frontale, comme on vient de le faire, ou de sa trace sur 
le tableau ce qui revient à dire que la ligne de terre xy est con- 
fondue avec la perspective de la projection horizontale delà fron- 
tale), définition classique, les élèves qui auront pris l'habitude 
des tracés précédents n'auront, me semble-t-il, aucun effort à faire 
pour se mettre au courant des tracés de la perspective fig. 5 : 



I2'i r. llAl.nilEN 

— une droite du plan MV sera ob , ah' \ 

— une frontale, hf, b'f, 

exactement comme en descriptive, I étant censément la trace du 
plan sur le second bissecteur. J'ajoute que sur une telle figure en 
perspective, on i'o/7 véritablement les plans, les droites dans 
l'espace; on les voit tout aussi bien en desci-iptivc, malgré la 
déformation résultant de l'emploi du second bissecteur. 

Il faudra ensuite apprendre la représentation des horizontales, 
l'usage des points de fuite et des points de distance. Mais les élèves 
ne seront pas déroutés dès le début, comme cela arrive aujour- 
d'hui pour les notions élémentaires de perspective qui figurent 
aux programmes des Grandes Ecoles, notions qu'ils connaissent 
d'habitude très mal — ce qui ne répond pas au but que s'était 
proposé la Commission au moment de cette innovation. 

L'emploi du second bissecteur et de la représentation du plan 
que j'ai signalée me paraît donc être utile parce que : 

1" il donne dans un grand nombre de questions des tracés plus 
simples que ceux habituellement employés, et en tous cas, jamais 
plus compliqués ; 

2° il établit une liaison entre le tiait de la géométrie descriptive 
et le trait de la perspective. 

Cependant, je dois dire en terminant que figurer toujours les 
plans à l'aide de leurs traces sur le second bissecteur me sem- 
blerait une grosse erreur. Ce serait revenir, sous une autre forme, 
au cadre étroit de Monge, avec tous les inconvénients de l'exclu- 
sivité, quelle quelle soit. Ce nouveau mode de représentation doit 
simplement être employé avec les autres, et au même titre qu'eux, 
de façon à varier les exercices et à bien faire comprendre les prin- 
cipes tellement simples de la géométrie descriptive. 

Ch. Halphen (Paris). 



I 



UN PROBLEME SE RESOLVANT 
PAR LA GÉOMÉTRIE A 4 DIMENSIONS 



Le présent travaiL dont j'ai entrepris la rédaction, est dû à 
M. Trosset, ingénieur, quune paralysie empêche décrire depuis 
plus de 2 ans. 

Il s'agit d'un problème qui semble insoluble sans l'emploi du 
calcul intégral. M. Trosset, grâce à une heureuse incursion dans le 
domaine de la géométrie à n dimensions, est arrivé à le résoudre 
par les mêmes méthodes qu'un simple problème d'arithmétique. 
Il y aurait intérêt à le faire connaître aux lecteurs de VEnsei^ne- 
ment mathématique, un tel artifice permettant de traiter par l'al- 
gèbre élémentaire tous les problèmes qu'on résolvait jusqu'ici par 
l'intégration d'une fonction entière. 

Berne, le 23 décembre 1913. ,1. Salthiî. 



Enox 



•ROBLEMK. 



Un tronc de pyramide à bases rectangulaires a les dimensions 
suivantes: longueur de la grande base, 12 cm.; largeur, 8 cm. : 
distance entre les deux bases, 12 cm.; longueur de la petite base, 
9 cm.; largeur, 6 cm. La grande base est en or pur, la petite base 
en argent pur; entre deux le corps est constitué par un alliage de 
ces métaux, alliage de composition variable : dans le voisinage 
d'un point intérieur quelconque, les volumes des parties consti- 
tuantes, or et argent, sont entre eux comme les distances du point 
à la petite et à la grande base. On donne la densité de l'or, 19, celle 
de l'argent, 10, et on demande d'une part le poids de l'or contenu 
dans ce corps, le poids de l'argent et le poids total, d'autre part la 
position des centres de gravité de l'or, de l'argent et de l'ensemble. 

Pour fixer les idées, on supposera les bases horizontales et on 
admettra que le sommet de la pyramide idéale complète se pro- 
jette horizontalement sur les milieux des bases. 

Résoluïiox. — Premièrf. Méthodk. 

La lig. 1 représente le corps en perspective. Soit A^BqCoDp.Xo 
le pourtour de la grande base, AaBaCaDaAa le pourtour de la 



1 26 



/ ' . / // () s s /; y !■: r ./ . .s a l j e h 



petite. (Commençons par (lée<)mposer le e(H"ps en neuf moieeaux, 
en le eonpanl snivanl ([natre plans verticaux passant par les cpiatre 
côtés de la petite base ; soient A", B'", B", C", C", D"',D", A'" les points 
où ces plans coupent le pourtour de la grande base et soient A', 
B',(y,D' les projections verticales de Aa, B», (",„, Df< sur le plan de 
la grande base. 

(Considérons d"al)()rd le corps cential .\rtBa(Cal)a A' B'C'D' ; c'est 
un parallélipipède rectangle. Imaginons que dans cha(iue couche 
horizontale ub de ce corps on pousse tout l'or du cùté de la ligne 
a, comprise dans le plan A^Da A'D', et tout l'argent du côté de la 
ligne Z», comprise dans le plan BnCaB'C ; où sera la ligne de dé- 





marcatioiwentre lesdeux métaux ? On doit avoir rtf: bc^s\ : s>a=- 
as : hi, ('„ et Va étant les volumes d"or et d'argent de la couche, .s et/ 
les lignes AaDn de la base supérieure et B'C de la base inférieure; 
pai' conséquent la ligne c ne peut être que l'intersection de la 
couche avec le plan diagonal .s/ du parallélipipède. Nous pouvons 
donc remplacer le corps central par un prisme à bases triangu- 
laires AaA'B'DaD'C en or pur et un prisme à bases triangulaires 
AaBnB' DftCaC Cil argent pur ; le volume de chacun de ces prismes 

est d(; - . 12 x 9 X (i = 324 cm^; le premier pèse 324 X 10 ^= 

Glôd gr., le second 324 X 10 = 3240 gi'. ; le centre de gravité du 

premier esta— . J2 = 4 cm. au-dessus de la base inférieure, le 

centre de gravite du se<'ond à ^ . 12 =:: <S cm. au-dessus de cette 

base. 

Passons maintenant aux morceaux AaA"A' B' B"'B„ et DaD'"D' 
C/C'Ca du corps total ; ce sont deux prismes à bases triangulaires, 
que nous réunirons en un seul prisme, également à bases trian_ 



l' Il H I. I: M i: I) E (. E O M E T II I E I •_•: 

i^iilaires, cii laisaiil coïncider A</Bu avec DaCa, loiil en laissant 
A'A"B"'B' et D'D"'C"C' dans le plan primitif de la J)ase .Idr du 
corps total ; ladjLf. '1 le nionti«.'en perspective. (]e (pie par la pensée 
nous avions lait poiii- une couche <[tielcon(pie (//> dn corps central 
— pousser tout l'or dun côte el tout 1 ar;4^ent de l'autre — nous 
pouvons le répéter pour une couche quelconque a' b' du prisme 
résultant que nous venons de former; ces deux couches sont rec- 
tanfriilaires ; pour toutes deux le rapport des distances de la ligne 
de démarcation or-ai^ent aux plans A"AaD"'. B"'BaC" sera éjjfal au 
l'apport des dislances de la couche aux plans des hases inférieure 
et supérieure du corps total i la ligne de démarcation c' se trou- 
vera donc dans le plan diagonal Aa(^"B"'. Au-dessous de ce plan 
nous aurons une pyramide d'or à base rectangulaiie, dont le volume 

sera de 77 . 12X^X2 = 72 cm\ le poids de 72 x 10 = 13»)8 gr., 

et le centre de gravité à r • 12 := 3 cm. au-dessus de la grande 

base du corps total. Au-dessus du plan .\aC/'B"' restera un té- 
traèdre d'argent, que nous envisagerons comme une pyramide de 

base C"BaB"'et de sommet .\a\ son volume sera de 77 . Ox2x -7 • 

•j '1 

12 = 06 cm*, son poids de 36 X 10 = 3<50 gr. ; le centre de gravité 
de la base C'BaB'" sera à 77 • 12 = 4 cm. au-dessus deC'B'": le 

^ o 

centre de gravité R du tétraèdre, étant au quart de la distance de 
1 



Q à Afl, sera à 4 X ^ ( 3" • 12 1 :=(> cm. au-dessus de la grande base 
du corps total. 

Rn répétant les mêmes raisonnements pour les deux morceaux 
suivants .\aA"'A'D'D"Dû et Ca(. "C'B'B"Ba. après avoir fait coïn- 
cider Aa A' D'Da avec Ba^S'CCa, nous arriverons à leur substituer 
une pyramide d'or de base B"C"'D"A"' et de sommet Aa, et une 
.pyramide d'argent de base D" Ca C" et de sommet A»- La pyramide 

d'or aura un volume de - . 12 X 3 X 6 r= 72 cm^, un poids de 72 

X lî) = 13(38 gr., et le centre de gravité a une hauteur de 3 cm. ; 

la pyramide d'argent aura un volume de tt . <>Xo X -^ • 12 = 

3<) cm^, un poids de 10 X -îÔ = 360 gr., et le centre de gravité à une 
hauteur de 6 cm. 

il reste encore les 4 pyramides .\a.\' A'"AoA", B„B'B"'B(,B", 
CaC'C'CoC", DaD'D"'DoD", que nous grouperons par la pensée 
en une pyramide unique/» en les faisant glisser sur le plan com- 
mun de leurs bases jusqu'à ^coïncidence de A'" A' avec D"D', de 
B'"B' avec .VA', de C"'C' avec B"B' et de D"'D' avec C'C Cette 
pyramide /7, dont fig. 3]est une élévation, a sa base en or et son 
sommet \a en argent ; sa densité est donc de 10 au sommet et de 



128 



jiioss /: 7 i: I .1 . SA ii eu 



1*J il la distance dv 12 cm. au-dessous du sommet ; quelle seia laden- 
sité à la distance de / cm. au-dessous de Aa* Si un petit fra<» nient 
f, de forme quelconfjuc, (|u'oii extrairait de la pyramide p à la dis- 
tance .r au-dessous de i\a . confient \>q cm' d'or et t^a cm' d'ai-^ent. 

on doit avoir, d'après les données du problème, -^ = .„ __ . d'où 

; le fragment pesant li» (>„ + U) t'a 



— ^^^ - - et 

a ' 



+ '•, 



V2 



gr., sa densité moyenne, et par conséquent la densité delapyia- 

19«' + 10.' 
mide p à la distance .r au-dessous de A», seia d= — ^ r= 

1' -I- i' 

' " 

n)^- 4- in ^'-^~ * <n\i d — \l\ 4- —■>. Ce résultat montre ciue le 
12 12 ^^ 

poids de la pyramide p est égal à la somme des poids de deux 





pyramides, p' . p" , de mêmes dimensions (jue /?, <I(mjI lune, />'. 

a partout la densité 10, tandis que la densité de l'autre, p" . 

9 
varie suivant la loi t^ .r lia densité de/?" sera au sommet et 1> à la 

base;. I.e volume de chacune des pyramides p^ p' , p" est de tt . 12 

X 2 X 3 = 24 cm'. Le poids de la pyramide /?' est donc de 10 X 2'i 
=^ 240 gr. ; quant au poids de la pyramide//', nous l'obtiendrons 
au moyen de l'artifice suivant. 

Nous comparons notre pyramide à trois dimensions p" , dont la 
hauteur mesure 12 cm. et dont une section liorizontale quelconque 

à la distance .r au-dessous du sommet a comme longueur Ta -i' et 

2 
comme largeur .^ •^'? i* ^'"e pyramide à 4 dimensions P", homo- 
gène, dont la hauteur mesure aussi 12 cm. et dont une section 



p /,' o fi /. A M i: I) E G i: () M H 1 1{ 1 1: 1 29 

quelconque menée paiallèlenierit à la base à la dislaïue x aii- 

3 1 2 

dessous du sommet a comme longueur j^ ■'• comme largeur ^^ .< 

9 
et comme troisième dimension j^ .7, c'est-à-dire la valeur de la 

densité de //'. La capacité de la pyramide P" se calculera comme 

le produit de la base 3 X 2 X 9 par le quart (à causedes4dimen- 

12 
sions) de la hauteur : on trouve 3X2X9X7-:^ 1(>2 unités. 

Or la capacité de la pyramide P" doit avoir la même valeur que 
le poids de lu pyramide //', donc cette dernière pèse 1(12 gr. Ajou- 
tant ce résultat à 240 gr., poids de/>', nous obtenons 402 gr.. 
comme poids de la pyramide p. 

Pour trouver le volume d'or V^, et le volume d'argent V^ de p, il 
faut résoudre le système des deux équations 

19 V, + 10Y„= 402 
V, + V„ = 24. 

ce qui donne 402 = 19 V^ + 10 (24 — \ ^) = 9\\ + 240, \\ = 

402 240 

ô = i8> d'où Va:=:24 — 18 = 6. Le poids de l'or de p est 

donc de 10 X 18 = 342 gr. ; le poids de l'argent de 10 X (> = 60gr. 

Une nouvelle difficulté surgit, pour la détermination des 
centres de gravité de l'or et de l'argent que renferme la pyramide 
p: nous utiliserons le nouvel artifice que voici voir fig. 4 : 

Nous supposons d'abord que, sans déplacer l'or de ;p, nous ayons 
extrait tout l'argent de cette pyramide: le fragment /"considéré 
plus haut contiendra encore ç'ocm^ d'or et présentera des vides me- 

19 ^^, 19. r 

surant t'acm', sa densité moyenne sera"; — r — = Tô"' nouscom- 

parons cette pyramide />, , non homogène et pourtant sans argent, 
à une pyramide à 4 dimensions P,, homogène, dont la hauteur 
mesure 12 cm. et dont une section quelconque menée parallèle- 
ment à la base à la distance x au-dessous du sommet a comme 

3 2 

longueur tt^ x, comme largeur -r^ •' ^t comme troisième dimen- 

19.r 
sion jY , c est-à-dire la densité moyenne de /. Le centre de gravité 

de P, sera au cinquième de la hauteur (à cause des 4 dimensions . 
à partir de la base. 

Or les calculs que demande la détermination du centre de gra- 
vité de Pj sont identiques à ceux que demande la détermination 

1 
du centre de gravité de p.. Ce dernier se trouve donc aussi à - . 

12 = 2,4cm. au-dessus de la base. 

L'Enseignement mathém.. 16« année ; 1914. 9 



1 .io /" . m s s E T i: r ./ . .s a l te n 

Ayant le ceiiho de i^iavité de 1 Oi' de p, lums pouvons passer an 
centre de gravité de lartrent de/? au moyen d'un troisième artifice : 

Nous supposons cet argent transformé en or, ce qui n'en dé- 
place pas io centre de gravité. Pour fixer les idées, nous admet- 
trons qu'avant la transformation on ait poussé dans chatpie tranche 
horizontale tout l'argent d'un côté et tout l'or de l'autre, parallèle- 
ment au plan de la fig. 4; la pyramide j; aura été décomposée en 
deux corps, po.pa, le premier tout en or, le second tout en argent, 
qui se touchent suivant une surface courbe dont la forme exacte 
ne nous intéresse pas ; ce transport n'aura pas changé la distance 
des centres de gravité de 1 or et de l'argent à la base de la pyra- 
mide p. 

Après la transformation du corps pa en or, la pyramide p de- 
viendra une pyramide homogène p.^, dont le centre de gravité 

est à - . 12= À cm. au-dessus de la base et qui mesure 24 cm-', 
i 

tandis que sa partie /?(, a son centre de gravité à 2,4 cm. et me- 
sure v'o = 18 cm'. Or 3 X 24 = 72 et 2,4 x 18 = 43,2 ; la diffé- 
rence 72 — 43,2 ^ 28,8 doit être égale au produit de «'a = 0. 
volume de la partie pa, par la distance cherchée du centre de gra- 

28.8 
vite de Pa à la base de p. Cette distance est donc — ^ = 4,8 cm. 

Récapitulons : \ous avons trouvé pour l'or des différentes por- 
tions du corps donné les poids et les altitudes de centre de gravité 
(jui suivent par altitudes nous entendrons la hauteur au-dessus de 
la base inférieure du corps total) : 

corps centiMl : (il 56 gr.. i ciu., 

[«^'■prisme combiné : 1368 ^v , !> cm., 
2'' prisme combiné; 1368 gr.. o cm., 
pyramide y^ : 342 gr., 2,4 cm., 

Or total ; 923 i gr., 33652,8 

divisant la somme des produits de droite par le poids total de l'or, 

1 . , , , -11- 33652,8 

on trouve comme altitude du centre de trravite de 1 or ,..,.,, ^^= 

^ y-:34 

3,6444 cm.; celte altitude et le fait que le centre de gravité doit, 
pour raison de symétrie, se trouver sur la verticale passant par les 
centres des bases, déterminent la position même du centre de gra- 
vité de l'or. I.e problème est résolu pour l'or. 

Quant à l'argent des différentes portions, nous avons obtenu 
comme poids et altitiuies des centres de gravité : 

corps central : 3240 gr., 8 cm., produit 25920 

1^'' prisme combiné : 360 gr., 6 cm., produit 2160 

2'' prisme combiné : 360 gr., 6 cm., produit 2160 

pyramide^: 60 gr., 4,8 cm., produit 288 

Argent total . 4020 gr., 30528 



produit 


24624 


produit 


4104 


produit 


4104 


produit 


820.8 



P U O n I. i: M E I) E C E () M E T H I E 



131 



le centre de yravilc de rarj^ent sera sur la même veilicale (jiie 

, . , ,, • . , . , , ^^^^28 „ . , , 

celui de 1 or, mais a une altitude de ,^..,, = /,o9'j0 cm. I>e pro- 

blême est aussi résolu pour l'arj^enl. 

I^e poids total du corps seia de !)2.i'i -f- 'i()2(» = 132"/» or. Sou 
centre de gravité est situé sur la verticale (pii joint les centres des 
hases, à une altitude qu'on obtient en divisant par 13254 la somme 
33652,8 + 30528 = 64180,8; l'altitude est de 4,8424. I.e problème 
est complt'tement résolu. 



D 



EIXIKMI- MKruODE. 



Nous supposons établi que la densité du corps à la distance x 

au-dessous de sa petite base varie uniformément avec j, selon la 

9 . . , . , , 

formule rf= 10 + r^i'- Nous avions démontré cette propriété pour 

la pyiamide qui avait été désignée par /> ; toutefois la formule est 
valable dans toute l'étendue du corps total, puisque la composition 
de l'alliage dépend seulement de .r. d'après les données mêmes du 
problème. 

Au lieu de couper le corps en morceaux, essayons de le com- 
pléter en prolongeant les arêtes obliques AoAf,, BpBa,CoCa, DpDrt 
jusqu'à leur point d'intersection r. voir fig. 5) et en supposant que la 

9 
densité varie encore suivant la loi </ = 10 + r« x au-dessus de la 

petite base, où x prendra des valeurs négatives. Nous désignerons 
par c le corps donné, par c' la pyramide additionnelle qui le sur- 
monte, et pai' C = f -|- c' le corps ainsi complété. 
Pour trouver la hauteur h' de ; au-dessus de la petite base, nous 

/*' CaDa 9 



utilisons la proportion 



7^ , que démontre la figure ; 



h est la hauteur du corps donné, 12 cm. ; nous tirons de cette pio- 

/'' 9 , • ,, 

portion -j = ., _ „ = 3 soit // = 3A = 30 cm. 

Pour trouver la densité en r, il nous faut faire, dans la formule 
pour d,x = — 30, et nous trouvons le résultat étrange <^/ = 10 — 

9 , . 

,pj 36 = — 17. densité négative. 

Mais ceci nous apprend qu'il suflit d'augmenter partout de 17 
la densité du corps C pour en faire un corps C, assimilable à une 
pyramide homogène Q, à 4 dimensions, comme nous l'avions fait 
pour la pyramide/;". 

Désignant par y la distance d'un point quelconque au sommet 
r, en aura y ^= x -\- h' ^=- x + 36 et pour la densité (^^ en un tel 

9 9 

point de C, d, = 17 + ^/ = 27 + ^2 '^ ~ '^•^) — 12 V' 



UJ2 



/■ H () S S E / A / ./ . N A l T K II 



La j)\ lainith' à \ diiiieiisioiis Q, seia im corps liornogène doni 
la hauteur mesure h -\- h' =. 'j8 cm, et dont une section quelcon- 
que menée parallèlement à la base à la distance y au-dessous du 

 3 12 B C 

sommet a comme longueur , 1 .", y z=z — //.commelaraeur , ° P , // 

'' h ~\- Il ■' i8 '^ ' *^ It -\- Il ' 

= 7-^ y et comme troisième dimension d^ = r:, ?/ = rô //• 

Le poids de C, sera par conséquent égal au produit d<? la hase 



-17 
-->2 



; c; 



1 


— -t.. . 


- 


/ 


h 

i 


J 


\' \ 


/ ^' 






19 


i6 






C 


C. 



; S; 
; ; 


; 57 ; 


; <:\ ; 
! 37 V 


/••l 


/•■ 


/■■ 


19 


76 

c 


57 



12 X «s X 3() de Q, par 12. quart de la hauteur // + h\ donc 
41472 gr., et l'altitude G, de son centre de giavite !).(>. cincpiième 
partie de /* + h' . 

On passera au poids m\ de la partie supérieure c\ correspon- 
dant à (■' de (],, soit à la capacité de la partie supérieure (i\ deQ, 
en multipliant M, par la quatrième puissance du rapport des di- 
mensions des corps semblables à 4 dimensions, c'est-ii-dire par 

3\* 81 

4/ ^^ '>5G ■ *^ *^1"* donnera m\ = 13122 gr. L'altitude <i\ du 

1 • - . , . . . , /'' '{'J 

centre de gravite de c , sera eoale a // 4- — =1 12 -1- — := 1!>.2. 

Soustrayant 13122 de 41472, on obtient 28350 pour le poids ///, de 
la partie inférieure c^ (correspondant à c) de G,, tandis que l'alti- 
tude g^ du centre de gravité âec^ sera donnée par relation M, G, r- 
"*'i^'i ~f~ '"i§\ soit, en remarquant que M,,///, et///, sont entre 
eux comme les nombres 256, <S1 et 25() — 81 = 175. 



256 X 9,6 = 81 X 19,2 -f 175 gi 
d on 175 gi = 2457.6 — 1555.2 = 902,4. 

soil 700 gi = 3609.6 mi gi = Jl_ll' 



Mous introduiions encore un corps homogène C^ de mêmes di- 
mensions que le corps G, mais ayant partout la densité J7; nous 



/' /.' o /; /. /. M i: I) i: <. i: o m i: r k i e i 33 

y (lisliii^iK'ioiis l'iu-oie driix j)aitios. r., el r'., . (•<)ii<.'sp(HHlaril à r 
et r'. \x p()i<ls M, de C, est éoal à 17 X — X \'i XS — 26112 «-r., 

le poids i)i' ., de r'., à ( "r ) 2()112 = I lOlO «^r., le poids ///., de t\_ à 
2(5112 — IlOK) = 1509() or. l/altiliide C.., du eentri' de gravité de 

C, est de 7- 4.S = 12 cm.: laltiliide i,''., du eentre de gravité de c .^ 
■- * ' " 

est 12 4- r -i^i = 21 cm.; rallitiidc ^-^j du centre de gravité de r^ 

s'obtient par la relation MjC, = m\j^ ^ + /«.^^'.^ soit, en remar- 
quant que Mj, /w'., et /;/., sont entre eux comme les nombres 64, 27 
et r/t — 27 = 37, ' 

64 X 12 = 27 X 21 + :}7 ^, 

201 

d où 0''^x = /*i8 — .ib/, soil ^'s = — . 

Fout est prêt pour la résolution de notre problème en ce qui 
concerne la masse totale du corps donné r. C'est que le corps t\ 
peut être considéré comme la somme des corps r, et <• ; on doit 
avoir m^ = m.., -\- m et ln^g^ = tnig=, + mg,m étant le poids de c 
et o l'altitude de son centre de gravité ; on trouve 

m = m, - nu, = 28350 — I.ï0% = 13254 gr. 

36,0% ,,, . 201 

mg = litige — niig., = 28350—^^ 1509b — 

13254 g = 4050 X 36,09ti — 408 X 201 , 

146188,8— 82008 
" » — 13254 

En outre, tout le travail de raisonnement qui a été fait jusqu'ici 
va nous servir sans autre pour traiter le problème de l'or. Nous 
supposerons que par un procédé chimique nous ayons pu dis- 
soudre et enlever tout l'argent du corps c: il restera un corps 
spongieux (3 voir ûg. 6 de constitution analogue à celle de la 
pyramide p^ (utilisée dans la i'" méthode), dont la densité moyenne 

19 ^ . 

à l'altitude .v lépond à la formule d^ = j^ .i\ Ceci nous conduira 

à introduire successivement : 

Un corps c'.^ de mêmes dimensions que c' et formant avec c^ une 
pyramide C3 dont la densité, répondant encore à la formule pré- 
cédente, atteint au sommet la valeur négative — 57 ; 

un corps c\ de mêmes dimensions que r, et dont la densité 

19 
atteint 57 en haut et 7<i en bas, donc des valeurs -q- fois plus fortes 

19 
(jue celles de r, ; le poids /;/, de ce corps sera donc -^ 2<So50 = 



1 3'i /'. /' A' () S S E T ET J . S A U T E li 

59850 j^r., tandis que l'altitiide^, de son cenlic de yravité reste 

36.096 

— = — cm. ; 

un corps homogène c.^ de mêmes dimensions qne c.,, mais de 
densité 57, donc p fois plus lourd ; son poids /;/., sera par consé- 
quent 7^ 1.5096 = 50()]() «il., tandis (jue l'altitude ,;'.^ de son centre 

. , 201 

de gravite reste -;r^ cm. 

Nous arriverons ainsi à ///,, =. m ^ — /;^._ = 59850 — 50G1() = 
92.34 gr. comme poids de lor du corps r, et aux relations suivantes 
pour l'altitude g^^ de son centre de gravité : 

36,096 201 

niigi =z iiugi — tiiig^ = 59850 — 50616 — 

9234 o^j = 8550 X 36,096 — 1368 x 201 == 33652,8 , 

d'où g^ = 3,()444 cm. 

Quant à l'argent du corps c, son poids sera 

m — m^ = 1325'f — 9234 = 4020 i<i-. 

et l'altitnde de son centre de gravité 

,ns—i>i,g2 . 64180,8-33652,8 _.,,,^ 

— soil — — = /,.-i940 cm. 

m — nig W'Iu 

On voit que cette seconde méthode conduit aux mêmes résultats 
que la première. Les deux méthodes ayant fait intervenir de deux 
façons très difTérentes certaines propriétés de la pyramide géné- 
rale à n dimensions, il y a tout lieu de cioire que ces propriétés, 
établies par induction, sont vraies. 



Comi»li':mi;xt. 

Nous nous proposons ici de démontrei- par déduction, mais sans 
le secours du calcul intégral, les jiropriétés fondamentales de la 
pyramide à n dimensions : 

« La capacité de la pyramide à /i dimensi()ns est égale au pro- 
duit de la base par la /z'*"* partie de la hauteur ; 

« la distance de la base au centre de gravité est égale à la 
{n + 1)'*™" partie de la hauteur. « 

Il est à remarquer que n peut aussi être plus petit que 3. Poui' 
/z :=: 1 on obtient un segment de droite dont une extrémité fera 
« sommet » et dont l'autre fera « l)ase » ; la « capacité » se réduit à 



I' I! O H I. i: M K D i: C. E () .»/ ETUI K l.iâ 

la longueur ou «hauteur», la hase élant renipiacM'e par la puis- 
sance zéro d'iiive longueur, c'est-à-dire par l'unité : h; centre de 
gravité sera le point milieu. Pour n = 2 on ohtient un triangle, 
dont la surlace est égale au produit de la hase par la moitié de la 
hauteur, tandis que la distance de la hase au centre de gravité est 
le tiers de la hauteur. 

Désignons par II la hauteur de la pyiamide. parB la hase et par 
V la capacité; écrivons V = / HH. /étant un facteur constant. II 

s'agit de démontrer que i z=i - . 

A cet elïet supposons qu'on agrandisse très peu la pyramide, 
simplement en appliquant sur sa base à n — 1 dimensions une 
couche d'épaisseur constante e et de capacité Be. 

La pyramide augmentée, de capacité V et de hauteur H -\- e , 
doit être semblable à la pyramide donnée, de capacité V et de 

hauteur H: comme elles sont à n dimensions, on aura donc -y = 

/H + e\" / e\" , » e , nin — \] f e\- , /e\" 

i-W-) = (i + ïî) = A + î H + -TT- (h) • • • + (h) -' 

- p 

développant d'après la loi du binôme de Newton, p étant supposé 

très petit, nous eu négligerons les puissances supérieures et nous 
poserons simplement 

\= \ 4- ^" 77 . soit 

H 

V — V = \n 4 = iEBn ^^ = mUe 
H ri 



pour l'agrandissement de la pyramide donnée. Or pour que ce 
résultat soit compatible avec Be, capacité de la couche ajoutée, il 
faut qu'on ait 



le premier point qu'il fallait démontrer. 

Désignons par /H la distance du centre de gravité de la pyra- 
mide donnée à la base B. J étant un facteur constant. Il s'agit de 

• 1 

demontrei' encore que / = ; — r . 

* -^ n + l 

Dans ce but continuons à étudier l'effet de la couche addition- 
nelle d épaisseur e. Cette épaisseur étant très faible par rapporta 
H, on peut dire que l'adjonction de la couche doit augmenter de 
HBp le moment de la pyramide par rapport à son sommet, moment 
qui avait pour mesure \V le produit de V par la distance L —J H. 



136 MÉLANGES ET CORRESPONDANCE 

■- La pyramide augmentée restant semblable à la pyramide primi- 
tive, on aura 

W _ tr_V' _ /H + e\ «+i __ f ^ e\«+' _ , , , , ^e 

W ~ TTv 



(^4^) "+'--=(, + 0'+' => + ,„+ 1, i en négU- 



i>eant les puissances supérieures de rv • On aura donc 

W — W = w i,j + 1) f =: (1 _ j) [n + I) Ve = (1 — /| '^-^ HBe 
H ■ n 

pour ragrandissement du moment, et ce résultat ne sera compa- 
tible avec HBe, moment de la couche, que si l'on a 

" + 1 ■ • . " . " ' 

(1 — / I =r 1 soil 1 — / izr 1 — - ou y = 1 



n -\- \ ■' n -\- i n -\- \ 

le second point qnil fallait démontrer. 

J. Sauter et F. Trosset. 



MELANGES ET CORRESPONDANCE 



Pri la funkcia ekvacio f{x -\- y] ^i f{.i) + f{y]. 

En mia lasta artikolo ( L' Enseignement mathématique, 15 sept. 
1913, p. 390), mi sercis ciujn mezureblajn solvojn de la ekvacio 
/"(.r + y) z=f{:r] -\- f[y). Mi, por tio, pruvis ke se iu niezurebla 
solvo estas nula kiam r estas racionala, gi estas cie nula. 

Sed mi jus rimarkis ke tiu lasta teoremo estis jam pruvita en 1907 
de Sro Lebesgue (Atli délia H. Accademia délie Scienze di'TorinOy 
vol. XLII, 10 marzo 1907] kaj mi deziras atentigi pri tiu antaiieco. 
Lia solvo estas cetere malsimila kaj staras sur la nocio « aro eldua 
katogorio». 

Poitiers, 1 février 1914. M. Frhchet. 



chkoniquh: 



Commission Internationale de l'Enseignement Mathématique. 

Plus de cent soixante malhéinaticiens appartenant aux princi- 
paux pays de l'Europe viendront suivre les travaux de la Confé- 
rence Internationale de l'Enseignement mathématique c[n\ auraiieu 
à Paris du i'''' au 4 avril 1914. Nos lecteurs connaissent le pro- 
jjramnie comprenant principalement la présentation et la discus- 
sion des Rapports de M. Beke, suri" « Introduction des premières 
notions du Calcul des dérivées et des fonctions primitives dans 
l'enseignement secondaire «, et de M. Staeckel, sur « TEnseigne- 
ment mathématique dans les Ecoles d'ingénieurs ». 

Les deux Rapports seront imprimés en temps utile afin de 
pouvoir être distribués aux paiticipants, au début de la réunion ; 
ils seront reproduits avec les discours et les conférences de la 
séance d'ouverture, dans VEnseignement mathématique du mois 
de mai qui sera entièrement consacré aux travaux de la Confé- 
rence. 

Allemag'ne. — La Sous-commission allemande vient de publier 
deux nouveaux fascicules de ses monographies sur l'enseigne- 
ment mathématique. Tous deux font partie du tome V consacré 
aux mathématiques dans les écoles primaires et les écoles nor- 
males ; l'un, par MM. H. DitEssLEis et K. KiHtNER concerne les écoles 
primaires et normales de Saxe, de Thuringe etde Anhalt; l'autre, 
par M. W. LiETZMAxx, a pour objet l'organisation de l'enseigne- 
ment mathématique dans les écoles primaires et primaires supé- 
rieures de Prusse. 

Der mathematische i'nterricht an dcii Volksschulen und Lehrerbildungs- 
anstalten in Sachsen, Thiiringen und Anhalt. voii Piof. H. Dkessler (Dres- 
den) und Dr. K. Korner (Wolfenbùttol). Abhandliiugen ùber den niathema- 
tischen Unlerricht in Deutschlaad, B;md Y, Hefi 4, v-132 p. 

Die Organisation des mathematischen Unterrichtes in den preussischen 
Volks- und Mittelschulen, von Dr. W. Lietzman.n (Barmeii). Abh^nidliuiiien. 
Band V, Heft 6, v-106 p. ; B. G. Teubner, LeipziV. 



138 ( n HON lO u i: 



Académie royale de Belgique. — Concours de 1915. 

[.a Classe des Sciences inel an coiicouis les questions suivantes : 

On demande une contribution importante à la géométrie infini- 
tésimale des surfaces courbes. — Prix : 800 fr. 

Résumer les travaux sur les systèmes de coniques dans l'espace 
et faire de nouvelles recherches su/- ces si/stèmcs. — Prix : (SOO fr. 

Les niémoiies devront être adressésàM. le Seciétaire perpétuel, 
an Palais des Académies à Bruxelles, avant le 1"' août 191."). 



Tricentenaire des logarithmes. 

C'est en 1()14 qne .lean Ni:i>ki! i.lohn Napier pnlîlia à P.diinboni<>- 
ses tables de looarithmes sous le titre : Logarithmorum Canonis 
Mirifici Descriptio. Ainsi que nous l'avions annoncé^ la Société 
Royale d'Edimhouro- tient à commémorer cet événement histo- 
rique en organisant une série de séances qui auront lieu le 
2'i juillet et les jours suivants et auxquelles elle convie les mathé- 
maticiens, les Universités et les Sociétés scientifiques. 

Les adhésions et les souscriptions en faveur du volume qui sera 
publié à la mémoire de Neper doivent êtreadressées au secrétaire- 
général M. C. G. KxoTT, Société Royale d'Edimbourg. 



La Société suisse des professeurs de l'enseignement secondaire 
et la préparation pédagogique des maitres secondaires. 

Dans sa réunion tenue à Haden les 5 et 6 octobre li)13, la So- 
ciété suisse des professeurs de l'enseignement secondaire a con- 
sacré une séance à la préparation pédagogique des candidats à 
l'enseig'nenîent. La discussion était basée sur les rapports très 
documentés de MM. v. Wvss et Bisaxdenberger (Zurich) ; ce der- 
nier a examiné la question spécialement au point de vue de l'en- 
seignement mathématique. 

L'assemblée a adopté les va'u.v suivants destinés aux autorités 
scolaires. Le Comité vient de les transmettre aux Départements 
cantonaux en un mémoire dont voici les principaux exti-aits : 

« La Société suisse des Pi-ofesseurs de l'enseignement secon- 
daire déclare qu'une préparation pédagogique est nécessaire aux 
futurs maîtres de l'enseignement secondaire. S'adressant aux 
Départements de l'Instruction piil)li([ue des cantons, aux recteurs 
des Universités, aux directeurs et au personnel enseignant des 



' Tricentenaire des logarithmes. J. Jiitrgc et J. ]Sepei\ Vr.n.i. rnulh. du 10 juillet l!tl.S, p. 25."). 



( iinoNioui: i:{'.) 

écoles secoiidaii'ee do la Suisse, elle formule les desideiala ' sui- 
vants, quelle justifie par un bief" exposé des niolifs. 

« Elle demande aux Universités d'introduire dans leurs pro- 
grammes à l'usage des fuluis maîtres de l'enseignement secon- 
daire des couis spéciaux, où on leur enseignera Vnrt d'cnscip^ncr. 
A ces cours théoriques seront joints des exercices prati(jues. (^es 
cours seront obligatoires. Avec une durée de deux semestres, ils 
consacreront deux heures par semaine à la méthode d'enseignei- 
chaque branche du programme. On y traitera entre autres des 
bases psychologiques de l'enseignement. La direction de ces 
cours sera confiée, sauf excej>lion, à des maîtres de l'enseigne- 
ment secondaire. 

« Dans les plans d'études, on recommandera aux candidats à 
l'enseignement la fréquentation des cours de pédagogie générale 
et de psychologie. Si les circonstances s'y prêtent, on organisera 
des cours et des exercices spéciaux pour les maîtres qui se des- 
tinent à enseigner dans les gymnases. 

« Dans chaque école, le directeur assistera le plus souvent pos- 
sible aux leçons des jeunes maîtres qui débutent sous sa direc- 
tion, et les aidera de ses conseils. Les dispositions nécessaires 
seront prises pour que les maîtres eux-mêmes, les jeunes spécia- 
lement, puissent assister de temps \\ autre aux leçons de leurs 
collègues, aussi bien dans le collège auquel ils appartiennent que 
dans les autres. » 

Voici, dans Xexposé des motifs, le passage concernant les ma- 
thématiques : 

A cette heure, en Suisse, les Universités de Zurich, de Bàle el 
de Lausanne ont seules posé les bases d'un enseignement tel que 
nous le réclamons pour les futurs professeurs de l'ordre secon- 
daire. Nous attirons spécialement l'attention des pédagogues sur 
le cours inauguré par M. le D'' Brandenberger à rRc()le indus- 
trielle de /nrich. 

« Stimulée par l'activité déployée par la Commission interna- 
tionale de l'enseignement mathématique, la Société suisse des 
mathématiciens a entrepris en 1910 une enquête dont les résul- 
tats ont été constatés à l'assemblée de Zurich en 1912. Il est 
établi que les maîtres chargés de cet enseignement ont souffert, 
au début de leur carrière, d'une préparation pédagogi({ue insuf- 
fisante ; ils se plaignent de cette lacune qui leur a nui gravement 
ainsi qu'à leurs élèves. Sur une démarche de la Société suisse des 
Professeurs de mathématiques, le Conseil de l'Ecole polytech- 
nique a institué pour l'année 1912-1913 un cours nouveau Inlro- 
duction à l'enseignement des mathématiques . destiné aux élèves 



' Ces desiderata viennent à l'appui des l'œiix et propositions de réforme formulés en I9i:( 
parla Sous-commission suisse de l'Enseignement matht'Miatiqne. Voir les liapports suisses. 
Annexe. — N. d. I. R. 



l'iU CllliONlOlE 

de la section nialliéiiiatique de llù'ole polytechnique, et Ta confié 
à M. Brandenberoer. 

u Pendant l'année écoulée, les membres de ce conseil et les pro- 
fesseurs de la VIII'' division ont pu se convaincre, en assistant aux 
leçons et aux exercices, de l'utilité de ce cours, qui, de provisoire 
(juil était, deviendra dès cette année délinitii". Dans le premier 
semestre, M. Brandenberger a traité de (juestions relevant de la 
psychologie, de la logique, de la didactique générale. Dans le 
second, il a enseigné la manière d'enseigner les mathématiques. 
Il a mis sa théorie en corrélation étroite avec l'enseignement qu'il 
donne lui-même à l'école. Comme dans les sciences naturelles la 
théorie est complétée par des expériences et des excui'sions, de 
même la discussion scientifique au cours de M. Brandenberger 
est partie des observations faites dans les leçons auxquelles assis- 
taient les étudiants, ou dans celles qu'ils donnaient eux-iuênies. 
Ou bien le sujet était repris, présenté d'une manière plus facile à 
saisir et complété par des applications. 

« Contrairement aux craintes exprimées, ces exercices ne trou- 
blèrent pas l'enseignement et n'en compromirent pas le succès. 
M. Brandenberger attribue cet heureux résultat, entre autres, au 
fait que la direction du cours a été remise non pas aux mains 
d'un professeur de l'Université, mais appartenait à un maître secon 
daire. 11 est bien évident que seul le maître de classe est en mesure 
de donner au débutant les indications nécessaires sur le niveau 
des élèves. Connaissant ceux-ci, il est aussi plus capable d'appré- 
cier la leçon qui leur est donnée. 

« La discussion qui suivit les exposés de Mi\l. de Wyss et Bran- 
denberger a montré que leurs auditeurs admettaient pleinement 
leurs conclusions, entre autres celle-ci : il faut créer des cours 
d'introduction dans le genre de ceux que dirige M. Brandenberger. 
M. de Wyss avait proposé que le cours de psychologie fût reconnu 
obligatoire pour les étudiants qui se destinent à l'enseignement. 
Considérant la grande somme de travail qui est exigée de ceux-ci,^ 
l'assemblée déclara que ce cours ne serait pas obligatoire, mais 
que la fréquentation en devait être simplement recommandée. 
Mais on fut unanime à demander que dans les cours d'introduc- 
tion les bases psychologiques de chaque enseignement spécial 
fussent établies. 

« Comme le temps que l'étudiant peut consacrer à sa prépara- 
tion pédagogique avant les examens est forcément limité, il sera 
d'autant plus nécessaire qu'une fois maître il soit introduit dans 
la carrière, dirigé, suivi, conseillé au cours de ses leçons par le 
directeur de l'école dans laquelle il aura débuté. Dans les établis- 
sements d'instruction publique où le règlement n'impose pas aux 
directeur l'obligation d'assister aux leçons, les autorités sont 
invitées à le décharger pour qu'il puisse consacrer le temps néces- 



I 



yv o /■ A" .s !■: T DOC u .1/ /■: n r s i ', i 

saire à cette biaiiclie très iinpoilante de son activité, l'^ii oulie, 
les maîtres attachés à l'école, les jeunes tout au moins, doivent 
être astreints à assister aux leçons de leurs collègues dans le même 
établissement et dans d'autres, autant que faire se pourra. 11 esl 
désirable enfin qu'ils voient le travail accompli par leurs élèves 
dans d'autres branches que les leurs et les résultats auxquels ils 
parviennent. Ils apprendront ainsi comment on enseigne les autres 
sciences; ce sera pour eux un stimulant et le meilleur moyen 
d'éviter la routine. » 

Nouvelles diverses. Nominations et distinctions. 

Ang'leterre. — M. 11. F. Bakkiî a été nommé professeur 
d'astronomie et de géométrie à l'Université de Cambridge en rem- 
placement de Sir Kobert Bail, décédé. 

M. H. Lamb, professeur h l'Université de Manchester, a été 
nommé membre honoraire de la Société Royale d'Edimbourg. 

Autriche. — M. H. Tietze a été nommé professeur de Mathé- 
matiques à l'Ecole technique supérieure allemande de Briinn. 

Etats-Unis. — M. F. A. Caupextieh est nommé professeui' 
extraordinaire de Mathématiques à l'Université de Washington. 

M. G. E. Hai.e. directeur de l'Observatoire solaire du Mount 
^^ ilson. a été nommé membre honoraire de la Société Royale 
d'Edimbourg. 

M. S. E. Rose a été nommé professeur ordinaire de Mathéma- 
tiques à l'Université de l'Etat cl'Ohio. 



NOTES ET DOCUMENTS 



Commission internationale de l'enseignement mathématique. 

Compte lendii ries tiii\'(iu.r des Sous-cominissiuiis iioltoimles. 
|17e arliclei 

ALLEMAGNE 

Psychologie et enseignement mathématique. 

Psychologie ti/nl inatheniatisclier Unten ictit '. von Ur. D. 1\atz. l^iivatclozeiil 
a. d. Lniversilat Gotlino;en. — Celte élude forl suggestive du Dr. Kat/ 
mérile d être signalée tout particulièrement aux professeurs des différeuts 
degrés de renseignemenl mathématique. Jusqu ici la psyclioiogie expéri- 



' Abhandliingen iiber den miithem. l'nterricht in Deiitscliland. B:ind III. Heft S. 
de 120 |). et 12 lig., 3 M. 2(i : B. iV. Teubner. Leip/.io;. 



I'i2 NOTES ET DOCUMENTS 

mentale ne s est encoi-e »iière occupée que de ItMiseigneniciil éléniciilaire. 
L'juileiir se borne donc surloul i'i ce dernier. Il n';iborde p.ns des qiieslious 
telles (jue hi fanlaisie et liniaginalion (|iii jovienl un rôle iinportanl dans 
renseignement secondaire et supérieur. Mais en examinant ce vohune, les 
professeurs des écoles moyennes seront précisément amenés à étudier à 
leur point de vue des questions analogues à celles que l'auteur développe 
pour l'enseignement élémentaire. 

Dans l'Introduction l'auteur s'élève avec raison contre le logigisme péda- 
gogique dans l'enseignement mathématique. Son exposé est divisé en trois 
parties. Dans la première, qui est la plus importante, il étudie la psycho- 
logie mathématique et l enseignemenl mathématique en montrant d'abord 
comment se développent chez l'enl'aut la représentation du nombie et la con- 
ception de l'espace. Puis viennent, la métliode de travail des mathématiciens, 
d après l'enquête publiée par M. Fkiik avec la collaboration de .MM. Ci.ai'a- 
KÈDE et P'i.ouR.NOY ; la psychologie des grands calculateurs ; l'enseignement 
chez les enfants arriérés ; la mesure de la fatigue ; etc. 

La seconde partie est une contribution à la psychologie du Dessin tech- 
nique et artistique, tandis que la troisième et dernière jjartie de l'ouvrage 
traite de la psychologie et de la pédagogie dans la préparation des candi- 
dats à l'enseignement. C. Bramjenkekger (Zurich). 



ILES BRITANNIQUES 

N° 30. Les mathématiques dans les écoles secondaires municipales. 

Course in Matheinalics for Muiiiripal Second ary Schools ', by M. L. M. 
Jones, Head Master at ihe Central Secondary School, SuH'olk Street. Bir- 
mingham. — Dans ce rapport l'auteur expose le programme de mathéma- 
ti(jues d'une des écoles secondaires municipales dont il existe un assez 
grand nombre en Angleterre. Celle dont il est question ici a environ 300 
élèves de 1 1 à 17 ans. L enseignement doit y présenter avant tout un carac- 
tère utilitaire, on devrait insister spécialement sur les points suivants : 
exactitude dans les calculs ordinaires : usage des logarithmes, de la règle 
à calcul, etc. ; résolution des équations linéaires à une et plusieurs inconnues, 
et des équations du second degré ; connaissance des propriétés des princi- 
pales figures géométriques, triangles, parallélogrammes, cercles et égale- 
ment, jusqu'à uu certain point, des sections coniques ; résolution des 
triangles ; arpentage ; équilibre des forces ; dynamique élémentaire ; énergie 
et ses transformations ; mouvement harmonique simple et ses relations au 
mouvement circulaire ; connaissance sudisante du calcul infinitésimal pour 
permettre la différeni^atiou des fonctions simples, le calcul de quohjues 
intégrales se rencontrant en physique, en chimie ou dans les travaux de 
l'ingénieur, et la détermination de maxima et minima, d aires, de volumes, 
de centres de gravité et de moments d'inertie ; représentations graphiques. 
La notion de fonction spécialement est de première im|)ortance. On devrait 
«jviter tout travail présentant un caractère purement artificiel, et rechercher 
plutôt la simplicité que la complication. 

L'arithmétique et lalgèbre sont traitées simultanément. On débutera de 



' 1 fuse. 1.') p. : prix 1 V2 d- ; Wynian anil Sons, Londres. 



NOT i: s ET DOC l M li S T S \\.', 

prétV'reiu»' i);ii- los fiMclioiis décimales, car les élèves ne coiuiaisseiil pas 
sudisammeiit ce sujet avant leui- entrée à l'école. On conlirnicra par les 
opérations abrégées, puis on abordera les proportions et pouicenlages. 
L'enseignement des propoitions est didicile, c'est pourquoi ow le néglige 
souvent dans les écoles ; on préfère généralement la mélhode d(; réduction 
à l'unité. L'élude des proportions cependant présente un iulérèt particulier, 
c;w elle introduit la notion de rapport qui conduit elle-même à la notion de 
tonclion. L'usage des lettres se fera tout d'aboid à propos de problèmes 
conduisant à de simples équations, et comme un moyen de simplifier le 
langage : puis. 1 utilité des opérations algébriques se fera sentir, on évitera 
toutefois les exemples compliqués. Enfin le champ de la première année se 
terminera par la résolution des systèmes d'équations, en traitant aussi la 
question graphiquement. Les logarithmes pourront être introduits à la fin 
de la première année ou au commencement de la seconde. Le tiavail de 
seconde année consistera pour l'arithmétique eu problèmes sur les intérêts, 
escomptes et opérations financières diverses, et pour l'algèbi'e en problèmes 
variés conduisant à la résolution d'équations ou de systèmes d'éfiuations. 
On s'occupera aussi des équations du second degré, en les lésolvant tout 
d abord par le moyeu de la décomposition eu facteurs, et des éléments de 
trigonométrie. Les années suivantes, on traitera les équations simultanées 
du second degré, les puissances et racines, les progressions arithmétiques 
et géométriques. On poui-ra aussi consacrer quelques heures aux permuta- 
tions et combinaisons, au binôme et aux symboles e^ et log e^ . En trigo- 
nométrie, après la résolution des triangles rectangles, on passera aux 

,,.,,„ sin A sin B sin C 

triansjles quelconques a 1 aide des formules ^ — ; — := et 

' abc 

f- ^ «'■' -|- h- — 2rt^ cos C. Quoique ces formules suffisent pour les appli- 
cations, il sera avantageux d'eu introduii'e d'autres plus commodes pour les 
calculs logaritlnuiques. Ajoutons encore les formules d addition, les rela- 

lions entre les fouctions de A et 2A ou — et l'expression de Faire d'un 

triangle et des rayons des cercles inscrits et circonscrits. On évitera 
par contre les équations trigouométriques compliquées et en général toute 
manipulation trigonométrique présentant un caractère plus ou moius arti- 
ficiel. Il faut recommander enfin les opérations pratiques sur le terrain, 
arpentage, relevés de plans, etc. 

Eu géométrie, le travail sera tout d'abord en grande partie expérimental, 
puis on établira les preuves géométriques des propriétés trouvées expéri- 
mentalement. Pendant cette première période, ou se servira surtout de 
deux méthodes : vérification expérimentale de déductions géométriques et 
démonstrations géométriques de généralisations expérimentales. La [)remière 
année suflira pour traiter de cette manière la plus grande partie du livre I 
d Euclide. Durant la seconde année les méthodes déduclives seront plus 
fréquemment utilisées, le plan d'études s étendra jusqu'au livre III d Euclide 
y compris. Les années suivantes, les procédés employés seront encore plus 
purement déductifs. Les livres IV et V pourront être considérablement 
raccourcis. On s'occupera aussi des propriétés de quelques autres figures. 
par exemple de l'ellipse, de Ihyperbole et de la parabole. Les applications 
graphiques seront nombreuses ; en outre un certain temps sera consacré au 
dessin géométrique mécanique. Les représentations giaphiques présenteront 
un intérêt spécial comme illustrant la notion de fonction et pouvant servir 



144 NOTES ET DOC r M E .\ TS 

de base au calfiil iufiiiiu'-siin;il. On (''ItKlici-a sticloiil les lit(iu's y = ni.v -\- c. 

Y ■=. x'- , y zz: -, y = n -\- h.r -\- c.r^. y =; <^/.r". cflle deiiiii-re conduisanl à 
X ' 

la courbe logarithmique. Ou aui-a soin d'ilhislrer celle étude par des appli- 
cations pratiques tirées de la physique. 

I^e calcul infinitésimal pourrait s'iulioduire de bonne heure. Certains 
maîtres prêtèrent pousser tout d'abord l'étude de l'algèbre et de la trigono- 
métrie jusqu'à un certain point, (cependant , le procédé graphique constitue 
bien la plus simple méthode d'introduction du calcul différentiel et intégral. 
On calculera ensuite les dérivées et intégrales ordinaires en les appliquant 
à l'étude des courbes, maxiraa et niinima, etc. Plus tard, on considérera 
l'intégrale comme une somme, ce qui permettra la détermination d'aires, 
volumes, moments d'inertie, centres de gravité, etc. 

Aux yeux de quelques-uns ce plan d'études peut paraître un peu consi- 
dérable, mais on ne doit pas perdre de vue la grande économie de temps 
qui résulte de la suppression de chapitres inutiles. 



N° 31. — Examens pour l'obtention de bonrses de mathématiques 
(Scholarships) à Oxford et Cambridge. 

Exanunaliuns for Matlieinatical Scholarships at Oxford and Cambridge '. 
by Mr. A. E. Jolliffe, Fellow and Mathematical Lecturer, Corpus Christi 
Collège, Oxford, and Mr. G. H. Hardy, Fellow and Mathematical Lecturer. 
Trinity Collège, Cambridge. 

I. Oxford. — Ici les examens pour « Scholarships » en inalhémaliques 
sont dirigés par trois groupes de Collèges : 1. Balliol. Queen's. Coi'pus, 
St. John's : 2. Universily, Mertou, Exeter, New Collège. Hertfoid ; 3. Mag- 
dalen, Brasenose, Christ Church, Worcester. 

Parmi les candidats, il s'en trouve parfois d'une force excepliouuolle. 
mais, d une façon générale, la moyenne est inférieui'e à celle de Cambridge. 

Jusqu'à ces dernières années, le type d examens était à peu près le même 
partout. Ils pointaient respectivement sur l'algèbre, la trigonoméirie, la géo- 
métrie pure, la géométrie analytique et la mécanique (ou calcul difféMenliel 
et mécanique). Les questions consistaient généralement en une partie tiiéo- 
rique et un problème qui s'y rattachait. Ce système d examens cependant se 
transforma considérablement lors de la publication des recommandations 
de la « Mathematical Association ». Ces recommandations cependant ne sont 
pas à l'abri de toute critique, elles semblent oublier que l'objet de ces 
examens de « Scholarship » ne consiste pas à examiner les connaissances 
d'élèves parvenus à un certain niveau, mais bien à découvrir les candidats 
possédant des capacités naturelles spéciales. En fait de transformations, ou 
supprima certaines questions de probabilité et de la théorie des nombres 
ainsi que les démonstiations concernant les développements en séries. Des 
questions de géométrie moderne, de projection et de dualité apparaissent 
parfois mais sans qu'on en exige un développement systématique. Les 
groupes 2 et 3 ont adopté le calcul intégral, mais pas le groupe 1. L'arran- 
gement des questions d'examen a été aussi modifié. D'une façon générale 
l'auteur voudrait y voii- figurer des questions d une plus grande valeur 



' 1 faso. i'I p.. prix : i d. : WvinaD and Sons. Londres. 



I 



A' O TE S ET DOCUMENT S 1 1 5 

éducati%e. V.n consull;tiil ces examens, on a 1 imjjressiou que les uiaili-cs ne 
cherclient pas à enseigner les malliémaliques à leurs élèves, mais qu'ils se 
contentent de les préparer pour les « scholarsliips ». Le travail s'en ressent 
naturellement et les élèves s'occupent trop de formules et pas assez de prin- 
cipes. La préparation de l'algèbre, de la géométrie élénientaii*e et de la tri- 
gonométrie est assez bonne, mais la géométrie analytique, le calcul infini- 
tésimal et la mécanique laissent beaucoup à désirer. En géométrie analy- 
tique spécialement, le travail est souvent déplorable. Il faut en elierclier la 
cause dans lemploi immodéré du papier quadrillé et dans la prédominance des 
applications métriques et des e.\emples purement numériques. Dans le calcul 
difTérentiel également, les candidats montrent peu d'esprit d'initiative ; en 
dehors de la routine des formules, ils sont généralement perdus. Ln ce qui 
concerne la mécanique, de grands progrès ont été réalisés ces dernières 
années et l'enseignement en est excellent dans certaines écoles. Bien des 
candidats cependant ne saisissent pas la portée du sujet et ne savent en 
appliquer les principes à l'étude des phénomènes réels. 

Eu somme, on peut constater certains défauts d'un ordre général dans 
l'enseignement des mathématiques : absence d'ordre logique et de clarté, 
ignorance presque complète de certaines considérations importantes, telles 
que les dimensions et la symétrie. On laisse parfois de côté des notions de 
première importance et l'on s'occupe par contre de détails iusignidanls ; on 
envisage le sujet d'une façon trop étroite sans se préoccuper des principes 
généraux et sans tenir compte des développements qu'il acquerra par la 
suite. 

L'auteur s élève ensuite contre l'incapacité de la plupart des maîtres des 
classes inférieures et moyennes des écoles secondaires et contre la grande 
abondance des mauvais manuels qui se placent avant tout au point de vue 
des examens et évitent soigneusement de s'en écarter. Les auteuis devraient 
s efforcer d'êti-e rigoureux dans leurs discussious et de fournir quelques 
indications sur les développements ultérieurs du sujet sans cependant cesser 
d'être à la portée des élèves; ils ne devi-aient être ni trop exclusivement 
pratiques ni trop sévèrement théoriques. Il ne faut pas non plus laisser com- 
plètement de côté le point de vue amusant, sans cela l'enseignement risque 
de devenir trop monotone ; il faut cherchei" par tous les moyens à intéresser 
les élèves et à encourager leur esprit d initiative. 

II. Cambridge. — C-omme on l'a déjà fait remai-quer. le niveau des cau- 
didats aux examens de « Scholaiships » est notablement plus élevé à Cam- 
bridge qu'à Oxford. Les « public schools » envoient généralement leurs 
meilleurs élèves à Cambridge, mais une proportion toujours plus consi- 
dérable de candidats proviennent d autres écoles ou d'universités provin- 
ciales. Ces derniers ont en général une meilleure préparation. 

Relativement aux « Scholarship Examinalions », on distingue deux 
groupes de collèges à Cambridge : Trinity et Pembroke. A la connaissance 
de l'auteur, il n'y a pas une différence importante entre ces deux sortes 
d'examens. A Trinity ou y a adjoint depuis quelques années une partie 
théorique dans laquelle le candidat doit exposer quelques sujets sons l'orme 
d'essai. A Pembioke il en était de même autrefois, mais actuellement cetle 
partie est supprimée. A part l'essai, l'examen comprend trois parties. Les 
mathématiques pures concernent plutôt les candidats en sciences et les ingé- 
nieurs. Cette partie comprend passablement de calcul inlégial, branche 
généralement mal enseignée à cause principalement des vieilles Iraditious 

L'Enseignement mathém., 1G<= année 19U. 10 



146 NOTES ET DOCUMENTS 

d'Oxford et de Cambridgo qui accordent une absurde priorité au calcul 
différentiel. Le deuxième examen comprend des problèmes de mathématiques 
pures du type plus ou moins traditionnel. Le troisième est un examen de 
mathématiques appliquées. 

Ce système d'examens, quoique n'étant pas 1 idéal, remplit cependant 
d'une façon satisfaisante le rôle qu'on lui attribue. 

L'auteur nous fait part ensuite de ses impressions sur l'enseignement 
scolaire. 11 est en général du même avis que Mr. Jolliffe, tout en étant un 
peu moins pessimiste. Les maîtres ne possèdent souvent pas les connais- 
sances mathématiques suHlsanles. Ils devraient employei* une partie de leur 
temps à une étude sérieuse de leur branche et même, dans certains cas, à 
quelques recherches spéciales plutôt que de le consacrer en majeure partie 
à l'organisation des examens, 1 élaboration dos programmes, etc. 

En géométrie pure, l'enseignement des parties avancées du sujet semble 
avoir réellement progressé. Par contre renseignement de la géométrie élé- 
mentaire est abominable. L'abandon des méthodes d'Euclide a été le signal 
de l'apparition d'une foule de manuels élémentaires dont les auteurs ne 
semblent pas avoir la plus faible connaissance des principes du sujet. En 
géométrie analytique l'auteur se rallie aux observations de Mr. Jolliffe. 
L enseignement de l'analyse (calcul infinitésimal, algèbre supérieure, séries, 
trigonométrie analytique) progresse lentement mais d'une façon réelle. 
L'auteur insiste spécialement sur deux points : on devrait tout d'abord 
débarrasser les programmes de ces stupidités qu on avait coutume d'en- 
seigner autrefois sous le titre d'algèbre supérieure et de trigonométrie 
supérieure. Le second point concerne seulement les meilleurs élèves; l'en- 
seignement de ces différents sujets devrait leur être présenté dès le début 
d'une manière rigoureuse. Bien des maîtres s imaginent à tort qu'un ensei- 
gnement rigoureux entraîne de trop grandes difficultés. Par contre, les 
méthodes qu'ils proposent contribuent sou\ent à fausser l'esprit de leurs 
élèves, ce dont ils se ressentent durant toutes leurs études. 

Comme exemples de ces pseudo-démonstrations, l'auteur nous donne en 
appendice quelques citations tirées de deux livres récents sur le calcul 
infinitésimal. 



N» 32. — Droites parallèles et la méthode de direction. 

Paiallel Straight [Anes and tlie Method of Direction ', by Mr. T. James 
Gakstang, Senior Mathematical Master, Bedales School, Pelerslield. 

Eu Angleterre, les l'éformes de l'enseignement de la géométrie dans les 
écoles n'ont pas produit toute l'amélioration désirable. Dans la question des 
parallèles, spécialement, les diverses tentatives faites pour remplacer la 
méthode d'Euclide par d'autres procédés sont condamnables à juste titre. 
Sous le titre de « Teaching of Geometry and Graphie Algebra in Secondary 
Scliools », le « Board of Education » publia en mars 1909 une circulaire 
proposant de baser la question des parallèles sur la notion de direction et 
encourageant ainsi les maîtres à adopter une méthode fausse et par consé- 
quent nuisible à l'enseignement. Il n'est en effet pas possible de donner une 
idée claire de parallèles en les considérant comme des lignes ayant la même 



* 1 fasc. 8 p., prix : 1 d. ; Wyman and Sons, Londres. 



N O TE S E T I) () (■ UM E N T S I 47 

direction. Dans la le^-ou de géométrie on apprendra aux élèves que des ver- 
ticales out la même direction et par conséquent sont parallèles, et dans la 
leçon de géographie on leur dira qu'elles concourent en un même point qui 
est le centre de la terre. D'autres inconvénients résultent de 1 assimilation 
de la surface terrestre à une surface plane. Les élèves doivent réaliser que 
l'existence des parallèles implique l'admission d'un genre de surfaces diffé- 
rentes des surfaces spliériques dans lesquelles les notions de verticale et 
d horizontale n'interviennent plus nécessairement. L auteur nous expose un 
procédé géométrique montrant la non-évidence de l'axiome d'Euclidc. Une 
conception claiie des parallèles ne peut s'obtenir sans faire appel à la notion 
de l'infini, et personne n a pu établir un critérium sur l'égalité de deux 
directions sans faire intervenir, d'une façon ou d une autre, (juelquc propriété 
des parallèles déjà prouvées par Euclide. 

Cette controverse sur la question des parallèles est au moins aussi vieille 
qu Arislote. Plus récemment, divers auteurs s'en sont occupés. Killing a fait 
des recherches sur la théorie de la direction en remontant jusqu'à Leibniz. 
Gauss s'est prononcé contre cette théorie ainsi que De .Morgan, dont 
l'opinion se trouve exprimée dans une revue de la Géométrie de Wilson 
(Athena?um, July 18. 1868) ; on en trouvera des extraits dans l'Appendice II 
de « Euclid and his .Modem Rivais » par Dodgson. Les ci-itiques de De 
Morgan ne furent pas relevées, et dans les éditions suivantes de la Géométrie 
de Wilson, la méthode de direction fut abandonnée. 

A l'assemblée générale de 1 « Association for the Improvement of Geome- 
trical Tearhing <> lactuellement la « malhematical Association » ) tenue le 
17 janvier 1891. Mr. E. T. Dixou exposa le résumé de son livre sur les 
n Foundations of Geometry » qui introduisait la méthode de direction sous 
une forme modifiée de façon à tenir compte de quelques-unes des objections 
de De Morgan. Mais, comme précédemment, celle méthode échoua, car elle 
ne fournissait aucun critérium, pratique ou logique, delà notion de « même 
direction. 

Pour ce qui concerne les Etats-Unis, on consultera avec intérêt la Circu- 
laire N" 3, 1890, sui- le k Teaching and Hislory of Mathematics in the 
United States « par Prof. Cajori. Dans le chapitre " On Parallel Lines and 
Allied Subjects » on trouvera une critique des nombieuses tentatives erronées 
qui furent faites pour remplacer la méthode d'Euclide. 

Si Ion désire se convaincre davantage, on trouvera encore dans « Euclid 
and his Modem Rivais >■ de Dogson la critique détaillée des trois Géométries 
de Wilson, Pierce et Willock respectivement, qui emploient la méthode de 
direction pour les parallèles. 

Actuellement on convient assez généralement que les éléments d Euclide 
ne conviennent pas pour les débutants en géométrie, mais ce n'est pas une 
raison pour introduire une des parties fondamentales de cette science en 
faisant usage d'une méthode incorrecte. Beaucoup estiment que, dans ren- 
seignement élémentaire de la géométrie, on devrait admettre explicitement 
un plus grand nombre de faits. A cet égard, nous pouvons rappeler les 
méthodes proposées par Méray, Poincaré, Hadamard, Bourlet, Borel et 
d'autres auteurs en France, dont les procédés constituent une première 
introduction à la notion de groupe. 



L'Enseignement mathém., IC»ann»'-e; 191't 



I'i8 y OIES ET DOCUMENTS 



No 33. — Les mathématiques pratiques dans les « Public Schools ••. 

Pracfical Matheinatics at Public Schools '. par Mr. H. H. Tlknkk, 
Saviliaii P:ofessor of Aslronom y iii O.xibrd IJnivcrsily ; Mr. R. G. Fawdky, 
As.sistanl Master al Clifloii Collège ; Mr. A. W. Siddons, Assistant Master 
at Harrow Scliool ; Mr. F. VV. Sa.nderson. Head Mastor of Oundie Srliool ; 
and Mr. G. M. Bell, Assistant Master at Winchester Collège. 

Dans une introduction, le professeur H H. Turnernoiis donne tout d abord 
un aperçu général du sujet. Durant ces dernières années, l'enseignement des 
niatliématiques a subi de notables transformations. On s'est aperçu que les 
anciennes méthodes, tout en pouvant convenir aux « mathématiciens-nés » 
n'étaient guère recommandables pour les élèves de force moyenne. Dès lors 
on s'est efforcé de remédier à cet état de choses et jusqu'à présent les résul- 
tats ont été certainement encourageants. En outre le gain que peut retirer 
l'élève moyen de ces changements n'est pas contre-balancé par une perte 
correspondante du « mathématicien-né ». En effet, l'élève habile peut être 
découvert par les nouvelles méthodes d'enseignement aussi bien, si ce n'est 
mieux, que par les anciennes ; on peut alors s'occuper de lui d'une façon 
spéciale. 

L'idée fondamentale qui sert de base à ces nouvelles méthodes est la 
suivante : Un élève saisira beaucoup plus facilement les procédés mathéma- 
tiques si on les lui présente sous une forme pratique. Malheureusement, ce 
principe, excellent en lui-même, donne lieu à certaines objections loi'squ'on 
lient compte d'autres principes importants tels que celui de l'ordre logique, 
par exemple. Ainsi la méthode d'Euclide, conforme à ce dernier principe, 
devra être modifiée si l'on désire introduire la géométrie sous une forme 
pratique. Jusqu'à quel point cette modification doit-elle être poussée ? C'est 
là une question ([ui n'est pas facile à trancher, et les opinions sont fort 
diverses. Certains abandonnent complètement la méthode, d'autres la main- 
tiennent en partie, d'autres enfin se contentent d'introduire en classe quel- 
(jues modèles et appareils divers. Dans tous les cas, l'inlroduclion des 
méthodes pratiques a contribué à éveiller 1 intérêt des élèves, à développer 
leur initiative et à stimuler l'enseignement. 

Ce qui distingue encore les nouveaux procédés d'enseignement des 
anciens, c est le principe de la coopération. Les élèves travaillent par 
groupes de deux ou trois, et si cette collaboration est bien comprise, elle 
peut présenter de réels avantages. 

Il est un point, cependant, relativement auquel l'ancien système paraît 
préféi-able, à première vue du moins. C'est qu'avec les nouvelles méthodes 
pratiques les progrès sont moins rapides on en tous cas moins évidents. 
Mais s'ils perdent en rapidité, nous feront remarquer les partisans du 
nouveau système, ils sont par contre plus sûrs et plus réels. 

Il est incontestable que les procédés pratiques prennent plus de temps 
que les autres, mais il serait facile de leur consacrer un nombre d heures 
plus considérable, car ils sont aussi moins fatigants. 

Au point de vue des examens, il faut constater que ces nouvelles méthodes 
sont plus difficiles à juger et à apprécier que les anciennes. Un élève peut 



' I fasc. :;;• p.. prix : 2 V* <'• ; Wvnian and Sons, Londres. 



.V o T i: s i: y n o c r m k .v /• x i ',9 

avoir compris e», èlrc cepeiidanl incapable de monlrt-r qii il a compris. Celui 
(|ui se contenle d'apprendi-e par cœur un certain nombre de faits peut 
paraître à I examen sous un jour plus favorable que celui (jui possèrle de 
sérieuses connaissances pratiques. Par conséquent, il ne faut pas attacher 
trop d'importance aux résultats des examens. On modifiera plutôt ceux-ci 
de façon à les adapter autant que possible inx nouvel état de chose. Celte 
modification pi-ésentera sans doute de grandes difficultés, peut-être même 
insurmontables; mais en tous cas il serait regrettable de ti-ansformer un 
excellent système d'enseignement uniquement parce qu'il ne s'adapte pas au 
système d examens en vigueur. 

Les nouvelles méthodes praticpies |3résentent encore un sérieux avantage, 
elles permettent d établir une corrélation plus étroite entre les maîtres de 
mathématiques et ceux de sciences (spécialement de physique). Dans plu- 
sieurs écoles, cette coopération des maîtres a été organisée d'une façon 
systématique, d'autres suivront sans doute le pas; en outre, les séances 
simultanées de la « Mathemalical Association » et de 1' « Association of 
Science Masters » activeront encore le mouvement. 

Somme toute, les procédés pratiques introduits dans l'enseignement des 
mathématiques semblent bien avoir fait leurs preuves, ils se sont montrés 
jusciu'à présent sous leur côté favoiable elles maîtres eux-mêmes en retirent 
une certaine stimulation pour leur enseignement. 

Après l'introduction du professeur H. H. Turner que nous venons de 
résumer ci-dessus, le rapport nous expose d une façon plus détaillée rensei- 
gnement des mathémali([ues pratiques dans différentes écoles (Cliflon 
Collège, Harrow School, Ouudle School, Winchester Collège). Nous y ren- 
voyons le lecteur qui désirerait obtenir de plus amples renseignements sur 
cette question, car nous devons nous borner, faute de place, aux indications 
générales qui précèdent, 

J.-P. Di-.MUK (Genève). 



Cours universitaires. 

Paris. Faculté des Sciences. — Cours de Mathématiques du 2^ semestre 
1913-1914. (Ouverture : 2 mars 1914). — Mécanique analytique et mécanique 
céleste. — P. Appell : Figures d'équilibre des masses fluides en rotation. 
Application à la foime des corps célestes i2 h.). — Analyse supérieure et 
algèbre supérieure. — E. Picard : Intégrales multiples et en particulier leurs 
applications à la théorie des fonctions analytiques de plusieurs variables 
(2 h.). — Calcul différentiel et Calcul intégral. — E.Goursat: Equations dif- 
férentielles et Equations aux dérivées partielles (2 h.). —• Mécanique ration- 
nelle. Cl. GuicHARD (2 h.). — Mathématiques générales. M. Vessiot, chargé 
du cours (2 h.). — Astronomie. Andoyer (2 h.) ; travaux pratiques (2 h.). — 
Physique mathématique et Calcul des probabilités. Bovssi.\esq : Ecoule- 
ments tumultueux et tourbillonnants des cours d'eau (2 h.j. — Mécanique 
physique et expérimentale. — G. Kœnigs : Moteurs thermiques et visites 
d'usines (2 h.). 

Cours annexe. — Théorie des nombres. Cahkn : Du n (irand Théorème » 
de Fermât (2 h.). 

Conférences. — Lebesgle : Conférences sur le Calcul intégral et ses appli- 



150 H I H l.l ()(i H A l' Il I i: 

catious géonu'li'iqvies (2 h ). — Ukacii : t^oiiférence de .Mécanicjuf i-alioii- 
nelle (2 h.|. — Vessiot : Travaux pratiques de Malliématiques générales 
(1 h.). — Mo.NTEL : Conférences de Mathématiques générales (2 h.). — 
Andoyek : Conférences d'Astronomie (1 h.). — Servant : Conférences de 
Mécanique physique ; Les éléments de la statique graphique (l h.). 

Enseignements et exercices pratiques réservés aux élèves de l'Ecole noi - 
maie supérieure, par les professeurs E. Bokkl. Cautan, Vessiot, LEBKsctE 
et Dracu. 

Collèj^e de France (suite). — M. Gevrey, chargé du cours de la fondation 
Peccot, (( Les é((uations ati.v dérivées partielles du type parabolicpic. Pro- 
blèmes aux limites et nature des solutions » (2 h.i. (Dès le 28 février). 



BlBLIOGHAPlIlh: 



Annuaire du Bureau des Longitudes pour l'année 1914. — i vol. in-lG de 
700 pages avec figures, 1 fr. 50 ; Gauthier-Villars, Paris. 

Ce Recueil a été, celte année, entièrement i-emis à jour, en ce (jui con- 
cerne les Tableaux relatifs à la Physique et à la Chimie. 

Cet ouvrage ne se trouvera pas seulement sur la table du technicien, du 
physicien, du mathématicien ; chacun voudra le consulter pour avoir sous 
les yeux la liste des constantes usuelles, et aussi pour lire les intéi-essantes 
Notices de cette année : celle de M. Bigourdan, Le jour et ses divisions : 
Les fuseaux horaires et la Conférence internationale de 1 heure, et de 
M. P. Hatt. De la déformation des images par les lunettes. 

E. BoKii.. — Introduction géométrique à quelques théories physiques. — 

1 vol. gi-. in-8" (le vii-l'iO pages et 3 figures, 5 fr. : Gauthier-Niilars. 
Paris. 191 'i. 

On peut, je crois, prédire un grand succès à cet ouvrage qui, à beaucoup 
de mérites divers, joint celui de la brièveté. On sait l'intérêt et même le 
grand étonnement soulevé par- la physique moderne, avec ses vitesses ayant 
pour limite la vitesse de la lumière, puis par I interprétation de la chose à 
l'aide de la géométrie non-euclidienne*. Or M. Borcl vient de nous la pré- 
senter avec une simplicité et une élégance incomparables, en introduisant 
d abord la géométrie hyperbolique où les points à l'infini sur les axes réels 
remplacent les points cycliques de la géométrie ordinaire. Les deux géom('-- 
tries sont ensuite généralisées dans l'hyperespace qui, dans le cas d'un très 
grand nombre de dimensions, illustre facilement les fonctions d'un grand 
nombre de variables. Il est alors aisé de passer aux considérations de méca- 
nique statistique qui ont été particulièrement travaillées par l'auteur depuis 
quelques années et aussi à certaines questions relevant du Calcul des pro- 
babilités. Bien des personnes ont été séduites, de loin, par toutes ces cap- 
tivantes théories, mais craignaient de ne pouvoir se mettre réellement au 



• L'Enseignement /nathèmatiqite \\ent ]^vOc\sé\nrnl de |>iil)lic'i', ;i ce siije', "'• excellent article 
de M. L. Itoiigier (ce tome, p. .ï). 



m li II (J(i HA l' Il l E 151 

coiiriiiil siiiis un liavail l'iioi-iiio dans les |)iihli(alir)ns 1(> plus divcn-ses dues 
j)rinci|)alenieiil à des piiysiciens élraugers. l,a nouvelle (i-iivre de M. Bore! 
dissipera rapidement de lellos ciainles. A. Hlhl ( Toulfiuse). 

P. BoiiKoix. — Les principes de l'analyse mathématique. JCxposé histo- 

l'ique et critique. To.mk I ( l>es nombres. Les grandeurs. Les Heures. Le 

calcul oombinaloire. Le calcul algébrique. Calcul des foiictious. L algèbre 

gôométii(|uei. — i vol. gr. in-8u de xii-548 p. et 221 figures; l 'i fr. ; 

A. Hermann, Paris. 

Cet ouvrage parait dcslitié à intéiesser également les mathématiciens 
purs, les praticiens et les philosophes. L'auteur, qui est d'ailleurs à la fois 
mathématicien et philosophe, laisse transparaître des opinions d'une sim- 
plicité et d une vérité tranchantes par rapport au malaise d'où sort à peine 
un enseignement qui, pendant de longues années, a désespérément oscillé 
entre l'entière rigueur et les procédés simplement pratiques. 

L'art de raisonner, nous dit-il dans sa préface, n est point le plus néces- 
saire pour une société d'hommes d'action. Quelle belle franchise 1 Que 
d'applications on pourrait trouver à ce précepte même en dehors de la 
science ! Combien il changerait 1 allure de nos sociétés modernes s'il pouvait 
être pris en considération beaucoup plus qu'il ne 1 est actuellement I Mais 
ne sortons point de la science. 

Nous reconnaîtrons sans peine, dans l'œuvre de M. Pierre Boutroux, toute 
l'érudition nécessaire aux raisonnements les plus rigoureux, mais aussi le 
désir de ne point alourdir les admirables lignes des théories séculaires ; 
il retrace très brièvement, en les terminant de manière à ce qu'on puisse 
y adaptei" les problèmes modernes. Plus d'un millier de notes, mises au 
bas des pages, complètent le texte sans en rompre la continuité, L historique 
des sujets contient une foule de données trouvables, aurait-on pu croire, 
seulement chez un spécialiste de l'histoire des mathématiques. Et, à ce 
sujet, j ai eu quelques élonnements bizarres et qui probablement seront 
assez partagés. 

Quel rapport, par exemple, entre le mot ellipse désignant une courbe et 
le même mot désignant une figure abréviative dans la construction d une 
phrase:' Je ne m'étais jamais expliqué la chose. Or elle provient de ce que, 
chez Apollonius, la construction de certains rectangles défaillants (c'est- 
à-dire moindres, réduits par rapport à un carré) revient à la construction 
de la conique fermée. L ellipse géométrique et l'ellipse littéraire naissent 
donc bien toutes deux de l'idée de réduction. Et il y a des explications 
analogues pour l'hyperbole et la parabole. 

Il serait superflu d'essayer de citer toutes les matières traitées toujours 
dans un même esprit d'originalité. D'ailleurs l'un des chapitres, celui qui 
traite de la démonstration géométrique, a déjà été reproduit par 1 Ensei- 
gnement Mathématique (t. XV, 1913, p. 298). En algèbre proprement dite, 
là où la science païaît toujours un peu plus sèche, l'auteur a su présenter 
très rapidement une i-ésoiutiou uniforme des équations des quatre premiers 
degrés, et cela sans s encombrer des discussions particulières à chaque cas, 
lesquelles j)Ourraient justement masijuer 1 uniformité du raisonnement 
général. 

Espérons que les succès scientifiques de M. Pierre Boutroux, qui professe 
actuellement dans une Université des Etats-Unis, ne l'empêcheront pas de 
nous livrer rapidement la suite de son œuvre. A. Buhl (Toulouse). 



152 /.*//>'/. lOC l{ A l' Il 1 1: 

G. Dakboix. — Leçons sur la théorie générale des surfaces. Tomi I 
(Géiiériililés. CoordoiiiK-es curvilignes. Surfaces iniiiiiiia) 2""' ('(lilion. — 
t vol. gr. in-8" de viii-620 \^. : 20 fr. -; fiaulliici-Villais, Paris. 

Il serait superflu de vouloir représenter en détail, au public des 
géomètres, la seconde édition du tome premier de ce magnifique ouvrage. 
Il est non seulement connus, mais est à la base même de toutes recherches et. 
pendant les quelques mois qui ont séparé l'épuisement de l'ancienne édition 
et la publication de celle-ci, l'impatience a été vive. Contentons-nous 
d indiquer briévenient les im|)ortantes adjonctions qui distinguent le nouveau 
volume. 

On sait que c est surtout la théorie du déplacement d un Irièdre qui est 
fondamentale chez .M. Darboux. il y a là des coordonnées mobiles (jui. 
pour l'étude des principales surfaces de la géométrie, se montrent bien 
supérieui-es, en simplicité et en souplesse, aux coordonnées relatives à un 
trièdre fixe. C est d'abord dans cette théorie du déplacement que nous 
trouvons de nouveaux développements. Parmi les difl"érent.s systèmes de 
vaiùables dus à Euler ont été nientionués immédiatement les paramètres 
quaternoniens ; les formules fondamentales pour la courbure et la torsion 
de courbes gauches ont été retrouvées avec la plus extrême simplicité. Une 
formule purement géométrique lie la courbure, la torsion et le volume du 
téti-aèdre formé avec quatre points infiniment voisins d'une courbe gauche. 
Le rôle de la sphère de rayon nul (cône isotrope) est devenu une base fonda- 
mentale ({uant à la notion de déplacement, et d ailleurs cette dernière a été 
étudiée de manière nouvelle et plus générale qu'autrefois avant de passer 
aux déplacements à deux variables qui sont les plus utiles dans la théorie 
des surfaces. 

L'étude des axes des mouvements hélicoïdaux nous mène aussi au conoïde 
de Pliicker dont l'équation seule promet une étude des plus simples. 
M. Darboux a examiné toutes les façons de l'engendrer: bien que ce conoide 
soit du troisième ordre, on l'engendre facilement au moyen de coniques et 
même de coniques formellement invariables. M. Appell a démontré que 
toute surface réglée pour laquelle le lieu des projections d un point quel- 
conque de l espace sur les génératrices est une courbe plane, est un cylindre 
ou un conoïde de Pliicker. Le conoïde est ainsi rattaché à un cylindre, ce 
qui explique le nom de cylindroïde qui lui est souvent donné. MM. Bricard 
et Demoulin sont revenus sur le même sujet. M. Bricard rattache la question 
au mouvement d'un cylindre de révolution qui roule dans un cylindre de 
ravon double avec glissement dans le sens des génératrices : alors un point 
du cylindre mobile décrit une courbe plane. 

Tout un chapitre a été rajouté sur les surfaces qui peuvent être consi- 
dérées, de plusieurs manièies, comme surfaces de translation. Henri Poin- 
caré s'était occupé de la question et la liait au théorème d'Abel ; M. Darboux 
n'emprunte rien à ce théorème, mais le retrouve ensuite. Telles sont, très 
sommairement, les pi'incipales tianslormations du Livre I. 

Le Livre II a moins varié. On sait qu'il est consacré aux coordonnées 
curvilignes et aux réseaux conjugués. Après l'étude des familles conjuguées 
planes, j'y relève sui'tout de bien intéressants travaux dus à un géomètre 
peu connu, Peterson. Il y a là de fort élégantes propriétés concernant les 
quadriques et les surfaces applicables sur ces quadriques. 

Le chapitre sur la représentation confoimc a été reporté dans le Livre III 



Il I li I. I ()(, H i l' Il 1 1: 153 

mais a élé i-eiiiplac»'- ici [jiir le probli'ino gérii'ral de l:i ri'pi-(!-seiilalioii e<jiiforme 
des surlaces les unes sur les autres. 

Dans le Livre III, consacré aux surfaces miniuia. remarquons surtout les 
surfaces ininiina de I,ie, (]ui soûl, de plusieurs manières, surfaces de Irans- 
latiou. 

Puis les surfaces minima réelles enj^endrées par un cercle, surfaces 
dont la première idée revient à Riemann, mais que M. Darboux a récemment 
retrouvées par une analyse tout à lait f^énéiale. La représentation conforme 
des aires planes, reportée en ce Livre, nous familiarise avec les belles idées 
de vSchwarz, qui s'appliquent ensuite aux surfaces minima et nous conduisent 
jusqu'à des cas particuliers du problème de Plateau (surlace minimum 
passant par un contour donné). Quant à ce dernier problème, il en est 
toujours à peu près au même point. Dans l'édition de 1887, AL Darbonx 
écrivait : « L'analyse n'a pu, jusqu'ici, imaginer aucune méthode générale 
permettant de commencer l'étude de cette belle question. » Celte phrase 
est encore là, tout comme en 1887 ! Le problème va-t-il, tout à coup, faire 
un pas de géant, comme celui des trois corps, sous 1 influeuce de 
>L Sundman? Est-ce à 1 école de M. Volterra que reviendra cette nouvelle 
gloire .' 

J'avoue que tout pronostic me semble bien hasardé ! 

Terminons par une remarque matérielle, mais qui a bien son importance. 
Les plus grands eflorts ont élé visiblement faits pour que cette nouvelle 
édition du premier volume ne cesse de s'accorder avec les volumes suivants. 
Au point de vue du numérotage des paragraphes, il n'y en a que dix 
nouveaux. Les autres ont été fondus ou affectés de la mention bis. Au total 
presque tous les paragraphes ont le même numéro dans les deux éditions ; 
tout. renvoi s'accordant avec la première s'accordera, en général, avec la 
seconde. L'illustre savant qui nous donne ce nouveau livre n a rien négligé 
comme professeur. A. Buhl (Toulouse). 

J. Fitz-Patkick. — Exercices d'Arithmétique. Enoncés et solutions, avec 
une préface de J. Tanneky. Edition entièrement refondue et considérable- 
ment augmentée. — 1 vol. in-8, 707 p. ; 12 francs; A. Herniann et fils. 
Paris. 

En présentant la première édition de ce recueil, M. J. Tannery a insisté 
sur la place qu'il convient de maintenir à l'Arithmétique dans l'enseignement 
secondaire. «Peut-être serait-il sage, écrivit-il, de prévenir les candidats 
des dangers qu ils courent en abordant trop tôt les parties élevées des pro- 
grammes, et de laisser inscrites en tête de ces programmes, les connais- 
sances fondamentales qu'ils supposent. » 

L'Arithmétique continue à figurer dans un grand nombre de concours en 
France et cette nouvelle édition, entièrement refondue et considéi'ablement 
augmentée, rendra à son tour de grands services aux élèves et aux maîtres. 
Le recueil renferme plus de 1300 problèmes dont la plupart sont complète- 
ment résolus. Ils sont répartis sur 18 chapitres embrassant les diverses 
parties de l'arithmétique, depuis la numération jusqu aux régions élevées 
qui conduisent à la théorie des nombres. 

L'ouvrage contient en appendice une intéressante note de M. Ern. Lebo.n, 
dans laquelle il expose sa méthode pour former une table des nombres pre- 
miers. H. F. 



154 H I HI.IOGIi A l'Il 1 1: 

.1. Haa(; — Cours complet de mathématiques spéciales. Trois vuluim-s 
ijjr. iu-8" avec trois voliiiiies d'cxcrrircs rtjsolus ou pi'oposés. Tome I. — 
Algi'bre et analyse. Vol. de vi-402 p. avec 44 (ig. ; 1914 ; 9 fr. — Exer- 
cices du tome I. Vol. do vi-220 p. avec 14 (ig. : 1914; 7 fr. .^0 ; Gautliier- 
Villars, Paris. 

On est assez étonné, parce temps de inatiiématiques générales à outrance, 
de voir paraître un cours de mathématiques spéciales, et surtout un cours 
qui a la prétention d'être complet. Il faut presque faire un efTorl pour se 
rappeler que des élèves de mathématiques spéciales existent eucore et qu'on 
ne peut leur donner l'enseiguement intuitif des matlu-maliques générales : 
ils se l'assimileraient trop facilement et. interrogés là-dessus, répondraient 
encore trop facilement ! Comment pourrait-on se sortir alors des concours 
d'admission à nos grandes écoles .' .VI.- Haag n'a pas été si ironique; il a 
même pris la chose tr«?s an sérieux et nous présente un cours fort moderive. 
d'autant plus moderne même (pie les derniers en date semblent s'eiracer 
dans la nuit des temps. 

L ai-raugemeut des matières est particulièrement heureux. L Analyse infi- 
nitésimale a la première place et c est fort naturel, car il est beaucoup plus 
simple de calculer des intégrales élémentaires que d'étudier, par exemple, 
la transformation des équations algébriques ; mais les anciens auteurs 
n osaient pas être aussi naturels que cela. 11 est même plus simple d'intégrer 
les difTérents éléments provenant de la décomposition d'une fonetion ration- 
nelle que de former ces éléments en partant d une fraction quelconque. Et 
l'auteur ne peut être que félicité d'avoir respecté l'ordre ainsi indiqué D ail- 
leurs le souci pratique est constamment visible. Après les critères de con- 
vergence concernant les séries, nous trouvons quelques raisous intuitives 
destiuées à indiquer aux débutants qu'ils ne doivent pas attendre indiffé- 
remment les mêmes services de tous ces critères. Les infiniment petits sont 
fort bien définis par continuité. Et quand, dans la seconde moitié du volume, 
nous arrivons à l'Algèbre proprement dite, nous y trouvons une parfaite 
élégance. Le théorème de Bezout sur lélimination est ramené à son idée 
essentielle qui est siraple : ce u est qu'ensuite que nous voyons les difficultés 
particulières qui peuvent se présenter, et ainsi elles n'obscurcissent pas 
tout de suite ce Mémoire fameux et redoutable. 

En résumé, ce cours est fort clair, peu encombré d inégalités, on y 
calcule beaucoup et le souci de faire résoudre un grand nombre d'exercices 
est suffisamment attesté par le fait de les publier à part, en volumes séparés. 
Ces problèmes sont intéressants, d'une part parce que beaucoup sont 
simples et immédiatement faisables par des procédés harmonieux que 1 on 
peut suivre sur des figures, quoiqu'il ne s'agisse ici que d'algèbre et 
d'analyse, et cela est vraiment très bien. D autre part, certains problèmes 
initient sans longueurs à des théories qui n ont pu être traitées dans le 
corps dé la partie didactique. 

Une grande symétrie règne pailout. U ne serait point étonnant que cet 
ouvrage devienne rapidement classique. A. Buhl (Toulouse). 

K. Hk.nsel. — Zahlentheorie. — 1 vol. in-8" de xii-356 pages, 10 M.; 

G. .1. Gôschen sclie Verhigshandlung, Berlin und Leipzig, 1918. 

Dès ses premiers travaux M. Hensel a cherché à utiliser et à mettre en 
lumière les analogie* qui existent entre les propriétés des nombres et celles 
des fonctions. Cette tendance apparaît dans ses remarquables rechercl.es 



Il 1 1: 1. 1 (X. H A l' n n: I55 

sur la llit'oiie dos Itjiiclious al^çébriqucs, où les coiisidt-ratioiis ai-illiiiiL-li(|iies 
jouent un si grand lùle ; elle s'accentue dans ses li-avaux arilliniéti(iues et 
surtonl dans sa lliêorie des nombres algébriques, dont il a donné il j' a cinq 
ans un exposé détaillé dans son livre « Théorie des algebraischeii Zahlen ». 
analysé iei-mème par M. Dunias (Cf. Eus. Math., 1910, p. 'i'iO| ; elle se des- 
sine plus netlcnienl encore dans son ouvrage récent « Zalilcntlieorie », con- 
sacré aux éléments de la théorie des nombres. Certes, (|uelques-unes des 
analogies utilisées par M. Hensel avaient été aperçues avant lui, mais per- 
sonne ne s'en était servi d'une manièi-e aussi systématique. 

l'oui' rapprocher ces deux domaines, apparemment si distincts : la théorie 
des nombres et la théorie des fonctions, M. Hensel, comme la très bien 
expliqué M. Dumas dans sa note de VEns. Math., emprunte à la théorie des 
fonctions son instrument de recherches le plus puissant : les développements 
en série, qui lui fournissent ses fameux développements ou nombres 
g-adifjues. C est en pai'lant de celle notion aussi simple que féconde que 
M. Hensel léussit à reconstituer les éléments de la théorie des nombres et 
la théorie des corps algébriques, et parvient en particulier à la conception 
profonde de ses diviseurs, équivalente, à un certain point de vue, à celle 
d idéal de Dedekind. 

Dans son nouvel ouvrage M. Hensel parcourt un domaine moins vaste : il 
s'en lient, comme nous lavons déjà dit. aux éléments de la théoiie des 
nombres, mais ses méthodes de recherches s'appliquent encore à I étude des 
<'orps plus élevés, et rien ne serait plus facile que de passer de ces éléments 
à la théorie des nombres algébriques. Aussi lelivrede M. Hensel pourrait-il 
servir d'introduction à sa « Théorie der algebraischen Zahlen », mais sa 
portée est plus grande : dan» le domaine restreint qu'il embrasse, il est 
infiniment plus complet et abonde eu idées et conceptions nouvelles. 

Pour M. Hensel, le problème fondamental de la théorie des nombres est 
la recherche des relations (Beziehungen) qui existent entre tous les nombres 
i-atiounels m et un nombre fixe mais quelconque », qu'il appelle « Gn/iidzahl » 
DU module. Ce qu il importe de savoir c'est donc la manière dont les nombres 
//( se comportent vis-à-vis du module g. 

Dans certains problèmes très élémentaires, un nombre m peut èti-e rem- 
placé par son reste module g . mais dans létude de questions plus complexes 
cette donnée pourrait ne pas suffire : un nombre ni n est caractérisé d une 
manière complète par rapport au module g que par la suite totale des 
termes que fournit son développement en série suivant les puissances crois- 
santes du module g. On voit que les nombres g-adiques peuvent être intro- 
duits de la manière la plus naturelle dès le début de la théorie des nombres. 

Nous voilà donc en présence d un ensemble de symboles, car les nombres 
g-adiqiies ne sont en général que des symboles, ensemble plus vaste que le 
corps des nombres rationnels dont on est parti. Ces symboles peuvent être 
soumis au calcul : on peut les ajouter, les soustraire, les multiplier les uns 
par les autres, sans sortir de l'ensemble des nombres g-adiques. Cet ensemble 
forme donc un domaine holoïde ou un anneau, qui, dans le cas où g est un 
nombre premier p et où la division est toujours possible, devient un domaine 
orthoïde 0(i un corps. 

Mais .M. Hensel montre que l'anneau des nombre.s g-adiques peut être 
décomposé en corps relatifs aux différents facteurs premiers de g, ce qui 
permet de ramener l'étude des nombres g-adiqur.s (pielconques à celle 
beaucoup plus simple des corps p-adiques. 



156 m H II O II H A P II 1 1: 

Une noiiun iiiiporlaule. celle d ordre, permet de rapprocher encore davan- 
tage la théorie de ces corps de celle des fonctions. M. Hensel appelle ordre 
dun nombre p-adique le degré de son premier terme par rapport à n. Cet 
ordre peut être négatif, nul ou positif. 

Soient maintenant deux nombres p-acli(fiips A et A' d'ordres f, el p' ; on 
dira que A est plus petit cpie A', si p est supérieur à p'. En vertu de celle 
convention, un nombre variable p-adique est d'autant plus petit que sou 
ordre est plus grand, el sa grandeur ou son rang relatif est donné non pas 
par son oi'dre p, mais par l'inverse de p. Rien ne nous empêche maintenant 
d introduiie dans la théorie de ces corps les notions et les procédés du 
calcul infinitésimal : les notions de continuité, de convergence, de dérivée, 
etc., et d'étudier relativement » p les fonctions algébriques ou transcendantes 
envisagées dans l'analyse. Le parallélisme entre 1 arithmétique el la théorie 
des fonctions s'accentue de plus en plus : c'est ainsi que l'étude de la fonc- 
tion exponentielle fournil à M. Hensel une expression des nombres D-rtrf/<jrj<e.s-, 
analogue à la relation classique A = e', où -y ^ 'p A. ; mais ici le facteur 
exponentiel ne figure pas seul. — il est nécessaire d'introduire deux autres 
facteurs de nature différente : une puissance de p et une puissance d'uue 
racine (p — 1)« de l'unité. Un nombre p-adique est donc caractérisé par 
trois indices, el c'est l'ensemble de ces trois indices que M. Hensel appelle 
logarithme du nombre A. La portée et l'utilité de cette notion est compa- 
rable à colles des logarithmes ordinaires, et il serait intéressant de la rap- 
procher aussi de ces expressions logarithmiques dont Kummer s'était servi 
dans ses belles recherches sur le théorème de Kermat et les lois de réci- 
procité. 

Les notions introduites par .M. Hensel simplifient singulièrement l'étude 
des congruences et des équations binômes : elles permettent aussi d'appro- 
fondir la théorie des nombres g-udiques. En effet la plupart des résultats 
établis pour les corps p-adiques, s'étendent, avec des modifications légères, 
aux anneaux g-adiques ; en particulier le logarithme d un nombre g-adiquc 
est représenté aussi par une suite d'indices, mais au lieu de trois indices 
isolés, celle suite se compose de trois systèmes ou cortèges d'indices; à part 
cette différence, les propriétés des logarithmes subsistent, et les ques- 
tions relatives aux congruences ou aux équations binômes se traitent à l'aide 
de méthodes analogiies. 

Les deux derniers chapitres du livre de M. Hensel sont consacrés à la loi 
de récipiocité et à Tétude des formes quadratiques binaires et ternaires. 
Examinées à la lumière des belles méthodes de M. Hensel, ces questions, 
depuis longtemps classiques, apparaissent sous un aspect inattendu et nou- 
veau. 

Je ne saurais, mémo brièvement, indiquer tous les sujets abordés par 
M. Hensel dans celle arithmétique g-adiquc. où sa pensée se meut avec 
aisance et souplesse, qui en rendent la lecture particulièrement attrayante 
et facile. Malgré l'originalité de ses méthodes et la variété des problèmes 
qui y sont traités, ce livre, pour être pleinement compris, n'exige aucune 
préparation spéciale. D. Mikimanoff (Genève). 

J. Knobuauch. — Grundlagen der Géométrie. — 1 vol. in-8, 1)34 p. ; 18 M. . 

B. G. Teubner, Leipzig. 

M. Knoblauch, professeur à I l niversité de Berlin, a publié il y a 25 ans, 
une intioduclion à la Géométiie des surfaces. Depuis cette époque il n a 



HUi l.l 0(.H A l' Il l E 157 

cessé «le suivre le développeniciil de la (iéométi-ie sii|)('-rieure et y a donne 
lui-même d intéressaiiles contributions. Dans ce nouvel Ouvrage il présente 
les fondements de Iti Géométrie différentielle en s'elfoii-anl à faire ressortir 
les méthodes qui sont propres à cette branche de la Géométrie. Il expose 
d'une façon systématique les notions essentielles indispensables à ceux qui 
veulent .iborder l étude plus approfondie de la Géométrie des surfaces, telle 
qu'elle se trouve exposée dans I (I^uvre uiagistiale deiM. Darboiix ou dans 
les mémoires originaux. 

Voi<n lénninération des principaux objets traités par I auteur : 
Introduction à la théorie des courbes gauches. — Formules fondameulales 
de la théorie des surfaces. — Théorie de la courbure. — Théorie des formes 
différentielles binaires. — Les trois équations fondamentales. — Courbes 
tracées sur une surface. — Représentation sphérique ; surfaces réglées. — 
Théorie de la déformation. — Théorie générale des courbes et des réseaux 
tracés sur une surface. — Invariants et cOvariants d'ordre donné. — Equa- 
tions de Weingarten. — Théorèmes et problèmes spéciaux de la théorie des 
surfaces. 

L ouvrage se termine j)ar une liste bibiiogi-apliique limitée aux mémoire» 
classiques de la théorie des surfaces, puis une table des notations employées, 
enfin un répertoire analytique des matières. 

L. Lecorm. — Cours de Mécanique professé à l'Ecole Polytechnique. 

Tome I. — 1 vol. gr. in-8o de vn-536 pages et 281 figures, IH fr. ; (ïaulhier- 

\'illars, Paris. 1914. 

Ce cours de Mécanique peut être caractérisé par son allure à la fois pra- 
tique et originale. L'enseignement de 1 Ecole Polytechnique doit être hau- 
tement scientifique et cependant il s'adresse surtout à de futurs praticiens ; 
M. Lecoi'uu a très heureusement concilié les deux choses en ne sacrifiant 
jamais l'exposé mathématique de la méthode et en appliquant celle-ci. uon 
4 des systèmes plus ou moins fantaisiste*, mais i»ux mécanismes et machines 
se rencontrant dans la pratique. 

L exposé de la Cinématique justifie déjà cet ordre d idées : d abord la 
partie géométrique, poussée notamment jusqu'au théorème de Savary ; puis 
la Cinématique pioprement dite avec ses compositions de vitesses et d'accé- 
lérations ; enfin la très élégante étude d une riche collection de mécanismes. 
L'auteur adopte la classification de ^A'^illis qui suppose une pièce conduc- 
trice eu rotatiou uniforme et une pièce conduite ; le mécanisme est dit de 
première, de deuxième ou de troisième classe, suivant que le rapport de 
transmission est constant en grandeur et en signe, ou constant seulement 
en sigue, ou enfin variable en signe. Dans chaque classe on distingue trois 
genres suivant que la transmission a lieu par contact direct, par intermé- 
diaire rigide ou par intermédiaire flexible. Je ne puis analyser ici en détail 
les neuf groupes qu'on peut définir ainsi ; qu'il me suffise de rappeler les 
engrenages (cl. 1 ; g. 1), les bielles (1 : 2), les coîirroies (1 ; Sj, les courbes 
roulantes diverses (2; 1), les manivelles et joints (2; 2), les courroies sur 
poulies quelconques (2; 3), les excentriques (3 : 1), les manivelles et balan- 
ciers, le parallélogramme de Watt, l'inverseur Peaucellior. la coulisse de 
Stephenson (3 : 2). La catégorie (3; 3| n'existe pas. 

Au début de la dynamique uous trouvons d'aboi'd les questions de mesure, 
d'homogénéité, de similitude. L'attraction ncwtouienne est introduite immé- 
diatement et donne ainsi une réalité aux actions à distance dont il faudra. 



158 h [ H l.l () GHA PII l E 

bon gré, mal gré, j)a rie r dans bien des problèmes pliysiques. Le niouvtinent 
d nn point amène à de beaux développements sur les problèmes balisticjnes, 
problèmes dans lesijuels les liodographes sont étudiés avec autant de détails 
que les trajectoires. 

Les mouvements d'un point sur une ligue sont illustrés par les divers 
pendules et par l'ingénieuse recherche de la courbe qui doit être décrite, 
avec pression constante, par un point pesant; on a, là encore, de fort inté- 
ressantes considérations relativement à l'hodographe décrit d'un mouvement 
kéjjlérien. Les mouvements relatifs nous conduisent à la chute des corps à 
la surface de la Terre et au pendnle de Foucault soigneusement étudié 
quant à certaines causes secondaires qui peuvent affecter le mouvement 
du pian d'oscillation et se superposer fAcheusement à l'effel dû à la rotation 
de la Terre. 

Toutes ces considérations dynamiques relatives au point comprennent, 
comme cas particulier, la statique du point. Ce n'est qu'ensuite que l'ouvrage 
expose la statique des systèmes et c'est encore là une marche fort avanta- 
geuse au point de vue pratique, car non seulement la statique des systèmes 
est plus compliquée que la dynamique du point, mais cette dernière est 
surtout propre à familiariser rapidement le lecteur avec les principes de la 
mécaniqne. En particulier, il est fort désirable que la notion de travail, 
surtout celle de travail virtuel qui intervient en Statique, soit d'abord éclaircie 
par quelques considérations dynamiques que l'on trouve facilement dans la 
Dynamique du point. Observons aussi que M. Lecornu ne cherche pas à 
établir que les réactions sont normales lors de l'absence du frottement ; il 
admet la chose et dit qu il y a frottement quand la réaction devient oblique. 

Après la Statique des courbes funiculaires, nous trouvons celle des lames 
et des tiges et enfin celle des solides naturels. Nombreux sont les appareils 
industriels qu'étudie ]\I. Lecornu ; je cite, au hasard, léchelle, le valet de 
menuisier, le coin, le plan incliné, les cônes de friction, les coquilles, presses, 
encliquetages, treuils, poulies avec corde flexible ou raide, etc., etc. Tout 
cela est d'une lecture fort attrayante et rappelle la cinématique des méca- 
nismes signalée plus haut. 

Si 1 on ajoute que ce premier volume n est que le tiers de l'œuvre annoncée, 
on pressent déjà que l'éminent auteur travaille à un exposé qui jouera sans 
doute un rôle considérable dans la Mécanique à la fois théorique, pratique 
et, de plus, très simplement enseignée. A. Buhl (Toulouse). 

Fr. Riesz. — Les systèmes d'équations linéaires à une infinité d'inconnues. 

— 1 vol. gr. in-8o de vi-182 p., 6 fr. 50: Gauthier- Villars, Paris. 

Voici un ouvrage que 1 on pourrait rapprocher avec grand profit de celui 
de M. Volterra analysé plus bas. Des deux côtés on assiste à la générali- 
sation de l'algèbre lorsque le nombre des variables ou des inconnues 
augmente indéfiniment. Mais, alors que ^L Volterra paraît continuellement 
servi par une admirable continuité, par des passages à la limite qui 
semblent se justifier d'eux-mêmes, M. Riesz discute avec un appareil pltis 
rigoureux et va même au-devant des cas singuliers. J ajoute tout de suite 
que ceci n'est pas fait sans élégance ; c'est surtout lantique inégalité de 
Lagrange-Cauchy, convenablement généralisée qui sert de base aux raison- 
nements et nous aide à juger de la convergence des déterminants infinis. 
L'auteur a eu aussi grand soin d'asseoir son analyse sur tous les précédents 



I 



RJ ni.lOGHAl' Il I K 1 59 

qui y onl conduit naturellement. Il invoque d'abord la détermination {)ar 
récurrence des coefficients de certaines séries et le procédé de même type 
employé par Fourier dans la théorie de la chaleur; il rappelle ensuite un 
procédé, déjà beaucoup plus nouveau, qui fut employé par M. Appel) pour 
établir certaines formules de la théorie des fonctions elliptiques, procédé 
qui fut repris par l'oincaré et qui contient déjà, en somme, un usage de 
déterminants d'ordre infini. Rappelons ensuite que Poincaré devait à nouveau 
reprendre ces déterminants pour justifier l'emploi qu'en faisait implicitement 
Hill dans sa théorie de la Lune et ceci nous expliquera pourquoi, dans le 
présent livre, nous trouvons tout un chapitre sur les équations différentielles 
linéaires. Naturellement les équations intégrales ordinaii'es servent de 
conclusion. 

An sujet de toutes ces extensions algébriques, on peut faire une remarque 
qui ne surprendra plus personne, mai& qui aurait semblé bizarre il y a 
vingt ans. On distinguait alors l'analyse infinitésimale et l'algèbre. 
Aujourd'hui les progrès de lanalyse sont, en grande partie, empruntés à 
l'algèbre : la séparation ne semble plus possible, et il sei'ait bizarre de voir 
quelqu'un chercher à apprendre la théorie des formes linéaires ou quadra- 
tiques à une infinité de variables sans posséder d'abord les connaissances 
purement algébriques relatives au nombre fini. Toutefois, des ouvrages 
comme ceux de M. Ries?, faciliteront les choses, car cet excellent auteur a 
rappelé très nettement et très simplement tous ses points de départ 
purement algébriques. A. Blh[, (ÏouIousc|. 

Hermann Wi:yl. — Die Idée der Riemannschen Flâche. jMathematische 
Vorlesungen an der Universilat Gottingeu] • — 1 vol., 169 p. ; 7 .M. ; 
B. G. Teubner, Leipzig. 

Ami lecteur, si tu as lu dans un traité d Analyse les chapitres relatifs à la 
théorie des surfaces de Riemann et des fonctions algébriques : si, saisi par 
la beauté de cette théorie, lu l intéresses aux recherches récentes sur 1 uni- 
formisation des fonctions analytiques ; si, enfin, tu désires connaître une expo- 
sition vigoureuse et originale des surfaces de Riemann et de leur significa- 
tion profonde pour la théorie des fonctions, prends ce livre, lis-le et relis-le. 
Sa lecture te semblera lascension d une haute montagne. Tel l'alpiniste, 
arme-toi de courage ; l'ascension sera dure. A certains moments la rigueui' 
et la minutie du raisonnement, tels les contours du sentier, cacheront la 
cime à tes yeux. Mais, d étape en étape, tu t en rapprocheras. Et combien 
seras-tu récompensé, lorsque, ayant atteint le sommet, tu domineras le vaste 
panorama de la théorie des fonctions, que tu eu suivras d'un coup d'œil les 
grandes idées directrices, vallées qu'aura suivies ton sentier et i[ne tu recon- 
naîtras leurs connexions aux cols qu'il aura franchis. 

A lire plusieurs des livres qui traitent des surfaces de Riemann, tu poui"- 
rais croire que leur utilité consiste à rendre intuitive et facilemeut saisis- 
sable la théorie des fonctions non uniformes. Mais, ce serait méconnaître la 
véritable portée et l'importance de la conception géniale de Riemann que de 
la réduire à être uniquement une représentation commode de faits analy- 
tiques. L idée de la surface de Riemann pénètre au cœur de la notion 
de fonction analytique. Cette idée, encore un peu confuse chez Riemann, 
a été dégagée magistralenient par M. Félix Klein dans son opuscule : « Uber 
Riemanns Théorie dei- algebraischeu P'unktionen und ihrer Intégrale, Leipzig 



160 li I H l.l OC II A l' Il I !•: 

1882.» : ric'i» de plus iiitéressjinl el de plus suf^geslif que l'beuroux mélange 
diuluilion physique el de liiisomiemenl m;iliiéinalique coulenu dans cet 
ouvrage. Mais si l'esprit de Weierslrass el de Canlor a soufflé sur loi, tu 
ne te sentiras pas euiièremenl satisfait tant que lu n'auras pas donné une 
base arillimétique rigoureuse aux notions d'analysis situs (]ui iiiterviennenl 
ilans {exposition delà lliéorie des surfaces de Rieniann. 

C est à te donner celte base rigoureuse qu est consacrée la premièr-e partie 
du livre de M. Weyi. Tu y trouveras une exposition exacte du rapport qu il 
y a entre les notions de fonclion analytique el d « analylisches Gebilde » de 
Weierslrass d'une pari el de surface de Rieniann d'autre part. Tu y liouveras 
encore une détermination précise de la notion de surface et en particHilier 
«le la notion de surface de Rieniann. l'ne démonstration rigoureuse des théo- 
rèmes d analysis situs nécessaires à la ihéoiie des fonctions clôt celle pre- 
mière partie. 

La seconde partie du livre traite des fonctions sur une surface de Riemaun. 
M. Weyl établit d'abord, au moyen du principe de Dirichlet, l'existence de 
fonctions uniformes sur une surface de Rieniann donnée. La théorie des fonc- 
tions sur nue surface fermée fait l'objet de quelques chapitres. La fin de 
l'ouvrage traite de runiformisalion des fonctions analytiques. Cette théorie, 
créée par Poincaré et Klein et que Kœbe vient d asseoir solidement, forme 
le couronnement du livre, car c'est dans la relation entre les surfaces de 
Riemaun et les groupes de mouvements du plan ntin -euclidien que transpa- 
rait le mieux l'idéo de la surface de Riemann. 

C'est à Riemaun, à Klein et à Poincaré que nous devons principalement 
les idées qui forment le corps du livre de AL Weyl. Mais M. NVeyl a su y 
marcjuer son empi-einte personnelle. Et d'abord, l'exposition fi goitreuse de 
la théorie de Riemann témoigne d un travail et d'un talent (|ue I on ne saurait 
trop estimer. Le livre contient plusieurs choses nouvelles el dignes d'atten- 
tion. Qu'il me suffise de citer : l'introduction dès le début des « Uberlage- 
rungs flachen», la définition de la surface simplement connexe el celle du 
genre d'une surface. A noter aussi la démonstration nouvelle que M. Weyl 
donne du principe de Dirichlet. Celle démonstration, inspirée par les travaux 
de Hilbert, Zaremba, B. Levi, en diffère par le point de départ ; elle est 
plus simple et plus puissante. .M. Pi.a.ncuerel (Fribourg). 

L. ZoRETTi. — Leçons de mathématiques générales, avec une préface de 

M. P. Appell. — 1 vol. gr, in-8'^ de xvi-753 p. et 205 figures; 20 fr. ; 

Gauthicr-Villars, Paris. 

Nous ne saurions mieux faire, pour présenter ces nouvelles leçons, que 
de reproduire la magistrale préface de M. Appell, non seulement parce 
qu elle fait honneur à M. Zorelti, mais parce qu'elle expose les idées de 
léminent doyen de la Faculté des Sciences de Paris, idées qui ont une place 
toute indi<[uée dans cette Revue. 

'( C'est un fait bien connu que le baccalauréat, envisagé an point de vue 
scientifique, malgré sa prétention surannée d'être le premier grade de 
rEnseignemenl supérieur, n'est même pas un certificat de capacité' à recevoir 
cet enseignement. 

<< Pour combler cette lacune, les P'acullés des Sciences ont dû créer un 
enseignement préparatoire à lélude des Sciences malhématiques et des 
Sciences physiques, enseignement sanctionné par un certificat d'é'udes 
supérieures de .Malhématiques générales ou préparatoires. 



Hl B l.lOi.HAI' Il I E 161 

« Déjà l'eiiseignemenl nouveau, organisé dans loules les Kiicullés fies 
Scieuces, a attiré uii grand nombre d'étudiants qui ont dTi i-<M;onnaîlre 
qu'une base matliéniatiqne solide est indispensable à loulc élude scien- 
tifique sérieuse, tliéorique ou pratique. Futurs niatliéniaticieMS, futurs 
physiciens, futurs ingénieurs électriciens, mécaniciens ou ciiimis-les. con- 
ducteurs des Ponts et Chaussées et conirùleurs des Mines, jeunes filles 
se destinant à l'Knseiguement public, se forment aux cours de Mathéma- 
tiques générales. Les matières de ce nouvel enseignement sont imposées 
par la nature des choses. Ce sont les matières des cours de Mathématiques 
spéciales, enseignées avec plus d'élévation et de souplesse, plus d'appli- 
cations et d'exercices numériques, sans les soucis étroits de concours 
artificiels en vue desquels, comme le disait Joseph Bertrand, on prépare 
au lieu d'instruire. 

« Plusieurs cours de Mathématiques générales ont déjà été publiés. Je 
demande la permission de présenter au public celui de M. Zoretli. L auteur 
était particulièrement qualifié pour l'écrire; il est, eu effet, un ancien 
professeur de Lycée et il connaît toutes les finesses de cette gymnastique 
intellectuelle qui prépare de brillants sujets pour les grands concours ; il 
est aussi un savant, auteur de recherches personuelles sur la théorie des 
t'onclious, qui professe la Mécanique rationnelle dans une de nos Universités 
et qui a conscience des besoins de 1 Enseignement supérieur théorique et 
technique. 

K Voici comment il a conçu renseignement des MatluMnaliqucs générales 
dans les Facultés. Cet enseignement s adresse à un public divers par ses 
origines, par sa meutalité, par ses besoins et par ses destinées. Le Livre 
doit donc ne sacrifier aucune de ces catégories et cette condition est 
difficile à réaliser, car les connaissances utiles au.\ uns et aux autres 
diffèrent par l'étendue et par la nature. M. Zorelti a résolu la question en 
traitant le programme maximum, mais en le traitant de manière que les 
divers chapitres soient aussi indépendants les uns des autres que possible. 
On trouve, dans cette préoccupation de M. Zoretti, l'explication de la 
longueur de son Livre : le professeur ne devra pas I euseiguer entièrement; 
il se bornera à enseigner les théories générales et à faire faire de nombreux 
exercices, de façon que l'étudiant n'ait pas de difficulté à compléter son 
information tout seul, soit immédiatement, soit plus tard, avant ou après 
son entrée dans la vie active. C est le souci de cetle initiation à l'étude 
personnelle qui. à mon avis, rend tout à fait indispensable un Livre qui 
soit autre chose qu'un cours, et qui tienne un peu de laide-mémoire. C'est 
aussi, en vue de cette initiation, que M. Zorelti s'est appliquée remplir uue 
condition plus importante que celle de la belle ordonnance didactique : celle 
de la commodité. 

« Le Livre de M. Zorelti se différencie d'abord des 'Jraités qui ont été 
spécialement écrits pour telle ou telle catégorie d'étudiants en ce qu'il 
s'adresse à toutes. L'auteur a sacrifié toutes les difficultés d'ordre théorique, 
se contentant d'appels à l'intuition où à des images concrètes. Il a également 
sacrifié les théories générales sans emploi en Mécanique et en Physique, 
comme, par exemple, toute la théorie des coniques et des quadriques, et, 
comme conséquence, celle de l'homographie et de l'involutiou. Il ne parle 
de ces courbes ou de ces surfaces qu au point de vue de leurs applicalions, 
en insistant spécialement sur leur dessin. A propos des théories de 
M. d'Ocagne sur les abaques, il se borne à montrer par de nombreux 



162 H U I. I. /•; / / -V />' / /; /. / () (. Il A l> Il I o u i: 

exemples lo j)arli que 1 élève pourra lirei' ties inûtliodcs i;raplii(|ues, sans 
qu il soit nécessaire d'iiiti-oduire toute la terminologie et tous les procédés 
bien spéciaux de la nomograplue. qui masquent, pour l'étudiant, la généralité 
de la méthode. 

« Les divergences avec les autres Traités sont plus grandes encore dans 
le choix des exercices. L'auteur a multiplié les exercices d'application 
purement numériquo, proposés, au cours des Chapitres, immédiatement 
après les théories qu ils ilhistrent. Il a indiqué de nombreux exercices qui 
sont de véritables travaux pratiques : dessins ou épures, cartonnages, 
mesures effectuées au moyen d instruments. Son expéi-ience personnelle à 
Caen lui a montré que les élèves apportent un vif intérêt à ce genre de 
travaux. I/auteur a su éviter l'erreur qui consiste à introduire, à propos 
d'exercices, des notions nouvelles qui rebutent le lecteur, cl que l'élève, 
suivant une habitude d'esprit constante, croira devoir apprendre, au 
détriment des grandes théories qu il onbliera. 

« En résumé, l'Ouvrage de M. Zoretti constitue une conception élevée cl 
nouvelle de l'enseignement des Mathématiques générales. Tout en conservant 
une entière rigueur, sans laquelle^ aucune éducation mathématique n'existe, 
l'auteur a su répondre à tous les besoins essentiels des Sciences expéri- 
mentales ; par le choix des applications et des exercices numériques, il fait 
comprendre les théories générales, il développe l'esprit de curiosité, le 
goût du travail et de la lecture personnels: il tend, en un mot, à former 
des hommes de réflexion et d action, capables de servir utilement la France 
dans la Science et dans l'Industrie. » 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUL 



1 . Pulilieaiioiiï!» périodiques : 

Zeitschrift ftir mathem. u. naturw. Unterricht. Leipzig. — Band 'ji. 

^■<)6 i)_i2. — Fklix Mui.lek : \ ersiuh einer Gruppierung der neueren 
malhematisch-historischen Schiiflen (1887-19111. — B. Fu.nk : Dio Kleinschc 
l']infuhrung des Logarilhmus. — Prot. Diesi.ng : Zur Konstrukiion kouju- 
gierler Durchniesser eines beliebigen Kegeischnitles. — Chr. LE^HARDT : 
Aufgaben ûber Stellungen dei- Uhrzeiger. Eine Slundc in Obcrlertia. — 
WiLH. I^Iffenbekger : Zur gi-aphischen Lôsung kubischer Gleiclmngen. — 
Milan Zoelar : Der Pylhagoreische Lehrsatz. — P. Kiesli.ng : Wie bestimmt 
man in der Schule die Neigung und die Knoten der Mondbahn. — Dr. Kari. 
Kruse : Der Schvverpunkl im Dreieck. — B. Reismann : Ueberdie grapliische 
Behandlung von Zinseszins- und Rentenaufgaben. — Prof. Léman : Ueber 
die reziproken Gleichungen. — Otto Forster : Geometrische Darstellung 
einer besonderen Art unendlicher Reihen. — W. W. : Der Lehmiis-Steiner- 
sche Satz. — H. Pfafp : Die Konische Loxodrome. — I. J. Schwatt : On 
the sum of a family of séries. 

A partir du /'"'■ janvierlOl'i, cette revue, qui entre duns su ^lô'^ année, sera 
dirigée par MM. H. Schotten, W. Lietzmann et E. Grimsehl. Ce dernier 
représente plus particulii'remeni les sciences physiques. Quant à M. Lietz- 
niann, il n'est guère nécessaire de le présente <i nos lecteurs; il est suffisam- 
ment connu par son active collaboration ou.r rapports publiés sur l'ensei- 
gnement mathématique en Allemagne. 



BULLETIN m ni.lOGHAi'lt inV E 163 

Band 45, N" 1. — \N'. Lietzmann et E. Gki.mseml : Zur Einliiliruiig. — 
KiLi.iNG : Die GrundbegrifTe der Infinilesimalrerhnung in ihrer Bedeulung 
fur den Schulunterricht. — Bogek : Inlialt, Arl und Name der ncueren 
Géométrie. — P. Llc:kev : Die Anfsuchung gewisser Gesetze nach graplii- 
scher Melhode und die Verwendung des logarillimischen Koordinalenpapiers. 

— E. HoiiNE.MANN : Verwendung von Vektorcn fiir die elern. Behandiuug von 
Aufgaben ans der Mecliauik, iiisbcsoudere der Meclianik des Himmels. 

Zeitschrift fur das Realschulwesen, herausgegebeu von Em. Czuber, 
Ad. Bechtel und G. Schilling. — XXXVIII. Jahrg., 1913; Alfr. Hôlder, 
Wien. N"*" 1-12. — L. Tlschel : Ueber eine Abbildung der Punkle einer 
Flache aiiT die Geraden der Bildebeue und eine sich (iaraus ergebende 
Flachengatliing. — P. V. Sch^wen : Die rektangularen Gleichungen. — 
E. Vogel : Der Ellipseuschnilt des Drehparaboloïdes. — S. Holz : Eine 
Parabelkonstiuklion. — A. Lechxek : Ueber einen Apparat zui- Démonstra- 
tion der MassenwirkiHig. — F. Schicht : Die Entslebung von zirkularen 
Sinus- und Kosiiuislinien. — F. Schicht : Ueber den Wirkungsgrad der 
schiefen Ebene als Mascbine. — R. Fischer ; Die Verschiedenbeit der Son- 
nentage. — M. Franceschi : Zur Dreiteilung des Winkels. — F. Schicht : 
Die Zuzammensetzung von Kreisbewegungen. — P. v. Sch.îwen :• Zeichnung 
des regelmassigen Siebzelinecks. — K. E.mmekling : Eine Eigenschaft des 
Drebparaboloïdes. 

)S. Livres nouveaux : 

Annuaire pour l'an 1914, publié par le Bureau des Longitudes. Avec des 
notices scientifiques de MM. Hatt, Bigourda.n et Baillaud. — 1 vol. in-16, 
;00 p. ; 1 fr. 50; Gauthier- Villars, Paris. 

J, C. Bakolin. — Der Hundertstundentag, Vorschlag zu einer Zeitreform 
imter Zugrundlegung des Dezimalsystems, im Anschluss an ein analoges 
Bogen- und Langenmass ; mit einem Geleitwort von Prof. D'oing. Hugershoff. 

— 1 vol. in-8o, 144 ^. ; 1 M. 50: W. Braumûller, Vienne et Leipzig. 

W. G. BoRCHARDT et A. D. Perrott. — A Junior Trigonometry. — 1 vol. 
in-16, xv-257 p. ; 3 sh. 6 ; Bell & Sons, Londres. 
E. Borel, — Introduction géométrique à quelques théories physiques. 

— l vol. in-S", vii-lo9 p. ; 5 IV. : G;uUl)ier-\'ilIars. Pai-is. 

P. Craxtz. — Ebene Trigonométrie zum Selbstunterricht. (Aus Xatur und 
Geisteswelt, N» 431 |. — 1 vol. in-16, 9)^ p. : 1 M. 25 : B. G. Teubner, Leipzig. 

H. Dkesslek et K. KoR.NEK. — Der Mathematische Dnterricht an den 
Volksschulen und Lehrerbildungsanstalten in Sachsen. Thiiringen und 
Anhalt. ( Abhandlungen ùber den matlieniatischen Unterricht in Deutschland, 
Band V. Heft 4). — 1 fasc. in-8^ v-132 p.; B. G. Teubner, Leipzig. 

DoLiARus (J. Ed. Bôttcher). — Aile Jahreskalender auf einem Blatt. — 
(Calendrier perpétuel, format pucliel: 30 pf. ; B. G. 'Ifubuer, Leipzig. 

V. DucLA. — Démonstration d'un théorème de Fermât. — 2« édition, 
revue et corrigée, 1 fasc. in-8", 30 p. ; Garet et Harislov. Pau. 

C. Elliott. — Models to illustrate the Foundations of Mathematics. — 

1 vol. in-8°. viii-116 p ; 2 s. 6 d. ; Lindsay èc Co.. Edimbourg. 

H. Ganter u. F. Rudio. — Die analytische Géométrie der Ebene. .Vchte 
Auflage. — 1 vol. cari. in-8'\ 191 p.. 53 lig. : 3 M. ; B. (i. Teubner-. Leip/ig. 

G. Kersche.nstei.\er. — Wesen und Wert des Naturwissenschaftlichen 
Unterrichtes, neue Umersucliungen einei" alten Frage. — 1 vol. in-8°, 
xii-141 p. ; broché 3 M. ; relié 3 M. 60 ; B. G. Teubner, Leipzig. 



16 'i RU ILKTI y H I BLIOr.liAP m <)l K 

F. Klein. — Elementarmathematik vom hoheren Standpunkte aus 
bearbeitet voii V.. Hf.i.lin(;i h. Teil II : Géométrie Icours aiitograpbié). — 
1 vol. in-8o, 5',7 p. 7 ;s]. ",0 ; ]>. G. 'reiibiier, Leipzig. 

J. Ko.MG. — Neue Grundiagen der Logik. Arithmetik und Mengenlehre, 
mil dem Bildniss des Vertassers. — 1 vol. in-S», 259 p. : 8 M. ; lelié y M. ; 
Veil & Cie, Leipzig. 

L. Lecokm-. — Cours de Mécanique. Tome L — 1 voL in-8". vn-536 p. ; 
18 fr. ; Gaiithier-Yillais, Paris. 

W. LiKTZMA.NN. — Die Organisation des matheraatischen Unterrichtes 
in den preussischen Volks- und Mittelschulen. — lAbliaiidiimgen iiber 
den inathematischen Unleriichl iii Dciilschlaiid, Hand \ , lleti Gi — 1 fasc. 
in-8", v-106 p. ; B. G. Teubiier, Leipzig. 

H. Mauker. — Richtige elementare Lôsung des Fermat'schen Problems 

.r" -L v" = :". — 1 fasc. de 15 p. ; 1 »r. ; Oreil Fiissii, Zurieli. 

A. Pahde. — Meereskunde. (Biicherder Natnrwissenschad beraiisgegeben 
von prof. S. GiJNTHEK, A" 20). — • 1 vol. in-16, avec 3 caries, 7 planches, 
1 portrait et 13 fig., 190 p. ; relié 1 M. ; Philipp Reclain jnn. Leipzig. 

IL PoiNCARÉ. — Wissenschaft und Méthode Autorisierte deutsche Ausgabe 
mit erliiuterwden Anmerkungeii von L. Li.ndeiMann (Coll. « Wissenschaft uud 
Hypothèse », >'« XVII). — 1 vol. relié in-8'', vi-283p. ; 5 M. ; B. G. Teubner, 
Leipzig. 

R. RoTHE. — Darstellende Géométrie des Gelândes. (Mathemaiische 
Bibliolhek, No l'ii. — 1 vol. in-8", 67 p. ; .M. 80; B. (i. Teubner, Leipzig. 

G. Salomon. — Questions inédites et nouveaux essais de Magie arith- 
métique polygonale. I. Etoiles Magiques à 8, 16 et 20 branches (24, 64 et 
100 points) et Rosaces Hypermagiques (16, 25 et 36 points). — IL Etoiles 
Magiques à 10 et 12 branches ,30, 36, 48 points) et Hexagones et Octogones 
Magiques. — 2 fasc. in-8", chaque fasc. 21 p. ; 1 fr. 50 ; Gauthier-Villars, Paris. 

\V. Scheffek. — Das Mikroskop. (Ans Natur und Geisteswelf, N» 35). — 
2e édition, 1 vol. in-lG, 100 p. , 1 M. 25 ; B. G. Teubner, Leipzig. 
D. E. Smith and Yoshio Mikami. — A History of Japanese Mathematics. 

— 1 vol. in-80, vin-288 p. ; 3 ^ ; The Open Court Publishing Co., Chicago. 
W. Trost. — Die Matheraatischen Fâcher an den niaderen gewerblichen 

Lehranstalten in DeutSChland. lAbiiandiungeu ûber den mathematischen 
Unterricht in Deutschland. Band IV, Heft 5). — 1 fasc. in-S», vi-l50p.; 
4 M. ; B. G, Teubner, Leipzig. 
W. WiEN. — Neuere Problème der Theoretischen Physik. — Six lectures 

delivered in Colnmbia l niversily iti april, 1913. — 1 vol. in-4'>, 76 p. ; 

B. G. Teubner, Leipzig. 

Encyclopédie des Sciences Mathématiques pures et appliquées. Edition 

française dirigée par J. Molk et pour ce qui concerne la mécanique sous la 
direction scientifique de P. Appei.i.. - Tome lil, vol. 2 : Géométrie descrip- 
tive. Géométrie élémentaire ; fasc. 1 : Géométrie projective ; exposé, d'après 
larlicle allemand de A. Schoenfi.ies par A. Tresse. — Configuration ; exposé, 
d'après 1 article allemand de E. Steimtz. par E. Merlin. 

Tome IV, vol. 6: Balistique, Hydraulique ; insc. 1 : Balistique extérieure ; 
exposé, d'après l'article allemand de C'. Ckanz, par E. Yali.ier. — Balis- 
tique intérieure; exposé, d'après l'article allemand de C. Cranz, par- 

C. Benoit. — Développement concei-nant quelques recherches de Balistique 
exécutées en France; exposé par F. Gossot et H. Liolvili.e. — Hydraulique; 
exposé, d après l'article allemand de Pli. I'orchhei.mer, par A. Bovlancer. 

— B. G. Teubner, Leipzig, et Gauthier- N'illars, Paris. 



Commission internationale de l'Enseignement mathématique. 



C M P T E R E N D l 

DE LA 

CONFBRE^CE INTERNATJOWLE 
DE L ENSEIGNEMENT MATHÉMAJIQIE 

PARIS, :-4 Avril 191 4 



l'LBLIE PAR 



H. FEHR 

Seciétaire général de la Comuiission. 



1- PARTIR 



Compte rendu somniaii-e. 
Séances des Délégués et Rapport du Secrétaire général. 

Séance généiale publique : 

Discours de MM. Appell, Castelnuovo et Darboux. 
Conférences de MM. Emile Borel et Maurice d Oca(;ne. 



L'Ensei(înempnl miilhém., 16« «nTiée ; 1914. 



Commission internationale de l'enseignement mathématique. 
COiMlTÉ CENTRAL 

Président : F. Klkin, G. H. R., (rôttingue. 

t'ice-l'résideiits : Si'- George Gkkic.nhii.i., Londres. - D. E. Smitm, New-Vork. 

Secrétaire général : H. Fi:nn, Genève. 

G. Castki.nuovo, Home. — E. CzoBiîn, Vienne. — J. Hadamakd, Paris. 

BUKKAU l)H LA SoUS-CoM.M ISSIDN FrA.VÇAISK : 

l'rcsidents d'honneur : P. Aim'Ki.i. et A. de SaiiNT-Gkk.main. 
Délégués : i. Hadamakd. M. d'OcAii.vK. Ch. Bior.iii'. 



I^istc des iiieui]>re$!i de la Coiiiiiii^^isiioii 

au 1" avril 1914. 

Allemagne : MM. F. Klein ((l(«'tlingiie), P. St.kckel (Heidclbei i; , 
A. Th.eh (Hambourg). 

Australie: M. Carslaw (Siduey). 

Autriche: MM. R. CzuuEn, W. \\ iim.NCER, H. Suppantschitsch 
(Vienne). 

Belgique: M. .1. Neubeik; (Liège). 

Brésil: M. R. Gabaclia (Rio de Janeiro). 

Bulgarie: M. A. V. Solbek (Sopliia). 

Colonie du Cap: M. Iloixai (OljservaLoire royal de Capetownj. 

Danemark : M. P. Heegaakd (Copenhague). 

Egypte: F. Roulad (Le Caire). 

Espagne: M. O.-L. de Tolkdo (Madiid). 

Etats-Unis : MM. Dav.-Eug. Smith (New-York), W. Osgood (Cam- 
bridge, Mass.), J.-W.-A. YouN(; (Chicago). 

France: MM. J. Hada.mabd, M. d'OcAONK, Ch. Rioche (Paris). 

Grèce: M. C. Stéphanos (Athènes). 

Hollande : M. J. Cabdinaal (Delft). 

Hongrie: MM. M. Bi:ke, C. Rauoz, Ratz (Rudapest). 

Iles Britanniques : Sir George Gree.nhill (Londres), Piof. E.-W. 
Hobson (Cambridge), Mr. C. Goufrey (Osborne). 

Italie : MM. G. Castelnuovo (Rome), Fr. Enriques (Rologne , 
G. ScoRZA (Parme). 

Japon: M. R. Fujisawa (Tokio). 

Mexique: M. Valentin Gama (Observatoire de Tacuyaba). 

Norvège: M. Alfsen (Christiania). 

Portugal: M. Gomes Teixeira (Porto). 

Roumanie : M. G. Tzitzeica (Rucarest). 

Russie: MM. v. SoNtx, Kojalovic, C. Possé (St-Pétersbourg). 

Serbie: M. Michel Petrovitch (Relgrade). 

Suède: M. E. Goransson (Stockholm). 

Suisse: MM. H. Fehr (Genève), C.-F. Geiser (Zurich), .1.-11. Graf 
Rerne). 

Secrétariat général : 

H. Fehr, Professeur à l'Université, I 10, Florissant, Genève (Suisse . 



LA CONFERENCE INTERNATIONALE 

DE 

L'ENSEI(iM:Mi:NI MA III^MA J lOlJE 

Paris, 1-4 avril 1914. 

PKOGRAMMK 

La Commission internationale de l'Knseig-nement mathéma- 
tique se réunira à Paris, du !*"■ au 'i avril 1914, en une Conférence 
ayant principalement pour objet létude des deux questions sui- 
vantes : 

A. — Les i-i'snllal.s obtenus dans l'introdaclion du cdlcitl diffé- 
rentiel et intégral dans les classes supérieures de l'enseignement 
nioijen. 

B. — De la place. et du rôle des niatJiéniatiques dans l'enseigne- 
ment technique supérieur. 

Les séances ont lieu à la Sorbonne; entrées : rue des Ecoles et 
rue de la Sorbonne. 

Mercredi 1" avril. 

Après-midi, 2 ' .^ h. — Séance du Comité central. 

» 4 h. — Séance des délégués. 

Soir, 8 ' , h. — Séance de la Société Mathématique de 

France, à la Sorbonne, entrée : place de la Sorbonne. 

Jeudi 2 avril. 

Matin, 9 '/j, h. — Séance générale d'ouverture, sous la présidence 
de .M. Gaston Darboux, Secrétaire perpétuel de l'Académie des 
Sciences, représentant le Ministre de l'Instruction publi([ue. 

Allocution de bienvenue de M. le Prof. P. Appell, membre de llns- 
tilut, doyen de la Fac\ilté des Sciences. 

Discours de M. le Prof. G. Castelnuovo, membre du Coniilé central, 
au nom de .M. le Prof. F. Klein (Gœltingue), président de la Com- 
mission. 

Allocution de M. le Prof. G. Darbolx, représentant du Ministre de 
l'Instruction publique. 

Présentation des publications de la Commission par M. le Piof. 
H. Fehk, secrétaire-général. 

Conférence de M. le Piof. Emile Borel : l adaptation de ieitseigne- 
nient secondaire aux progrès de la Science. 

Conférence de .M. le Prof, d Ocacne : le rôle des mathématiques dans 
les sciences de iin"énieur. 



168 COMMISSION INTERNATIONALE 

Après-midi, 2 ' .> h. — Séance de travail consacrée à l'étude de la 
question A : Introduction des premières notions du Calcul des 
dérii'ées des fonctions priniifii'cs dans l'enseignement secondaire. 

Rapport général de M. le Prof. Bekk | Biulapesl), sur les réponses 
reçues relativement à la question A. 

Rapport spécial de M. le Prof. Ch. Biociik, sur 1 organisation de 
I enseignement du Calcul des dérivées et des fonctions primitives dans 
les lycées de France, et sur les résultats obtenus. 

Indications complémentaires fournies par les divers délégués. 

Discussion. 

Vendredi 3 avril. 

Les séances du vendredi sont réservées à l'étude de la ques- 
tion B : V Enseignement des Mathématiques aux élevés ingénieurs. 
Matin, 9 '/a ^- — Séance de travail consacrée à l'étude de la ques- 
tion B. 

Rapport général de M. le Prof. Paul St^ckkl (Heidelberg), sur les 
réponses reçues relativement à la question B. 

Indications complémentaires fournies par les divers délégués. 
Discussion. 

Après-midi, 2 '/a h. — Discussion sur l'enseignement mathéma- 
tique dans les Kcoles d'ingénieurs. 

Soir, 9 h. — Séance de la Société des Ingénieurs civils de France, 
19, rue Blanche. 

Samedi 4 avril. 

Matin, 9 ' .^ h. — Continuation des discussions sur les questions 
A et B. 

Présentation par les rapporteurs généraux, MM. les Prof. Beke et 
St.eckel, de résumés sur les questions A et B. 
Suite et liu de la discussion. 

Après-midi, 2 \.^ h. — Séance des délégués : Les travaux futurs de 
la Commission. 

Les délégués seront appelés à examiner les grandes lignes du pro- 
gramme de la Réunion que la Commission tiendra eu 1915 à Munich, 
et dont l'objet principal sera la préparation théorique et pratique des 
professeurs de mathématiques des divers degrés de renseignement. 

Soir, 9 V 2 h. — Réception chez S. A. le prince Bonaparte membre 
de l'institut, 10, avenue dléna. 



COMPTK HKXDr SD.MMAIIIK 

La CotninissiKii iiiteriialioiialf de rKnseig^nenienl inathémafiqiie 
sest l'éunie à l^iiis du 1"'' au 4 avril 1914 en une (^onf'ëieiice rjni a 
attiré sur elle l'attention de tous ceux qui se préoccuj)eiit de la 
façon dont les mathématiques sont enseijj^nées dans les diverses 
nations. Grâce à la présence d'un grand nombre de mathémati- 
ciens et de professeurs, la réunion a remporté un éclatant succès 
au dire de tous les participants. La réussite en revient en gi-ande 
partie aux remarqual)les conférences et rapports présentés aux 
différentes séances. 

Les séances étaient accessibles non seulement aux membres de 
la Commission et des Sous-commissions nationales, mais encore 
à tous ceux qui avaient manifesté le désir d'en suivre les tra- 
vaux. La liste des adhésions comprend plus de 160 noms se répar- 
tissant sur 17 pays : 

Allemagne 14 

Autriche 

Belgique 

Danemark .... 

Egypte 

Espagne 

Etats-Unis .... 

France 

Hollande 

Plusieurs délégués s'étaient fait excuser en raison de la dis- 
tance et du choix de la date. Quelques-uns ont dû renoncer au 
dernier moment à se rendre à Paris; retenus par leurs devoirs 
professionnels, ils nont pu obtenir le congé nécessaire. 11 y a 
pourtant un intérêt évident à ce que toutes les nations civilisées 
participent à ces conférences internationales dont les travaux con- 
tribuent à faire progresser l'enseignement scientifique. 

Nous allons passer rapidement en revue les ditï'ërentes séances, 
dans l'ordre chronologique, puis nous donnerons un compte 
rendu de la séance des délégués et le rapport du Secrétaire géné- 
ral. Nous reproduirons ensuite le texte complet des discours et 
des conférences de la séance générale publique. 

Puis viendront les rapports généraux de MM. Beke et Stafxkki. ; 
nous les ferons suivre des indications complémentaires fournies 
par les délégués et d'un résumé de la discussion. Nous ne man- 



14 


Hongrie . 




. 15 


2 


Iles Britann 


iques . 


6 


2 


Italie . . 




7 


1 


Roumanie 




1 


1 


Russie 




10 


2 


Serbie 




2 


1 


Suède. 




1 


82 


Suisse 




12 


•> 


, 







1 70 C M M I S S I () X I y T E li .V . / T I () .\ A I. E 

(juerons pas de letidre égalt'iuciil (•(nn])le de l'intéressante séaiu'c; 
(jiii a eu lieu le vendredi soir W avril à la Société des Ingénieurs 
civils. h!nlin, nous lepioduirons (|uel(jues-uns des documents 
iouinis par les Sous-cotninissions nationales en réponse aux 
(piestionnaires A et H. 

MercFi di 1®"" avril, 'J h '/.,, aniphithéàlre Le N'errier. Séance du 
Comité central sous la pi'ésidence de Sii' George Gijkenhili,, \'ice- 
président. Le Goniilé adopte le l'ègleinent de la Conférence pro- 
posé par le Secrétaire-généi-al. 11 examine ensuite les diflerents 
points du programme de la Conférence internationale et arrête la 
liste des présidents des différentes séances. 

k heures. — Première séance des délégués sous la présidence de 
M. Castelxuovo. 

9 h. du soir, Séance de la Société mathématique de hrance. In 
grand nombre de membres de la Conférence avaient répondu à 
1 invitation de la Société mathématique de France. Dans son dis- 
cours de bienvenue, M. Vessiot, professeur à la Faculté des 
Sciences de Paris, Président, dit que la Société mathématique est 
heureuse de recevoir Messieurs les membres de la (Conférence 
internationale de IKuseignement mathématique et de manifester 
ainsi à la fois lintérèt qu'elle porte aux travaux de la Conférence 
et les sentiments de sympathie qu'elle éprouve pour les savants 
qui vont y prendre part. 11 insiste sur l'utilité que présente l'œuvre 
de la Commission internationale de l'Enseignement mathéma- 
tique pour le développement des Sciences mathémati(iues. La 
Société mathématique ne pouvait rester étiangére à la Confé- 
rence. « Elle n'oublie pas, dit-il, avec quelle cordialité les mathé- 
maticiens français ont été reçus à l'étranger dans les précédentes 
réunions internationales et nous sommes heureux dje prouver le 
souvenir reconnaissant que nous gardons de ces amicales récep- 
tions. » 

Parlant au nom du Comité central et des cong;ressistes présents, 
M. Feh», Secrétaire-général de la Conférence, remercie la Société 
de son généreux accueil, puis M. de Demeczky, membre de la 
Sous-commission hongroise, remercie à son tour et rappelle 
quelques souvenirs personnels. 

La séance pr()j)rement dite a été consacrée aux deux communi- 
cations suivantes : 

M. Hadamard : Points-pinces, arêtes de rcbroussement et repré- 
sentation paramétrique des surfaces. 

M. Li;bes(;ce : Sur les courbes orbiformes. à propos d Une i\ote 
récente de M. H. Bricahu. 

I^a séance a été suivie dune réception amicale. 

Jeudi 2 avril, le matin, à '.l h. ^/^, Amphithéâtre Kichelieu. La 
Séance générale d'ouverture a eu lieu sous la présidence de 
M. (iaston Daijboux, secrétaire perpétuel de l'Académie des 



c () N /•' /; i{ i: Nc E I) E l'.i II I s 1:1 

Sciences, représentant le Ministre de 1 Instruction j>nl>li(jue. I.cs 
représentants des différents Ministères avaient pris place sur 
lestrade avec la déléjration française et le Comité cential. 

M. le piofesseur P. Aim'Ki.i., Doyen de la l^'acullé des Sctiences do 
Paris et Président de llnstitut. souhaite la bienvenue au nom de 
la Délégation française, puis M. (i.CAs iki.m ovo, membre du Comité 
central, prononce un discours au nom du Président de la Com- 
mission. Le Secrétaire général présente ensuite les publicati<)ns 
de la Commission et annonce ([ue la Commission fait don d'une 
collection à la Sorbonne et d'une collection à rpk'ole normale 
supéiieure. 

M. Darbolx, dans une allocution très applaudie, rappelle le 
temps oii, dans les lycées et les collèges, le professeur de mathé- 
matiques était considéré comme de classe inférieure, assimilé 
aux jîiofesseurs de gymnastiffue ou de dessin. 11 lait l'éloge de la 
léforme de l'enseignement secondaire français dont l'étude fut 
entreprise en 1899 et qui, mise en application en 1902, assura à 
l'enseignement scientifique une place de plus en plus en rapport 
avec les nécessités de la vie moderne. Quelque progrès cpiait réa- 
lisé cet enseignement, il doit être encore perfectionné. 

Puis vinrent les conférences de M. le professeur K. Boiîei. sur 
l'adaptation de l'enseignement secondaire aux progrès de la 
science, et de M. le professeur d'Ocacxe sur le rôle des mathé- 
matiques dans les sciences de l'ingénieur 

Jeudi après-midi, 2 h. ^j^. Amphithéâtre de Chimie. Piésidence 
de M. J. Hadamahd. La séance est consacrée à la lecture du Rap- 
port général de M. Beke Budapest! sur les résultats obtenus dans 
lintroduction du Calcul différentiel et intégral dans les classes 
supérieures de l'enseignement secondaire; et du Rapport spécial 
de M. BiocHE, sur l'organisation de l'enseignement du Calcul des 
dérivées et des fonctions primitives dans les lycées de France et 
les résultats obtenus. 

M. Hadamard remercie les deux rapportcuis au nom du Comité 
central. 

Les délégués sont ensuite invités à donner des renseignements 
complémentaires s'il y a lieu. Ont pris la parole: MM. Lietzmann 
pour l'Allemagne, vax Vleck pour les Etats-Unis, Castelxcovo 
pour l'Italie, Ratz pour la Hongrie, Rallrt pour la Roumanie, 
Petrovitch pour la Serbie et PossÉ pour la Russie. 

Puis vient une première partie de la discussion générale du 
Rapport de M. Beke. La suite de la discussion est i-emise à la 
séance du samedi matin. 

"Vendredi 3 avril. Séance du matin 9 h. ' ^ ; Amphithéâtre Milne 
Edwards. — Présidence de M. Czubeh. — Les séances du vendredi 
ont été entièrement consacrées à l'enseignement mathématique 
dans les écoles d'inuénieurs. Dans la séance du matin M. le Prof. 



172 COMMISSION- USTElîNATlONAI.E 

Staixkkl a donné lecture de son Happoit général sui- la prépa- 
ration mathématique des ingénieurs dans les différents pays. 
M. C.zi'UKK. qui préside la séance, remercie le savant professeur 
dlleidelberg de son exposé très documenté. 

Des renseignements complémentaii-es sont ensuite donnés par 
les représentants de plusieurs pays; prennent la parole M.M. von 
Dyck pour TAllemagne, Godeaux pour la Belgique, d'OcA(;xE 
pour la France, Rados pour la Hongrie, Foksyth pour les Iles Bri- 
tannicpies, Aijraham et Padoa poui- lltalie, BAi.r.iiT pour la Bou- 
manie, Gaviui.oviich pour la Serbie et CrKisKit poui- la Suisse. 

M. Staeckei. lit ensuite un résumé qui servira de base à la dis- 
cussion générale qui aura lieu l'après-midi. M. Castlenuovo pro- 
pose d'y ajouter deux questions: 1. I.a place accordée aux mathé- 
matiques dans les plans d'étude des Kcoles d'ingénieurs. 2. De la 
formation des ingénieurs, ai en vue delà technique ; ô/ en vue 
des sciences d'ingénieurs. 

2 h. '/2- — ^-'^ séance de l'après-midi, qui a eu lieu dans le 
même amphithéâtre, a été réservée à une discussion sur le rapport 
de M. SïAECKEL. Elle était présidée par M. Hadamard. 

'J h. — Le soir, à la séance de la Société des Ingénieurs Civils de 
France, M. d"OcA(;xE a rendu compte de la discussion qui avait eu 
lieu dans la journée, et donné un aperçu du Rapport de M. Staeckei. 
dont il a lu quelques passages. Une discussion très intéressante 
a suivi cet exposé, (.es différents orateurs ont insisté sur la néces- 
sité qu'il y a pour l'ingénieur d'avoir une culture mathématique 
générale très foi'te. l/enseignement «ju'ils reçoivent ne doit pas 
être utilitaire, il doit leur fournir les méthodes générales débar- 
rassées des discussions spéciales qui n'ont d'intérêt que pour le 
mathématicien. 

Samedi 4 avril. Séance du matin 9 h. ^1^. Amphithéâtre Milne 
Hdwards. — La séance du matin, présidée par M. Czuuer, a été 
consacrée à la suite des discussions sur les questions A et B. 
Tout d'abord le président ouvre la discussion sur les deux ques- 
tions proposées par M. Castelnuovo. La seconde partie de la 
séance est consacrée à la fin de la discussion du Rapport de 
M. Beke. 

Communications diverses: M. von Dvck annonce un nouveau 
fascicule des Berichte itnd Mitteilungen de la Sous-commission 
allemande : c'est un rapport de M, H. Weinreich sur la période 
récente du mouvement de réforme dans l'Enseignement mathéma- 
licpie en Allemagne, comme suite au rapport publié par 
M. ScHiMMACK. .M. von DvcK présente ensuite les trois premiers 
fascicules de l'importante publication Die Knllitr der'Cegemyart 
herausgegeben von P. Hinneber(;, dont le volume consacré aux 
sciences mathématiques est dirigé par M. Klein. Ces trois fasci- 
cules contiennent les monographies de M. Zeuthex, sur les Mathé- 



CONFERENCE DE I' A H I S \::\ 

iiiali((ii(;.s clans laiiliquité et an moyen âge; de M. A. NOss, sni- 
les rapports entre les Mathéniatiqnes et la culture moderne; de 
M. Ti.Mr:itniN<;, sur la connaissance des Mathématiques et la com- 
préhension ; et de M. A. Voss, sur la théorie de la connaissance 
mathématique. 

2 ^. Va- — Amphitéàlre Le \ errier. — beu.vi'eine séaiue des 
délègues. Présidence de M. Castelmovo. — Dans la séance de 
Taprès-midi les membies de la Commission ont examiné les 
i^randes lioiies du proyiamme de la Conférence internationale 
(jui aura lieu à Munich en 1!)15, et dont l'objet principal sera la 
préparation théorique et pratique des professeurs de mathéma- 
ticpies des divers degrés de l'enseignement. Ensuite un premier 
échange de vues a eu lieu sur le plan des travaux qu'il convien- 
drait de présenter à la réunion de clôture qui aura lieu à Stock- 
holm en 191(). 

'.} h. 7.2- — I-e soir une biillante réception a été oll'erte aux 
membres de la Conférence par S. A. le prince Bonaparte, membre 
de l'Institut. Un grand nombre de membres du corps diploma- 
tique ainsi que de nombreux académiciens étaient présents. Tous 
les salons et la magnifique Bibliothèque du prince étaient 
ouverts aux invités auxquels S. A. a fait le plus cordial accueil. 



REGLEMENT 

Dl; LA 

CONFÉRENCE INTERNATIONALE 
DE L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE 

Pans, l-'i >a-iil Wl'i. 



.\KricLK PKE.MiKR. — La Commissioii iuloraalionale de i'Eiiseignemenl 
mathémaliqne se réunira à Paris, du l*"" au 4 avril 1914, en une conférence 
;iyant principalement pour objet l'élude des deux questions suivantes : 

A. Les résultats obtenus dans l'introduction du Calcul différentiel et 
intégrai dans les classes supérieures de l enseignement moyen. 

B. De la place et du rôle des mathématiques dans l'enseignement technique 
supérieur. 

Les séances auront lieu à la Sorbonne. 

Akt. II. Les travaux de la Conférence sont dirigés par le Comité central. 
L organisation de la réunion est conliée à un comité restreint, comprenant 
le Secrétaire général de la Commission, agissant au nom du Comité central, 
et un représentant de la délégation française. 



174 COMMISSION I .\ T E lî X A T I O N A L i: 

Art. III. Seront membres de la Conférence: 

1) Lesf membres de la Commission el des Sous-commissions nationales 
qui auront envoyé leur adhésion au Secrélaire-g^énéral. 

2) Les personnes inscrites auprès du Secrétariat \>av l'intormédiaire des 
membres de la Commission. Les adhésions sont l'cçues jusqu au 
l»'' mars 1914 auprès du Secrétaire général, M. H. Fehr, 110, Florissant, 
Genève, Suisse. Les mathétnaliciens français peuvent s'adresser auprès de 
M. Ch. Bioche, déléç^ué de la Commission, 56, rue Notre-Dame-des-Champs, 
Paris Vie. 

Les membres de la Conférence recevront une carte de parlicipatil qui 
leur sera délivrée par les soins du Comité d'organisation. 

Art. IV. — La Conférence comprend : une séance générale d'ouverture. 
deux séances des délégués et quatre séances de travail. 

La séance inaugurale sera présidée par un représentant du Ministre de 
l'Instruction publique de France ; les autres séances seront présidées par 
des membres du Comité central. 

La séance inaugurale est publique. Les séances des délégués sont réservées 
aux membres de la Commission et des Sous-commissions nationales, tandis 
que les séances de travail sont accessibles à tous les membres de la 
Conférence. 

Art. V. — Les langues officielles sont lallemand, l'anglais, le français 
et l'italien. 

Art. VI. — Au début de la discussion, le président annoncera le temps 
qui peut être accordé à chaque orateur. Pendant le premier tour la parole 
sera accordée dans l'ordre alphabétique des pays à raison d'un orateur par 
délégation. Les noms des orateurs seront désignés dans la première séance 
des délégués. 

Les membres de la Conférence qui auront pris la parole dans une séance 
devront remettre au secrétariat, avant la fin de la journée, un résumé de 
leur communication. 

Art. vu. — Le compte rendu complet des séances sera publié par les 
soins de Vu Enseignement Mathématique », revue internationale, organe 
officiel de la Commission. Il sera distribué aux membres de la Conférence 
comme fascicule 3 des Puhlications du Comité central, 2me série. 

Les publications du Comité central étant destinées à une large diffusion, 
la reproduction et la traduction du compte rendu sont autorisées sous la 
seule condition de l indication de la source. 



SKAXCES DES DELEGUES 

Première séance des délégués; mercredi 1" avril 1914, à 4 h. ; 
AmphitlK'àtrr Le \ eiiici'. [^résidence de i\L Casiklxuovo. 

En ouvtaut la séance, M. Castklmjovo exprime ses regiels que 
notre Président M. Ki.eix soit empêché par la maladie de venir 
présider nos séances; il excuse également M. D. K. Smith, l'un 
des vice-présidents, retetiii à Xew-York ; puis, au nom du Comité 
central, il souhaite la bienvenue aux diderenls délégués. 



c () y F /■: Il /■: .\f /■: /> i: i' a n i s 1:5 

M. Fkhii, Secrétaire oénéral donne ensuite lecture du Hè<^lcnient 
proposé par le (".oniité central. Ce Ké<4leinent est adopté sans 
niodilicalion. 

M. Kniuqucs propose (jue dans nos séances les orateurs se ser- 
vent le plus possible de la langue iVançaise. tout en leconnaissant 
fiue, conformément au Rapport préliminaire, lallemand. Tanolais 
et I italien sont également reconnus comme langues oflicielles de 
nos Congrès. Adopté. 

M. Fkhii, Secrétaire génc-ral, donne ensuite lecture de son Rap- 
port sur la période de 1912 à 1914. (reproduit ci-après 

Etal des publications : Les délégués présents indiquent cpiels 
sont les Happoits en prépnrdlion, ou tout au moins projetés. 

.\lli:.ma(;xe : il leste huit fascicules: 

Bi:l(;iql"i- : un volume est en préparation. 

.VuriiiciiF, : M. CzuBER annonce un fascicule 13. 

Hollande: M. Cardixaal annonce un supplément qui sera spé- 
cialement consacré à renseignement technique. 

IIox(;i!iE : M. Bkkf. fait savoiique trois fascicules sont encore en 
préparation. 

Italie: La Sous-commission italienne compte publier encore 
quelques fascicules. 

Russie: ^L Fossé annonce encore deux Rapports. 

Sehbie; La Sous-commission vient d être formée et compte 
publier un Rapport sur renseignement mathématique en Serbie. 

Le Secrétaire général exprime le vœu que ces publications soient 
terminées a\'ant In réunion de Munich. En vue du Rapport 
général qui devra être présenté à Stockholm, il est en effet indis- 
pensable que les Sous-commissions nationales aient terminé 
leuis travaux avant Munich. Il sagit. bien entendu, des travaux 
destinés à la Commission elle-même, et non pas des rapports 
dun cai-actère national en vue de faire connaître les travaux dans 
leur propre pays. 

Deuxième séance des délégués; samedi 4 avril à 2 h. V'.^; Amphi- 
théâtre Le \ errier. Présidence tle M. Castelxvovo. 

M. Fehii, Secrétaire général établit tout d abord la liste des 
délégués présents à la Conférence. Il donne lecture des lettres 
des délégations empêchées de se rendre à Paris, et notamment 
une lettre de M. D. L. Smith de New-York. 

Réunion de Munich. — Au nom du Gouvernement bavarois et 
de la Municipalité de Munich, M. vox Dvck invite la Commission 
à tenir sa prochaine Conférence à Munich. ^L Castelxiovo 
remercie M. vox Dvck de son invitation et le prie de transmettre 
les remerciements de la Commission aux autorités bavaroises. 

M. Fehr présente ensuite un avant-projet du plan de travail 
élaboré pai- le Comité central. La réunion de Munich sera princi- 
palement consacrée à la préparation théorique et pratique des 



1 Tti C () M M I s > / l) N I .V /' I-: li NATI O N A I. E 

piolcsseuis de malhématiqiics des divers degrés de lenseigiie- 
nient. Le Comité central propose de prévoir les trois catéfrories 
suivantes : 

A. — [/enseignement scfoiidaire (lycées, <>ymnases, écoles 
réaies supérieures . 

B. — Leiiseigrietneiit professionnel ^écoles techni(pies moyennes, 
etc.). 

C. — l/enseigncinenl élémentaire. 

Le principal objet seia la question A concernant l'enseignement 
secondaiie. 

Le Comité central a invité M. G. Loiua, professeur à l'Université 
de Gènes, de se charger du Rapport général sur la préparation 
théoi'ique et pratique des professeurs de mathématiques de l'en- 
seignement secondaire. M. le Professeur Loiua a bien voulu accep- 
ter ('ctte tache. Nous sommes certains qu'il trouvera le meilleur 
accueil auprès des délégués pour réunir les documents qui servi- 
ront de base à son travail. 

Le Comité central examinera la possibilité de trouver des per- 
sonnes compétentes pour fournir les rapports généraux sur les 
questions B et C. Dans tous les cas, en dehors des Rapports géné- 
raux, le Comité central organisera des conférences d ordre géné- 
ral, comme cela a été fait à Paris pour la séance d'ouverture. 

M. Hadamaijd attire l'attention delà Commission sur l'enseigne- 
ment de In Mècdniqiie dans les écoles moyennes. Il s'agit d'étudier 
cet enseignement dans ses rapports avec les Mathématiques d'une 
part et la phi/siqiie d'autre part. Peut-être cette question pouriait- 
elle être examinée à Munich. Dune manière plus générale, on 
pourrait envisager la question suivante : « Que peut-on faire pour 
donner aux professeurs un sens suffisant des Mathématiques 
appliquées ? » 

.M. Fehu pense que cette question pourrait faire l'objet de l'une 
des conférences générales. Dans les écoles municipales de la 
ville de Munich, l'enseignement est précisément orienté du ccMé 
de la pratique suivant les idées de M. Kerschensteiner. 

I^a Commission s'en i-emet entièrement au Comité central pour 
l'organisation de la Conférence de Munich et pour le choix de la 
date'. 

Réunion de Stockholni. — La Commission examine ensuite la 
question très importante du rapport à présenter à Stockholm. 
L'extension donnée aux travaux des Sous-commissions nationales 
rend fort difficile lélaboralion d'un rapport unique résumant 
l'ensemble des travaux. Tout d'abord, le Secrétaire général pré- 
parera un Rapport d'ordre plutôt administratif et documentaiie. 



' Le Comité central vient <ie décider que l;i Conit-reiice inlern;ilionaIc de Munich ;iui'ii lii'U 
du lundi 'J au jeudi 5 avùt 10 lô. 



(• o N F /■: li /■: /V ( ■ /: /> /•; /' a it i s i : : 

avec une lislc détaillée «les piihlicat ions el des lia vaux. (!el exjiosê 
accompagnera la série des pnhiical ions d\\ (loinite central renfer- 
mant les comptes rendus des (lonCercMices inl(;rnationales or<ratii- 
sées par la Commission. 

M. Gkiskiî demande s'il ne serait pas possible de faire un l{ap- 
port en tr|-onpant des pays (|ui présentent une certaine analo<,Me 
dans leiii' organisation et en se limitant aux écoles (pii préparent 
à l'Université et aux écoles techniques supérieures. Dans tous les 
cas, vis-à-vis des autorités, qui ont donné leur appui à la Com- 
mission, il estime qu'il est indispensable de faire quelque chose 
ayant un caractèi'e d ensemble. 

M. Bkkiî pense que la Commission doit s'en remettre au (!omité 
central, et se borner à lui ti-ansmetti-e (juelques vœux ou sugges- 
tions. D'une part, chaque pays doit utiliser pour lui les docu- 
ments réunis par la Commission; cette partie concerne le travail 
des Sous-commissions nationales. D'autre part, comme il l'a 
indiqué dans son Rapport général, la Commission pourrait publier 
un fascicule comprenant l'ensemble des piogra/n/ncs et plans 
d'études de renseignement secondaire des différents pays. 

M. Hadamard s'associe à la proposition de M. Bkkr. Il pense en 
outre que les auteurs des rapports partiels seraient ceitainement 
disposés à collaborer à l'établissement d'une table générale des 
matières contenues dans nos Rapports. 

M. Fi;Hit annonce qu'il compte précisément faire suivre son 
Rapport d'une sorte de guide des documents de la (Commission. 

M. Castelnuovo résume la discussion concernant les travaux 
futurs de la Commission : 

1; Les Sous-commissions nationales sont invitées à faire con- 
naître dans leur milieu les documents réunis par la Commission. 
Ces tiavaux peuvent se faire par exemple sous la forme d'études 
comparées et par le moyen de conférences suivies de discussions. 

2 Quant au travail à élaborer en vue de la réunion de clôture 
de Stockholm, il ne s'agit, pour le mojnent, que d'un premier 
échange de vues ; la question sera examinée parle Comité cen- 
tral, puis elle sera reprise l'an prochain, à Munich. 

M. Cakdinaal se fait l'interprète des membres de la Commission 
pour remercier le Comité local et le Comité central de tout ce 
qu'ils ont fait pour l'organisation de cette Conférence dont la 
réussite a été complète. 

M. Castelm'ovo déclare la séance levée en donnant rendez-vous 
aux délégués l'an prochain à Munich. 



La Commission internationale de l'enseignement mathématique 
pendant la période août 1912 à avril 1914. 

Happoit prèsenlè n la séance du /" avril l'Jl'i 



H. FEHR 

Secrt'Iilire-içt'nériil de Li Commission. 



Ali début de ce Rapi)ort je tiens avant Loiit à lendie li()nimai>"e 
à la mémoire de notre regretté collègue C. BoiiiLur. M. Carlo 
BouRLET a succombé le 12 août 1913 à Annecy, aux suites d'un 
accident tragique. Trois semaines auparavant il assistait encore à 
la réunion du Comité central, tenue à Ileidelberg, en qualité de 
représentant de la délégation française- Sa mort est vivement 
ressentie dans notre Commission cjui perd en lui l'un de ses 
membies les plus actifs et les plus distingués. Que Messieurs les 
membres de la Sous-commission française reçoivent ici la nou- 
velle expression de notre pi'ofonde sympathie. 

A la suite du décès de AI. C. Bolulet et de la démission pour 
raison dàge et de santé, de M. de Saint-Geumaix et de M. I.aisaxt. 
le Comité central a fait appel à M. Bioche, qui avait déjà pris une 
part très active aux travaux de la Commission, et à MM. Hadamahi) 
etD"OcA(;NE. La nouvelle délégation française se compose donc de 
MM. J. HADAiMAiii), membre de l'Institut, professeur au Collège de 
l'rance et à l'Iïlcole polytechnique; M. d'Oca(;ne, professeur à 
l'Ecole polytechnique et à l'Ecole des Ponts et Chaussées; 
Ch. Bioche, professeui- au Eycéc I^ouis-le-Gratid. 

Le Comité central tient à renouveler ici l'expression de sa jjro- 
fonde gratitude à MM. dk Saint-Geumain et 1>aisaxt pour le con- 
cours très précieux qu'ils ont apporté à la Commission dès sa 
fondation, il y a cinq ans. 

Nous avons egalemerit eu le regret d'apprendre le décès de 
M. Ch. VoGT, survenu le 1"' août 1913, membre de la délégation 
russe, auteur du Kap[)<)rt sur lenseignetnent mathématique dans 
les Ecoles réaies en Russie. 

Monsieur le Ministre de l'instruction publique a désigné comme 
nouveau délégué M. M.-C. PossÉ, professeur émérite de l'Univer- 
sité de Saint-Pétersboui'g. Xotre nouveau collègue, que le Gou- 
vernement russe a délégué à la Conférence de Paris, est l'auteur 



r ON /•• /; // /■; .v c i: i> i: i> .//.'/ .s 1 79 

(lu liappdi I sur ll'liisciifiiemciit malhciiialicjiic; dans les l iiixci- 
sitcs et dans les Mcoles lechni(|iies siiptiiieiires russes. 

Au l(Mi{l(Miiain du (Congrès nous avons dû aeceptci-, bien à 
leijTct, la démission de M. le professeur H. vox Kocii, délégué 
suédois, l'oui- des raisons de santé il a den)andé à être relevé de 
ses fonctions. On sait que c'est la Sous-coni mission suédoise qui 
l'ut la première n terminer les rajjports sollicités par le (Comité 
central. 

M. 11. VON KocH a été remplacé comme délégué par M. G<u«ans- 
sox qui avait collaboré aux rapports suédois non seulement en se 
chargeant tle ce qui concerne les Gymnases et les Rcoles réaies, 
mais encore en participant avec M. vo.\ Kocn à la direction du 
volume suédois. 

C'est aussi pour des motifs de santé que i\l. C.-J. Rueda, délégué 
espagnol, vient de se retirer de la Commission. Sur la proposition 
de la Société mathématique espagnole, le Comité ccntial a dési- 
gné comme successeur M. L.-O. de Toledo, professeur à l'Univer- 
sité de Madrid. 

La Commission comprend actuellement des délégués de vingt- 
six pays représentés par 44 membres. Plusieurs pays n'ont pas 
adhéré à la Commission bien <\\\e lenrs gouvernements aient été 
sollicités à plusieurs reprises. A l'occasion du Congiès de Cam- 
bridge, ou immédiatement après, nous avons eniegistré les adhé- 
sions de représentants du Brésil, de la Bulgarie, de l'Egypte et 
de la Serbie. 

Bien que plusieurs pays n'aient pas adhéré spécialement, leurs 
professeurs n'en suivent pas moins avec intérêt les travaux de la 
Commission, ainsi qu'en témoignent les demandes de renseigne- 
ments et la correspondance échangée avec le Secrétaire général. 

On constate par là que nos travaux ont déjà exeicé une influence 
jusque dans les pays les plus lointains. Leur action ne manquera 
pas d'augmenter lorsque les publications annoncées seront entiè- 
rement terminées. 

Comité central. — Dans sa réunion de Heidelberg 21-23 juillet 
1913), le Comité central a décidé de porter de 4 à 7 le noml3re de 
ses membres. 11 a estimé, en effet, qu'à la veille des réunions qui 
auront lieu à Paris en 1914 et à Munich en 1915, il convenait de 
compléter le Comité, afin de facilitei" les suppléances lorsque l'un 
ou l'autre des membres se trouverait empêché de prendre part à 
l'un des Congrès. 

Le choix du Comité central s'était porté sur M. P. Appell, mem- 
bre de l'Institut, Paris, M. G. Castelnuovo, professeur à l'Univer- 
sité de Home et M. E. Czuber, professeur à l'Ecole technique 
supérieure de Vienne, qui, par leur situation et leurs connais- 
sances des choses de l'enseignement, sont tout particulièrement 
qualifiés pour participer à la direction des travaux et des séances 



180 COMMISSION I N T E li N A T I O N A I. E 

de la Coinniissioii. Toutefois, eu ce inonient, les nombreuses 
occupations de M. Aimmm.i.. notamment ses fonctions de Doyen de 
la Faculté des Sciences de Paris et sa présidence, en 1914, de 
l'Institut et de l'Académie des Sciences, ne lui ont pas permis 
d'accepter cette invitation. Le (Comité central s'est alors adressé 
à M. IIaoamaiu), membre de l'Institut, qui a bien voulu lirometti'C 
son concours. 

Le Comité central se compose donc actuellement de MM. les 
professeurs F. Klein (Gœttingue), président; Sir George Green- 
HiLL (Londres,, et Dav. Eug. Smith (New-York), vice-présidents ; 
M. IL F'ehr (Genève), secrétaire général; G. (^astelnuovo (Rome! ; 
F]. CzuBEH (Vienne) et J. Hadamaud Paris . 

Publications parues depuis le Congrès de Cambridge. 

Le Rapport présenté par le Secrétaire-général au Congrès de 
Cambridge contient la liste complète des publications du Comité 
central et des Sous-commissions nationales. Plusieurs des rap- 
ports qui figurent dans cette liste portaient la mention : « en pré- 
paration. " Quatorze fascicules ont été distriiiués aux membres de 
la Commission. La liste complète sera annexée à ce rapport. En 
voici un aperçu sommaire: 

Publications du Comité central: 2'"" série, X°' 1 et 2 (2 fasci- 
cules). 

Allema(;xe : Abhandlungen, Tome 1, fasc. 5 (le Tome IL fasc. 8, 
est un fascicule supplémentaire qui ne figure pas dans la liste 
présentée à Cambridge). Tome 111, Fasc. 8. — Tome IV, fasc. 2, 
.5 et 8. — Tome V, fasc. 4 et 6 (8 fascicules). 

Berichte und Mitteilungen : n°* 8 et 9 (2 fasc). 

Italie : Fasc. X-' 10. 

Suisse: Fasc. 9, annexe: Réformes à accomplir. Ce sont des 
conclusions aux Rapports de la Sous-commission suisse (1 fasc). 

La liste des pays ayant terminé les rapports annoncés reste la 
même qu'à Cambridge : Suède. Hollande, France, Suisse, Autriche, 
.lapon, Etats-Unis, lies Britanniques, Danemark (9 pays). 

Pour les pays suivants les Rapports sont en cours de publica- 
tion : Allemagne, Australie, Belgique, Espagne, Hongrie, Italie, 
Norvège, Roumanie et Russie (9 pays). 

r>e Comité central exprime le vœu qu'au moment de la réunion 
de Munich, l'an prochain, ces publications soient entièrement 
terminées. 

Publications en préparation : 

Alle.ma(;m: : 1. Abhandlungen. — Band III, Heft 9: Lorey, W., 
Das Studium der Mathematik an den deutschen Universitaten. 

Band iV, Heft 3. Girxdt, .M., Der mathematische Unterricht an 
den Baugewerkschulen. 



C O N F É H K N r /•• I) i: l> A li I s 181 

lieftl), SxAixKKr.^ P., Die inathematischc Aiisbilduii;; dci- Aiclii- 
tekten, (^hemiker iind Itif^enieure an den deutschen technischen 
Hochschnlen. 

Band V, lleft 5, L'mlaif, K., l)er mathematische Unterricht an 
den Seniinaren unil Volksschnlcn dcr llansestadie. 

IleflT, KoitNKit, 11. iind Liktz.manx, Die Or<,ranisation des matlic- 
niatischen Unterrichts an den I.ehrerbildungsanstalten in Preiis- 
sen. 

2. Bcrichte liiid Mitteiliingen. — La Sous-commission allemande 
prévoit de nouveaux fascicules qui seront consa(;rés notamment à 
des Rapports plus brefs ayant principalement pour objet l'exposé 
de l'enseignement mathématique dans les principaux pays, com- 
paré à celui de rAUemagne. Ainsi M. AVoLi-i- Betzdorf i a fait 
un voyage en Angleterre et exposera l'organisation anglaise; 
M. RoHRiJEiu; Steglitz examinera de la même manièie le cas 
des pays Scandinaves. D'autres s'occuperont de l'Italie, de la 
France et des Etats-Unis. En outre, M. Weixreich Gœttingue 
rédige une suite au rapport de Schmi.mack sur le mouvement de 
réforme Band 111, Heft li. Ces mémoires paraîtront comme sup- 
plément à la Zeilschrift fi'ir math. u. natnrw. Unterricht, dont 
M. I.iETZMAXx vient de prendre la direction à côté de MM. Schot- 

TEX et GrUMSEHl.. 

Altriche: La Sous-commission autrichienne fera paraître un 
fascicule supplémentaire (n° 13). 

Bel(;iqle : Tome II, Les mathématiques dans les écoles indus- 
trielles et professionnelles, par M. Hombalt, inspecteur hono- 
raire. — L'enseignement des mathématiques dans les Universités 
et les Ecoles supérieures, par M. Xeuberg. 

Espagxe : Mémoires, Tome 11. 

Hollande: Il paraîtra un supplément consacré à l'enseignement 
technique moyen. 

HoxcRiErLa Sous-commission prévoit encore trois fascicules 
Ecoles primaires. Ecoles militaires, Universités.; 

Italie: Quelques nouveaux fascicules sont en préparation. 

XonvÈGE : Bericht iiber den mathematischen Unterricht in 
Xoi'wegen. 

Pohtlgal : L'Enseignement mathématique au Portugal. 

Russie: D'après les renseignements très complets fournis par 
M. PossÉ sur les travaux de la Sous-commission russe, il résulte 
qu'à la suite des nouveaux règlements et de transformations pro- 
chaines, la liste des travaux en préparation doit être modifiée. 
La Sous-commission publiera encore deux fascicules consacrés 
l'un aux Cours supérieurs de femmes, l'autre à la préparation des 
maîtres secondaires. — M. Possé signale l'intérêt très vif que les 
professeurs russes témoignent à la réforme de l'enseignement 
mathématique, comme le prouve du reste leur participation aux 

L'Enseignement niathém.. 16« année; 1914 12 



182 COMMISSION INTERNATIONALE 

Congrès des maîtres de mathématiques qui ont^n lieu à St-Péteis- 
boui'iï en jauvier 1912 et eu janvier 11)14. 

Sehihk : I/enseii^iiemeut mathématique en Serbie. 

La Conférence Internationale de Paris. — [reprogramme «énéral 
de la Conféience de Paris, ainsi que les deux questionnaires ont 
été préparés par le Comité central dans une réunion tenue ii 
Heidelberg, du 21 au 23 juillet 1913, et à laquelle assistaient en 
outre les rapporteurs, MM. Beke et Staeckel, et M. C. Bouiti,i:T. 
r>e programme élaboré à Heidelberg et la date de la Conférence 
ont été définitivement arrêtés à la suite des pourparlers que le 
Secrétaire général de la Commission a eus à Paris en octobre 1913, 
avec le Bureau de la Sous-commission française et les principaux 
intéressés. 11 a été adressé aux membres, en date du 30 octobre 
1913; puis à l'occasion d'un nouvel envoi, le 10 décembre 1913. nous 
les avons prié de communicjuer le programme aux autorités sco- 
laires, aux directeurs des Ecoles d'ingénieurs, aux membres de 
leur Sous-commission nationale, aux professeurs ou amis de la 
Science que les questions mises à Tordre du jour peuvent inté- 
resser et aux périodiques scientifiques. 

Le Comité central et la délégation française ont adopté un 
règlement concernant l'organisation des séances et tout particu- 
lièrement des séances de travail. Nous estimons que pour les 
discussions qui suivront les Rapports généraux de MM. Beke 
et Staeckel, les différentes délégations doivent tour à tour être 
appelées à fournir des remarques ou des renseignements complé- 
mentaires ; c'est du reste l'usage que nous avions déjà établi dans 
les Conférences de Bruxelles et de Milan. 

La Conférence Internationale de Munich. — Dans sa réunion de 
Heidelberg le Comité central a déjà jeté les premières bases de 
la Conférence internationale que la Commission compte organiser 
à Munich au commencement d'août 1915. Cette réunion sera 
uniquement consacrée à une question qui est capitale pour la 
réalisation de nouveaux progrès : c'est la préparation théorique 
et pratique des professeurs de mathématiques aux différents 
degrés de l'enseignement. Nous vous soumettrons le projet du 
programme de Munich à la seconde séance des délégués, samedi 
prochain. A cette même séance vous serez appelés à examiner 
la suite qu'il convient de donnera nos travaux en vue de la réu- 
nion de clôture qui aura lieu à Stockholm. 



(• () y F E U E iV C E l> E 1> A H I S 1 m 

Annexe. 
Publications parues depuis le Congrès de Cambridge. 

Août 1912-.\l;.is 191 'f. 



Comité cf.ntkai, ; 2'"'" série : Kasc. 1 : Coinple rt'iidu Hu Conjurés de Cam- 
bridge, 21-27 août 1912, publié p;.r H. Kkiik (97 p. : 2 fr. 50i. 

Fasc. 2: Conféreure intei'iialionale de lenseignenieut mathématique, Paris, 
1-4 avril 1914. Travau.v préparatoires (34 p. : fr-. 0.75). 

Allemagne: AUhandlungen: Band I. Heft 5. Die iieuzeitliche Eiitwickluiig 
des mathematisclieii Unterrichts an den hoheren Miidchenschiilen Deutsch- 
laiids insbesondere Norddeulschlands. von Prof. Dr. J. Scukodek. Mit einem 
Schlnssworl zu Band I von V . Klkin |xii-183 p. ; 6 M.| 

Baiid II. Hell 8. — Neiie Erlasse in Bayern. VVûrtlemberg und Baden, 
von W. LiETZMANN. E. Geck , H. Ckamer. Mit einem Schlnsswort zu Band II 
von A. Thaek (i.\-49 p. : M. 1.50). 

Baud III, Heft 8. — Psychologie und mathematischer Unterriclit, von 
Dr. D. Katz (120 p. ; .M. 3,20). 

Band IV, Heft 2. — Die angewandie Matheiiialik an den deiiischen mitl- 
leren Fachschulen der Maschinenindustrie, von Dipl. Ing. K. Ott (vi-158 
p.; 4 M.). 

Band IV, Heft 5. — Die mathematischen Fâcher an den niederen gewer- 
blichen Lehi'anstalten in Deiitschiaiid, vou Dip. Ing. \V. Trost (vi-147 
p.; 4 M.). 

Band IV, Heft 8. — Die matheinalische Ausbildung der Deutschen Laiid- 
messer, von Dr. P. Furtwangler und G. Ruh.m (vi-50 p. ; .M. 1,60). 

Band V, Heit 4. — Der mathematische Unterricht an den Volksschulen 
und Lehrerbiidungsanstalten in Sachsen, Thûriugen und Anhalt. vou 
H. Dri:ssler und K. Kôrner (v-132p. ; 4 M. 80). 

Band V, Heft 6. — Die Organisation des mathematischen Uiiterrichtes in 
deu preussichen ^ olks- und Mittelsrhulen, von ^V. Lietzmann (v-106 p: 
3 M.). 

Berichte und Mitteilangeii : Heft VIII. — Xachruf auf Peter Treutieiu, 
von P. Stacki;l, sowie Dei" Internationale Malhen)atikerkongress in Cam- 
bridge, von \V. LiKTz.MANN )58 p.; M. 1,60). 

Heft IX. — .Mathematische Lehruiitlclsammlungen . insbesondere fur 
hohere Schulen, von H. Dkessler (31 p. , M. 1.). 

Italie: Fascicule 10. — Sui libri di lesto di geometria per le scuole 
secondarie superiori. par prof. Scorza (15 p.). 

Suisse : L'enseignement mathématique en Suisse. Annexe : Réformes à 

accomplir dans l'enseignement mathématique en Suisse (Reproduit dans les 
trois langues, 34 p. ; fr. 0,50l. 



181 



r O M MI s s I O X INTE H NA T I () N A /, £ 



Tableau d'ensemble de la répartition par pays des publications 
parues jusqu'au 1®"" avril 1914. 



Fas 



Comité CE^TRAl 
Allicmagne 



autiuche. 

Belgique. 

Danemark 

Espagne . 

Etats-Unis . 

France 

Hollande 

Hongrie . 

Iles Bkitanniqu 

Italie. 

Japon. 

Roumanie. 

Russie 

Suède. 

Suisse 



iiL-. OU volumes 


Nombre 


de pages 


8 




331 


A. 33 


A. 


3605 


B. 9 


B. 


217 


12 




690 


1 




348 


1 




107 


3 




165 


11 




670 


5 




674 


1 




151 


10 




130 


34 




853 


10 




253 


2 




788 


1 




16 


6 




254 


8 




229 


9 




812 



164 



10293 



SÉANCE GÉNÉRALE D'OUVERTURE 

Jeudi 'J (ivril, à il h. ' „ du malin, a l'amphithéâtre Richelieu. 

Présidence de M. Gaston Dakbolx, 

Secrétaire perpétuel de l'Académie des Sciences, 

représentant le Ministre de l'Instruction publique. 

Ordri; du JoiK : 

Allocution de bienvenue de M. le Prol. P. Appell, membre de l'Institut, doyen 

de la Faculté des Sciences. 
Discours de M. le Prof. G. Castelnlovo, membre du Comité central, au nom 

de M. le Prof. Y . Klein (Gœttingue), président de la Commission. 
Présentation des publications de la Commission, par M. le Prof. H. Fehr, 

secrétaire-général. 
Allocution du représentant du Ministre de l'Instrucliou publique. 
Conférence de M. le Prof. Emile Borel : l'adaptation de L'enseignement 

secondaire aux progrès de la Science. 
Conférence de M. le Prof, d Ocag.ne : le râle des mathématiques dans les 

sciences de l'insénieur. 



Allocution de M. P. Appell, 

Doyen de la Faculté des Sciences, 

Président de l'Académie des Sciences et de l'Institut, 

Président d honneur de la Délégation française. 

Mesdames, Messieurs, 

La Délégation française m'a chargé de l'agréable mission 
de souhaiter la bienvenue aux nombreuses personnes, profes- 
seurs, ingénietirs et savants, venties des pays lespltis divers 
pour prendre part aux travaux de la Conférence. Nous avons 
le plaisir de réunir aiijotird liiii plus de cent cinf|iiante assis- 
tants qui sont régulièrement inscrits et qui représentent les 
pays suivants, que j'énutnère par ordre. alphabétiqtie : Alle- 
magne, Atitriche, Belgique, Espagne, Etats-L^nis, France, 
Hollande, Hongrie, lies Britanni((ues, Italie, Roumanie, Rus- 
sie. Serbie, Suède, Suisse. 



1 8G .s É A N C E (l É N É H A L E 

Je soiiliaile tout particiiiièreinenl la l)ienveiiiie aux nietn- 
hi'cs présents du Comité Central, à Messieurs Castklnuoyo, 
GnKKNHii.L, C/.UBKR, fT\i>.\M.\Ri» et à Moiisieu r FpHiH, Seerétaire- 
général, dont la compétence et le dévouement sont connus 
de tous et qui a généreusement ouvert son journal V Ensei- 
gnement Malhétnatiqae aux publications de la Conférence. 
Nous regi'ettons vivement (|ue deux membres du Comité cen- 
tral n'aient pu se rendre cà Paris. Monsieur Smith, des Etats- 
Unis, le promoteur (le lu Commission internationale de TEn- 
seignement malhématif|ue, au Congrès de Rome, a été retenu 
au dernier moment dans son pays. Plus graves sont les rai- 
sons (|ui ont empêché de venir le Président de la Commis- 
sion internationale, l'illustre professeur Klein, de Gœltingue ; 
l'état de santé de notre collègue lui interdit momentanément 
tout voyage ; je répondrai à vos sentiments à tous, en lui 
adressant les vœux de la Conférence pour son promj)t réta- 
blissement. 

Le Gouvernement de la République française (|ui, par ses 
encouragements et ses subventions, a montré tout l'intérêt 
qu'il porte aux travaux de la Conférence, s'est fait représenter 
à cette réunion par des délégués des divers Ministères que 
je suis heureux de saluer en votre nom; j'espère qu'ils pour- 
ront tirer quelque utilité de vos travaux. 

\'ous allez tout à l'heure entendre deux causeries : l'une, 
de M. Maurice d'OcAGNE, a pour sujet Le rôle des mathéma- 
tiques dans les sciences de l'ingénieur ; l'autre, de M, Emile 
BoREL, est relative à l'adaptation de l'Enseignement aux pro- 
grès de la science. Elles se rapportent précisément aux deux 
questions principales qui sont à notre ordre du jour. Nous 
devons étudier, en effet, d'abord les résultats obtenus par 
l'introduction du calcul différentiel et du calcul intégral dans 
Les classes supérieures de l'enseignement moyen ; puis, La place 
et le rôle des mathématiques dans l'enseignement technique 
supérieur. 

A la demande du Comité central, M. Beke, professeur à 
l'Université de Budapest, a bien voulu se charger du rapport 
sur la première question, et M. St.ï:ckel, professeur à l'Uni- 
versité d'Heidelberg, du rapport de la deuxième. Je remercie 



J I. A O C ITIO y I) E M .{ /> /' /■ f. I. 1 «7 

ces deux éininonls pi'olesseiii's (|iii oui eu la lourd»; lAclw de 
dépouiller les docuinenls l'ournis par les principaux pavs, 
en réponse aux deux questionnaires (jue le Comité <eiilial a 
établi dans sa réunion de juillet à Heidelhei'g. 

L'ensemble de ces docuinenls publiés par les soins de 
la Commission int(;rnalionale, constitue une (luivre uni(|ue 
en son ^enre. En cin(| ans de travail, la (Commission a i-éuni 
Irois cents lapports lormant plus de cent soixante fascicules 
ou volumes qui sont relatifs, d'une part, à tous les degrés de 
renseignement mathématique dans les Ecoles de garçons, 
comme dans celles de jeunes fdles, depuis les Ecoles j)ri- 
maii'es jusqu'aux Universités et aux gi'andes écoles ; daulre 
part, a tous les degrés mathématiques de l'Enseignement 
techni(|ue, depuis les écoles du type Arts et Métiers jusqu aux 
écoles supérieures d'Ingénieurs. Deux collections complètes 
de ces Rapports oPit été données par le Comité central à des 
établissements français : l'une à la Bibliothèque de l'Ecole 
normale supérieure, l'autre à la Bibliothèque de l'Université 
de Paris. Je lui en exprime nos vifs remerciements. 

Mesdames, Messieurs, 

Notre réunion est attristée par le deuil cruel qui a atteint 
la Commission française. Carlo Bolrlet, professeur au Con- 
servatoire des Arts et Métiers, avait mis au service de notre 
œuvre ses rares qualités d'organisateur et de professeur, sa 
connaissance approfondie de l'enseignement scientifique et 
de l'enseignement technique. Sorti de l'Ecole normale, formé 
à la discipline des mathématiques pures, il avait été peu a . 
peu entraîné par son tempérament d'action, vers les applica- 
tions des mathématiques; il avait notamment publié de nom- 
breux travaux utiles et féconds sur la théorie de la bicyclette 
et de l'automobile, sur l'étude des frottements et de la résis- 
tance de l'air. En juillet 1913, Carlo Bourlet venait de prendre 
part à la réunion du Comité central à Heidelberg. quand un 
accident, en apparence peu grave au début, l'emporta en 
quelques jours. Je vous demande la permission de terminer 
sur ce triste souvenir et je vous propose d'adresser rex[)res- 
sion de nos douloureuses condoléances à la famille de notre 
regretté collègue. 



188 SKANCE G E N E H A L E 



DiSCOUHS DE M. G. Castklmjovo. 

Professeui" à l'Univei'sité de Rotne, membre du Comité Central, parlant nu 
nom de M. le Prof. V. Klein (Gœtlingue), président de la Commission. 



Mesdames, Messieurs, 

Le Président de notre Commission, M. Klein, devait 
atijoiird'hiii parler devant vous. Malheureusement sa santé 
l'a empêché de se rendre à Paris. Il m'a prié de vouloir bien 
le remplacer. J'ai accepté non sans hésitation. (Test (ni'on 
ne parvient pas à remplacer M. Klein. Dans nos discussions 
nous ressentirons souvent l'absence de Tillustre savant (|iii 
est l'âme de notre Commission. Je suis don(' sur d'interpréter 
vos sentiments, en vous proposant d'adresser à M. Klein un 
télégramme qui lui exprime notre profond regret de ne pas 
le voir au milieu de nous et nos vœux d'apprendre de meil- 
leures nouvelles de sa santé. 

Au nom de la présidence de notre Commission, an nom 
de mes collègues, j'accomplis l'agréable devoir de présenter 
nos remerciements les plus vils aux ministères qui ont bien 
voulu se faire représenter à cette séance, à M. Darboux. 
secrétaire perpétuel de l'Académie des sciences, à M. Appell, 
doyen de la Facidté des sciences et président de l'Instiliit. à 
toutes les autorités qui ont voulu nous témoigner l'intérêt 
qu'elles portent à nos travaux. 

Vous connaissez probablement l'origine de notre Commis- 
sion. Vous savez (ju'elle a été constituée par un vœu du 
Conofrès international des mathématiciens tenu à Rome en 
1908, et que son mandat a été prolongé en 1912, à Cambridge, 
jusqu'au prochain congrès de Stockholm. Le but qu'on notis 
avait assigné d'abord était de l'aire une étude comparée des 
méthodes emplovées dans renseignement mathémati()ue 
secondaire par les diderentes nations. Mais on a jugé utile 
d'élargir ce programme et d'étendre l'enquête aux écoles 
de tous les degrés. Nos travaux ont été conduits avec un tel 
entrain que déjà plus de cent soixante fascicules ou volumes 



D/scoi'fis DE M. Cl sTi: Ly ro VO 1«9 

ont élé publiés par les Sons-commissions nationales des Etais 
(le l'Europe, de rAmérique et du Japon. Et d'autres rap|)Oils 
sont annoncés par les pays qui n'ont pas encore terminé 
leur tâche. Le problème qui s'impose maintenant; c'est de 
faire la synthèse de tous les renseignements recueillis pour 
présenter à Stockholm une vue d'ensemble de notre 
enquête. 

On a exprimé parfois des doutes sur nos intentions. On 
pensait, qu'en abusant de nos pouvoirs, nous tâcherions de 
faire triompher une tendance déterminée dans les méthodes 
d'enseignement des mathémati(|ues. .Je tiens à déclarer que 
rien n'est plus loin de nos propos. Nous n'avons ni les 
moyens, ni le désir de réformer radicalement l'instruction 
mathématique. Nous reconnaissons que chaque Elal doit 
régler, comme il croit mieux, ses écoles, en harmonisant le 
respei't de la tradition avec les exigences de la vie modei'ne. 
Mais il faut bien constater que les relations plus fréquentes 
entre les peuples, et l'analogie des conditions économiques, 
ont créé chez les différentes nations des besoins pareils 
auxquels l'instruction doit pourvoir. Il devient donc toujours 
plus nécessaire de connaître, même en matière d"inslru("tion, 
ce que font nos voisins et de profiler de leur expérience. La 
connaissance d'ailleurs n'im[)ose pas l'action, mais l'action 
serait aveugle sans la connaissance. 

Nos travaux ne se bornent pas à la publication de rapports ; 
ils consistent aussi dans les discussions que nous tenons, 
prescjue annuellement, dans nos réunions inlernalionales 
sur des sujets didactiques fixés d'avance. C'est ainsi (|ue dans 
nos réunions précédentes nous avons parlé de la rigiieiif, 
du rôle de l'intuition et de l'expérience dans l'enseignement 
secondaire et de la préparation mathématique des physi- 
ciens. 

Maintenant le Comité central a pro|)Osé à notre attention 
deux sujets dont vous verrez bien l'intérêt. Il s'agit 
d'examiner les résultais obtenus par l'introduction des 
éléments du calcul infinitésimal dans les écoles moyennes, 
et d'étudier la place et le rôle des malhémati(|nes dans la 
préparation des ingénieurs. C'est préinsément en vue de ces 



190 SEANCE C.ENEHAI.E 

thèmes que le Comité Central a choisi Paris comme siège de 
notre réunion. On a jugé en ellel que nulle part mieux qu'ici 
nous n'aurions trouvé des conditions favorables à nos 
travaux. 

De la France est partie en 1902 l'initiative d'une réforme 
organifjue de l'enseignement traditionnel des écoles 
moyennes. Le plan d'études de cette époque a introduit d'une 
manière systématique, avant les autres pays, les notions de 
dérivées et de fonctions primitives dans les programmes des 
lycées. Il est donc naturel de constater ici ce que l'expérience 
de dix ans a pu enseigner à ce sujet. 

La France d'ailleurs a consacré depuis plus d'un siècle ses 
soins les plus assidus à la préparation des ingénieurs, et a 
compris l'importanccî de ce problème en une époque où le 
développement colossal de l'industrie moderne ne pouvait 
encore être prévu. A la glorieuse Ecole polytechnique, 
d'autres Instituts ont été adjoints pour répondre aux nouveaux 
besoins qui se sont présentés. La multiplicité de ces grandes 
Ecoles et la diversité de leur organisation nous fourniront 
des sujets de comparaisons instructives. Nous devons exa- 
miner jusqu'à quel point il convient d'enseigner aux futurs 
ingénieurs les branches supérieures des mathématiques 
pures, ou s'il est préférable de donner une éducation plus 
pratique en resserrant les liens entre la science et ses 
appli('ations. 

C'est là un problème dont l'intérêt surpasse même les 
limites de notre enquête pour empiéter sur le domaine plus 
vaste de la philosophie scientifi(|ue. 

Depuis la réunion de Cambridge notre Commission a 
éprouvé deux pertes douloureuses. M. Vogt, directeur de la 
deuxième Ecole réale de St-Pétersbourg et membre de la 
délégation russe, est mort le l""^ août de l'année dernière. Il 
n'avait jamais pris part à nos réunions; mais nous apprécions 
la contribution qu'il a apporté à nos travaux par un diligent 
rapport sur les écoles réaies de son pays. 

L'autre collègue, dont nous pleurons la perte, ne manquait 
jamais à nos discussions où il portait sa parole enthousiaste 
et sa profonde connaissance des problèmes didactiques. 



m s ( O ll{ s DE M I A ST i: l..\ l' () \'(> 



191 



M. lîoLiu.KT avait pris dans noire Commission une place 
reniarfjiial)Ie dès noire pi'emière réunion de Bruxelles ; il 
avait su coiuiuéi-ir t(^ule notre estime et notre sympathie par 
ses rares qualités de res|)rit et du e(eur. Nous Pavions quitte 
à Cambridge avec l'espoir de le retrouver dans sa ville. Un 
tragique accident, en enlevant dans toute sa vigueur ce 
savant distingué, a cruellement frappé notre Commission, 
ainsi que la science et renseignement français. Au nom de 
mes collègues je prie la délégation française de vouloir bien 
accepter l'expression de notre profond regret pour la j)erle 
de ce cher collègue que nous n oublierons jamais. 

J'ai signalé la part que la délégation française a prise dans 
nos travaux. Mais le cercle des personnes qui s'intéressent 
chez vous aux problèmes de renseignement est bien plus 
large et comprend tous vos savants. On dirait que les décou- 
vertes admirables (|ue notre science doit a leur génie n'ont 
pas suffi à satisfaire l'activité de leur esprit. En suivant une 
noble tradition qui remonte à Monge et à Lagrange, ils ont 
voulu porter l'influence de leur savoir au profit des écoles. 

C'est là un grand exemple qu'ils nous donnent et même 
un encouragement précieux. 

Car nous nous demandons parfois si le temps c|ue nous 
consacrons aux questions d'enseignement n'aurait pas été 
mieux employé dans la recherche scientifique. Eh bien, nous 
répondons que c'est un devoir social qui nous force à traiter 
(;es problèmes. Il ne suffit pas, en effet, de produire la 
richesse, il laut aussi faire en sorte que sa distribution ait 
lieu sans retard et sans gaspillage. N'est-ce donc pas une 
richesse, même la plus précieuse des richesses, que celle 
(jui forme notre orgueil et qui est la source de nos jouis- 
sani-es les plus pures ? Ne devons-nous pas faciliter à nos 
semblables 1 acquisition du savoir, qui est a la fois une [)uis- 
sance et un bonheur ? 

C'est avec (;es sentiments. Messieurs, que nous commen- 
çons aujourd'hui nos travaux, avec l'assurance de pouvoir 
compter sur la sympathie de cette noble nation (jui, en toute 
épocpie, a professé la religion de la science. 



1 1)2. .s i:anc e g e n e h a le 



Présentation des Publications 

M. Fkhu, Secrétaire-général de la (Commission présente 
la série complète des piiblicalions du Comité central et des 
Soiis-commission nationales. Il annonce que la Commission 
fait liommaoe à l'Universilé de Paris de deux séries com- 
plètes Tune étant destinée à la Bibliothèque de la Sorbonne, 
laulre à l'Ecole normale supérieure. La collection comprend 
actuellement 164 fascicules et volumes renfermant un en- 
semble de près de 300 Rapports. 

La Sous-commission allemande fait en outre hommage 
d'une série de ses cinq volumes au Musée pédagogique de 
la rue d'Ulm. 



Discours ue M. G. Darboux 

Secrélaire perpétuel de 1 Académie des Sciences, 
représenl;int le Ministre de rinstrnctiou publique. 

Messieurs, 

En choisissant, pour le représenter à cette réunion d'ou- 
verture, un des deux vice-présidents de notre Conseil su|)é- 
rieur de l'Instruction publique, M. le Ministre a voulu montrer 
tout l'intérêt qu'il attache aux travaux que vous poursuivez 
en commun depuis six ans sous la haute direction de mon 
ami M. Félix Klein. Vos études se bornent exclivsivenient à 
TEnseignement mathématique, considéré il est vrai dans 
toutes ses formes et tous ses états ; mais elles embrassent 
l'ensemble des nations civilisées. Sans pénétrer longuement 
ici dans un doniaine qui m'est interdit, je puis remarquer 
(|ue les nations deviennent de plus en plus solidaires les unes 
des autres. Partout les mêmes problèmes se posent, et presque 
dans les mêmes termes, partout aussi l'on envisage à peu 
près les mêmes solutions. S'il y a entre les solutions adoptées 



I) I s c () i n s I) !■: M (, I) A II 11 () r x i ^^:^ 

ici et là (les tliirércnces, (|iii ticniKMil cxidciuinciil au <jénic 
propre de chac|iie nation, il y a plus de i-essenihlances, plus 
de points coniniuns entre elles (pion ne serait tenté de le 
supposer au premier abord. Malgré les apparences, qui sont 
ipielc|uefois contraires, les nations se rapprochent de plus en 
plus les unes des autres, elles tendent de |)lus en plus a 
ibrmer une humanité (Mvilisée, un concert des peuples dans 
le(juel ("hacun doit s'attacher à exécuter sa partie de manière 
à concourir à Iharmonie de l'ensemble et au bien de tous. 

Parmi les questions qui préoccupent aujourd'hui les hom- 
mes de science et les hommes politiques, il n'en est pas de 
plus importante que celle de renseignement. Depuis que le 
latin a cessé pi'ogressivement d'être la langue universelle, 
la langue commune aux peuples civilisés, depuis que les 
merveilleuses découvertes de la science ont transformé les 
conditions matérielles de la vie des peuples, depuis que de 
grands génies ont apporté dans tous les pays des contribu- 
tions originales au vieux fonds de la civilisation gréco- 
latine, on peut dire que partout on a senti le besoin de trans- 
former radicalement les vieux cadres rigides qui avaient servi 
pendant tant de siècles à l'enseignement. Ces modifications 
toutefois ne se sont pas faites sans de grandes résistances ,et 
c'est à grand'peine qu'on a réussi à l'aire aux sciences de tout 
ordre, à l'histoire, aux langues vivantes, à la géographie, la 
place qui devait leur revenir. 

Si vous voulez me permettre de vous rappeler un souvenir 
de ma jeunesse, je vous dirai f|u'ily a 50 ans, je siégeais dans 
une Commission à côté d'un prol'esseur de lettres distingué 
qui répondait froidement à toutes mes avances. Je réussis 
enfin à le faire parler et à en extraire cette simple parole : 
«Les sciences sont quelque chose de bien envahissant. » Ce 
simple aphorisme résume admirablement l'état d'esprit des 
anciens professeurs de l'Enseignement secondaire. Quand 
l'illustre mathématicien Hkrmite faisait vers 1840 sa seconde 
à notre Collège Henri IV, son professeur de lettres lui faisait 
un crime de s'intéresser au cours de physique, bien rudimen- 
taire pourtant, que l'on faisait alors; je n'ai pas besoin de 
vous rappeler qu'autrefois le professeur de mathématiques 



194 SÉjyCE GÉNÉRALE 

était considéré comme de classe inlérieiire, assimilé au 
prolesseur de gvmnasti(|iie ou de dessin. Dans la corres- 
pondance de Gauss et de Schumacher, nous voyons qu'un 
péilagogue de mérite voulait exclure les mathéniati(|ues de 
l'enseignement secondaire sous prétexte (|ue les mathéma- 
tiques ne contiennent aiuun élément moral. Ce à (|uoi Schu- 
macher répondait, aux apj)laudissements de Gauss, que la 
morale ne contient aucun élément malhémati(jue. Malgré les 
ré[)ugnances des pédagogues, les sciences ont su se faire leur 
place, les langues vivantes et l'histoire aussi. Mais alors se 
sont présentées les difiicultés contre lesquelles on se débat 
aujourd'hui. 

Si la matière du savoir s'élargit sans cesse, il ne [)eut en 
être de même des cadres de l'enseignement, qui ne saurait 
rester encyclopédique. 11 y a des nécessités inéUictahles, 
l'enfant grandit et devient homme, il ne |)eut rester indéfini- 
ment sur les bancs du Collège. Son intellio-ence est limitée 
et ne lui permet de s'assimiler qu'une certaine dose desavoir. 
Il a donc fallu de toute nécessité songer a ci-éer dilléreiils 
types d'enseignement, il a fallu faire en sorte que chacun de 
ces types répondît à cette condition, qui contient toute la 
formule de l'enseignement secondaire : faire de l'enfant un 
homme en état d'aborder avec les moyens nécessaires toutes 
les (liflicullés et toutes les tâches de la vie à la((uelle il est 
destiné, capable surtout, à l'aide des notions accpiises, de 
continuer à recevoir des hommes et des choses cpii l'entou- 
rent cet enseignement et ce iléveloppement qui ne doivent 
finir qu'avec son dernier jour. La solution d'un tel problème 
ne saurait être facile, même s'il s'agit d'un enfant riche, d'un 
fils de prince si l'on veut, auquel on peut donner les meil- 
leurs précepteurs. Mais elle rencontre des difficultés infini- 
ment plus graves lors(ju'on doit la re('hei'cher pour tous les 
enfants tl une même classe ou d Une même communauté. Ces 
difficultés s'accToissent encoie si l'on veut soumettre à des 
programmes uniformes tous les enfants d'une même nation. 
On est allé autrefois, surtout en France, jusqu'à vouloir leur 
imposer, dans le détail, des exercices uniformes, et l'on cite 
volontiers cette parole d'un de nos anciens ministres de 



hl se (> lli s DE M. C, . I) A H liOV X 195 

rinstriiction |)iihlic|ue. regardant la pendule de son cabinet 
et disant : «A eette lieure. dans tonte la France, on compose 
en version gi-ecque et sur le même texte. « 

En l^'i-nue, la première tentative (jui a été (aile pour 
constituer des types diOerents dans renseignement secon- 
daire remonte au commencement du second empire et est 
connue sous le nom île bifurcation. I^endant ciiuj ans les 
enfants suivaient les mêmes études, puis; pendant les rpiatre 
dei'nières années, les uns laisaient du latin et des sciences, 
les autres approfondissaient létude du grec et du lalin. Il v 
avait des classes communes aux deux sections de l'enseifirne- 
ment. Ce système n'a pas réusei, il est inutile et il serait 
tro|) long de rechercher ici pour quelles raisons ; mais, après 
un essai malheureux d'enseignement encyclo[)édi(|iie, on a 
dû reconnaîtL'e la nécessité de constituer des tvpes distincts 
d'enseignement secondaire. En 1899, notre Chambre des 
Députés, qui a toujours compris l'importancre des cjuestions 
d'enseignement, nomma une granxl-e commission, en lui 
donnant pour mission d'opérer la réforme de l'enseignement 
secondaire, qui était réclamée de tous côtés. 

Celte commission, présidée par M. A. Ribot, ouvrit une 
enquête des [)lus sérieuses et des plus étendues. Ses travaux 
ont été publiés et forment cinc] volumes qui constitueront à 
l'avenir un document essentiel pour l'étude de l'édiu'ation 
dans tous les pays. Elle a entendu plus de 200 personnes, a 
consulté les Chambres de commerce, les Conseils généraux, 
et, à la suite de celte enquête, des modilications profondes 
ont été établies en 1902, dans le régime de nos établissements 
d'enseignement secondaire. 

Voici létal actuel : 

\Jn premier cycle, d'une durée de quatre ans, comprend 
deux divisions : l'une A dans laquelle on fait du latin; l'autre 
B dans latjuelle on le laisse de côté en donnant plus de temps 
a l'étude des sciences et des langues vivantes. 

he second cycle, d'une durée de ti-ois ans, com[)ren(l quatre 
divisions : 

A. Grec, latin. — B. Latin, langues vivantes. — C. Latin, 
sciences. — D. Sciences, langues vivantes. 



r.»6 



N A" . / A^ C E V, EN EH A I. E 



C'est dans les deux dernières sections c|iie la place prépon- 
déi'anle a été accordée aux Sciences. On leur consacre J i et 
12 heures par semaine dans les deux premières années et 18 
heures pendant la troisième. 

Cette réforme de 1902 a été beaucoup attaquée. On l'a com- 
battue surtout en lui reprochant dafl'aiblir les études litté- 
raires, et ce reproche était certainement de nature à toucher 
plusieurs de mes compatriotes cjui se souviennent volontiers 
de leur origine latine et attachent avec raison un grand prix 
aux études classiques. Mais il ne semble pas que le principe 
de la réforme ait été sérieusement contesté. La majorité des 
contradicteurs est toute disposée à conserver différents types 
d'enseignement, sauf à reléguer certains de ces types dans 
une classe inférieure et à leur retirer, ce qui me paraît inad- 
missible, les sanctions qui leur sont accordées actuellement 
en vue de Tentrée dans les carrières libérales et dans l'en- 
seignement supérieur. 

Le mieux serait, à mon avis, de ne plus contesterla légiti- 
mité d'une réforme qui s'imposait réellement et de s'attacher 
au contraire, par des études méthodiques et précises, à cons- 
tituer sui- des bases solides chacune des différentes sections 
de Tenseio-nement, en s'efforcant de donner une satisfaction 
aussi complète cjue possible aux besoins en vue desquels 
(chacun de ces tvpes a été établi. Un grand progrès serait 
aussi réalisé, il me semble, si, partout où cela sera possible. 
on se o-ardait de réunir et de mêler dans un même établisse 
ment les différentes sections entre lesquelles l'enseignement 
est partagé. 

Cette élude approfondie des programmes de l'enseigne- 
ment est une tâche bien vaste et bien digne de tenter tous 
ceux qui s'intéressent à la cause sacrée de l'enseignement ; 
vous l'avez entreprise, en vous limitant à l'objet pour lequel 
vous êtes particulièrement compétents : je veux parler des 
mathématiques, qui sont aujourd'hui en grande faveur, plus 
peut-être que ne le voudraient les mathématiciens de profes- 
sion. Les physiciens, les philosophes, les médecins, les lettrés 
eux-mêmes, font appel à notre concours. Nous nous deman- 
dons quelquefois avec inquiétude d'où viennent tous ces adhé- 



ni se ou us de m. a. daruoux 197 

rents « qu'en notre sein nous n'avons pas portés». J'ajoute, 
pour employer une expression banale, (jue nous sommes a 
un tournant de notre histoire. Après deux niilU; ans, le vieil 
Euclide a pertlu une partie de sa vertu, tous les cadres de notre 
enseignement sont brisés ou sont à la veille de l'être. Pour- 
rons-nous les reconstituer, j'en doute fort. En tous cas, ils 
n'aui'ont ni la solidité, ni la durée de ceux qu'ils sont appelés 
à remplacer. Dans cette période nouvelle, où tout sera en per- 
l)étuel devenir, il faudra les surveiller, les modifier au besoin, 
les adapter aussi aux tins diverses et si variées qu'on nous 
impose de tous côtés et à chaque instant. 

Cette tâche si belle et si dillicile, vous la poursuivez avec 
une persévérance et un esprit de suite que l'on doit admirer. 

En vous souhaitant la bienvenue au nom du Ministre et en 
vous invitant à commencer sans retard vos travaux, j'ose 
soumettre à votre attention nos programmes de 1902 aux- 
(juels j'ai eu l'honneur de collaborer. 

En discutant la question A qui fera l'objet de vos délibéra- 
tions, vous pourrez reconnaître que ces programmes, déjà 
vieux de douze ans, ont réalisé quelques-unes des réformes 
dont vous allez vous occuper. 

Sans entrer dans le détail, on peut indiquer les points qui 
sont acquis en mathématiques depuis notre réforme de 1902; 
ce sont : 

1'^ l'introduction dans l'enseignement élémentaire du Calcul 
des dérivées et même de notions de Calcul intégral; 

2° l'emploi s\'stématique dans la géométrie des méthodes 
de transformation qui simplifient l'étude et apportent un prin- 
cipe de classification; 

3" le développement donné aux applications qui sont posées 
par la pratique, à l'exclusion de ces problèmes qui n'ont 
aucune racine dans la réalité ; 

4° le développement aussi complet que possible de l'ini- 
tiative personnelle chez tous les élèves qui prennent part à 
l'enseignement et une préoccupation incessante d'une bonne 
formation de l'esprit. 



L'Enseignement iiiathéni., 10" annt'C ; 1914. 



198 SEANCE GENERALE 



L'ADAPTATION DE L'ENSEIGNEMENT SECONDAIRE 
AUX PROGRÈS DE LA SCIENCE 

COMÉHENGE DE M. Emile BOREL. 

Professeur à la Facullii des Sciences de Paris. 
Sous-directeur de lEcole normale supérieure. 

Messieurs, 

Le public s'intéresse généralement assez peu aux pro- 
grammes et aux méthodes de l'enseignement primaire, de 
l'enseignement technique ou professionnel, de l'enseigne- 
ment supérieur; il pense, avec raison, que c'est là surtout 
TafTaire des spécialistes, et il s'en remet à eux avec confiance : 
il ne se passionne que sur certains points, qui touchent à la 
religion ou à la politique, à l'influence plus ou moins directe 
de l'Etat ou de certaines associations confessionnelles sur 
lorganisation de lenseiornement. 

11 n'en est pas de même dès qu'il s'agit de l'enseignement 
secondaire; les programmes en sont souvent discutés, non 
seulement dans les Revues, mais dans les journaux quoti- 
diens; chacun s'y intéresse et formule volontiers son avis. 
Les professeurs eux-mêmes ne se désintéressent pas des 
parties de l'enseignement qui ne les concernent pas direc- 
tement; tandis qu'un professeur de grec, dans une Univer- 
sité, serait fort étonué qu'on lui demandât son avis sur le.s 
cours de mathématiques, ou un professeur de mathématiques 
sur les cours de grec, chacun d'eux a une opinion motivée 
sur la place que les langues anciennes et les sciences doivent 
occuper dans l'enseignement secondaire. Il est naturel qu'il 
en soit ainsi, pour plusieurs raisons, dont la principale est 
peut-être l'unité du but de l'enseignement secondaire ', 



' Pour prévenir tout mnlentendii, je précise qu'il s'agit ici de l'enseignement secondair» 
français, se terminant avec le hacciilaurénf. Dans plusieurs pays, la première annre d'univer- 
sité, parfois même les deux ou trois premières années, correspondent assez exactement aux 
dernières années d'enseignement secondaire français. Pour des raisons aisées à deviner, 
l'enseignement secondaire est bien plus divers, dans les différents pays, que ne le sont 
l'enseignement supérieur proprement dit, l'enseignement primaire, les enseignements 
techniques et professionnels. 



coM-KnEycE nie m. E HOIU.I. 1'.»9 

unité bien mar(|iiëe par le beau nom iVliumaiiités qu'on lui 
donne souvent et qu'il doit chercher à justifier. Il s'agit avant 
tout de l'oriner des hommes cultivés, possédant cette «cul- 
ture générale » si diflicile à définir dogmatiquement, mais 
dont l'idée est cependant fort claire. Les connaissances 
précises ne sont pas regardées comme une fin en soi, mais 
conune un moyen de contribuer à cette culture commune à 
tous les hommes qui aspirent à diriger en quelcpie mesure 
l'efFort des autres hommes. Cette conception de l'enseigne- 
ment secondaire a été très discutée et l'on est allé jusqu'à 
contester le droit même à l'existence d'un tel enseignement; 
on prétend que dans la société moderne il n'y a plus de place 
pour cette culture générale, que la vie est décidément trop 
courte pour qu'on perde plusieurs années à acquérir des 
connaissances qui ne seront pas directement utiles. Nous 
n'avons pas à discuter ici cette conception strictement utili- 
taire ; nous n'avons pas non plus à rechercher dans'quelle 
mesure l'évolution politique et sociale peut modifier l'orga- 
nisation de l'enseignement secondaire et le recrutement de 
ses élèves ; nous constatons simplement l'existence de l'ensei- 
gnement secondaire comme un fait social actuel. 

11 semble bien d'ailleurs que la complexité croissante de la 
vie et des relations internationales rendra de plus en plus 
nécessaires les hommes dont le rôle est de coordonner les 
efforts dispersés de la masse des travailleurs manuels. Qu'une 
culture commune soit indispensable pour cette coordination, 
c'est ce qu'il parait difficile de contester. 



L'enseignement secondaire ne peut évoluer que très len- 
tement. 

La culture générale ne peut être définie que par l'opinion 
commune des hommes qui sont regardés comme cultivés ; 
ces hommes ont été formés par l'enseignement secondaire de 
leur époque; bien rares sont ceux qui ne regardent pas 
comme excellente la culture qu'ont reçue les meilleurs 
d'entre eux ; seuls, de très rares esprits conservent la jeu- 



•200 .s i: ANC E a E y era le 

nesse iiilellectiielle (|iii a permis à M. Lavisse, dans des 
souvenirs |)arus Tannée de son jubilé, de criticjuer la culture 
(jui, cin(|uante ans auparavant, avait fait de lui un des plus 
brillants élèves de TEcole Normale. 

Les tendances conservatrices de la génération précédente 
d'écoliers ne se manifestent pas seulement dans la presse et 
dans ro[)inion ; à cette génération appartiennent deux caté- 
gories de personnes dont l'influence sur l'enseignement est 
considérable : la plupart des parents d'élèves et les profes- 
seurs même de l'enseignement secondaire '. 

La lenteur de l'évolution de l'enseignement secondaire a 
des raisons plus profondes encore et plus sérieuses. On 
enseigne rarement très bien ce que l'on n'a pas appris soi- 
même comme élève ; la perfection d'un enseignement est le 
résultat d'expériences successives d'un grand nombre de 
maîtres. Un professeur improvisé, si intelligent et si dévoué 
qu'on le suppose, ne peut suppléer à cette tradition et 
construire à lui seul cette chose si complexe qu'est un ensei- 
gnement secondaire cohérent; de même que les plus habiles 
constructeurs, livrés aux seules ressources de la théorie, 
lanceraient des bateaux peu stables et naviguant mal, s'ils 
n'étaient pas constamment guidés par les types anciens. 

Si l'on admet d'ailleurs, comme beaucoup d'excellents 
maîtres, que dans l'enseignement secondaire la matière 
importe moins que la forme, que l'essentiel est de former 
l'esprit à l'occasion de connaissances précises, bien plus que 
d'acquérir ces connaissances, on sera porté à voir plus 



* C'est à Paris que cette double influence est la plus forte et la plus conservatrice; d'une 
])art, en moyenne, les parenis des élèves des lycées de Paris renferment une plus forte 
proportion de personnes ayant fait dans leur jeunesse des études secondaires qun les parents 
des élèves des lycées et collèges moins importants ; d'autre part, les professeurs des lycées 
de Paris sont en moyenne, plus âgés que les professeurs des lycées des déparlements, puisque 
la nomination à Paris ne se fait qu'après un stage plus ou moins long en province. 

J'ai été témoin récemment d'un exemple typique d'une des nombreuses formes sous les- 
quelles s'exerce l'action conservatrice des parents d'élèves. Il s'agissait d'une modification 
dans la terminologie grammaticale dont le détail importe peu ; une mère d'élève expliquait 
qu'elle n'avait i)U se résoudre à apprendre cette terminologie nouvelle, mais que son fils avait 
appris facilement la correspondance entre la terminologie nouvelle et la terminologie ancienne 
connue par sa mère et avait pris l'habitude de lui demander, dans les cas subtils qui font le 
désespoir des écoliers : " Dis-moi, maman, comment cela s'appelait-il de ton temps ? Je 
saurai bien ce qu'il faut mettre aujourd'hui «. Cette mère excellente annihilait donc l'elforl fait 
I)ar le professeur de son fils pour améliorer son enseignement. (J'ignore, bien entendu, si le 
professeur avait tort ou raison dans son « amélioration.) u 



(ONFEHENC E DE M E. H OH El. 201 

(Tavanta^^es (|iie criiicoiivénients à (•olte l(Miteiir <Je révolution. 
Il s'agit de former des hommes; poiirfjiioi les « humanités » 
évolueraient-elles plus vile (|ue l'homme lui-même .' El 
sommes-nous si différents de nos grands-pères ? Ce qui était 
bon pour eux ne vaut-il pas vraisemblablement mieux (|ue 
des innovations dont le succès est douteux ? 

Ces arguments sont très forts et suflisenl à justifiei- ro|)po- 
sition que rencontre tout [)rojet de changement dans les 
programmes de renseignement secondaire. Il ne faut pas 
hésiter à reconnaître que ces changements doivent être faits 
avec beaucoup de prudence; toute modification trop brus(|ue 
ou trop considérable ris(jue d'èti-e fâcheuse pendant \\\\ 
temps assez long; on peut même allirmer d'une manièi'e 
pres(|ue absolue (|ue toute modification est tout d'abord nui- 
sible et, pendant la [)éiiode tl'adaptation, entraîne plus 
d'inconvénients que d'avantages. 



Personne cependant ne pense cpie renseignement secon- 
daire doive être immuable. En France, les partisans les plus 
intransio-eants de la tradition et de la culture oréco-latine 
désirent que les auteurs français du XVll'' siècle aient leur 
place à côté des auteurs grecs et des auteurs latins ; voilà 
donc une partie considérable des programmes littéraires qui 
a dû être modifiée en moins de deux siècles, car ce n est pas 
avant la mort de Louis XIV que Ton pouvait songer à 
regarder son règne comme classique. 

Les modifications sont plus rapides encore pour l'ensei- 
gnement de l'histoire, de la géographie, des sciences expé- 
rimentales ; revenir aux programmes d'il y a seulement cent 
ans apparaîtrait comme une absurdité. Il arrive même, pour 
les sciences qui sont en relation avec les applications indus- 
trielles, que le public, au lieu de tendre à retarder l'évolu- 
tion, trouverait volontiers qu'elle n'est pas assez rapide; 
cela tient à ce que la vie quotidienne montre à chacun de 
nous les lacunes de la culture (ju'il a ac(juise sur les bancs 
du lycée, les applications industrielles se mêlant chac|ue jour 



202 N E A y C E G E y E II A 1. E 

davantage à notre existence. Il y aurait beaucoup à dire sur 
cette adaptation progressive des enseignements divers aux 
progrès des sciences et à l'évolution des so(;iétés humaines; 
mais le phénomène le plus intéressant et le plus curieux, 
que je veux me borner à étudier aujourd'hui, c'est la stabi- 
lité extraordinaire de renseignement des mathéniali(|ues. 



Aux raisons générales signalées plus haut de la lenteur de 
l'évolution de tout enseignement secondaire, on peut en 
ajouter de spéciales à l'enseignement secondaire des mathé- 
matiques. Les mathématiques sont de beaucoup la plus 
ancienne des sciences ; les Eléments d'Euclide remontent à 
près de vingt-cinq siècles ; les parties élémentaires de la 
géométrie et de l'arithmétique ont acquis depuis longtemps 
un degré de perfection logique qui ne peut pas être dépassé; 
si le but principal de l'enseignement de ces éléments est 
d'habituer les élèves à la rigueur des raisonnements, il est 
complètement inutile de rechercher des modèles meilleurs : 
c'est sans doute pour cela qu'on utilise encore parfois, notam- 
ment en Angleterre, les traductions même d'Euclide pour 
enseigner la géométrie. Cet exemple n'est pas le seul que 
l'on pourrait donner des tendances conservatrices de rensei- 
gnement mathématique. 

Il n'est pas douteux qu'en mathématiques, comme pour les 
autres disciplines, le rôle éducatif d'un enseignement dépend 
surtout de ses traditions ; tout bouleversement est donc tout 
dabord nuisible. Dans l'ordonnance des matières, dans le 
choix des exercices, dans les réponses à faire par le profes- 
seur aux objections plus ou moins cons(denles des élèves, 
l'expérience de plusieurs générations guide à chaque instant. 
Lors(|u'un enseignement est entièrement nouveau, lorsque 
même un enseignement s'adresse pour la première fois à des 
élèves relativement plus jeunes, toute cette tradition est à 
créer; chaque professeur ne peut plus compter que sur sa 
propre expérience, et l'expérience d'un seul homme est bien 
peu de chose au regard de l'expérience de plusieurs siècles 



C N F !■: H E N C E I) E M . E . li O H E I. 20:$ 

de [)roresseiirs. En siij)|)osaiit même qu'il n'y ;nl cIk;/ les 
maîtres jeunes on vieux aucun parti pris contre ies innova- 
tions, qu'il ne se produise aucun découragement prématuré 
à la suite d'essais ayant médiocrement réussi pour des rai- 
sons peut-être fortuites, il n'est pas jiossible d'espérer (|ue 
l'enseignement nouveau atteigne vite le même degré de per- 
fection cjue les enseignements anciens dont il prend la place. 
Dans les circonstances les [)lus favorables, il faut comj)tei'au 
moins une génération pour (pie ce degré de perfection soit 
atteint, lors(|u'il s'agit d'innovations de quelque imporlan(;e; 
il faut en effet que la majorité du corps enseignant soit 
renouvelée, car il est généralement très difficile d'adapter 
à de jeunes élèves un enseignement que l'on n'a pas reçu 
soi-même à leur âge. 

On est tenté, dès lors, de se demander s'il vaut la peine de 
s'occuper des programmes de mathématiques de l'enseigne- 
ment secondaire. Si cet enseignement a pour but la forma- 
tion de l'esprit et non l'acquisition de connaissances précises 
et si ce but est atteint d'une manière à peu près parfaite par 
les programmes traditionnels, pourquoi modifier ces pro- 
grammes, puisque l'on est certain (jue tout changement 
produira une petite crise ? Je voudrais indiquer brièvement 
pourquoi cette attitude ne me paraît pas acceptable. 



Tout d'abord, pour une raison de fait. Il n'est pas possible 
de conserver intangible une portion d'un organisme dont 
toutes les autres portions se transforment. Or les humanités 
littéraires et scientifiques forment un tout; on ne doit pas 
envisager séparément les divers programmes spéciaux, 
puisque le but de l'enseignement est un, la formation de 
l'homme cultivé. Les mathématiques ne peuvent donc rester 
la seule partie immuable dans un enseignement où tout se 
transforme ; les nécessités même des enseignements voisins 
imposent des modifications dont il serait facile de donner des 
exemples. 

De plus, et ceci est peut-être plus important encore, ce ne 



20 'i > K A X C E G K N E H A A, K 

serait pas sans danger qu'un enseignement se séparerait de 
plus en plus de la vie et de la réalité. Les applications des 
sciences pénètrent chaque jour davantage notre existence ; 
nous nous servons quotidiennement d'une bicyclette, nous 
voyons constamment dans les journaux dos graphiques, nous 
construisons, chaque fois qu'un des nôtres est malade, des 
courbes de température. Si l'enseignement des mathéma- 
tiques se rattache à de tels objets familiers, il risquera bien 
davantage d'intéresser, il échappera surtout à la mortelle 
scolastique. Quand un enseignement est trop scolastique, il 
dégoûte un grand nombre d'élèves et déforme plutôt qu'il 
ne forme l'esprit d'une partie des autres; il n'est pas certain 
que l'enseignement des mathématiques ait toujours su éviter 
cet écueil. 

Lorsque l'on parle de rapprocher l'enseignement des 
mathématiques de la réalité, certains croient ou feignent de 
croire qu'il s'agit simplement de bêtifier en disant rond au 
lieu de cercle, boule au lieu de sphère, pain de sucre au lieu 
de cône, etc. Ils oublient c[ue l'enseignement des mathéma- 
tiques ne peut avoir toute sa valeur éducative que s'il apprend 
à éviter ce sophisme trop fréquent qui consiste à croire que 
les difficultés réelles peuvent être résolues au moyen de 
simples définitions de mots, sans qu'il soit nécessaire de véri- 
fier la cohérence de ces définitions avec le vocabulaire vul- 
gaire. L'enfanta une idée concrète du cercle ou delà sphère; 
d'autre part, le géomètre en donne une définition abstraite, 
sur laquelle il basera ses raisonnements ; le sophisme consiste 
à admettre sans examen, simplement parce que le mot em- 
ployé est le même, que la sphère concrète du bon sens et la 
sphère abstraite du géomètre sont exactement la même chose. 
Il faut donc confronter à chaque instant les définitions avec 
les réalités, afin de constater l'accord — au moins approxi- 
matif — entre la langue artificielle créée par les mathémati- 
ciens et la langue vulgaire à laquelle l'élève est habitué. 



Le développement scientifique admirable du xviii" siècle, 
qui a eu comme conséquence le développement industriel du 



( o.\Fi: H i: y c i: ni: m i: . h 0111:1. 205 

XIX'", peut être rattaché à quatre grands noms : (jalilée, iJcs- 
cartes, Newton et Leibniz. Grâce à la géométrie analytique et 
au calcul difTérentiei, les problèmes mécaniques ont pu être 
traités jus(|u\'ui bout, sur des principes bien établis. C'est 
peut-être là le fait le plus important de l'histoire de Thuma- 
iiité ; c'est grâce à la prédominance industrielle ainsi acquise 
(jue l'homme a conquis et organisé le globe. Dans l'ordre 
matériel il n'est pas un objet et dans l'ordre moral il n'est pas 
une de nos pensées sur lesquels on ne puisse reconnaître 
l'influence de la révolution scientifique du xvii" siècle. Sans 
les principes de la mécanique, la géométi-ie analytique et le 
calcul difl'érentiel, rien n'existerait de ce qui constitue la civi- 
lisation moderne. Il n'est pas une branche de i'activitéhumaine 
sur laquelle l'influence du génie de Galilée, de Descartes, de 
>»e\vton, de Leibniz, n'ait été considérable; je me trompe, il 
y en a une qui a échappé à cette influence et qui est restée 
immuable : c'est l'organisation de l'enseignement secondaire 
des mathématiques. C'est seulement en 1902 qu'un essai 
modeste a été lait dans les programmes français, par des 
hommes qui jugeaient deux siècles un délai suffisant poui- 
que les idées « neuves » aient fait leurs preuves et puissent 
être sans danger exposées à la jeunesse. Cette innovation a 
paru scandaleuse à beaucoup et aujourd'hui encore on dis- 
iiite sur elle. Ces discussions, auxquelles seront consacrées 
une partie des séances de ce Congrès, ne peuvent qu'être 
profitables, car tout nouvel enseignement est difficile à créer; 
c'est seulement en mettant en commun l'expérience de beau- 
coup de maîtres ([ue l'on peut espérer abréger un peu le délai 
pendant lequel l'innovation, faute d'une suffisante adaptation, 
présente des inconvénients réels. Je ne veux point anticiper 
ici sur ces discussions, dont on peut être assuré, par le nom- 
bre et la compétence des congressistes, qu'elles seront 
sérieuses et fécondes ; je voudrais seulement essayer de 
répondre à quelques objections a priori que j'ai souvent 
entendu formuler contre toute innovation dans les program- 
mes mathémati(jues. Ces objections ont pour point de départ 
principal la représentation que l'on se fait souvent de la 
science mathématique comine une série linéaire, ou un petit 



206 . >■ E AN CE G K N E li A L E 

nombre de séries linéaires dans chaciiiie desquelles Tordre 
rigoureux des antécédents et des <;onsécjueiits ne peut pas 
être modifié. Lorsqu'on accepte cette représentation, il est 
clair que l'on ne peut introduire une matière nouvelle c|u'en 
conservant toutes celles qui précèdent dans le développement 
logique de la science ; à moins d'enfler démesurément les 
progianimes, on ne pourra donc que très diflicilement y intro- 
duire des idées neuves. En particulier, on s'esthabitué à qua- 
lifier certaines portions de mathématiques de suj)érieures, 
par opposition aux élémentaires ; de ce nombre sont le calcul 
différentiel et le calcul intégral, dont le nom seul inspire 
quelque effroi aux profanes; il est donc absurde, dit-on, de 
vouloir enseigner ces matières supérieures, dont fait partie 
aussi la géométrie anal\'tique, à ceux c|ui ne connaissent pas 
parfaitement les mathématiques dites élémentaires. On éton- 
nerait beaucoup de nos contemporains, qui ont été dans leurs 
classes mathématiques des élèves plus ou moins médiocres, 
en leur apprenant qu'en regardant des graphiques comme les 
journaux quotidiens en publient souvent, ils font de la géo- 
métrie analytique sans le savoir; parfois même, en discutant 
sur la rapidité plus ou moins grande des oscillations de ces 
graphiques et sur les conséquences qu'on peut en tirer, ils 
font, sans le savoir, du calcul différentiel et du calcul inté- 
gral. Ces disciplines redoutées sont, au moins dans leurs 
éléments, bien plus près des simples notions de calcul qu'on 
acquiert à l'école primaire, que de nombreuses considéra- 
tions sur les volumes des corps ronds, ou sur les équations 
du second degré, ou même que les calculs sur les fractions 
ordinaires * et bien d'autres questions, qui sont le cauchemar 
des écoliers et que les quatre-vingt-dix-neuf centièmes d'entre 
eux s'empressent d'oublier sitôt les examens passés. 

Les véritables éléments des mathématiques, dont on ne 



' La place excessive occupée dans l'enseignement de l'arithmétique par la théorie des 
fractions ordinaires est une survivance de l'époque où le système métrique n'était pas devenu 
usuel, comme il l'est aujourd'hui dans les pays civilisés, à une exception près. La vulgarisa- 
tion du système métrique doit avoir comme conséquence la substitution générale des fractions 
décimales aux fractions ordinaires et par suite une simplification de l'enseignement de l'arith- 
métique, les opérations sur les nombres décimaux devant être enseignées directement, comme 
une simple généralisation des opérations sur les nombres entiers. Les fractions ordinaires 
sont intéressantes pour le mathématicien, c'est vrai ; mais les fractions continues ne le sont 
pas moins, et on ne les met pas cependant dans les programmes élémentaires. 



C().\ FÉR E NC i: 1)1. M E. H OU El. 207 

peut pas se [)asser pour aller j)lus loin, se réduisent à Irc-s 
peu de chose ; aux notions d'arithmétique et de géométrie 
nécessaii'es pour conipi-endre et appliquer le système métri- 
que S il sullit de joindre les princij)es de la notation algé- 
hri(|ue pour avoir une base solide à partir de lacpielle on peut 
étudier les mathématiques dans des directions variées, sans 
(|u\in ordre de matières particulier soit imposé autrement 
(juc par la tradition et les usages. Si les traditions n'existaient 
|)as, on pourrait se proposer d'organiser de toutes pièces un 
enseignement mathématicjue adapté aux besoins actuels de la 
science etde l industrie; la mécanifjuey tiendrait une grande 
place, et les autres disciplines lui seraient subordonnées. 11 
serait très intéressant de tenter une telle organisation dans un 
pays en voie de développement rapide; il est probable qu'aj)rès 
une courte période de tâtonnements, les avantages seraient 
considérables. Mais dans les pays où l'enseignement secon- 
daire est fortement organisé depuis longtemps, il ne peut être 
question d'aussi grands bouleversements, aux dépens de 
toute une génération d'écoliers; pour les raisons déjà dites, 
les changements doivent être lents; mais peut-être n'est-il 
pas excessif de penser qu'il est aussi absurde pour le profes- 
seur de mathématiques de l'enseignement secondaire de 
paraître ignorer Galilée, Descartes, Newton et Leibniz qu il 
léserait pour le professeur de chimie d'ignorer Lavoisier. ou 
pour le professeur d'histoire de négliger la Révolution fran- 
çaise. L'enseignement des mathématiques se trouverait ainsi 
moins mal coordonné avec les autres enseignements scienti- 
fiques ; il serait surtout mieux coordonné avec les réalités et 
il intéresserait sans doute un bien plus grand nombre d'élè- 
ves. On verrait s'atténuer cette disproportion vraiment para- 
doxale entre la place que les mathématiques ont dans la vie 
des sociétés modernes et l'intérêt qu'y portent un très grand 



■ Certaines personnes u cultivées •> ont sur ces notions une ignorance grossière conduisant 
partois à des absurdités curieuses. Dernièrement, à la première page d'un grand journal du 
matin, un titre en gros caractères indiquait que le prix du pavage en caoutchouc était de 
trois francs le centimètre carré ; lorsqu'on lisait l'article, on s'apercevait que son auteur l'avait 
écrit d'après un article anglais oii était donné le prix de cent francs (ou de i livres, je pensel 
le pied carré. Le journaliste français s'était informé; un pied, c'est trente centimètres ; donc 
un pied carré, c'est trente centimètres carrés, d'où ce prix de 3 francs lau lieu de 10 centimes 
environ que l'on trouve quand on tient compte des 30 X 30 ^ 900 centimètres carrés que 
renferme un carré de 30 centimètres de côtél. 



208 S I-: A y c E G i: y i: h a le 

nombre de oeiix (\\\\ tlirigenl ces sociétés. C'est (iiTau foiui 
les mathéinatif|iies enseignées dans nos lycées ne sont guère 
(luiine relique scolastique; ce sont tfautres mathématiques 
(|ui régissent le monde; ces mathématiques-là, il n'est donné 
qu'à un très petit nombre d'en admirer pleinement toute la 
superbe complexité; mais tout homme cultivé devrait savoir 
du moins qu'elles existent et ne j)as imaginer les mathéma- 
ticiens comme des mania(|ues passant leurs nuits à extraire 
des racines cubif|ues ou même des racines cinquièmes, 
tels les trop célèbres chevaux d'Elberlèld. 



On peut se demander si l'adaptation de l'enseignement 
secondaire aux progrès des sciences n'est pas dangereuse en 
ce qu'elle ne saurait jamais être terminée; dès qu'on aban- 
donne la sage immuabilité. on peut se trouver entraîner à 
des (diano-ements constants, dont les inconvénients sont 
manifestes. Il est nécessaire, en effet, que l'adaptation soit 
prudente et progressive ; de même que les programmes litté- 
raires n'admettent les auteurs modernes qu'un certain laps 
de temps après leur consécration par les contemporains, de 
même les programmes scientifiques doivent se garder des 
modes passagères, du défaut de perspective trop fréquent qui 
nous fait regarder comme particulièrement importante la der- 
nière découverte faite sous nos yeux. Le but de l'enseigne- 
ment secondaire scientifuiue n'est pas de préparer les élèves 
à comprendre et à perfectionner les aéroplanes, la télégra- 
phie sans fil, ou la cinématographie en couleurs ; mais les plus 
prudents devrontse montrer satisfaits si, pour donnera l'ensei- 
gnement mathémati(|ue, base de l'enseignement scientifique, 
une stabilité particulière, on évalue à un siècle le délai après 
lequel les travaux importants pour la scienc^e n'y seront pas 
regardés comme inexistants. Or, il y a plus de deux siècles 
que les principes de la mécanique, la géométrie analytique, 
le calcul différentiel subissent victorieusement l'épreuve du 
temps; ce ne sont pas là des fantaisies passagères, c'est la 
substance même de tout notre effort scientifique, (^est seu- 



(ON F i: li E .\ ( ' I: n i: m . i: . i; o it i: i. io'.» 

lenienl lorsque ces doctrines essenliellcs auront |)ris la phuc 
(lu'elle doivent occuper, que notre enseignement scientifitjuc 
secondaire sera véritablement éducalifcl moderne. 



Reste une objec'tion souvent l'aile <7 priori, et à lacjuelle on 
ne pourrait répondre par des laits qu'après une très longue 
expérience. N'est-il pas à craindre que les matières nouvel- 
les, insuflisamment adaptées, soient moins propices que les 
anciennes à la culture générale ? C'est l'objection déjà signalée 
contre tous les changements ; nous avons dit pour(|uoi elle 
contient une part de vérité. Tout changement de programmes 
doit nécessairement échouer, ou du moins avoir les appa- 
rences d'échouer, |)ar la simple raison (jue la masse des pro- 
fesseurs ne peut arriver du premier couj) a une technique 
pédagogic|ue aussi bonne pour les matières nouvelles que la 
technique traditionnelle l'était pour les anciennes. Mais la 
contre-partie de cette constatation pessimiste n'est pas moins 
exacte : s'il est vrai que l'essentiel dans l'enseignement secon- 
daire est moins le programme que la méthode, tout change- 
ment de programmes doit en définitive donner de bons 
résultats, après que l'on aura su créer les méthodes appro- 
priées aux matières nouvelles. Il serait trop paradoxal de 
soutenir que ces méthodes n'existent peut-être pas et qu'il 
est dans la nature de certaines disciplines d'être moins édu- 
(^atives, précisément parce qu'elles sont plus parfaites. C est 
ainsi cependant qu'on a souvent opposé l'arithmétique a 
l'algèbre et essayé de proscrire artificiellement l'emploi de 
la notation algébrique, même dans les cas oîi cet emploi sim- 
plifie notablement l'effort. On insiste parfois sur le fait (|ue 
cette simplification de l'effort est précisément nuisible, l'etfort 
étant bon et non le résultat. C'est à peu près comme si l'on 
j)rétendait qu'il vaut mieux ne pas apprendre la multiplica- 
tion à un enfant afin que s'il désire savoir combien coûtent 
125 objets à 3 fr. 75 chacun, il soit réduit à employer le pro- 
cédé plus longqui consiste à additionner 125 nombres égaux 
chacun à 3 fr. 75 ; son effort sera plus considérable et lui 



2 1 N K A y r E C. K X É R A 1. E 

apprendra admirablement la technique de l'addition, cjui est 
une fort belle opération arithmétique. Gela n'est pas douteux, 
mais lorsqu'il saura la multiplication, ou pourra exiger de 
lui uu efFort aussi grand avec cet instrument plus parfait et 
cet efl'ortpour être moins stérile ne lui sera pas moins profi- 
table. Les problèmes de géométrie élémentaire sont l'occasion 
d'efforts très ingénieux et parfois pénétrants, dont ne perdent 
jamais le souvenir ceux qui en ont eu le goût dans leur jeu- 
nesse; mais la douceur de ces souvenirs ne doit tout de même 
pas faire perdre de vue que ces efforts sont souvent aussi vains 
({ue l'addition de 12.5 nombres égaux entre eux'; desmétho- 
des plus parfaites permettent d'obtenir sans peine les mêmes 
résultats et, si l'on dépense autantd'efTorls avec les méthodes 
perfectionnées, on va bien plus loin. Il en sera de même avec 
le calcul différentiel et le calcul intégral; n'hésitons pas à 
initier le plus tôt possible les écolieçs à ces admirables dis- 
ciplines, à la fois plus utiles et plus éducatives que tout autre 
branche des mathématiques. 



Ce n'est pas seulement en mathématiques que les tendances 
opposées, réformatrice et conservatrice, luttent à propos des 
programmes de l'enseignement secondaire. Si les réforma- 
teurs arrivaient à bien comprendre que tout changement est 
mauvais pendant qu'on le réalise et si les conservateurs 
admettaient qu'un changement, s'il n'est pas absurde, devient 
bon une fois qu'il est réalisé depuis un certain temps et que 
l'enseignement ne peut tout de même pas rester immuable 
à travers les siècles, peut-être pourrait-on concilier ces 
deux tendances opposées dans une évolution lente, sage et 
prudente. 



1 II n'est peut être pas inutile de préciser ma pensée, car elle n'a pas été comprise par tous 
mes auditeurs. Je n'ai jamais mis en doute que l'étude directe des figures ne fût nécessaire 
pour développer chez les jeunes élèves le sens géométrique; j'avais voulu simplernent 
m'élever contre l'abus de certains problèmes artificiellement et inutilement compliques. 

(Nnle ajoutée après la Cnnférence.) 



J 



(ON F i: R K y c i: u i: m . m . noc a c n /■: 2 1 1 



LE ROLE DES MATHÉMATIQUES DANS LES SCIENCES DE L'INGÉNIEUR 



CONFÉHENCK DE M. MaUHIGE d'OcaGNE 

Ingénieur en chef des Ponts et ('haussées, 
Prolesseur à l'Ecole polytechnique et à l'Ecole des Ponts et Chaussées. 



Messieurs, 

Sur le sujet que je suis appelé a traiter devant vous, tout 
a été dit, depuis si longtemps qu'il y a des ingénieurs et cpii 
réfléchissent, et je viens trop tard pour garder queUpie espoir 
de vous apporter du nouveau. Je ne saurais, d'autre part, 
en cette rapide causerie, tenter d'embrasser tout l'ensemble 
d'un tel sujet sans me condamner à ne point sortir des géné- 
ralités qui risqueraient de vous paraître par trop banales. Le 
mieux me semble donc d'attirer votre attention sur quelques 
points que je crois particulièrement importants, en m'effor- 
çant de les éclairer d'exemples caractéristiques, choisis 
parmi bien d'autres qui ne seraient pas d'une moindre 
valeur. 

Et, tout d'abord, quand on parle du rôle des mathématiques, 
dans les sciences de rino^énieur, il s'agit de s'entendre. Si 
l'on se borne aux simples besognes de la pratique journalière, 
on peut évidemment se tirer d'affaire avec du coup d œil et 
du bon sens lorsqu'on dispose d'un bagage de connaissances 
générales suffisant pour être à même, en s'inspirant d'exem- 
ples antérieurs, d'approprier à l'objet que l'on a en vue, les 
schémas et les formules qui se rencontrent dans les recueils 
spéciaux. Encore convient-il, en pareil cas, de n'être pas 
absolument novice dans le maniementde l'outil mathématique, 
et notamment, pour ne l'indiquer que d'un mot, dans l'emploi 
des méthodes graphiques qui sont, pour les techniciens de 
toute spécialité, d'un si puissant secours et dont la pleine 
intelligence suppose une sérieuse initiation géométrique. 

Autre chose est non plus de savoir se servir d'une formule, 
mais d'être en mesure, par une juste critique, d'en apprécier 



212- .S- /•• A N C E G /■: N A // A L E 

la valeur et, si besoin esl, d'en proposer une nouvelle; non 
plus seulement d'appliquer eorrectement certaines solutions 
connues de problèmes anciennement posés, mais, lorsqu'elles 
sont jugées insullisantes, de les améliorer de façon à serrer 
les faits de plus près, et, plutôt encore, d'en découvrir d'ori- 
ginales en vue de problèmes nouveaux, tâches auxquelles 
tout véritable ingénieur doit avoir à cœur de mettre la main. 
Or, pour 3' réussir, il ne suffit pas toujours d'avoir — ce qui, 
d'ailleurs, est indispensable — un sens pénétrant de la réalité ; 
il y faut encore souvent le concours intellioemment mis en 
œuvre de la théorie la plus avancée. 11 peut même arriver 
qu'à ce point de vue, le rôle de la théorie soit prédominant. 
Parmi tant d'exemples que j'en pourrais citer, je me bornerai 
à vous rappeler celui qui nous est offert par le problème de 
la télégraphie sous-marine, résolu par lord Kelvin au moven 
de la pure théorie. C'est, en effet, vous le savez, d'une étude 
mathématique que l'illustre physicien de Glascow a déduit 
les conditions pratiques de fonctionnement d'une ligne télé- 
graphique sous-marine. Il a montré, en particulier, que, 
pour éviXer la confusion à l'arrivée des signaux expédiés, il 
était utile de faire suivre toute émission de courant d'une 
émission égale et contraire qui ramène la ligne à l'étal 
primitif. D'ailleurs, l'étude du même système d'équations 
linéaires aux dérivées partielles, qui l'a conduit à cette belle 
conquête technique, permet encore de discuter les conditions 
de fonctionnement des lignes de transport de force à grande 
distance. 

D'une manière générale, et quel que soit l'objet auquel 
s'applic|ue son activité, l'ingénieur doit faire concourir des 
phénomènes d'ordre mécanique et physique à la réalisation 
de certains ensembles matériels répondant à des conditions 
données d'équilibre et de résistance, ou à la production de 
certains effets dynamiques. C'est assez dire que l'expérience 
se trouve nécessairement à la base de toutes ses spécula- 
tions, et la question qui se pose pour lui, relativement à 
l'utilité de l'emploi des mathématiques, est à peu près la 
même que pour le physicien, à cette différence près toutefois 
— elle est d'ailleurs capitale - qu'à l'encontre de celui-ci, 



CONFÏ: HENi' E l> E M. M I) (X A(. .\E 21:5 

(|iii a le s<^ntinieiit tle ne jamais attoindri; a une assez grande 
pi'éiMsion, il peut, lui, dans la plupart des cas, se contenln- 
d'une appi'oximalion assez «rpossière. Mais celle difï'érence 
ne se fait sentir que dans la limite jus(|u"ou il convient de 
pousser le développement des calculs ; elle n'intervient pas 
pour établir une sorte de départ entre les principes mathé- 
matiques utilisables dans un cas ou dans l'autre. Pour l'ingé- 
nieur comme pour le physicien, le rôle des niathématif|ues 
consiste à fournir une interprétation rationnelle de faits 
réductibles cà la notion de mesure, et la question qui se pose 
est de savoir jus(|u"à quel point la théorie de forme mathé- 
matique est susceptible de servir de guide dans ce que je 
vous demanderai la permission d'appeler le débrouillement 
des faits expérimentaux. 

Remémorons-nous ici. Messieurs, le mol célèbre de Bacon : 
« Si les expériences ne sont pas dirigées par la théorie, elles 
sont aveugles ; si la théorie n'est pas soutenue par l'expé- 
rience, elle devient incertaine et trompeuse ». Cette pensée 
a été renouvelée récemment sous une forme pittoresque et 
frappante, par M. l'Ingénieur en chef de la Marine Mahbec, 
au cours d'une remarquable conférence dans laquelle il a 
mis en lumière, aux yeux des élèves de l'Ecole polytechnique, 
la part qu'ont eue simultanément la théorie et la pratique 
dans l'invention de cet engin merveilleux qui a nom 
« le Sous-marin ». La pratique, dit M. Marbeg, donne la 
connaissance des faits, la théorie donne le moyen d'en tirer 
les conséquences lointaines. Un mécanicien complet doit 
posséder les deux. 

« Elles sont entre elles comme le sens de la vue et celui 
du toucher. Le sens du toucher est bien borné, la vue nous 
donne du monde une notion bien plus claire et plus étendue, 
et pourtant, quand ces deux sens sont en désaccord, c'est 
au premier que va notre confiance. Ce que la vue annonce et 
le toucher dément, nous l'appelons illusion et mirage. C'est 
aussi ce qu'il faut faire pour la théorie et la prati(jue. Mais 
discuter comme on le fait trop souvent, en les opposant lune 
à l'autre, comme si l'on devait être fatalement privé de l'une 
ou de l'autre, c'est en somme discuter sur les inconvénients 

L'Enseignement niathém., lll" ann<'-e ; 1914. 14 



•21'» X i: A N ( ' E C i: A /:' R A I. E 

comparés de deux iiilirmités. Cette diseussion est d un intérêt 
médiocre pour les gens l)ien portants. 

« Ou lia le droit de déclarer une chose inutile ou superflue 
que si on la j)OSséde réellement et si on n'a jamais ressenti 
le besoin de s'en servir, sinon on n'est pas de ))onne loi. 

u Le praticien et le tliéoricien, dans le mauvais sens des 
mots, sont deux iulirmes qui ne veulent pas convenir de leur 
infirmité. Ce sont, du reste, des inlirniités fort répandues. Il 
faut vous proposer de n'être pas infirmes ». 

Examinons maintenant d'un peu plus près, à la lumière de 
quelques exemples, quels genres de services les mathéma- 
tiques sont susceptibles de rendre à la technique. 

Tout d'abord — et bien que cela s'écarte peut-être un peu 
de ce qui fait en réalité le fond de mon sujet — il n'est j)as 
indifférent de rappeler que la théorie mathématique a [)arfois 
suggéré la découverte de faits expérimentaux qui se sont 
montrés pour le technicien d'une utilisation immédiate. H 
suffît, sur ce point, d'évoquer la genèse des ondes hertziennes 
nées du besoin de soumettre au contrôle de l'expérience les 
conséquences de la théorie toute mathématique des ondes 
électromagnétiques que l'on devait à l'étonnant génie de 
Maxwell. .Je rappellerai aussi, que, contrairement à ce qu'a 
pu croire, à une certaine époque, Joseph Bertrand, la théorie 
mathématique a permis à Green de révéler diverses lois de 
rélectrostatif|ue antérieurement à l'époque oii Faraday les a 
mises en lumière par la voie expérimentale. 

Dans un ordre d'idées en corrélation peut-être plus étroite 
avec ce qu'on est dans l'habitude de considérer comme de 
la technique, niera-ton la répercuission qu'a eue le dévelop- 
pement de la thermodynamique sur les perfectionnements 
réalisés dans la construction et l'emploi industriel des 
machines thermiques ? Or, il semble bien difïicile que l'on 
puisse atteindre à la pleine compréhension des principes si 
délicats de la thermodynamique sans une forte éducation 
mathématique. 

Mais, là même où les constatations de l'expérience ont 
devancé les déductions de la théorie, ne rencontrons-nous 
pas bien des questions sur lescpielles pendant longtemps nos 



(.: o N /■' / H i: .\ c E h i: m . m . u oi .1 (, .\ /: 2 1 :, 

ronnaissaiices lestent. en (|uel(jiie sorte, à l'élal stagnant, 
jusqu'à ce (in'enlin l'emprise exercée sur elles par la théorie 
mathéniati(jue vienne bruscpienient en provoquer l'essor .' 
Les longues et patientes recherches de M. Bolssinesq, pro- 
longeant si heureusement celles de Barrk de St-\'e.na.\t, 
iourniraient, tlans le domaine de l'élasticité et dans celui de 
Ihvdiodvnamique, de nombreuses oi'casions d'illustrer cette 
manière de voir. 

Le problème de la piopagalion des ondes lifjuides dans 
les tuvaux élastic|ues. au(]uel ^L Boulanger a consacré 
récemment une élude magistrale, est caractéristique à cet 
égard. Longtemps la solution de ce problème est restée 
indécise faute d'une base mathématique sufïisante. Elle est 
pourtant d'un intérêt capital pour l'ingénieur hydraidicien a 
<|ui elle lournit la clef du [ihénomène bien connu sous le 
nom de coup de ])élier: et Ion n'ignore pas limportance 
qu'offre ce phénomène au point de vue des grandes conduites 
d'alimentation des usines hydroélectriques par suite des 
complications qu'il entraine pour la régulation des turbines. 
Or, on sait maintenant que ce problème se ramène à l'étude 
d'une intégrale discontinue d'une équation aux dérivées 
partielles du second ordre, du type hyperbolique. Xul doute 
((ue la discussion de la question, poursuivie à la lumière de 
cette théorie, ne contluise sur le tei'rain expérimental et, par 
voie de conséquence, sur celui des applications, aux induc- 
tions les plus fécondes. 

De même la théorie moderne des explosifs n a pu se déve- 
lopper, entre les mains d'HuGo>iOT, de M. Chapman, de 
M. -JouGUET, qu'en prenant son point de départ dans la notion 
purement analytique des ondes de choc due à Hiema.nn. 

D ailleurs, et c'est encore là un avantage à l'actif des 
mathématiques, la traduction analytique des lois phvsiques 
est de nature, en certains cas, à faire apparaître des liens 
tout d'abord insoupçonnés entre des questions se référant à 
des objets distincts et de permettre, par suite, de les faire 
progresser parallèlement. A cet égard, il est curieux de 
constater l'analogie signalée par M. Boulanger, dans l'étude 
à laquelle je viens de faire allusion, entre ce problème du 



216 SEANCE GENERALE 

coup de bélier et celui du choc longitudinal des tiges pris- 
matiques, traité en détail par St-Venant, MM. Flamant et 
BoussiNESQ et où se rencontre une intégrale toute pareille. 

Le domaine de Téleclrotechnique est particulièrement 
fécond en exemples où Ton voit s'éclairer certaines questions 
techniques grâce à la lumière fju'y projettent les mathéma- 
tiques supérieures. Je citerai notamment l'explication donnée 
en 1911 par M. Bouchkhot, des surintensités très fortes 
constatées lors des courts-circuits d'alternateurs, d'où il a 
déduit les précautions à prendre pour limiter ces surinten- 
sités. Ici, la solution dépend d'équations différentielles 
linéaires dont les coefficients sont des fonctions sinusoïdales 
du temps dans le cas d'alternateurs monophasés, équations 
dont l'intégration n'a d'ailleurs pu être obtenue que par la 
voie des approximations. Dans le cas de systèmes polyphasés, 
un changement de variables ramène les coefficients à être 
constants. 

Je citerai encore l'étude de l'eflet Kelvin (skineffect) dans 
les conducteurs massifs en courants alternatifs, qui conduit 
à intégrer des équations aux dérivées partielles; et il s'agit 
bien là d'une question offrant un intérêt pratique puisqu'elle 
intervient, en particulier, dans le calcul de la résistance 
apparente des rails pour la traction monophasée. Dans le cas 
de conducteurs cylindriques, la solution dépend des /o/?c?/o//5 
(le Bessel, dont l'importance s'affirme chaque jour davantage 
dans maintes applications physiques et mécaniques compor- 
tant l'intégration d'équations aux dérivées partielles du 
second ordre, en même temps que celle des fondions splié- 
riqiies et de leurs congénères. 

Je ne veux d'ailleurs pas quitter le terrain de l'électrotech- 
nique sans ouvrir une parenthèse pour signaler les services 
qu'y rend le calcul des quantités imaginaires, alors, sans 
doute, que les premiers inventeurs de cette doctrine n'avaient 
pas du en prévoir ce genre d'utilisation. C'est là un nouvel 
exemple (à joindre à celui si souvent invoqué de la théorie 
des sections coniques dans ses rapports avec celle des mou- 
vements planétaires) de l'intérêt que peut prendre, à un 
moment donné, au point de vue des applications mécaniques 



r o .V /•• !■: H i: y ( ■ i: i> e .»/ . .»/ i> o c a <; n e 



217 



on physicuies, un sujet (rabortl iini<|ueinenl envisagé /// abs- 
trciclo par les purs nialhéniaticiens. 

Dans le même ordre d'idées, c'est du développement des 
théories malliéinati(|ues de rélasticité et de l'hydrodynamique 
(|ue l'on doit attendre la mise au point des sciences tech- 
niques connues sous les noms de résistance des inalériaux 
et (X hydraulique, (|ui sont restées pour ainsi dire en enfance 
tant (|ue, faute de mieux, elles n'ont été tributaires que des 
seules mathématiques élémentaires, et dont le progrès com- 
mence à s'accuser depuis qu'y ont pénétré les premiers 
rayons de théories mathémati(|ues plus élevées. 

Je ne puis à cet égard me dispenser de rappeler les belles 
recherches de MM. Eugène el François Cosskhat sur la 
théorie générale des corps déformables, non plus que les 
profondes leçons de M. Hadamahd sur la propagation des 
ondes et les équations de rhydrodynami(|ue. Certes, il reste 
encore à faire pour que ces difficiles théories atteignent la 
rég-ion des faits sur lesouels s'exerce directement l'activité 
de l'ingénieur; mais il n'est pas douteux (pTelles n'ouvrent, 
dès maintenant, des horizons nouveaux vers lesquels il est 
intéressant que se portent les regards du technicien. 

X'avons-nous pas déjà vu les applications de la théorie de 
l'élasticité à des problèmes comportant des vérifications 
expérimentales conduire M. Volterra à montrer le rôle de 
Vaiialijsis situs et des équations iiitégro-différentielles dans 
des problèmes bien voisins de ceux de la techni([ue.* 

Si Ton en est encore à constater la lenteur avec laquelle 
se développe la théorie de l'aviation, c'est sans doute que la 
voie à suivre pour y réaliser de vrais progrès est toute 
hérissée d'obstacles tenant notamment à ce que nous sommes 
encore incapables de résoudre les problèmes généraux que 
pose le mouvement d'un solide dans un fluide. A la vérité. 
des cas simples ont été aboi-dés par Helmholtz et Kirchuoff, 
d'autres plus complexes par MM. Greexhill, Levi-Civita, 
ViLLAT, et il convient de noter qu'ils offrent des applications 
très délicates et très difficiles de deux doctrines de haute 
analyse, celle de la représentation conforme et celle f\es fonc- 
tions elliptiques. (]ela permet de présumer à cjuel niveau îles 



218 SEANCE G K S i: H A L E 

sciences mathémaliques se rencontreront les notions à faire 
intervenir dans les cas généraux. Il laut espérer que. de ce 
côté-là aussi. les j)rogrès de la théorie, étayés, bien entendu 
de résultats expérimentaux, finiront par déchirer les voiles 
qui nous dérobent encore le mystère de ces phénomènes 
extrêmement compliqués. 

Je viens, à diverses occasions, de signaler les intuitions 
auxquelles nous peut conduire la théorie mathématique sans 
cependant nous permettre d'atteindre le but extrême visé par 
la technique. Même borné à cela, le rôle de celte théorie 
n'est pas négligeable en ce sens qu'elle nous met à même 
d'effectuer, grâce, s'il le faut, à quelques hypothèses simpli- 
fîcatives, ce que je serais tenté d'appeler une analyse quali- 
tative des phénomènes qui intéressent le technicien, à défaut 
de Vanalyse quantitative qui répondrait pleinement à ses 
besoins. L'ingénieur ne saurait toutefois se contenter de 
cela. Il lui faut, en fin de compte, pour arrêter les dispositions 
d'un projet, aboutir à une décision ferme, et si la théorie est 
impuissante à la lui dicter, c'est aux données de l'expérience, 
recueillies indépendamment de toute théorie a priori, qu'il 
ira les demander. Le rôle des mathématiques va-t-il s'arrêter 
ici ? Je ne le crois pas; et, pour ne point vous cacher le fond 
de ma pensée, c'est, au contraire, à cette occasion que, pour 
la grande majorité des ingénieurs, il me semble devoir 
prendre le plus d'importance. 

Il s'a^-it alors, en effet, de mettre en œuvre ce qui ressort 
de l'expérience pour édifier, à défaut d'une théorie purement 
rationnelle, au moins une sorte' de synthèse, de forme encore 
mathématique car il faut bien qu'elle se traduise par des 
formules) mais ne résultant plus, par voie de déduction 
logique, de principes empruntés aux seules sciences théo- 
riques. C'est là une besogne bien plus délicate et qui exige 
un sens mathématique bien plus aiguisé qu'on ne serait 
d'abord tenté de le croire. 

Sans doute, quelques ingénieurs, uniquement soucieux de 
cette pratique tout à fait courante dont je parlais en commen- 
çant, estimeront-ils que, pour cette mise en œuvre des 
données de l'expérience, il sullit de quelques moyens de 



(• ().\ r !■: H i: n c i: de . v . m doi m: n i: -i \ 9 

l'oi'tnne einj)riiiil<is aux malliémali(jiies les |)lus cieiuenlaires. 
Je me permettrai de dire que je ne suis pas de cet avis. En 
se limitant de la sorte dans le îuode d'expression des laits 
expérimentaux, on risque de n'avoir pas la possibilité, en 
bien des cas, de les serrer d'assez près. De là, ces foi-mules 
purement et simplement empiriques, qui se renconlrcnl 
encore aujourd'hui en si grand nombre dans les ai(l(;- 
mémoires à Tusao-e des inoénieurs, sans aucune indication 
ni de leur origine, ni des limites entre lesquelles on peut les 
tenir pour valables, et que je ne serais pas loin de regarder 
comme un scandale dans le domaine des sciences techniques. 
Il ne faudrait, au reste, pas croire que le manque de toute 
véritable signification soit le moindre de leur défaut. Telles 
ris(|uent bien souvent de devenir un réel danger. Je ne suis 
pas, tant s'en faut, le premier à en faire la remarque. Au 
Congrès international des mathématiciens tenu à Rome en 
avril 1908, un grand constructeur italien, M. Tlnspecteur 
Général du Génie civil Luiggi n'a pas craint de s'exprimer 
ainsi : « Divers graves mécomptes rencontrés au cours de 
« certaines constructions doivent peut-être, avant tout, être 
« imputés à l'insuffisance des formules employées ». 

C'est que, il faut bien le dire, telles de ces formules empi- 
riques, obtenues par de simples tâtonnements que n'est 
venue renforcer aucune considération théorique, peuvent être 
totalement dépourvues de valeur dans des cas qui s'écartent 
tant soit peu de ceux à l'occasion desquels elles ont vu le 
jour. Et l'on risque d'être ainsi conduit à faire inconscnem- 
ment, en quelque sorte, des extrapolations aboutissant à des 
conclusions entièrement erronées. 

En vue de l'adaptation des résultats de l'expérience à la 
prévision de certains faits du domaine de la technique, les 
mathématiques peuvent intervenir utilement pour fixer le 
mode rationnel d'expression analytique auquel il convient de 
recourir ; la détermination des valeurs numériques à adopter 
pour les coefficients sera ensuite tout ce fjue l'on demandera 
à l'empirisme. C'est là un cas analogue à celui qui se présente 
pour la prévision des marées : le principe de la gravitation 
universelle, joint à la théorie du potentiel, permettant de 



2 20 >' K A N C E G E N E li A I. E 

prévoir la l'orme du développement de la hauteur de la 
marée, les propriétés de la série de Fourier conduisent à la 
détermination, par l'analyse harmonique, des valeurs numé- 
riques des coefficients d'après le relevé expérimental de la 
courbe des hauteurs pendant un certain intervalle de temps. 
Il est inutile d'insister sur l'impossibilité où l'on se serait 
trouvé, par de simples tâtonnements et en l'absence de toute 
base théori(jue, de [)arvenir à une expression analytique 
satisfaisante des variations, d'allure complifjuée, c|ue révèle 
un tel enregistrement expérimental. 

Des occasions de procéder de la même façon pourraient 
se rencontrer dans toutes les branches de la technique. Je 
me bornerai à rappeler ici la remarquable étude publiée par 
M. l'Inspecteur Général des Ponts et Chaussées, Jean Résal, 
sur le (;alcul des hourdis en béton armé, qui est un modèle à 
suivre pour l'emploi de la théorie mathématique en vue de 
l'établissement rationnel de ("ormules à coefficients em[)i- 
riques, là où la théorie seule ne peut être poussée jusqu'au 
point où ses résultats deviendraient immédiatement utilisa- 
bles en pratique. 

M. Jean Résal, dont l'autorité comme constructeur ne 
saurait être contestée par personne, est de ceux qui font la 
guerre aux formules « dénuées de tout fondement et sans 
rapport aucun avec la vérité » ; c'est là sa propre expression. 
Il proteste notamment contre la tendance, qui s'accuse bien 
souvent chez les tenants du strict empirisme, de ramener de 
préférence toute représentation à la forme parabolique alors 
parfois que des nécessités logiques en imposent d'autres, 
comme il a eu l'occasion de le signaler à propos de la varia- 
tion du poids des [)onts mélalli({ues avec* leur portée, qui 
doit, ainsi qu'il l'a montré, revêtir nécessairement une forme 
hyperbolique. 

A mon tour, je me permettrai de formuler celte interroga- 
tion : l'ingénieur, homme de progrès, peut-il vraiment se 
résigner à n'avancer, en quelque sorte, qu'à tâtons, sans 
chercher à pénétrer le sens des phénomènes ayant pour 
siège les systèmes matériels sur lesquels il opère ? 

Si, comme M. Marbeg en a déjà fait la remarque, son lot 



coNFi: H i: Nc I-: i> i: m. m. I)0( m; s e 221 

n'est pas tle [)enser sans aj^ir ce à (|iioi, si tel est son ^oùl, 
peut se borner le |)iir inatliéniaticien enfermé tlans sa tour 
crivoire), il ne peut être non plus d'aj^ir sans comprendre. 

Abdi(juer entre les mains des seuls mathénialieiens de 
profession le soin de faire avancer l'application des théories 
rationnelles aux divers objets techniques qui le sollicitent, 
serait de sa part une lourde erreur. Pour contribuer elïica- 
cement au progrès d'une doctrine embrassant un certain 
ensemble de laits positifs, il faut, dans l'ordre de ces faits, 
avoir, comme on dit, mis la main à la [)àte. Le mathématicien 
cjui n'est pas, comme le technicien, talonné par les exigences 
tle la pratique, aura fatalement une tendance, séduit qu'il 
sera par l'intérêt propre des développements analytiques 
rencontrés en chemin, à se laisser aller à faire de l'art pour 
l'art. Tout au moins, ses habitudes d'esprit l'inciteront-elles, 
presque fatalement, à pousser les approximations bien au' delà 
des limites dont l'expérience a appris au technicien qu'il y 
avait lieu de se contenter. 

On ne peut exiger du pur mathématicien qu'il ait, au même 
degré que le technicien, la hantise du but concret à atteindre, 
et je n'hésiterai pas à ajouter que, s'il en était ainsi, ce serait 
grand dommage. Si, en effet, le mathématicien peut, et avec 
grand avantage, puiser de fécondes suggestions dans l'évo- 
lution des sciences physiques, il ne faudrait pas (|ue lessor 
de sa pensée se trouvât entravé du fait de préoccupations 
trop strictement utilitaires qui pourraient en alourdir le vol. 
Le culte désintéressé de la science, si noblement, si magni- 
fiquement célébré par Henri Poincaré, doit rester la loi du 
pur mathématicien dont les découvertes ne tirent pas leur 
importance d'une utilisation praticpie plus ou moins immé- 
tliate, ce qui lui permet de les poursuivre avec plus de 
hardiesse et plus de liberté. 

11 serait infiniment regrettable qu'il se trouvât détourné 
par d'autres devoirs du rôle magnifique qui lui incombe, qui 
est de nous entraîner vers des régions de plus en plus élevées 
du domaine accessible à la raison pure. 

En se livrant au labeur cpii est le sien, il contribue d'ail- 
leurs pour sa part au progrès général de la science appliquée 



■ 



•222 .S" ÉANCE S D E TR A VA 1 L 

parce (ju'il élai'git le eercle de notre pensée et fjiril fournit 
à son expression des formules plus souples et plus com- 
préhensives. 

Mais il faut que Tingénieur, qui aura, lui, à faire concourir 
les ressources empruntées au mathématicien au perfection-? 
nement des théories qui dominent son art, reste en état de 
comprendre la langue que parle ce mathématicien. Et cela 
exige que le plus grand nombre possible d'ingénieurs (dont 
Tesprit, suivant le mot de Pascal, n'y pourra d'ailleurs 
gagner qu'aune vigueur toute nouvelle»), reçoivent une 
éducation mathématique suffisante pour rester capables de 
suivre, fût-ce même d'un peu loin, le mouvement de la 
science, de saisir le sens de ses nouveautés, d'en apprécier 
la portée possible aux divers points de vue qui les intéressent 
et, le cas échéant, d'en réaliser eux-mêmes, sans maladresse, 
l'adaptation aux fins pratiques qu'ils se proposent d'atteindre. 



SEANCES DE TRAVAIL 

Conformément an programme les quatre séances de travail furent 
consacrées à la lecture et à la discussion des Rapports sur les 
questions A et B. Le compte rendu étant encore en préparation 
nous nous bornerons pour le moment à reproduire ici les résumés 
des rapports très remarquables de MM. Beke et Staeckel. Nous 
publierons ces rapports dans le prochain numéro avec le compte 
rendu de la discussion. (Note de la Réd.l 

RÉSUMÉ DU RAPPORT DE M, E. BEKE 

sur les résultats obtenus 
dans l'introduction du Calcul différentiel et intégral 
dans les classes supérieures de l'enseignement secondaire. 

Introduction. — La source et la force de ractivité de la Com- 
mission internationale de l'Enseignement mathématique vient : 
1) de la transformation des idées de culture qui tendent à faire 
entrer l'exactitude dans la vie et dans la science, 2) De l'esprit 
international qui place plus haut, le but que l'école se propose 
d'atteindre, 

1. — Place du Calcul différentiel et intégral dans l'enseignement 



// !■: s V M i: s D E s /(• A l> I' (> I! y s 



2j:{ 



secondaire. — Dans tous \os pays, où pcndaDt les douze dei'nières 
années, un nouveau plan d"(';tudes des écoles secondaires est 
entré en vioueui-, une place plus ou moins «^landeya été réservée 
à la Notion de fonction et aussi — à très peu d'exception près — 
aux premiers éléments du Calcul difFérentiel et intégral. 

11. - Rapport détaillé sur l'introduction du Calcul différentiel et 
intégral dans les établissements secondaires des différents Etats. — 
voici les Ktats dont nous avons re^n des rapports. 



Uappoi'leiirs : 
Allemagne M. M. Lietzmann el Th.er 



Australie 

AlltlMcilC 

Brésil 

Danemaik 

Etats-Unis 

France 

Hollande 



Carslaw 

SuPPANTSCHITSCH 

Bydzovski 
E. Gabagi.ia 
Heegaakd 
I). E. Smith 

Cil. BlOCHE 

Cakdinaal 



Rapporteurs : 
Hongrie MM. Bkke et Mikola 
Iles lîritanniques Godfrey 
Italie Castel.nuovo 

Norvège Alfsek 

liussie PossÉ 

Serbie Petrovitch 

Suisse Brandenbergek et 

F F. H R 



A. — Les Flléments du Calctil infinitésimal fiourent au pro- 
gramme officiel des écoles ou au plan d'études établi parles écoles 
elles-mêmes dans les pays suivants : 

Etats allemands: Bavière, ^Vurtembero•, Bade, Hambourg-. 
Autres Etats : Autriche, Danemark. France, Iles Britanniques. 
Italie, Roumanie, Russie, Suède et Suisse. 

B. — Les Eléments du Calcul infinitésimal ne figurent pas dans 
le plan d'études, mais ils sont enseignés dans un grand nombre 
d'écoles: Prusse, Saxe, Hongrie, Australie, et ils le seront pro- 
bablement avant peu en Hollande, Norvège, Belgique et Serbie. 

III. — Etendue et application du Calcul différentiel et intégral. — 
<7)11 n'est appliqué presque partout qu'aux fonctionsdiine variable. 

b) On enseigne partout la difTérentiation des polynômes de 
fonctions rationnelles [on au moins des quotients de deux poly- 
nômes linéaires , ainsi que dans la plupart des pays celle des 
fonctions exponentielles, trigonométriques et de leurs inverses. 

c) Dans la plupart des pays on préfère la notation de Lagrange 
à celle de Leibniz. 

d} Dans la plupart des pays on introduit aussi la notion d'inté- 
grale. En France, seul le Calcul des dérivées est enseigné. Par- 
tout la notion d'intégrale suit celle de dérivée en Bohème on les 
enseigne simultanément . Dans quelques pays l'intégrale définie 
précède l'intégrale indéfinie ; mais dans la plupart des Etats la 
marche inverse est suivie. 

IV. — Application du Calcul infinitésimal. — a) La série de Tay- 
lor figure dans peu de programmes. Elle est néanmoins enseignée 
tlans les écoles où les j)lans d'études embrassent depuis longtemps 



2 2 't S /■: . i y c i: s de t hav au. 

les séiies infinies. Là on établit les séries de e^, a^^ sin .r, cos.f, 
''^^ (i + •^]i (i + -'■)"S ai't; tg .r. Je crois que l'exposition de la série 
de Taylor n'est pas encore suffisamnient prépaiée pour l'école 
secondaire. 

h) Le Calcul inlinitésimal est appliqué partout à la recherche 
des maxinia et minima. 

<:•; 11 est aussi appliqué en Physique, au moins pour définir la 
vitesse et l'accélération, mais quelquefois il trouve une appli- 
cation plus étendue (centre de gravité, moments d'inertie, 
potentiel, etc.) Kn Russie, on ne se sert généralement en Phy- 
si(|ue, que des Mathématiques élémentaires, 

d) Le Calcul infinitésimal est appliqué en Géométrie : \\ la dé- 
termination des aires et des volumes et c'est ici que la nouvelle 
méthode rend le plus de services au point de vue de l'économie. 
Mais on continue à appli(iuer les méthodes anciennes surtout le 
piincipe de Cavalieri. 

V. — La question de rigueur. — C'est un des points les plus 
délicats. Du côté de renseignement supérieur on entend dire que 
l'enseignement secondaire fait plus de mal que de bien s'il 
n adopte pas les méthodes rigoureuses d'une exposition scienti- 
fi(iue; par contre, les représentants de l'enseignement secon- 
daire affirment que l'intelligence moyenne des élèves ne permet 
pas une exposition rigoureuse du Calcul différentiel et intégral. 
Les professeurs des écoles secondaires doivent connaître le calcul 
infinitésimal moderne et rigoureux, mais dans leur enseignement 
ils doivent appliquer une méthode intuitive des considérations 
géométriques et mécaniques, et s'élever graduellement aux abs- 
tractions nécessaires. C'est aussi la manière lapins siîre d'éveiller 
dans l'espiit des élèves le désir de la rigueur. 

a} Les nombres irrationnels sont introduits presque partout 
incidemment à l'occasion de l'extraction des racines. La thé(nie 
générale nest exposée qu'exceptionnellement. 

h) La notion de limite est introduite partout, nulle part on ne 
se contente de l'intuition. Les théorèmes élémentaires relatifs aux 
limites sont adoptés presque partout sans explications. 

c} On ne fait pas d allusions à des fonctions continues n ad- 
mettant nulle part de dérivée. Dans certaines écoles on se borne 
à dire qu'en certains points la dérivée peut cesser d'exister. 

d\ dans la plupart des écoles la différentielle n'est pas intro- 
duite, il règne une confusion dans l'explication de la notion de 
difïerentielle. H est à désirer (|ne le brouillard métaphysique de 
linfiniment petit n'entre pas dans l'enst'ignement secondaire. 

VI. — Fusion du Calcul différentiel et intégral avec les matières 
de l'enseignement secondaire. — Les matières nouvelles ne doivent 
pas être placées comme un supplément à côté des matières 
anciennes, mais une fusion complète devra s'opérer entre elles. 



/.' i: s V M i: s I) /■; x /.• a l' i' o n r s i-i:» 

I/élaroisseinenl du rôle de la notion dn ronclion ri 1 inlrodnc- 
ticm du Calcul infinitésimal ne peuvent avoir de succès que si le 
programme ancien est réduit et s'il devient plus éconoinicpie. H 
it'sulte un allci(ement i^ràce à la fusion des matières nouvelles 
avec les anciennes et à la snppr«'ssi()n de (|iiel(|nes maticics 
surannées. 

VII. — Le mouvement réformiste et l'opinion publique des péda- 
gogues. — Le caractèie dèlinitil' des résultais de notre moiivcmenl 
peut être assuré: 1) Par le succès : 

'1\ Par l'opinion publicpie loui(uirs éveillée, des représentants 
de renseignement. L(î mouvemenl a rencontré partout la sym- 
pathie des professeurs de l'enseignement secondaire, mais les 
professeurs appartenant à l'enseignement supérieur, qui le i-egar- 
dent de leur point de vue spécial, ne sympathisent pas toujours 
avec nos tendances. 

Nous entendons la plainte (|u"un i-ours de (Calcul différentiel et 
intégral n'est pas suivi avec intéi'èt par celui qui en a déjà quel- 
ques connaissances. 11 n'est pas diflicile'de réfuter cette assertion. 
Qu'il nous suffise de rappeler les avis favorables que nous avons 
rencontrés parmi les professeurs des Universités de tous les pays, 
qui regardent notre mouvement d'un point de vue plus élevé. 



RÉSUMÉ DU RAPPORT DE M. ST.«:CKEL 
sur la préparation mathématique des ingénieurs. 

1. — Généralités. — ai Relativement à la préparation des ingé- 
nieurs il y a deux systèmes. La plupart des pays ont adopté le 
système des Universités techniques ; dans les autres ce sont les 
Universités proprement dites qui se chargent de l'enseignement 
théorique des ingénieurs ; l'enseignement technique se fait soit 
dans les sections techniques des Universités soit dans les Ecoles 
d'application. Dans quelques pays il y a mélange des deux sys- 
tèmes. 

bi On exige, pour l'entrée dans renseignement technique supé- 
rieur la préparation par une école secondaire ou une préparation 
équivalente. Il y a des ingénieurs qui veulent renvoyer l'enseigne- 
ment des mathématiques et des sciences physiques entièrement 
aux écoles secondaires, tandis que les mathématiciens et la plu- 
part des ingénieurs sont convaincus que l'étude systémati(iue du 
calcul infinitésimal doit être réservée à l'Univei-sité. 

Cl En France on donne un enseignement étendu tles mathé- 
matiques supérieures dans les classes de math(''niati(iues spé- 
ciales. 



226 .s- A" A N C E S I) E T li J V A 1 1. 

II. — Nature de l'enseignement. — ai Los piofesseurs de 
inathéniatiques et la phipartdes inij^énieurs sont d'avis que rensei- 
gnement des mathématiques doit avoir pour but un développe- 
ment général méthodique. 

b) On ne saurait recommauder d'établir une séparation de cet 
enseignement suivant les différentes branches des ingénieurs. 

CI On doit tenir compte, dans l'enseignement mathématique 
des ingénieurs, de la carrière à laquelle les jeunes gens se desti- 
nent et lui donner dès le début une teinte technique. Mais ce 
n'est pas la tâche des mathématiciensd'enseigner prématurément 
la science de l'ingénieur. 

III. — Scolarité. — o) Il faut convenir que le puissant dévelop- 
pement de la technique a lendu nécessaire une réduction des 
heures consacrées aux études mathématiques. II y a une certaine 
compensation dans la meilleure préparation des étudiants qui 
permet d'économiser du temps en élevant dès le début le niveau 
de l'enseignement. 

b} D'un autre côté les sciences de l'ingénieur réclament de plus 
en plus l'aide des méthodes modernes des mathématiques supé- 
rieures. 

c'iOn peut espérer que les professeurs de mathématicjues réus- 
siront à adapter l'enseignement aux exigences de l'époque si on 
leur laisse une certaine liberté. 

dj 11 faut attacher une grande importance aux exercices mathé- 
matiques, surtout aux exercices individuels. 

IV. — Matière et méthode. — a) L'étendue de l'enseignement 
mathématique est bornée supérieurement par le but de fournir 
aux futurs ingénieurs les connaissances de mathématiques supé- 
rieures nécessaires à une étude suffisante delà mécanique et des 
parties fondamentales de la physique. 

èj La connaissance du calcul différentiel et du calcul intégral 
élémentaire ne suffit plus pour les ingénieurs. Il leur faut en outre 
les méthodes graphiques et numériques d'intégration des équa- 
tions différentielles qui se sont développées dans le dernier tiers 
du XIX*^ siècle. 

c) Question de rigueur. 11 ne faut pas chercher à approfondir 
dès le début de l'analyse supérieure les c|uestions de principe 
dont les jeunes étudiants ne peuvent comprendre la portée. Il 
faut bien établir exactement les hypothèses sous lesquelles les 
déductions s'opèrent, mais il ne faut pas enseigner l'a-ciomatique. 

d) L'unification. La réunion des cours de géométrie analytique 
et d'analyse supérieure en un seul cours de mathématiques géné- 
rales a eu de bons résultats. 

(à suivre) 



MKLANGES ET CORRESPONDANCE 



A propos d'un article de M. C. HALPHEN 
Sur la ligne de Terre et le second Bissecteur'. 

Extrait d'une lettre de M. L. Dlmo.nt. Bruxelles. 



Nous recevons de M. E. Dumont (Bruxelles , une lettre à propos 
de la suppression de la ligne de terre en Géométrie descriptive. 
Nous en extrayons le passage suivant : 

« Il y a 20 ans que M. Chômé, professeur de géométrie descrip- 
tive à l'Ecole militaire de Belgique, a publié un cours^ où il n'est 
plus fait emploi ni de la ligne de terre, ni des traces des plans ou 
des droites, et où les méthodes générales ont pris la place princi- 
pale. Tous les cours préparatoires aux grandes écoles ont. en Bel- 
gique, immédiatement adopté cette méthode, claire, simple, 
agréable, débarrassée du formalisme étroit de la méthode de 
Monge. L'enseignement secondaire a suivi en partie. Malheureu- 
sement les deux universités de l'Etat, Gand et Liège, résistent 
toujours ; mais Bruxelles. Mous et Louvain ont depuis longtemps 
suivi la voie tracée par MM. Maxxheim et Chômé. Les remarquables 
facilités fournies par le second bissecteur sont classiques chez 
nous. » 

La méthode préconisée par le colonel Mannheim a comme on 
sait, rencontré de nombreux adhérents, non seulement en France 
et en Belgique, mais encore dans d'autres pays. 

Note de la Rèd. 



^ L'Eus. Malh., n» du 15 mars 1914, p. 107-124. 

* F- Chômé. Cours de Géométrie descriptive h l'Ecole militaire. 2« édition. ISO.'i. Paris. 
(lauthier-VilIars. 



CHRONIQUE 



Circolo Matematico di Palermo 

30" Annis'ersaire de fondation, 188i-191i. 

Le 14 avril 1914, le Circolo Matematico di Palermo, a fêté le 
30*^ anniversaire de sa fondation en. une séance solennelle qui a eu 
lieu à l'Aula Magna de l'Université de Palerme, sous la présidence 
de M. Albeggiani. 

On sait que cette Société internationale, fondée le 2 mars 1884 
par le professeur G.-B. Guccia, groupe aujourd'hui la plupart des 
mathématiciens du monde entier. Son effectif, au 12 avril 1914, 
était de 924 membres, dont 306'pour l'Italie. Pour les autres pays 
le nombre des membres se répartit comme suit : 

Allemagne. 140; Etats-Unis d'Amérique, 140; Autriche-Hongrie. 
77; France, 67; Russie, 44; lies Britanniques, 29; Suède, 21: 
Belgique, 12; Danemark, 12 ; Suisse, 12 ; Espagne, 11 ; etc. 

1/accueil qua rencontré dès le début le Circolo, est dû à la fois 
à l'activité persévérante de son fondateur et à son périodique 
les Hencliconfi del Circolo, dirigé par M. Guccia. Depuis trente 
ans un grand nombre de mémoires très l'emarquables ont été 
publiés par cette importante revue qui a toujours été largement 
ouverte à tous les mathématiciens. Beaucoup de jeunes ont débuté 
dans ce périodique, et ce n'est pas un des moindres services que 
les Rendiconti ont rendus à la science que d'avoir facilité les 
premières publications des commençants. 

La séance solennelle du 14 avril s'adressait donc à la fois au 
Circolo, à son fondateur M. Guccia et à son périodique les Rendi- 
conti. Des discours furent prononcés par : 

M. le Prof. D"" F. Rakfaiîle, Recteur de l'Université de Palerme; 

M. le Sénateur G. Di Martixo, Syndic de Palerme; 

M. le Prof. D' G. Ba(;xera, Président de la Faculté des Sciences 
de lUniveisité de Palerme; 

M. le Prof. Ing. M. Albeggiam, Président du Circolo Matema- 
tico ; 

M. le Prof. D' E. Laxdau, de l'Université de Gœttingue; 



i 



<■ IIRON lO CE 



229 



M. le Sénateiii' Piof". I)'' V. \ Oi.tkiika, de rL'iiiv(;rsité de Konic. 

Une médaille dOr, due à une souscription internationale, fut 
oHerte au professeur Glccia. 

A l'occasion de la séance, un grand tioiubre d'académies, de 
sociétés, d'institutions et de savants avaient envoyé des adresses, 
des lettres de félicitations ou des télégrammes. 

La Rédaction de V Ensei finement mathèni(ili<nie s'associe de tout 
cœur aux vœux et aux félicitations que le monde scientifi(|ue a 
exprimés au Cercle mathématique de Palerme et à son fondateur. 

H. Fkhk. 

Université d'Edimbourg. ~ Conférences de mathématiques. 

Ediiihurg mathematical Collotfuium, V.)['i. 

A la suite de la célébration du Tricentenaire de Néper, qui 
aura lieu à Edimbourg, du 20 au 27 juillet prochain, des confé- 
rences seront organisées à l'Université, du 28 au 31 juillet, sous 
les auspices de la Société mathématique d'Edimbourg. 

En voici la liste : 

M. D'OcAGNE, Professeur à l'Ecole polytechnique, Paris: 

Nomography (2 conférences). 

H.-W. RicHMoxD, M. A., F.R.S., Fellow and Lecturer of King's 
Collège, Cambridge, and University Lecturer in Mathematics : 

Infinihj in Geoinetry (4 conférences). 

E. CuxMxoHAM, M. A., Fellow and Lecturer of St .îohn's Collège, 
Cambridge : 

Critical studies of modem electric théories (4 conférences . 

E. T. Whittaker, Sc.D., F.R.S., Professor of Mathematics in 
the University of Edinburg : 

The solution of algehraic and transcendentaJ équations in the 
mathematical laboratorij (2 conférences). 



Nouvelles diverses. — Nominations et distinctions. 



AUcuiag-ne. — La Société mathèmaticjne allemande tiendra 
sa prochaine réunion annuelle à Hanovre, du 20 au 20 septembre 
1914, à l'occasion de la 86- Réunion des Naturalistes et Médecins 
allemands. 

— M. R. Koxic, privat-docent à l'L'niversité de Leipzig, a été 
nommé professeur extraordinaire de mathématiques à l'Université 
de Tubingue. 

France. — Association française pour l'avancement des 
Sciences. — Le Congrès de 1914 aui'a lieu au Havre, du 27 juillet 

L'Enseignement mathéni., lli« année: 191'». 15 



2:i0 CHRONIQUE 

au 2 août 1914, sous la présidence de M. Armand Gautieiî, mem- 
bre de l'Institut. 

Le Coiit>i'ès aura cette année un éclat tout particuilier, en raison 
de son fusionnement avec le Congrès de la British Association. 
dont un très grand nombre de membres ont accepté l'invitation 
de l'Association française et de la ville du Havre. 

Les l"^*" et 2'"*' sections (mathématiques, astronomie, géodésie et 
mécanique) seront présidées par M. René Mesny, directeur de 
l'Ecole d'hydrographie de la Marine, Le Havre. 

— M. BouLANGEH a été nommé professeur au Conservatoire 
national des Arts et métiers de Paris, en remplacement de C. 
Bourlet, décédé. 

Suisse. — La Société Mathématique Suisse tiendra sa pro- 
chaine réunion annuelle à Berne, à l'occasion de la OT""" assetn- 
blée annuelle de la Société Helvétique des Sciences naturelles 
(31 août -3 septembre 1914). 



Nécrologie. 

M. John S. Mackay, ancien professeur de mathématiques à 
l'Académie d'Edimbourg, est décédé le 25 mars dernier à l'âge de 
70 ans. 

Jules MoLK. — Nous avons le regret d'apprendre la mort, sur- 
venue au commencement de mai, de M. Jules Molk, professeur de 
mathématiques générales et de mécanique rationnelle à l'Univer- 
sité de Nancy et directeur de l'édition française de l'Encyclopédie 
des Sciences mathématiques. Molk était né à Strasbourg le 
8 décembre 1857. 

PoYNTiNG. — On annonce la mort du physicien J.-H. Poyntin(;, 
professeur à l'Université de Birmingham. 



NOTES ET DOCUMENTS 



Cours universitaires. 

Semestre d'été 1914. 

BELGIQUE' 

Gand. — A. Demollin : Géomélrie inliiiitésimale, 1 ; fonctions analytiques et 
fonctions elliptiques, 2 . — C. Wasteels : Dynamique des systèmes, 2 ; 
Mécanique céleste, 2. — E. Van Aubf.i. : Physique mathématique géné- 
rale, 1 ; Chapitres choisis de physique mathématique. 2. — M. Stuyvaekt : 
Théorie des nombres, 1 ; Théorie de 1 élimination, 1. — C. Servais : Courbes 
et surfaces algébriques Invariants, luvolutions, 2. 

Liège. — J. Deruyts : Fonctions elliptiques, 3 ; Equations aux dérivées par- 
tielles en relation avec la théorie des surfaces, 2. — L. Meurice : La propa- 
gation des petits mouvements dans les flxiides, 3. — C. le Paige : Astro- 
nomie sphérique, 2; Probabilités, 1; Histoire des mathématiques, 1 ; 
Mécanique céleste, 2. — J. Fairon : Géométrie analytique, 2. — P. de Heen : 
Théorie de l'éleclrolyse et du point critique, 1. 

Bruxelles. — E. Brand : Fonctions elliptiques, 2; Histoire des mathéma- 
tiques, 1. — L. AisspACH : Dynamique, 2. — Th. de Donder : Oscillations 
hertziennes, 1 ; Théories cinétiques et statistiques et applications à la 
théorie des quantités, 2. — P. Stroobant : Astronomie sphérique, 1 : Pro- 
babilités, 1; Exercices d astronomie, 2. — J. Yerschaffelt : Optique, 2, 
et exercices. — E. Henriot ; Electricité et magnétisme. 2. — A. Mineur : 
Géométrie supérieure, 3. 

Louvain. — C. de la Vallée-Poussin : Equations aux dérivées partielles et 
équations de la mécanique, 2. — E. Pas«}Uier : Dynamique, 2. — S. Demanet : 
Thermodynamique, 2. — R. de Muy.nck : Exercices de physique, 1. • — 
G. Yerriest : Formes binaires, 1. — A. de Hempti.nne : Chapitres choisis de 
physique, 1. — E. Goedseels : Astronomie, 2; Probabilités, 1. 



' Non compris les cours des deux premières années ni ceux des écoles techniques 
annexées aux Universités. — L'abondance des matières nous a obligé de retarder la publi- 
cation de cette liste. — (Réd.) 



BIBLIOGRAPHIE 



p. AuBERT ei G. Papklier. — Exercices de Géométrie analytique à l'usage 

des élèves de Mathématiques spéciales. Tome Premiei-. — 1 vol. in-8" ; 

360 pages ; 6 fr. ; Vuibert, Paris. 

Ces exercices de géométrie analytique sont destinés aux élèves de Mathé- 
matiques spéciales. Le premier volume, seul encore paru, est consacré à la 
Géométrie plane: il renferme les chapitres suivants: 

I. — Ligne droite. — II. Cercle. — III. Courbes dont I équation est 
résolue par rapport à ,r ou à y, ou dont les coordonnées des points sont 
exprimées en fonction d'un paramètre. IV. Classification et construction des 
coniques. — V. Equations générales des coniques. — VI. Centre et diamè- 
tres des coniques. — VII. Exercices sur les équations réduites des coniques. 
— VIII. Coordonnées polaires. 

Un second volume, actuellement en préparation, contiendra la suite des 
problèmes sur les coniques et sur d autres chapitres de Géométrie plane, 
tandis que le lome III conijjrendra les exercices de Géométrie analytique 
dans 1 espace. 

F. P. Patern'o. — Nuovi Metodi d'Analisi Geometrografica (l""* Partie). — 
1 broch. 8°, extraite des « Atti del CoUegio degli Ingegneri ed Architetti 
in Palermo » ,• 29 pages, 22 ligures. Stabilimento Virzé Palermo, 1913. 

Le travail de M. Paterno n'a de commun que le nom avec les travaux de 
Lemoine, le fondateur de la Géometrographie. Les méthodes diffèrent com- 
plètement: Au lieu d admettre 1 hypothèse de Lemoine: «qu'un point est 
également bien déterminé quel que soit l'angle sous lequel se coupent les 
lignes qui le placent»; — M. Paterno veut se conformer davantage aux 
contingences réelles de la pratique, tenir compte de 1 inévitable largeur 
graphique des lignes et de lincertitude de leurs intersections. Il tente 
d'évaluer la valeur probable des erreurs graphiques ; d'en atténuer les 
causes principales ; de diriger le choix entre les différentes dispositions 
possibles d'une construction, car l'exactitude de la solution ne sera pas 
souvent indépendante de l'ordre, de la position, de la grandeur des éléments 
variables de la construction. 

L'auteur considère les lignes graphiques sur un plan comme des rubans 
d'une certaine largeur (s) (constante dans un même dessin), leurs intersec- 
tions : points graphiques sont dès lors de petits losanges (Si les lignes sont 
courbes, on leur substitue leur tangente au point considéré.) 

Ce petit losange : « point rhomhique » est circonscrit à un cercle de 
diamètre s. Ses diagonales varient avec l'angle a des côtés entre * et oc. 

Deux perpendiculaires déterminent un ^i point carré v. 

Un point qui ne provient pas de 1 intersection de deux lignes, mais qui 



n I li II () r. I{ A l> Il I I: TXA 

ligure par cxomiili' dans la (loiiiiét; <l un |)iuIj1(IU: s(M-a coiisidtin'; comme 
lirculaiie el appelé k point luiid ». 

11 est facile de calculer, pour certains angles, la longueur de la plus 
grande diagonale du losange en fonction de la distance .v des côtés (dans 
cette question s = largeur des traitsi. 

Ou tiouve que : 

Quand le plus petit angle des 2 droites est 60 ' 



60° 
45° 


la plus grande 

» 


diagonale 


>= 2s 
= 2,32.s- 


30° 


» 




= SMs 


.4° 


» 




= 5,1 l.s 


15° 


» 




= :,66.s 


m1» 

•1 . 


n 




= 10,17s 


' 2 


>> 




= 15,3.s 


-4' 


» 




= 20,32.s 



Si l'épaisseur du Irait est de - de mm. la grande diagonale varie pour 

les augles considérés entre - de mm. el 4 mm. 

o 

On peut évaluer aussi l'extension graphique du contact d'une circonlé- 
rence avec sa tangente : en désignant par R le rayon de la circonférence, 
par A- la largeur des traits, on trouve que la cord e du segment commun à 
la circonférence et à la tangente est de 2 |/ .s (2H — s) 

si .s =: - de mm. et K ::= 3 cm., la corde mesure 5 mm. 
o 

L auteur considère 3 erreurs piincipales dans le tracé des lignes. 

En traçant une droite : 

1° Un déplacement parallèle : la droite est parallèle à celle qui aurait dû 
être tracée. 

2» Uue déviation angulaire: la direction de la droite fait un angle avec 
la direction de celle qu'on devait tracer. 

En traçant une circonférence ou un arc : 

3° Uue erreur d'excentricité : la pointe-sèche du compas est placée à une 
certaine distance du vrai centre. 

Ces 3 erreurs sont loin d'être également nuisibles, c'est surtout la 2®, 
Terreur de déviation angulaire qu il faut redouter, elle produit entre la 
position exacte et la position obtenue d'un point cherché un écart propor- 
tionnel à sa distance au sommet de l'angle de déviation. 

L'auteur établit quelle erreur se produira probablement dans les tracés 
élémentaires en considérant les losanges qui sont la forme graphiijue des 
points à joindre. 

Quand on doit joindre par une droite deux k points rliomlncjties » disposés 
de sorte que les petites diagonales des losanges soient dans la direction de 
cette droite, l'erreur probable est un déplacement parallèle d'une valeur 

= ^ ~ ^ 
2 

où d = grande diagonale, s :=. largeur des traits. 



1 



23 i B l H LIO G R AP U I E 

L'erreur commise probablement en joignant deux points rliombiques est 
la plus petite possible lorsque les grandes diagonales sont dans la direction 
de la droite. 

Lorsqu'on doit joindre un point « rond » à un point rlioinbic[ue dont la 
petite diagonale est dans la direction de la droite, Terreur probable est 

!-•• 1- <■! •- ^ — ■* 

une déviation angulaire a dont la valeur est exprimée par tga :^ — — — , 

ovi d r= grande diagonale, s = épaisseur du trait, / = distance des deux 

points. 

.. , . 1 

Si l'angle aigu du losange est 15°, / =r 2 cm et .s = rdemm., on trouve 

que a vaut un peu plus de 2*^. 

L'erreur probable, lorsqu on doit joindre deux points rliombiques dont 
les diagonales sont inclinées sur la direction de la droite, est plus grande 
que lorsque les grandes diagonales sont sur cette direction et plus petite 
que dans le cas où les petites diagonales sont sur cette direction. 

Le danger d'un point rhombique ne dépend pas seulement de sa 
forme (plus ou moins allongée), mais surtout de la direction de la droite 
qu'on doity faire passer. Une erreur graphique ne pèse pas seulement sur 
les opérations subséquentes, en raison de sa grandeur, mais surtout selon 
la nature de ces opérations, suivant les relations de position et de grandeur 
de leurs éléments avec l'erreur considérée. 

Ces résultats guident dans le choix des éléments arbitraires d'une cons- 
truction. 

Par exemple: mener par un point donné (rond) une parallèle à une droite 
donnée. 

Dans la solution consistant à dessiner un losange dont un sommet est le 
point donné, un deuxième sommet choisi arbitrairement sur la droite 
donnée, le 3^ également sur la droite et éloigné du 2^ comme le 2^ du le"" 
le 4e sommet est déterminé par l'intersection de deux arcs de cercle et devra 
être joint au point donné. Il est avantageux que ce 4^ point, qui est rhom- 
bique ait des diagonales peu inégales, ce qui arrivera si le 2« sommet a été 
choisi (à vue d'œil) près du pied de la perpendiculaire abaissée du point 
donné sur la droite donnée. Le losange qui donne la solution différera alors 
peu d'un carré. 

On établit, par des considératrons analogues, qu'en construisant un triangle 
donné par ses 3 côtés, il est avantageux de décrire les 2 arcs de cercle néces- 
saires avec les extrémités du plus grand colé coiwme centres. 

Pour trouver le centre d'une circonférence donnée, on y choisit 3 points 
arbitrairement, le centre sera le mieux déterminé lorsqu on choisit les deux 
premiers points à peu près diamétralement opposés et le 3" à peu près au 
milieu de l'arc des deux premiers. 

Pour partager un segment rectiligue en 2 parties égales, on choisira le 
rayon arbitraire des arcs à mener assez petit pour que les deux points rhom- 
biques à joindre présentent leur grande diagonale dans la direction de la 
droite qui les joint. 

Pour élever une perpendiculaire à une droite pai un point donné de cette 
droite, on choisira les deux points équidistants du point donné aussi loin 
que les dimensions du dessin le permettent. 

Quant aux erreurs d'excentricité les points rhombiques très allongés pré- 
sentent le plus d'inconvénients. 



/; u 1. 1. 1: T I N H mil o c n a I' n i n u e T.\h 

L ellel (1 une erreur d exceiil ticilé (lé[»cii(l de 1 ari^le (;oru[jiis eulie la 
ligue que l'arc (nfTeeté d'erreur) coupe, et la direction Vlélerminée par !<; 
<'eulre effeclif et le centre exact; cet elfet est maximum lorsque les deux 
directions coïncident. 

L'auteur applique encore ces résultats à diff'éreuls problèmes : Pai-tager 
une droite en n parties égales. Division de la circonférence en |jarties 
égales et tracé des polygones réguliers. Bissection de l'angle. C(jnstru(ii(jn 
<lê la tangente au cercle, etc.. 

11 serait li'op long de décrire les procédés recommandés sans mettre les 
figures sous les yeux du lecteur. 

Xous avons tenté de montrer l'esprit de la méthode d'investigation de 
M. Paterno. et nous recommandons aux praticiens, à qui les résulats 
seraient utiles, de recourir à ce travail dont les ligures illustrent si bien le 
texte. E. Chate(,ain'. (La Chaux-de-Fonds). 

H. PoiNCAKÉ. — Wissenschaft und Méthode. Aulorisierte Deutsche Aus- 
gabe mit erlautcrnden Annierkungeu von F. u. Ij. Lindemann. (Samm- 
lung « Wissenschaft und Hypothèse», XVIL — 1 vol. cari, in-16, 28;j p. ; 
5 M. : B. H. Teubner, Leipzig. 

Cette importante collection, publiée par la maison Teubner sous le titre 
même de 1 un des volumes de Poincaré «Science et hypothèse», comprend 
aujourd hui une série de remarquables ouvrages de philosophie scienti- 
fique, au nombre desquels on trouve aussi un autre ouvrage de Poincaré 
« La valeur de la Science », traduit par E. et H. Weber. Ce nouveau volume 
donne la traduction de «Science et méthode». Comme le premier, celui-ci 
a été traduit avec beaucoup de soin par M. et M™^ F. et L. Li.nde.ma.nn et 
complété de nombreuses annotations. L'ouvrage est trop connu dans le 
monde scientifique pour qu'il y ait lieu de rappeler ici les chapitres très 
intéressants abordés par Poincaré sur l'invention mathématique, les mathé- 
matiques et la logique, la nouvelle mécanique, la science astronomique, etc. 



BULLETIN BIBLIOGRAPHIQUE 



1 . l*ul>lications périodiques : 

Bibliotheca Mathematica, heiausgegeben von G. Enestrô.m. — Verlag 
B. G. Teubner, Leipzig. — Band XIII, Hefte 2-4. — L. C. Kakpinski : Hindu 
numerals among the Arabs. — L. C. Karpinski : The « Quadriparlituni 
numerorum » of John ot Meurs. — H. Wieleitner : Der « Traclatus de 
latitudinibus formarum » des Oresme. — O. Bolza : Benierkungen zu New- 
tons Bcweis seines Satzes ùber den Rotationskôrper kleinsten ^^"iderstandes. 
— H. Bl'kkhardt tind R. Kleeberg : Zur Geschichte der Interpolation durch 
Exponeutialfunklioneii. — H. Vogt : Die Lebenszcit Euklids. — N. Ramanu- 
JACHARiA and G. R. Kave : The Trisatika of Sridharacarya. — \V. Ckosby 



2:t6 bulletin hi h Lioc.RAPiii qui: 

Eells : On formation aiid use of nunierals iu Indian langua^es of Xorlli 
America. — L. C. Karpinski : The whetstone ot vvilte (1557). — G. E.ne- 
sTRiiM : Ueber die augebliche Intégration einer trigoiiometrischen Funklion 
bei Kepler. — 11. VYieleitner : Marino Ghetaldi und die Anfange der 
Koordinatengeometrie. — L. C. Karpinski : John Caswell. — D. Mahnke : 
Die Indexbezeichnung bei Leibniz als Beispiel seiner konibinatorischen 
Charakleristik. — G. Enestrôm : Der «Algorismus de integris» des Meisters 
Gernardus. — G. Loria : Lagrange e la storia délia malemaliche. 

Bulletin of the American Mathematical Society. — Vol. 19, n"s 6-10. — 
F. .\. CoLE : The IVinctcenlh Annuai Meeting ot ihe American Mathematical 
Society. — G. A. Miller : The Product of Two or More Groups. — D. E. 
Smith : The Mathematics of Mahaviracarya. — E. J. Wilczynski : Some 
gênerai aspects of Modem Geometry. — H. Galajikian : On certain non- 
linear intégral équations. — Vincent C. Pook : A theorem on asymptotic 
séries. — - W. D. Macmillan : On Poincaré's correction lo Bruns' Theoiem. 
— Miss L. D. CuMMiNGS : Note on the groups for Triple Systems. — F. N. 
CoLE : The February meeting of the American Mathematical Society. — 
J. E. RowE : Three or more Rational curves collinearly related. — R. D 
Carmichael : Second note on Fermât s last theorem. — E. H. Taylor ; An 
Extension of a theorem of Painievé. — H. E. Slaught : The Spring Meeting 
of the Chicago Section. — L. L. Dînes ; Concerning Two Récent Theorems 
on Implicit Functions. — A. D. Pitcher : Concerning the Property A of 
a Class of Functions. — P. Williams : The Asyinptotic Form of the Func- 
tion 'i (x|. — F.N. Cole : The April Meeting of the American Mathematical 
Society. — VV A. Manning : The Twenty-Third Regular Meeting of the 
San Francisco Section. — A. R. Crathorne : The Total Variation in the 
Isoperimetric Problem with Variable End Points. — S. D. Kii.lam : A ÎN'ote 
on Graphical Intégration of a Function of a Complex Variable. — E. B. 
WiLSON : The Unification of Vectorial Notations. 

Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris, l»^"" semestre 1913 
(suite). — 7 avril. — Emile Cotton : Sur une question concernant les fonc- 
tions de deux variables réelles. — J. Boussinesq : Application des formules 
de viscosité superficielle à la surface d'une g^outte liquide sphérique tombant 
lentement, d'un mouvement devenu uniforme, au sein d une masse fluide 
indéfinie en repos, d'un poids spécifique moindre. — Stanislas Belseïskv : 
De la stabilité d'équilibre dans un cas particulier de pièce courbe. 

Ik avril. — Tzitzeica : Sur une généralisation des surfaces minima non 
euclidiennes. — G. Valiron : Sur les fonctions entières d ordre fini. — 
G. Remoundos : Sur les séries et les familles de fonctions algébroïdes dans 
un domaine. — G. Polya : Sur la méthode de Grœffe. — Gunther : Sur les 
caractéristiques des systèmes d équations aux dérivées partielles. — Emile 
Picard : Application de la théorie des équations intégrales à certains pro- 
blèmes de la théorie analytique de la chaleur, dans l'hypothèse d un saiit 
brusque de température à la surface de séparation des corps en contact. 

'21 avril. — H. Burkhardt : Un théorème sur la fonction gamma. — Michel 
Petrovitch : Sur des transcendantes entières généralisant les fonctions 
exponentielles et trigouométriques. — A. Bilimovitch : Sur les systèmes 
conservatifs non holonomes avec des liaisons dépendantes du temps. — 
Louis Roy : Sur le mouvement des milieux visqueux indéfinis. — L. Dk- 
coMBE : Sur la théorie électronique de la gravitation. 



H u L I. E T I y n I li 1. 1 () I. Il A l' Il I (} l' E ta: 

'JS avril. — I^. GooKAfx : Sui- les iiivoliitious appai-U-naiil à une surface 
de genre el de bigenre 1. — G. H. Hakuv et J. E. Littlewoou : Sur la 
série de Kourier d'une fonelioii à carré sommable. — L. Roy : Sur le mou- 
vement des milieux visqueux el les quasi-ondes. 

ô mai. — 1 11. Angiielitza : Quelques remarques sur le dévcloppemenl 
exponenliel de Cauc*!!}-. — G. BouLlCA^D ; Sur la fonction de Green du 
cylindre iudéilni. — J. Hadamard : Observations à propos de la note pré- 
cédente. 

13 mai. — P. Appkll : Les polynômes \m,n d Ilcrmite et leurs analogues 
rattachés aux fonctions spbériques dans l'espace à un nombre quelconque 
de dimensions. — E. Landau : Sur les séries de Lambert. — Gaston Cotty : 
Sur la réduction des formes quadratiques binaires à coefficients entiers dans 
un corps quadratique réel. 

10 mai. — R. Soreau : Nouvelle formule approchée de la longueur de 
lellipse. — P. Lévy : Sur l'intégration des équations aux dérivées fonc- 
tionnelles partielles. 

26 mai. — P. Appell : \Jm,n d'Hermite et leurs analogues rattachés aux 
fonctions sphériques dans l'hyperespace. — N. Kkyloff : Sur quelques 
propriétés des équations intégrales à noyau non symétrique. — Tamarki.ne : 
Problème du développement d une fonction arbitraire en séries de Sturni- 
Liouville. — \V. F. Osgood : Sur une extension d'un théorème de W'eier- 
ï^trass et sur une restriction d'un autre théorème du même auteur. — 
M. d'OcACNE : Sur l'application générale de la méthode des points alignés 
aux problèmes qui se ramènent à des résolutions de triangles sphériques. 
— Th. GoT : Sur l'équivalence de certaines formes quadratiques ternaires 
indéfinies du même geni'e. — L. Décombe : Sur la viscosité de l'atome. 

'J Juin. — N. IjUsin : Sur la convergence des séries trigonométriques de 
Fourier. — P. Lévy : Sur lintégration des équations aux dérivées fonction- 
nelles partielles. — J. Chapelo.n : Sur les nombres de classes des formes 
quadratiques binaires positives et à déterminant négatif. — L. Roy : Com- 
plément à deux notes récentes sur le mouvement des milieux visqueux 
indéfinis. 

9 juin. — L. GoDHAux : Classification des involutious de genre 1 appar- 
tenant à une surface de genre 1. — A. Buhl : Sur les formules analogues 
à la formule de Stockes. — Th. Gox : Sur les domaines fondamentaux de 
certains groupes fuchsiens. — P. Dlhe.m : Remarque élémentaire sur le 
problème des ondes sphériques. 

16 juin. — N. JoNAS : Sur une transformation qui dépend d'une équation 
aur dérivées partielles du troisième ordre. — V. Ja.met : Sur le complexe 
des moments vectoriels. — E. Fabry : Un essai de démonstration du théo- 
rème de Fermât. — P. .Montel : Sur les différentielles totales et les fonc- 
tions monogènes. — .M. Petrovitch ; Séries hypertrigonométriques. — 
Ch. Plâtrier : Sur des solutions holomorphes de certaines équations inté- 
grales linéaires de troisième espèce. — P. Appell et H. Vergne ; Sur une 
transformation du mouvement d'un système holonôine consei'vatif donné 
dans le mouvement d'un système donné de même liberté. — Th. Poschl : 
Sur les équations des systèmes non holonônies. — M. Movli.n : Sur les 
courbes terminales du spiral droit. 

30 juin. — A. KoRN : Sur les équations intégrales à noyau asymétrique. 

2n>e semestre, 1913. — 7 juillet. — Barbe : Sur les hélicoïdes de seconde 
espèce. — P. Appell : Sur les développements en séiie procédant suivant les 



238 ■ BULI.KTIX H ] H 1. 1 O G U A P II I O V E 

inverses de polyiiùmos donnés. — C. Platkieh : Sur des solutions méro- 
morphes de certaines équalions intégrales linéaires de troisième espèce. — 
Th. GoT : Sur les symétries des groupes reproductifs des formes quadra- 
tiques ternaires indéfinies. — J. Boussinesq : Equations de l'équilibre dyna- 
mique de la couche supei-flcielle séparant un liquide d'un autre liquide. 

15 juillet. — RoBiNSON : Sur les systèmes d'équations aux dérivées par- 
tielles. — Th. A.NGHELUTZA^ : Sur une généralisation de la sommation de 
Riemann. 

21 juillet. — F. S. Zarlatti : Sur quelques équations intégrales singulières. 

Q8 juillet. — R. Sokeau : Formule approchée de l'arc d'ellipse. — Stiemki. : 
Sur les modules dénombrables. 

4 août. — R. Gâteaux : Sur les fonctionnelles continues et les fonction- 
nelles analytiques. — J. Andrade : Loi de similitude des ressorts circulaires. 

i""" septembre. — De Seguier : Sur les groupes quadratiques et hermi- 
tieus dans un champ de Galois. 

?? septembre. — D. Mirimanoff : Remarque sur une communication de 
M. Eugène Fabry au sujet de la démonstration du théorème de Fermât. — 
T. Levi-Civita : Théorème de Torricelli et début de l'écoulement. 

29 septembre. — L. Fejer : Sur les polynômes harmoniques quelconques. 
— H. Tiezte : Sur les représentations continues des surfaces sur elles-mêmes. 

6 octobre. — M. Plancherel : Svir la convergence des séries de fonctions 
orthogonales. — G. Remoundos : Sur les familles de fonctions multiformes 
admettant des valeurs exceptionnelles dans un domaine. 

13 octobre. — L. Fejér : Sur les polynômes trigonomélriques. — M. F'e- 
KETE : Sur une propriété de racines des moyennes arithmétiques d'une série 
entière réelle. — N. Guntiier : Sur la forme canonique des équations algé- 
briques. — M. ToMAssKTTi et J. S. Zarlatti : Le problème des deux corps 
de masses variables. 

20 octobre. — L. Lichtenstein : Sui- quelques applications de la notion 
des fonctions d une infinité de variables au calcul des variations. — F. 
LuKACs : Sur la série de Laplace. 

27 octobre. — G. Rémoundos : Le théorème de M. Picard dans un cercle 
dont le centre est un point critique algébrique. — M. Janet : Existence et 
détermination univoque des solutions des systèmes d'équations aux dérivées 
partielles. — Chipart et Liénart : Sur le signe de la partie réelle des 
racines d'une équation algébrique. — J. Chazy : Sur certaines trajectoires 
du problème des n corps. — H. Villat : Sur la validité des solutions des 
problèmes d'hydrodynamique : E. "okkl : La cinématique dans la théorie 
de la relativité. 

10 noK'embre. — E. Picard : Remarque au sujet d une équation intégrale 
considérée par M. Charlier. — G. Polya : Sur un algorithme toujours con- 
vergent pour obtenir les polynômes de meilleure approximation de 
Tchebycliof pour une fonction continue quelconque. — E. Goursat : Sur 
quelques équations intégrales singulières. — Chipart et Liénard : Sur 
le signe de la partie réelle des racines d'une équation algébrique. — 
Fessenkoif : Sur l'accélération équatoriale du Soleil. — C. V. L. Charlier : 
Sur la réfraction terrestre et la constitution de l'atmosphère. — R. Boulouch : 
\. Relations homographiques dans les systèmes de dioptries sphériques 
centrés ; II. Points stigmatiques singuliers. 

n novembre. — E. Kéraval : Sur iine famille de systèmes triplement 
orthogonaux. — Tzitzeica : Sur les réseaux conjugués à suite de Laplace 



n u I. i.ETi .V H mil () <; ii a l' ii i o / ' e -r.vi 

pOriodiijin.'. — Z. di-; Gicohge : Sur la ijuadraliirc des vai'it';ti';s. — Kaiiijx' 
DE Fkkikt : Sur les |)olyiiômes ullraspliériqiies. 

'}'i novenihre. — M. Petkovitcii : Sin- le module uiinimum d'une foMclion 
analytique le long d'une circonlérence. — G. Koemgs : Sur les mouvements 
doublement décomposables et sur les surfaces qui sont le lieu de deux 
familles de courbes égales. 

/ti- décembre. — A. Dkmoulin -. Sur une propriété caractéristique des 
familles de Lamé. — P. Appell : Développement de {x — T)~' en série pro- 
cédant suivant les inverses de polynômes donnés. — E. Vessiot : Sur la 
réductibilité des systèmes difTérentiels. — S. Beknstein : Sur quelques pro- 
priétés asymptotiques des polynômes. — H. Curétien : Sur l'analyse sta- 
tistique des amas d'étoiles. — A. Korn : Sur 1 origine du magnélisuje ter- 
restre. 

8 cléc. — M. Gevkey : Sur les fonctions indéliuimenl dérivables de classe 
donnée et leur rôle dans la théorie des équjitions partielles. — G. Bouligand : 
Sur le problème de Diricblet, dans un cylindre indéfini. — A. Bitimovitch : 
Sur les transformations canoniques spéciales. — M. Bkillolin : Propaga- 
tion du son dans un fluide homogène non absorbant. — E. Guillalme : I^^a 
vitesse de la lumière et le principe de Carnot. — Maurain et de Mois.mont : 
Mesures comparatives du frottement de l'air sur des surfaces de natures 
différentes. — V. Valcovici : Sur la résistance hydrodynamique d'un obs- 
tacle dans un raouvemeul avec des surfaces de glissement. 

7.7 déc. — Séance publique annuelle. 

J'J déc. — G. Darmois : Sur les courbes algébriques à torsion constante. 

— TziTzÉicA : Sur les réseaux à invariants égaux et à suite de Laplace [)ério- 
dique. — B. Hosti.nsky : Sur les courbes fermées à torsion constante. — 
E. EsLANGON : Sur les fonctions quasi-périodiques moyennes déduites d'une 
fonction quasi-périodique. — Kampé de Fériet : Sui- le développement 
d'une fonction en série de polynômes ultra-sphériques. — K. Popoff : Sur 
les équations de Fredholm de première espèce. — G. Bouligand : Rectifi- 
cation à la note « sur le problème de Dirichlet pour le cylindre indéfini » 
(séance du 8 déc. 1913). — G. Humbert : Sur les formes quadratiques 
binaires indéfinies. — A. Chatelet : Sur la multiplication complexe. 

— .1. Chazy : Sur les points singuliers de l'intégrale générale du problème 
des n corps. — Th. de Dokder : Sur le mouvement de la chaleur dans un 
corps athermane. — E. Belot : Extension d une théorie de Faye et applica- 
tion au mode de formation du système planétaire. 

29 déc. — A. Demoulin : Résolution d'un problème de calcul intégral. — 
L. LicHTENSTEiN : Intégration de l'équation Ai m = />»" sur une surface 
fermée — G. Giraud : Sur un groupe de transformations birationnelles. — 
A. RosENBLATT : Suc les invariants des variétés algébriques à trois dimen- 
sions. — J. Drach : Sur les intégrales communes à plusieurs problèmes de 
mécanique. 

Jahresbericht der deutschen Mathematiker-'Vereinigung, herausge- 

geben von A. Gvtzmek ; \ erlag B. G. 'l'eubucr, Leipzig, Baud 22, fasc. 1-10. 

— D. HiLBERT Begrûnduug der elementaren Strahlungsllieorie. — 
W. Kii.LiNG : Bemerkungen ùber die Ausbildung der Gymnasiallehrer. — 
W. F. OsGOOD : Zum Beweise des Picardschen Satzes : eine Ergiinzung. — 
R. SiippANTscHiTscH : Eine Vereinfachung in) Exislenzbeweis des bestimmtcn 
luleujrals. — R. Sturm : L'eber dii? Vorzeiclienrichtiffkeit meirischer Rela- 



•2W nui. L E TIN li IHI.I OG I{ A P II I O II E 

liuiien in dei' Geomeli'ie. — Stukm : Zur Exislenzfrage eiiies M<iximums odor 
Miiiiniuins. — E. Mli.lek : Das Abbildiingsprinzip. — E. Salkowski : Ziiin 
I>iegung«problem der Regelfliichen — W. Vu Mevek : IJeber eiiiem verall- 
gemeiiierlen Krùmmungsbegrift" uiid eiiien iieuen Auibau der Krûiiimungs- 
llieorie. — A. Voss : Wilhelm Fiedler. — F. Pfeiffer : Ibeorien des 
Fhissigkeitswiderstandes. — A. Voigï : Mathematisclie Théorie des Tarif- 
weseus. — J. VVkstlund : On the factorization ot rational primes in cubic 
cyclotomic number fields. — O. Perkon : Zur Exislenzfrage eines Maximums 
odei' Minimums. — L. Bibbekbach : lleber den Jordanschen Kurvensatz, die 
Scboenfliesschen Salze von Erreichbarkeil und Uubewalllheit iind den Satz 
von der Invarianz des ebenen Gebietes. — W. Blascuke : Ueber isomelriscbe 
Flaciienpaare.— H.Rothe : Ueber Harnillonsclie Seclisecke. — R. \^'En■ZE^•B<icK : 
Die Invariante!! der affinen Gruppe. — D. Kryschanowsky : Ueber eineVerall- 
gemeinerung des Grenzwei'lbegrifies und ihre Anwendu!ig auf den Existenz- 
beweis des bestimmlen Intégrais. — R. Suppantschitsc.h ; Ei!ie Ergilnzung 
zu iiieiner Noie iiber eine Vereinfachung im Existenzbeweis des beslimmten 
Intégrais. — A.W. Yelten: Ueber die Funklionen, die ans der Jacobischen 
Q-Fnuklion entspringen. — H. Bukkhardt ; Malhematisehe Miszcllen ans der 
^ orlesuiigspraxis. — H. Bkck : Zur Lehre von den Mongesciien Flaclien. — 
R. KôNiG : Ueber quadralische Formen und Zahlkorper, sowie zwei Grup- 
pensiitze. — R. Sturîm : Uber den feslen Kreis bei Aufgaben 2. Grades. — 
F. I)ii\GEi.DEY : Ueber ein gewisses Intégral und eine einfache Darslellung 
der Kugeifunktionen erster A!t. — K. DoebleiMann : Ueber den Bildungs- 
werl der reinen Matliematik. — E. Haentzsghel : Euler und die VVeier- 
strasssche Théorie der elliptischen Funktionen. — H. von Koch : Ueber das 
Nichlverschwinden einer Déterminante nebst Bemerkunge!i ûber Système, 
nnendlich vieler linearer Gleichungen. — G. A. Miller : Maximal ordei oï 
the raultiplying group corresponding to a p-isomorphism of an abelian 
group of order p"K — H. Wiener : Ueber den Wert der Anschauungs- 
mittel tùr die mathematische Ausbildung. — H. Wiener : iXeue matiieniati- 
sche Modelle ans B. G. Tenbuers Sammlung. 

Journal fiir die reine und angewandte Mathematik, herausgegebcn von 
K. He.\sel ; Verlag Keimer, Berlin. — Barid Pi'J. Hettc 2-4 — H. W. E. 
Jung : Ueber die ausgezeichneten Kurven algebraischer Flachen (Schliiss.). 

— H. Lemke : Ueber die Differenfialgleichiingen, welche den Gleichgeuichls- 
zusland eines gasformigen Hininielskorpei's bestimmen, dessen Teilc 
gegeneiuander nach dem Newtonschen Geseize gravitieien. — L. E. J. 
Brouwer : Ueber den natiirlichen Dimensionsbegrift". — G. RABiNOwnsc:n : 
Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlfaktoren in quadratischen Zahlkor- 
pern. — L. Fejer : Ueber die Beslimmung des Sprnnges der Fnnklion ans 
ihrer Fourierreihe. — L. Lichtenstein : Ueber das Poinssosche Intégral 
und ûber die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung des logarithmischen 
Polentials. — R. Kônig : Beitrage zur Arithmetik der hyperelliptisciien 
Funktionenkôrper. — J. Kurschak : Ueber Limesbildung und allgemeine 
K<)rperllieorie. — O. Perron : Ueber lineare Differenlialgleichungei!, bei 
denen die unabhangig Variable i-eell ist (I). — J. Rosanes : Zur Théorie der 
Kegeischnille. — R. Remak : Neuer Beweis eines Minkowskischen Satzes. 

— K. Knoi>p : Ueber Lambertsche Reihen. 

Monatshefte fur Mathematik und Physik, herausgegeben von G. v. 
EscHERicH 11. w. \N'irtinger; Veilag Eisenstein, Wien. — X\l\.Jahroang 



Hll.l.E I l N li 1 1{ I. I ()(, Il .t l> Il I <J U E -J'il 

lÇ)i;i. — .1. A. G.MEiNKK ; l ebei- «lie ZLile^^iing <k r iialiirliilK-ii Ziililini iu 
Primfakloien. — H. Hahn : Kr^anzcnde Bemerkuii^ vu nieiiier Aiheil iiber 
den Osgoodsclien Salz in Haiid 17 dioser Zeilschrill. — A. Kanda : Beitrage 
ziir r<;inen Diflcifiitial^reomelrie. — J. Ho.sE^Bl;KG : l'ebcr das Verhalteii 
von Kxlrcnialenbogen, à'w den zuin Anlan^sinnikl koiijugicrUMi Punkt 
enthallen, btini J^agrange'schen Problern dcr Variationsiechnung. — 
P. RoTH : Das erweileile linkehrprublcm ûi'v Abelschen Intégrale in der 
Geomelrie der ebenen Kurveii. — V . Klik : L'eber die Grundlagenlorstbiing 
in der Geomelrie. — \\. Kohi, . L'eber die Bereehnung der inneren Knergie 
ans der Zuslandsgleieliung. — G. Kowai.kwski Benierkung iiber die 
Transformation der Laplacesciicii Gleichung. — \j. Bkaidk.: Ueber Parallel- 
knrven von Kpi- und Hypoz\ kloiden. — E. Kohl : L'eber eine Bezielning 
zwischen den beiden spezifisclien Warmen einiger tester Kôrpeiv — 
H. TiKTZE : Ueber die raschesten Kettenbruclientwicklungen reeller Zahlen. 

— R. Weitzenb<)ck : Znr Differenlialgeoinelrie algebraisclier Klaclien. — 
K. L. DooD : The Error-risk of certain Funktions of the Measureinenls. — 
K. ZoRAwsKi : Ueber Eigenschaflen eines vieitacheu Intégrais, wclche 
Vcrallgemeinerungen zweicr Satze der Théorie der Wirbelbewegung siiid. 

— J. LissNEK : Berichtigung der Bewegungsgleichnngcn liir Fernwirknng 
mit endlicher Fortpflanznngsgeschwindigkeit mit Hùcksicht anf das Helali- 
viliitsprinzip. — L. Scmai.licr : Ueber die Grenzfliiche der St i-alilensysteme, 

Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, G. Glccia. — '1 . XXXV. 

— M. BoTASso ; Omogratie veltoriali del piano. — M. de Franchis : SuUe 
superficie del 5" ordine con infinité coniciie. — L. To.nelli : Sul caso rego- 
lare nel Calcolo délie Variazioni. — A Schœ.nflies : Ueber einen Youiig- 
scheu Beweis des verallgemeinerten Borelschen Intervali-Theorems. — 
P. Appell : Sur le polenliel d'un polyèdre homogène. — L. von David: Zur 
Gauss'scheu Théorie der ModuUuuktion. E. Jah.nke : Das Orthogonal- 
systeni der Loreutz-Translormation. — T. H. Groxwall : Sur la fonction 
Z [s] de Riemann au voisinage de 3 = 1. — W. F. Osgood : Exislenzbeweis 
betreffend Funklioneu, welche zu einer eigeiitlicli diskontinuiei lichen auto- 
morphen Gruppe geliôren. — A. Errkra : Zahlentheoretische Losuug einer 
functiouentheoretischeu Frage. — T. H. Gronwall : Sur les séries de 
Dirichlet correspondant à des caractères comple.xes. — G. Vivanti : Sui 
gruppi finiti di sostiluzione lineari. — E. Maccaferri : Le delinizioni per 
astrazioue e la classe di Russell. — H. \Veitzenb<')ck : Ueber schiefsymme- 
trische Funklionen (II. Milteilungl. — X. E. Nôrlund : Sur linlégration 
des équations linéaires aux différences finies par des séries de facultés. - — 
G. Remolndos : Le théorème de M. Picaid et les fonctions algébroïdes, — 
F. Levi : Arithmelische Geselze im fîebiete diskreter Gruppen. — A. Kosen- 
BLATT : Sur les surfaces irrégulières dont les genres satisfont à linégalité : 
pg ^ 2 \pa -\- 2). — G. Usai : Una generalizzazioue di determinaiili lipo 
Lauricella. — J. Pérès : Résolution des problèmes aux limites relatifs à 
une équation iatcgro-différentielle de M. Volterra. — E. Landau : Ueber 
einen Satz des Herrn Lilllewood. — D. Pompeiu : Sur une classe de foiu- 
lions d'une variable complexe et sur certaines équations intégrales. — 
P. Appell : Sur le polenliel d'un polyèdre honiogcne. (Extrait d'une lettre 
à .M. GucciAi. — !•;. Kas.nek : Equitangcntial Congruences of Curves in 
Space. — H. P. Hldson : On the Coinposilion of Cremona Space-Trans- 
formations. — P. Tortorici : Sulle deformazioni infînilesime délie super- 



242 BULLETIN H I B L I O G R A P H I Q U E 

ficii e sul teorema di permiilabilità. — A. Korn : Ueber die erste uud 
zweite Randwertaulgabe der Poteiiliallheorie. — C. Rosati ; Siille assino- 
ticFie délia superficie di Kummer. — E. Bortolotti : Siigli iiitegrali de(i- 
niti improprii. — P. Marti.xotti : Il Wronskiaiio e la dij)endenza lineare di 
n t'iinzioni di iina variabile reale. 

ZeitschrifL fur Mathematik und Physik, herausgegeben von E. Mehmke 
und C. RuNGE. Verlag B. G. Toubner, Leipzig. — Band 61. — A. Francke : 

Der Parabehriiger 1- = h( — j . — K. Goldzihek : Méthode zur grapbi- 

schen liôsung von Systemen linearer Gleicbungen. — R. Gans u. P. Hertz : 
Die Tlieorie des Ewingschen Modells eines ferromagnelischen Korpeis. — 
H. Happei, : Ueber einige Problème aus deni Gebiet der geometrischen 
Wahrscheinlichkeiten. — J. Schatte : Ein Satz ûber Wurfbahnen im leeren 
Raume. — O. Sch^efer : Eine mechanische Vorrichtung zur Lôsung einiger 
Differeutialgleichungen. — P. Field : Ou Coulombs Laws of Friction. — 
W. Rottsieper: Ein Instrument zum Zeichnen von Hyperbeln mit Benutzung 
der Asymptoten. — U. Cisotti : Sopra il régime permanente nei canali a 
rapide corso. — A. Willers : Ein Rechenstab f'iir Ballonfùhrer. — P. Fil- 
LUNGER : Ein Beitrag zur Théorie der Festigkeit von Zughaken. — M. Gebbia : 
Studio sulla spinta délie terre. — H. v. Sanden : Ueber den Auftrieb zylin- 
drischer Korper im nalûrlichen Winde. — R. Mayer : Ueber die Form- 
anderung, Beanspruchung und Stabilitiit des geschlossenen Kreisringes und 
des an beiden Enden bct'estiglen Kreisbogens. — L. vois Schkutka : Ueber 
einige besondere Verwendungsarten der Rechenmaschine. — J. Wellstein : 
Zur Théorie der Reibung starrer Korper. — M. Sefîgelius : Untersu- 
chungen kinetographischer Koi-respondenzen [2, 2] in der Ebene und im 
Raume. — C. Mineo : Su una nuova deduzione délia legge di frequenza 
degli errori. — A. Proll : Zur Dynamik des Kurbelgetriebes. — H. Nies : 
Ueber eine Gesetzmassigkeit der Planetenrotation. — H. v. Sanden : Gra- 
phische harmonische Analyse. 

die durch Bewegung eines Strahlenbûschels entstehen. — L. Theisinger . 
Bestimmte Intégrale. — F. Gomes Teixeira : Sur les courbes à développée 
intermédiaire circulaire. — A. E. Haas : Ueber einProblem aus der Théorie 
der Kugelfunktioneu. — L. Theisinger : Einige Reihen entwicklungen. 

Proceedings of the London Mathematical Society. Vol. 12. — H. F. 
Baker : On some Récent Advaiices in the Theoi'v of Algebric Surfaces. — 
W. H. YouNG : On the F"ourier Séries of Bounded Functions. — W. H. 
^ouNG : On the Détermination of the Summabilily of a Function by means 
of its Fourier Constants. — W. Burnside : On Groups of Linear Substi- 
tutions of Finite Order which possess Quadratic Invariants. — H. Hilton : 
Some Properties of Symmetric and Orthogonal Substitutions. — T. J. I. A. 
Bromwich : Certain Potential Functions and a Nevv Solution of Laplace s 
Equation. — J. B. Holt : On the Irreducibilily of Legendre's Polynomials 
^Second Paper). — E. Cunningham : The Theory of Functions of a Real 
Vector. — E. W. Hobson : On the Représentation of a Summable P'unclion 
by a Séries of Finite Polynomial«. — G. H. Hardy : An Extension of a 
Theorem on Oscillaling Séries. - — H. R. Hasse : The Equations of the 
Theory of Electrons Iransformed relative to a System in Accelerated Motion. 
— W. H. Young : On Dérivâtes and their Primitive Functions. — J. C. 



H u 1.1. ET I s m H i.i()(. n .\ i> u i ()ii: 24:j 

FiEi.uJi : l'roofs of cerlaiii Goncral 1 heoreiiis roliiliiig to Orclt-rs of Coinci- 
deiice. — H. E. J. CcKZON : On a Connexion belwcen ihe Funclions of 
Hermile and the Functions of I.egendre. — W. H. Youkc : On F'unclions 
and their Associated Sels of Points. — G. N. Watso.n : Some Properties 
of the Exiended Zeta-Kunclion. — E. W. Hobson : On tlie convergence of 
Séries of Orthogonal Functions. — A. E. H. Love : Notes on the Dynamical 
Theoiy of the Tides. — A. B. Grieve : Some Points in the Geomcti-y of 
(lubic Surfaces. — W. H. Young : On Unifortn Oscillation of the First and 
Second Kind. — (i. H. Hakdv : On the Summabiiity of Fourier's Séries. — 
P. J. Hedwoou : On a Grapliical Démonstration oftlie fundaniental Properties 
of Quadratic Hesidues. — H. T. H. Piaggio : Some Non-Primary Perpétuant 
Syzygies of the Second Kind. — VV. E. H. Berwick ; The Classification of 
Idéal Numbers that dépend ou a Cubic Irrationalily. — H. .M. Macdonai.d : 
The Dilfraclion of Light by an Opaque Prism. — \N'. H. Younc : On the 
Mode of Oscillation of a Fourier Séries and of ils Allied Séries. — 
.1. Proudman : On some Cases of Tidal .Motion of Rotating Sheets of Water. 
— T. C. Lewis : Figures in «-Diniensional Space analogous to Orthocentric 
1 l'Irahedra. 



"2,, I^ivres nouveaux: 

P. Albert et G. Papelier. — Exercices de Géométrie analytique à l'usage 
des élèves de mathématiques s.pécia}es. Tome premier. — 1 vol. in-8, 
360 p., 6 fr. ; Vuibert. Paris. 

F. Auerbach. — Die graphische Darstellung. Eine ailgemeinverstand- 
liche, durch zahlreiche Beispiele aus alleu Gebieten der Wissenschaft und 
Praxis erlaiilerte Einfùhrung in den Sinn iind den Gebrauch der .Méthode. — 
lAus Natur und Geisteswelt. X» 437i. — 1 vol. in-16. vi-97 p.. 1 .M. 25: 
B. G. Teubner, Leipzig. 

L. Bachelier. — Le Jeu, la Chance et le Hasard. — (Bibliothèque de Phi- 
losophie scientifique). — 1 vol. in-8, 320 p.. o fr. 50; E. Flammarion, 
Paris. 

Ch. BiocHE. — Histoire des Mathématiques. — 1 vol. iu-16, vi-93 p. : 
1 fr. 75. E. Belin, Paris. 

L Bralde. — Les coordonnées intrinsèques, Théorie et Applications. — 
(Collection Scientia N" 34.), 1 vol. in-8, 100 p. : 2 fr. : Gauthier-Villars, 
Paris. 

G. St. L. Carson and D. E. S.mith. — Eléments of Algebra. Part. I. — 
1 vol. in-16 ; n-346 p.; 3 sh. : Ginn & Cn., Londres. .\eu-York, Chicago. 

E. CoTTON. — Cours de Mécanique générale. (Introduction à l'étude de 
la Mécanique industrielle) : — Vecteurs. — Géométrie des Masses. — Prin- 
cipes. — Cinématique. Statique. (Bibliothèque de l'Elève Ingénieur.) — 
1 vol. in-8, 166 p. ; 5 fr. ; Gauthiei--Yillars. Paris ; Rey. Grenoble. 

Z. G. de Galdeano. — Anuario de Propaganda Matematica (1914| com- 
prendiendo el Curso de extension uuiversitaria Geuesis v desenvolvimiento 
.Matematico. Cuaderno Primero. — 1 fasc. in-8, 63 p. : (i. Casanal, Sara- 
gosse. 

H. H. Goodacre, e. F. Holmes, C. F". Noble and P. Steer. — Bell's 
Outdoor and Indoor Expérimental Arithmetics. Teachers Book. — 1 vol. 
iu-8, xii-377 p. ; 3 s. 6 d. ; G. Bell tV Sons, Londres. 



2'i'i HVLLETIN K I R L I O l. R A P H 1 Q U R 

J. Hjelmslew. — Darstellende Géométrie (Haudbuch der nngewandten 
Mathemalik, X» 2). — 1 vol. in-8, x-320 p.; 5,40 M., relié 6 M.: 
B. G. Teubner, l>ei[)zig. 

E. Lampe. — Jahrbuch ûber die Fortschritte der Mathematik. Band 42. 
Jahrgang 1911 (In 3 Hefteii.) — 1 vol. iu-8, 1200 p. ; G. Reiraer, Berlin. 1914. 

Férnand Lkvy. — Sur la détermination, par les fonctions elliptiques, du 
nombre des classes de formes quadratiques binaires de déterminant 
négatif donné. ( Thèse de doclorat, Ecole polytechnique, Zurich). — 1 fasc. 
in-8, i8 p. ; A Kiindig, Genève. 

E. Netto. — Elementare Alqebra Akademische Vorlesungeu fur Stn- 
dierende der ersten Sen)ester. 2"'^ édition. — 1 vol. in-8, x-200 p. ; 4,40 M.; 
B. G. Teubner, I.,eipzig. 

H. von Sanden. — Praktische Analysis. (Handbuch dor angewandten 
Mathematik, N" 1.) — 1 vol. p. in-8, xx-185 p. ; 3,60 M., relié 4,20 M. : 
B. G. Teubner, Leipzig. 

V. VOLTERRA, J. HaDAMARD, P. LAiNGEVIN, P. BoUTKOUX. HOUri Poin- 

caré. L'œuvre scientifique. L'œuvre philosophique. (Nonvelle collection 
scientifique.) — 1vol. in-16, 265 p. ; 3 fr. 50; F. Alcan, Paris. 

M. VViLENSKv. — Ueber Besselsche Funktionen. (Thèse de doctorat, 
Université <ie Berne). — 1 fasc. in-8, 65 p. ; Leemann & Co., Zurich. 

Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées. Edition 
tVan(,'aise dirigée par J. Molk. — Tome II, vol. 5 : Développements en 
séries ; fasc. 2 : Fonctions sphériques ; exposé, d'après l'article allemand 
de A. Wangerin par A. Lambert, avec une note de P. Appell et A. Lambert 
(fin. ) Généralisations diverses des fonctions sphériq ues ; exposé par P. Appeli. 
et A. Lambert. — Tome IV, vol. 5. Systèmes déformables, fasc. 2 : Hydro- 
dynamicjue, partie élémentaire, exposé d'après l'article allemand de A. E. H. 
Love par P. Appell et H. Beghin. Développements concernant l'hydro- 
dynamique, exposé d'a[)rès l'article allemand de A. E. H. Love, par 
P. Appelé, H. Beghi.n et H. Villat. B. G. Teubner, Leipzig, et Gauthier- 
Villars, Paris. 

Schriften des deutschen Ausschusses fur den mathematischen und 
naturwissenchaftlichen Unterricht. Heft 18 : Bericht ûber die TiUigkeit 
des deutschen Ausschusses im Jahre 1913, erstattet vom W. Lietzma>n. — 
1 fasc. in-8, 10 p. ; B. G. Teubner, Leipzig. 



COMPTE liENDU 
Conférence internationale de l'enseignement mathématique. 



Paris, l-'i .Uril l'Jl'i. 
isuite et fin) 



LES RESUf/rATS OBTENUS DANS L'INTRODUCTION 

DU CALCUL DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL 

DANS LES CLASSES SUPÉRIEURES 

DES ÉTABLISSEMENTS SECONDAIRES 

1 

RAPPORT GÉNÉRAL 

piésenté a la séance du 'J ai'iil l'JLk 

PAK 

E. BEKE 

Professeur à IL niversiti- de Hudiipest. 



Introduction. 

Lactivité de la Commission Internationale de l'Enseignement 
Mathématique est presqne sans pareille parmi les activités inter- 
nationales intellectuelles du XX*^ siècle. Pourtant, il est incontes- 
table que ce ne sont ni les lacunes de l'enseignement, ni linsutTi- 
sance des résultats qui ont provoqué la réclamation énergique des 
réformes. En efi'et, en comparant le fruit des études mathéma- 
tiques avec celui d'autres études, on avait raison, dans le monde 
entier, de ne pas être trop mécontent. Des considérations d'ordre 
plus élevé ont déclanché le mouvement réformiste. Il faut en 
chercher la vraie origine dans la transformation, survenue au 
XX"' siècle, des idées sur la culture générale et dans les efforts de 
l'enseignement secondaire tendant à suivre la transformation de 
ces idées. 

La tendance à être exact, dans toutes les recherches, dans la 
pensée et dans l'action, a rehaussé la valeur des études scienti- 
fiques. Il semble que c'est l'avis, parmi les personnalités dirigeantes 
de l'enseignement secondaire, de celles même qui n'ont pas varié 
dans leur jugement sur la valeur de l'enseignement des lettres. 
« Les lettres sont et resteront — dit M. Liard, vice-recteur de 
l'Académie de Paris, dans une réunion tenue au Musée pédago- 
gique en 1904 — comme par le passé, des institutrices éprouvées 
qu'il serait impossible de suppléer dans leur domaine. Mais dans 
le domaine qui est celui des sciences positives, on attend des 
sciences plus d'effets que par le passé, pour la formation des 

L'Enscigneniont niHthém., 16' année; 1014. 16 



246 



E. REKE 



esprits. « Ce changement de la valeur éducative, attribuée aux 
Sciences, exige que renseignement des Mathématiques, clef de 
toutes les études scientifiques, devienne plus conforme aux idées 
nouvelles sur la formation des esprits. 11 y a des sciences qui, 
ayant passé ce que M. Picard appelle, d'une expression heu- 
reuse, la phase « prémafhématicpie » de leur histoire, viennent de 
franchir le seuil oîi les Mathématiques cessent d'être un ornement 
sans utilité, poui" devenir la langue naturelle de la pensée et des 
déductions scientifiques et. par conséquent, l'instiument du 
progrès. 11 suit de là que lliabitude des Mathématiques et la con- 
naissance de certains éléments des sciences mathématiques qui 
étaient, jusqu'à présent, le privilège d'un petit nombre d'espiils, 
doivent pénétrer, désormais, dans des couches plus vastes de 
l'Humanité. Ce sont probablement ces réflexions qui ont conduit 
les maîtres de l'enseignement à reviser les matières de l'enseigne- 
ment mathématique, et ce sont ces pensées ou des pensées analo- 
gues qui ont conduit des hommes de valeur, au Congrès des 
mathématiciens à Rome, à émettre et à réaliseï' lidée d'une Com- 
mission internationale de renseignement mathématique. 

Peut-être y a-t-il, dans le subconscient, d'autres raisons encore 
qui nous déterminèrent à venir, de toutes les parties du monde, 
nous réunir pour réformer l'enseignement mathématique et à 
publier, avec l'aide de toutes les nations et dans un laps de temps 
relativement court, un ouvrage de 200 fascicules, monument sans 
précédent d'un effort et d'un esprit international. Je crois pouvoir 
affirmer, sans crainte de me tromper, que c'est un haut idéal 
d'internationalisme qui nous a réunis ici. Nous avons senti que 
l'éducation de la jeunesse n'a pas seulement pour but de former, 
d'accroître et de maintenir les forces vives d une nation et l'esprit 
national, de doter du patrimoine commun les ouvriers actifs de 
la civilisation nationale; elle a aussi la tâche encore plus noble de 
créer et de faire vivre un idéal commun à toute l'Humanité." Ce 
n'est pas par un pur hasard que ce travail international a été entre- 
pris par les représentants de l'enseignement mathématique. 
M. Fèli.v Klein, notreprésident d'un zèle infatigable, a fait ressortir 
dans son allocution présidentielle prononcée à la conférence de 
Bruxelles, que les Mathématiques, n'ayant aucun rapport avec les 
aspirations nationales, sont prédestinées à être le sujet de discus- 
sions internationales. 

Quand notre Commission délibère sur la transforniation de 
l'enseignement mathématique en vue de l'adapter aux exigences 
accrues de la civilisation et de l'idéal de culture de notre temps, 
elle fait aussi un premier pas dans la voie qui s'élève au-dessus 
des aspirations nationales, vers des aspirations de l'Humanité. 
Espérons quelle trouvera en cela de dignes continuateurs. C'est 
de ce point de vue élevé, embrassant la marche de la civilisation 



CMC ri. 1)1 m: it E .\r I E i. et inteceai. 247 

géntMale, quil faut coiisidcier notre action, même si, en ai)pa- 
rence, non s non s occupons de (| nés lions sans inipoitanee extrême, 
comme celle snc la<|uell(' j aniai I lioniieiii' de (aire nn rapport 
aujonrdhiii. 

Il nous arrive souvent, à nous autres mathématiciens, de traiter 
en détail quelque cas particidier après avoir l'ait la théoiie y;éné- 
rale d'un problème ; il nous arrive aussi — et cela nous fait hean- 
coup plus de plaisir — de découvrii- dans une (jueslion spéciale 
les caractéristi({ues d'un pioblèmc général et important, .le ci'ois 
donc que le champ restreint, auquel nous borneions notre étude, 
éveilleia d'autant plus notre attention qu'il ouvrira une vue sur 
l'accomplissement de la tâche plus ncdîle dont jai pailé plus 
haut, tâche qui est la plus digne peut-être de l'activité humaine. 



I. — Place du Calcul différentiel et intégral 
dans l'enseignement secondaire. 

La tâche que j'ai assumée, sur l'invitation gracieuse de la Piési- 
dence de la Commission internationale, est de vous tracer un 
tableau des résultats produits par l'introduction du Calcul dilFé- 
rentiel et intégral, objet principal de notre mouvement réformiste, 
et — en dehors des résultats des projets — des tendances et des 
expériences, le temps ayant été trop court pour que les résultats 
puissent être considérés partout connne définitifs. 

Dans les pays où quelques écoles ou quelques types d'écoles 
enseignent depuis longtemps le Calcul différentiel et intégral, 
des méthodes et des procédés sont en voie de formation et les 
résultats peuvent être considérés comme définitivement acquis. 
Nous aurons le plaisir d'entendre, dans le rappoit suivant, nn 
compte rendu des résultats définitifs acquis en France. 

Là, depuis 12 ans déjà, l'enseignement secondaire des éléments 
du Calcul différentiel et, en partie, ceux du Calcul intégral ont 
pénétré dans les institutions. Nous pouvons dire avec Faust que 
là « au commencement fut l'action ». L'action réfléchie, fruit du 
concours de forces organisées. Ce n'est pas seulement le plan 
d'études officiel qui introduit ces notions dans certaines branches 
de l'enseignement secondaire, mais on a mis tout de suite des 
outils parfaits, nécessaires au travail, à la disposition des écoliers 
et des maîtres. Si l'on trouve quelque part clés résultats ra])ide- 
ment acquis, cela doit étie bien là, où les c<'lébritcs mondiales de 
notie science, nos maîtres à nous tous, dans leurs ouvrages de 
Mathématiques et dans leurs écrits philosophiques, ont su se 
pencher sur l'école secondaire et élever à eux ceux qui y ensei- 
gnaient les Mathématiques. J'accomplis un devoir agréable en 
rendant hommage aux esprits dirigeants de cette grande nation 



2 ',8 /• . HEKE 

qui, tant dans le passé tout proche que dans le présent, ont pris 
une part active, par la parole et par l'exemple, à rénover l'ensei- 
tjnement mathématique et qui ont porté haut le flambeau de notre 
niou veulent international. 

L'étude des documents et informations re^us uia convaincu 
— cotnme je l'ai déjà dit — que notre mouvement réformiste a 
déjà produit partout un immense effet en donnant une impulsion 
aux aspirations rénovatrices. Cela ressort surtout des réponses 
faites à la première question. Cette question était ainsi rédigée : 

« Dans quelle mesure a-t-on introduit les premiers éléments de 
Calcul diflerentiel et intégral dans les écoles moyennes de notre 
pays ? » 

Les brochures publiées et les informations permettent de cons- 
tater que dans tons les pays où, pendant les 12 dernières années, 
un noin^eaii plan d études des écoles secondaires est entré en vignettr, 
une place plus ou moins grande y a été résers>ée à la notion de fonc- 
tion et aux éléments du Calcul différentiel et intégral. — La notion 
de fonction a été presque entièrement négligée il y a douze ans, 
ce que le Président de notre Commission a constaté pour son 
propre pays ^; ses paroles s'appliquant à presque tous les autres 
pays. Aujourd'hui, au contraire, il n'existe plus de pays où la 
notion de fonction ne trouve place dans l'enseignement secondaire 
et même — à très peu d'exceptions près — les éléments du 
Calcul différentiel et intégral figurent dans le plan d'études. Si 
l'on voit le changement rapide des choses, on ne peut ne pas être 
frappé d'admiration devant l'étendue du succès de notre mouve- 
ment international. Comment est-il arrivé que l'école, institution 
conservatrice s'il en fut, s'est transformée si rapidement dans le 
monde entier, sous l'impulsion de l'énergie du professeur anglais, 
M. Perrij, sous la suggestion de l'action française, sous l'induence 
de la propagande active et multiple de M. Félix Klein? Cela ne 
peut être que grâce aux idées latentes qui vivaient dans l'esprit 
des pédagogues et qui n'attendaient qu'une impulsion. Cette 
transformation n'est pourtant pas encore ce cpie M. Klein avait 
souhaité et nous tous avec lui; elle n'a pas encore mis la notion 
de fonction au centre de tout l'enseignement secondaire, pour que 
cette notion y agisse comme ferment et vivifie toute la matière 
enseignée'^ ; pourtant nous avons le droit d'être fiers de ce que, par- 
tout, l'école secondaire a largement ouvert ses portes devant les 
idées nouvelles. Pour le faire voir en détail, nous allons passer en 
revue les états de la question dans les divers pays. Je crois remplir 
le mieux mon devoir de rapporteur général en faisant parler, le plus 
souvent possible, MM. les rapporteurs eux-mêmes ou en puisant 



' Klein-Schimmack, p. 27. 
* Klein-Riecke, p. 4. 



C A I. C m. I) I F F /•; // F NT I F I. F T I .V / F C U A I. î \ 't 

mes infoiinalions dans les dociimciits piihlics par la (lomniissioii 
iiiteriialionalo ; oxceptioiinclleiiioiil, je tlemaiiderai la permission 
dV.\|)iiiHci' mon piopre avis. 



II. " Rapport détaillé sur rintroduction du Calcul différentiel 
et intégral dans les établissements secondaires des différents Etats. 

1. .\.i.i.i;.m.V(,m:. — Le désir de translormer rensei^rienient 
mathématique a depuis longtemps préoccupé l'opinion publique 
en Allematine, mais le courant d'opinion ne s'est dessiné que le 
jour où M. Félix Klein, notre président actuel, s'est mis à la tète 
des réformateurs. Dans son article de 1002. dans son cours de 
vacances de 1904 :i Gottingue et depuis, dans ses écrits et dans 
ses leçons, il ne se lassait pas de démontrer la nécessité de la 
réforme de l'enseignement mathématique. Son collaborateur 
dévoué, M. Lietzmann nous a informé des résultats acquis : en 
Prusse, où Ion n'a pas fait un nouveau plan d études dans les 
dernières années, l'enseignement du Calcul cUlfiMentiel et intégral 
n'est pas introduit officiellement, pourtant il a trouvé place dans 
presque toutes les écoles réaies, dans beaucoup de gymnases réaux 
et dans un bon nombre de gymnases; en Boi'ière, il figure déjà 
dans le plan d'études des écoles réaies et il y a lieu d'espérer 
qu'il entrera dans le plan d'études qu'on prépare pour les autres 
genres d'écoles; en Saxe, le nouveau plan d'études des écoles 
réaies l'autorise pourvu que l'état de la classe en fasse prévoir 
des fruits ; il est porté sur le programme de tous les genres 
d'écoles par le plan d'études de 1912 en \Vnrte?nberg et en Bade. 
Dans d'autres Ktats, où il n'y a pas un nouveau plan d'études, il 
est donné clans presque toutes les écoles réaies et dans nombreux 
gymnases. A Hambourg, comme un autre membre zélé de notre 
Commission, M. le directeur Thaer, nous en informe, le Calcul dif- 
férentiel et intégral est facultatif dans les gymnases dej)uis 6 ans, 
le Calcul différentiel est obligatoire et le Calcul intégral facultatif 
dans les gymnases réaux depuis 40 ans, et les Calculs dillèrentiel 
et intégral sont tous les deux obligatoires dans les écoles réaies 
depuis 1897. On mesure l'étendue de la conquête qu'a faite la 
notion de fonction dans les Etats allemands, si l'on jette un regard 
sur les récents livres de classe. Je ne veux citer que la 2"^ partie 
du l*^'' volume du Mathein. UnterrirJitswerk, par MM. Schwab et 
Lesser L\usgabe A , Leipzig. J909 et Lehrhuvh der Malheinalik, 
par MM. Behrendsen et Gotting Ausgabe Bi, F>eipzig, 1912 ; les 
représentations graphiques et les chapitres du Calcul différentiel 
qu'on y trouve sont la preuve que tout l'enseignement mathéma- 
tique a profondément changé dans les dernières années. 

2. AusTiiALii;. — M. le professeui' Carslaw nous a informé que 



250 



E. BEKE 



dans les classes supérieures des écoles de Ne\v-South-\\ aies ou 
enseigne le Calcul diflerentiel et intégral à ceux des élèves qui 
montrent une aptitude spéciale pour les mathématiques 

3. AiTKicHn. — Les mathématiciens autrichiens, surtout les 
professeurs appartenant à l'enseignement supérieur, M. Cziiber, 
actuellement l'un des membres du Comité central, et M. Hoce\>ar 
ont adhéré dès le commencement au programme de M. Klein et 
préparaient l'opinion publique à accepter la réforme de l'ensei- 
gnement mathématique. Au Congrès de Rome, M. le professeur 
Siippantschilsch, le rapporteur actuel, ne put rendre compte que 
du fait que les élèves bien doués avaient le moyen de connaître à 
l'école les éléments du Calcul difTérentiel et inlégial, pourtant il 
parut juger les circonstances propices puisqu'il ajouta à la fin de 
sa conférence : « En résumé, j'espère qu'en Autriche les expériences 
actuelles finiront par nous convaincre qu'il ne f;iut pas trop 
insister sur le programme invétéré, lorsqu'on veut que les jeunes 
gens aient, en sortant, le goût des sciences et la faculté de com- 
prendre la vie moderne^. » Et, en effet, avant qu'une année se fût 
écoulée, le nouveau plan d'études oiïiciel fit une réalité de l'espé- 
rance des mathématiciens : il presciit renseignement du Calcul 
différentiel pour les gymnases et les gymnases réaux et celui du 
Calcul différentiel et intégral pour les écoles réaies, le Calcul 
intégral trouvant place aussi dans l'enseignement d'un grand 
nombre de gymnases. La notion de fonction pénètre toutes les 
parties de l'enseignement depuis les procédés de calcul élémen- 
taire ; on tire parti de l'étude des grandeurs directement et inver- 
sement proportionnelles pour rendre familière l'idée de fonction 
et l'on s'élève progressivement au cours de l'enseignement de 
l'Algèbre par le moyen de représentations graphiques nombreuses. 

4. Bei.<;ique. — Le plan d'études date de 1888 ; la représentation 
graphique dune fonction et le Calcul différentiel et intégral n'y 
figuraient naturellement pas ; et l'enseignement mathématique 
n'a guère varié depuis 1888, sauf en ce qui concerne l'enseignement 
de l'Arithmétique qui est devenu plus pratique. Dans son rapport 
adressé à la Commission internationale, M. Ploumen, inspecteur 
de l'enseignement moyen, nous dit que son gouvernement a cons- 
titué récemment une commission qui s'occupe des réformes à 
introduire dans l'enseignement secondaire. M. Ploumen choWxt la 
matière de l'enseignement mathématique en se laissant conduire 
par des vues pédagogiques générales et par les nécessités des dif- 
férentes carrières. Il attribue une importance capitale à la repré- 
sentation graphique des fonctions et, en général, an rôle de l'idée 
de fonction, sur laquelle il désire qu'on insiste dès le commence- 
ment et il réserve une place relativement grande au Calcul diffé- 



* Atti del IV. Conî;resso, etc., t. 111, p. 478. 



CM. cri. niFFKHENTlK l. Kl INTÉi.HAI. 251 

rcntiel et intcfi^ial. La fin tle son rapp(n-t déliiiit nettement l'im- 
portance et les méthodes des matières nouvelles. 

«< La puissante impulsion, dit-il, conséquence probable de la 
réalisation de ces tendances rénovatiices, ne peut manquer d'être 
salutaire à linfluence des mathématiques sur l'esprit et le carac- 
tère de nos élèves, ainsi que sur leurs chances d'avenir. Mais il 
faut, pour cela, que les méthodes actives restent en honneur dans 
nos classes, (|ue les diverses branches scientifiques se rapprochent 
pour se prêter un mutuel appui et que la série de nos déductions 
l'igoureuses et abstraites «gardent comme sour-ce et point de départ 
l'intuition et l'observatitm concrètes. » Peut-être aurons-nous 
l'occasion, dans une des prochaines séances, d'entendre exposer 
l'état actuel de la question par des personnes compétentes. 

."). BiiiisiL. — Le Calcul dilï'érenliel et intéj^rral a été enseigné 
avec la Géométrie analytique depuis 1891 juscfu'à 1901 ; à cette 
éj^oque, malgré les l'ésultats satisfaisants, il fut supprimé, de sorte 
qu'actuellement il ne fij^ure pas sur le programme de renseigne- 
ment secondaire ; seule la dérivée est définie dans ceitaines écoles. 
Notre informateur, M. Engenio de Borros liaja CabagUo, nous 
fera peut-être le j)laisir de présenter un Mémoire sur l'enseigne- 
ment du Calcul différentiel et intégral. 

(). Daxk.mark. — Le récent plan d'études résout la question de 
telle manière qu'il laisse entière liberté aux écoles de mettre le 
Calcul différentiel et intégral \\ la place des chapitres suivants : 
déterminants: fractions continues; équations indéterminées; 
étude détaillée de l'équation des coniques : icosaèdre, dodécaèdre 
cl projection orthogonale. 

M. P. Heegaard, qui a bien voulu nous renseigner sur ces ques- 
tions, remarque qu'en 1913, toutes les écoles autorisées ont opté 
pour le Calcul différentiel et intégral. 

7. Etats-Unis. — Comme M. D. Hl. Smith, réformateur zélé et 
l'un des initiateurs de la Commission nous en inlorme, le 
Calcul différentiel et intégral ne figure pas dans l'enseignement 
secondaire; on ne peut même pas le rendre facultatif, puisque les 
élèves des classes supérieures sont trop absoibés par la prépara- 
tion de l'examen d'admission des Collèges. Tant qu'il ne sera pas 
porté sur le programme de cet examen, il y a peu de chances 
pour qu'il entre parmi les matières de l'enseignement secondaire. 
Pourtant M. Smith garde l'espoir qu'avant peu d'années le Calcul 
différentiel et intégral sera introduit dans les établissements 
secondaires professionnels. Connaissant l'activité énergique 
déployée par nos collègues américains, dans le passé et dans le 
présent, sur le terrain de la réforme de l'enseignement mathé- 
matique (nous n'avons qu'à rappeler l'œuvre de MM. D. E. Smith. 
Moore, Young) et voyant l'immense essor de l'activité mathéma- 
tique d'outre-mer qui éblouit nos yeux et qui n'est pas assurément 



252 



E. BEKE 



sans exercer une influence heureuse sur les professeurs de l'ensei- 
gnement secondaire ; en prenant confiance enfin du contact qui 
existe, malgré la distance, entre les travailleurs des deux conti- 
nents : nous ne pouvons pas douter qu'avant peu de temps le 
développement libre de l'enseignement mathématique aura fait 
le pas décisif. 

8. France. — La conférence suivante nous donnera un exposé 
complet sur renseignement du Calcul différentiel et intégral dans 
les écoles françaises. Je me borne à rappeler qu'on y atti'ibue, 
depuis 1902, plus d'importance à l'étude des fonctions et des 
dérivées qu'auparavant. 

Le rapporteur français M. Ch. Bioche, qui a bien voulu nous 
fournir les informations, fait observer que dans la classe de Mathè- 
maliqiies spéciales, aujourd'hui comme avant, on fait une étude 
approfondie du Calcul différentiel et intégral. Je ne peux passer 
sous silence l'influence extraordinairement heureuse qu'ont exercé, 
dans le sens de nos aspirations, les excellents ouvrages de M. Tan- 
nery, M. Borel, M. Bonrlet, M. Grévy et M. Commissaire. Nous 
devons une reconnaissance particulière à deux hommes qui, pré- 
curseurs avant tous, n'ont pas eu la joie de voir leur labeur porter 
des fruits. J'entends en premier lieu Jules Tannery, bien connu de 
tous les mathématiciens, éducateur des futurs professeurs. Dans 
son premier Mémoire scientifique, publié en 1875 dans les Annales 
de l'Ecole Normale où il expose la théorie, alors toute nouvelle, 
de Fuchs sur les équations différentielles linéaires, il définit 
l'idéal de sa vie, avec sa grande modestie élevée, en disant : c Ceux 
qui aiment la Science et qui ont trop de raisons pour se défier de 
leurs facultés d'invention, ont encore un rôle utile à jouer: celui 
d'élucider les recherches des autres et de les répandre ; c'est ce 
que j'ai essayé de faire dans ce travail. » 

Cet idéal, il la bien servi dans les travaux scientifiques et péda- 
gogiques de tonte sa vie. Non content d'écrire pour le public 
mathématique proprement dit, tant pour le public mathématique 
français que pour celui de tous les pays, des traités excellents 
qui captivent le lecteur par le fond et par la forme et j'ajouterai, 
par la force inspiratrice du Maître, il a montré aux professeurs de 
l'enseignement secondaire par son ouvrage didactique, publié 
dans la Collection de M. Darhonx, quels trésors se cachent dans 
les connaissances élémentaires qui s'enseignent tous les jours et 
quel vaste champ de réflexions s'ouvre dans ce qu'on croit fermé 
par une muraille de Chine, les mathématiques d'école. Ce n'est 
pas tout. 11 s'est mis à la tête des réformateurs et il a écrit un 
livre à l'usage des élèves pour leur apprendre les connaissances 
mathématiques, indispensables à qui aspire à la culture générale 
de l'esprit et à ceux surtout qui, naturalistes, médecins ou écono- 
mistes, veulent mettre les méthodes exactes au service de la 



C A /.(■ r I. I) I F F F 1! F A' T I F I. F T I A T F (. Il A I. iT/; 

Science. Celle tentative lut des pins lieuifuscs an point ^\^•. vue 
pédaii^ogique. Les piolessenis allemands (|ni ne peuvent pas lire 
ce livre de Tanneiy dans l'original doivent ("-tie reconriaissants à 
leur njaîlre, .M. Fcli.r Klein, pour avoir encouia<4é une traduction 
alleniande, le rendant ainsi accessible à tous ses compatriotes. 

Nous devons un hommage particulier à la mémoire d'un des 
réformateurs français les plus actifs, 6V///0 lidiirlcl, (|iii, par son 
activité et son zèle inlassables et par re.\(Mn[)le île ses ouvra<;es 
didactiques, a largement contribué ii la prctpagatioli des idées 
nouvelles. Quelques semaines avant laccident déplorable dont il 
fut la victime, au grand dommage de la science française et sur- 
tout du mouvement réformiste, nous avons causé, à Ileidelberg, 
du j)rogi'amme de la Conférence internationale de Paris et des 
préparatifs qu'il restait à faire. De toutes ces paroles se dégageait 
une confiance dans le mouvement réformiste et dans I expansi(Hi 
des méthodes scientifiques exactes. Il avait de beaux projets; des 
|)r()jets d'ordre scientifique et pédagogique. Sa perte iir»''parable 
les empêchera de se i-éaliser. 

9. HoixAxoE. — Sans qu'il figure dans le jjlan d études actuel, 
on espère, suivant M. Cnrdinadl, f|ui a bien voulu mettre à notre 
disposition les renseignements nécessaires, que hî C>alcul intégral 
et différentiel sera introduit dans le prochain plan d'études. 
M. Cardinaal nous écrit que, dans certaines bonnes classes, on a 
déjà fait des tentatives et elles ont été cou ion nées de succès. 

iO. IIoxf;iiiE. — Le dernier plan d'études date de 1899. mais 
déjà le plan d'études de 1879 mentionne les éléments de la Géo- 
métrie analytique, l'étude analytique et la leprésentation gra- 
phique des fonctions du second degré et la solution, par des 
moyens élémentaires, de certains problèmes de maximum et mi- 
nimum. Cela prouve que les éléments de la notion de fonction 
avaient figuré sur le programme des études secondaires en Hon- 
grie bien avant que le mouvement réformiste ait pris naissance. 
H y a lieu d'espérer que le prochain plan d'études en embi-assera 
davantage et notamment les éléments du (Calcul différentiel et 
intégral. Nous fondons cet espoir sur le Décret de M. le Ministre 
de l'Instruction actuel, décret instituant les tiavanx préparatoires 
d'un nouveau plan d'études, on AL le Ministi-e insiste particuliè- 
rement sur la place importante que doit recevoii- dans l'enseigne- 
ment mathématique la notion de fonction. 

Le rapporteur hongiois se croit autorisé à déclaier que AL le 
Ministre souhaite qu On entende aussi par là linti'oduction des 
éléments du Calcul différentiel et intégral. Dans un avenir pro- 
chain, le plan îles études malhématiipies aura donc subi une 
réforme complète et oflicielle ; mais on enseigne dès maintenant 
les éléments du Calcul différentiel et intégral dans un tiers à peu 
près des établissements secondaires. La représenlation gra|)hique 



25^ 



E. BEKE 



des fonctions a pénétré presque partout, on leniploie dans la plu- 
part des écoles. Quelques livres de classe récemment parus 
donnent déjà les éléments du Calcul dilterentiel et intégral. 

11. Iles Biutanmques. — M. C. (îodfrey, qui nous renseigne 
dans un rapport détaillé sur tontes les questions posées, fait ob- 
server que les jeunes gens de 17 à 19 ans se préparant aux études 
mathématiques reçoivent, d'après une pratique en honneur de- 
puis 20 à 25 ans, un enseignement spécial et relativement étendu 
du Calcul différentiel et intégral, enseignement qui s'appuie sur 
des méthodes rigoureuses. Une pi'atique un peu moins ancienne 
mais vieille d'au moins 15 ans fait donner aussi un enseignement 
spécial aux élèves se destinant à la carrière militaire ou au génie 
civil. Cet enseignement est, dans beaucoup d'établissements, 
commun aux deux groupes mentionnés. Là, où ces groupes sont 
séparés, on a moins d'égard à la rigueur pour le second groupe 
que pour le premier. La nouvelle tendance paraît être, d'après 
M. Godfrey : « Calculus for the avarage boy». Dans certaines 
écoles, le plan d'études général embrasse le Calculus ; dans 
d'antres, on fait des tentatives. Pour juger le progrès en Angle- 
terre, point n'est besoin d'analyser les nombreux cours élémen- 
taires de Calcul dilférentiel et intégral, tel que les ouvrages 
très répandus de MM. Mercer et Gibson, qui embrassent un vaste 
domaine du Calcul infinitésimal et font usage parfois de méthodes 
élémentaires intéressantes ; il suffit de comparer, parmi les anciens 
ouvrages excellents, l'Algèbre de Todhiinter, que je prends aujour- 
d'hui même avec piété en main et qui m'était d'un usage de tous 
les jours à l'époque où j'appartenais à l'enseignement secondaire; 
il suffit de comparer ce livre, dis-je, avec n'importe lequel des 
manuels aujourd'hui en usage, par exemple avec celui de MM. 
Godfrey et Siddons que notre éminent informateur ne mentionne 
point. Dans l'Algèbre de Todhiinter qui, pour la richesse des 
ntatières, pour la clarté et la brièveté de l'exposition, était un 
modèle, nous ne trouvons pas une figure, pas un mot sur la repré- 
sentation graphique des fonctions ou sur la notion de dérivée. 
Par contre, nous ne doutons pas que l'ouvrage de MM. Godfrey e\ 
Siddons ne transforme complètement le monde des idées mathé- 
matiques de r« avarage boy », tant l'introduction et l'utilisation 
de la notion de fonction, la représentation graphique, les prin- 
cipes bien groupés du Calculus y sont clairs, précis et présentés 
sans artifice. 

12. Italir. — M. Castelnuovo, délégué italien, a bien voulu 
nous informer que dans le nouveau plan d'études du Liceo nioderno, 
qui entrera en vigueur cette année, le Calcul différentiel et inté- 
gral est porté sur le programme des deux classes supérieures. 
Actuellement il n'est enseigné qu'exceptionnellement dans cer- 
taines écoles. Xous fondons de grands espoirs sur la transforma- 



CAI.VVI. DI FF EREN T lEI. ET INTEGRAI. 255 

tion (Je renseif^neinenl mathématique secondaire en Italie. Il res- 
sort clairement du plan d'études que, tout en se bornant à un 
programme mininuini, on veut y apporter une entière précision 
en suivant les traditions de l'enseitfnemcnt niatliématitiue italien. 
Les instructions insistent particulièrement sur ce point que ren- 
seignement doit éviter avec un égal soin l'empirisme grossier qui 
obscurcit le caractère logique de la formation mathématique et le 
criticisnje subtil pour lequel l'esprit des élèves n'est pas suffisam- 
ment mûr. Nous attendons avec un vif intérêt comment, dans le 
pays de la criticjue mathématique oii Dini, (jcnocchi e\ Pcnno ont 
traité des principes du (Calcul infinitésimal d'une façon modèle, 
comment, dans ce pays, on présentera ces principes aux élèves. 
Nous pouvons être sur que si ce travail est fait par les mêmes 
hommes qui, dans leurs manuels de géométrie, si intéressants, 
mais si difficiles à suivre dans d'autres pays, ont cherché avec vir- 
tuosité à concilier une exposition scientifique rigoureuse avec le 
but que se propose l'enseignement secondaire : notre mouvement 
réformiste sera infiniment redevable à nos compagnons de lutte 
italiens. 

13. NoRviîGE. — Le plan d'études n'est changé dans ce pays 
que graduellement, avec précautions. Celui de 11)11, comme 
M. Alfsen nous l'éci'it, n'innove dans le sens des idées nouvelles 
qu'en ce qu'il introduit la représentation graphique des fonctions ; 
il ne touche pas aux autres parties de l'enseignement mathéma- 
tique et ne fait pas mention du Calcul difTérentiel et intégral. 
Mais les professeurs qui se déclarent prêts à enseigner les élé- 
ments du Calcul différentiel et intégral sont autorisés à le faire. 
Cependant, jusqu'ici, aucun d'eux n'a déclaré vouloir faire une 
tentative ce que M. Alfsen attribue aux circonstances que ce nouvel 
ordre des choses n'a commencé que cette année et qu'il manque 
encore des manuels scolaires. Lin manuel qui paraîtra prochai- 
nement changera peut-être la face des choses. 

14. RoiMAxiE. — La brochure publiée par M. Tzitzéica sur les 
mathématiques dans l'enseignement secondaire nous permet de 
constater que le Calcul différentiel et même la différentiation des 
fonctions de plusieurs variables sont inscrits dans le récent plan 
d'études de la section réale. 

15. Russie. — Suivant le rapport détaillé et complet de M. 
C. Possé, le Calcul différentiel et intégral figure dans les plans 
d'études de 1907 des écoles réaies et de quelques écoles parti- 
culières de jeunes filles, ainsi que dans celui datant de 1910 des 
écoles militaires, mais il n'est pas enseigné, ni même les élé- 
ments de la Géométrie analytique, dans les gymnases où un plan 
d'études plus ancien est encore en vigueur. 

16. Serbie. — M. Petroi>ich, délégué serbe, nous apprend que 
des personnes compétentes ont élaboré depuis longtemps un pro- 



256 



E . BEKK 



iri-amme détaillé pour renseignement du Calcul différentiel et 
intégral, mais, à la suite des circonstances politiques, les réformes 
ont dû subir nn retard. 

17. Si KDE. — D'après le rapport de M. D.-E. (jO/ans.son, délé- 
gué suédois, le plan d'études ;^de 1905 ^embrasse, tant pour les 
gymnases que pour les écoles réaies, la notion de fonction et la 
représentation graphique; pour les écoles réaies, il prescrit en 
outre la dilTérentiation de quelques fonctions simples, mais non 
linlégration ; cependant, dans la plupart des écoles, on introduit 
la notion de l'intégrale indéfinie^et on Tapplifiue à la détermina- 
tion des aires et des volumes. 

18. Suisse. — H n'y a pas un plan d'études uniforme poui- tout 
le pays, chaque canton étant autonome dans les affaires de l'ins- 
truction publique. Cependant le programme otïiciel de l'examen 
de maturité baccalauréat et celui de l'examen d'admission à 
l'Ecole polytechnique exercent une certaine inlluence dans le sens 
de l'uniformisation. Ces programmes ne mentionnent pas les 
éléments du Calcul difféientiel et intégral; néanmoins, on les 
enseigne dans 8'* pour cent des écoles réaies et dans 21 pour cent 
des gymnases. On les enseignait dans certaines écoles bien avant 
que les tendances rénovatrices se fissent jour, par exemple à 
l'école réale de Bàle depuis 50 ans, comme l'a remarqué M. Fehr, 
l'ànie de notre Commission, dans sa conférence au Congrès de 
Rome. Nous apprenons dans cette conférence que l'Association 
suisse des professeurs de mathémati<jues a adopté, à l'unanimité 
des voix, en 1904, la proposition du rapporteur (M. Fe/i/], décla- 
rant que, « en raison de leur importance et de leur portée, la 
notion de fonction et les problèmes fondamentaux qui s'y rat- 
tachent appartiennent au programme de l'enseignement mathé- 
matique des écoles moyennes ». Une telle déclaration a plus d'im- 
portance en Suisse qu'ailleurs, car la Suisse est le pays heureux 
où, d'après iM. Biandenberger qui nous a aimablement informé, 
la conférence des professeurs détermine elle-même le plan 
d'études et les autorités se bornent à en prendre connaissance. 
C'est donc à la réunion des professeurs de 1904 ou plutôt au 
conférencier de cette réunion que revient le mérite d'avoir con- 
tribué à développer le rôle de la notion de fonction dans les 
gymnases et les écoles réaies de la Suisse. 



Ri 



Pour avoir une vue d'ensemble, nous pouvons ranger les Etats 
dont il a été question plus haut en deux catégories : 

1. Les éléments du Calcul infinitésimal figurent sur le pro- 
gramme officiel des écoles ou sur le plan d'études établi par les 



c A i.c r I. 1)1 /• /•' /•: /,' /; .v r 1 1: i. /•; /• / ,v / /; (, ii . 1 1. •.>:,: 

écoles ellos-inrincs dans les pays suivants : Painii les l'ilals alle- 
mands : Havicrc. \\ n itrnihci'y, IJadr. Ilainl)(»iir<^ ; pai'ini les 
aulies lùats : Aut liclu'. iJaneniark, France. Iles Biitanni<|ues, 
Italie, Kouinaiii*'. l'uissie, Suède, Suisse. 

II. Les (déments du Calcul infinitésimal ne (Ijrurent pas siii- le 
j)lan d éludes, mais ils sont enseignes Tlans un <irand nombre 
d'écoles : en Prusse, Saxe, llonniie, .Vustralie. et ils le seront 
probablement avant peu de temps en : Hollanfle, Norvège, Bel- 
gique et Serbie. 

Nous pouvons, je crois, conclure qu il n existe pas d Rtats, ni 
parmi les Rtats mentionnés ni parmi les autres, où les aspira- 
tions tendant à introduire dans renseioiiement la notion de fonc- 
tion et la repiésentation graphique, naient acquis une force con- 
sidérable. Il n'existe peut-être pas de manuel scolaire récent, ni 
d'école oii les réformes n'aient trouvé quelques applications. En 
constatant ce fait comme un des succès les plus éclatants de 
notre propagande, nous pouvons dire f|ue nos personnalités diri- 
geantes ont compris l'esprit des temps nouveaux et elles ont 
donnt' l'impulsion à la marche naturelle du progrès, .l'ai la con- 
viction ferme que le progrès ultérieur, en surmontant peut-être 
plus d'obstacles encore dans sa marche lente, mais sûre, assurera 
partout une place au Calcul différentiel et intégral dans l'ensei- 
gnement secondaire, et aussi dans la conscience des classes ins- 
truites. Notre conception du monde deviendra, par la connais- 
sance du Calcul infinitésimal, science générale des variations, 
plus mathématique que par les connaissances enseignées jus- 
qu'ici à l'école. Pour cela, il faut, par une action méthodique et 
constante, soutenir l'intérêt éveillé, soumettre à un examen appro- 
fondi les matières de l'enseignement mathématique et, surtout, 
perfectionner sans relâche les méthodes de renseignement. 



III. — Etendue et applications du Calcul différentiel et intégral. 

Nous avons maintenant à rechercher, dans quelle étendue le 
Calcul différentiel et intégral est enseigné ? 

Nos conclusions d'aujourd'hui, comme j'ai déjà eu l'occasion de 
le remar({uer. ne sauraient être définitives. Dans une institution 
si lente à se transformer, comme l'école, et après l'intervalle de 
temps si court, écoule depuis l introduction des matières nou- 
velles, les résultats sont nécessairement sujets à varier; Il fallait 
des siècles et des génies comme Euler et Lagrange, sans compter 
les excellents esprits méthodiques du milieu du dernier siècle, 
auteurs des manuels scolaires — pour que les Mathématiques 
enseignées aux écoles secondaires eussent pris une forme achevée. 
Va encore, cela ne s applique qu à l'Algèbre et à une partie de la 



258 E. BEKE 

Géométrie, en premier lieu, ;i la Trigonométrie. Il ne s'agit donc 
aujourd'hui que de nous rendre compte des différentes méthodes 
employées et d'amener les conceptions diverses à se placer sur un 
terrain commun. Nous pouvons espérer qu'avec le concours des 
maîtres de l'enseignement supérieur et de ceux de l'enseignement 
secondaire, ce terrain aussi sera conquis en peu de temps pour 
l'école. Nous avons pu constater ce qui suit : 

a) Fonctions d'une et de plusieurs variables. Le Calcul infinité- 
simal n'est appliqué presque partout qu'aux fonctions d'une 
variable; exceptionnellement, nous trouvons des fonctions de 
deux variables sur le programme des écoles réaies de Wur- 
temberg, de Hambourg, de Lugano en Suisse et dans le projet 
serbe. Nous ne prenons pas en considération ici l'enseignement 
dépassant le niveau moyen et donné à certains élèves ou à certains 
groupes. 

b) Fonctions diffèrentièes. Partout, où l'on enseigne la dilTéren- 
tiation, on l'applique naturellement aux polynômes et aux fonctions 
rationnelles — ou au moins, parmi les dernières, au quotient de 
deux polynômes linéaires. Là, il n'y a aucune difficulté dans le 
passage à la limite. Par contre, pour dilFérentier les fonctions 

trigonométriques et exponentielles, il faut connaître les valeurs 

1 

de lim "^ — '- et de lim (!-]-:;)" ou des limites d'expressions équi- 

valentes. On conçoit donc que dans les écoles où la notion de 
limite n'est pas approfondie, et là où l'âge des élèves ne permet 
pas de suivre les raisonnements conduisant à ces deux limites, 
on ne s'occupe pas de la ditférentiation des fonctions trigonomé- 
triques et exponentielles. Tel est le cas des écoles françaises (il 
ne s'agit pas, bien entendu, des classes de Mathématiques spé- 
ciales^), des manuels scolaires anglais et du nouveau plan 
d'études de l'Italie. Par contre nous la trouvons enseignée dans 
les écoles allemandes, autrichiennes, russes, suisses, danoises 
et dans certaines écoles hongroises. 

S'il m'est permis d'exprimer une opinion personnelle, je dirai 
que la différentiation ne doit pas être considérée comme un but 
absolu ; son importance dans l'enseignement secondaire vient des 
applications géométriques et physiques qui s'y rattachent; il est 
donc indispensable en vue des applications de savoir diiTérentier 
les fonctions trigonométrique et exponentielle et leurs fonctions 
inverses. La première ne présente aucune difficulté grave, puisque 
la seule limite nécessaire ou, si l'on veut, la dérivée de sin .r pour 



1 11 ne faut pas confondre la classe de Mathématiques, qui est la dernière classe de 
l'enseignement secondaire proprement dit, et la classe de Mathématiques spéciales qui 
prt'pare les élèves au concours pour l'Ecole polytechnique et quelques autres grandes 
écoles. 



(■ A I. c u I. I) I F F É n E y T I E I. E T I y y /•; (. n .i i. -ih^i 

.r ^ peut s'ohionir lacilcninil au moyeu des comiaissaïucs tii- 

I 

«roiionietriqiies. I.e calcul de lini 1 -|- zf est autreineut aidu et 

plus éloigué des connaissances élémentaires des élèves. C'est 
probablement la raison pour laquelle plusieurs auteurs voudraient 
le supprimer ou le faire par des moyens plus faciles que ceux 
ordinairement employés dans les Cours. J'avoue «piaucun des 
récents manuels scolaires — et j'ai examiné plusieuis des manuels 
allemands, français ou anglais cpie MM. les rapporteurs m'ont 
signalés — ne m'a satisfait à cet égard. Parmi les procédés cher- 
chant à faciliter la marche, le plus recommandable est peut-être 
celui qu'on trouve dans le Cours autographié de M. Féli.v Klein, 

procédé qui consiste à calculer l'expression ( I + - 1 pour (ind- 

ques valeurs suiTisamment <rrandcs de «. se bornant ensuite à 

. . . • 

dire que le raisonnement par induction manque de rigueur 

c) Notation des dérivées. 11 est à remarquer que, dans la plupart 
des cas, on préfère la notation de Lagronge ou la notation Df'.v à 
celle de Leibniz; en F'rance, en Italie, dans certains manuels 
scolaires anglais et dans plusieurs écoles suisses, cette dernièie 
est complètement abandonnée. Là, on elle est employée, on 
invoque des raisons historiques en évitant jusqu'à l'apparence 
même de définir un véritable quotient. Poincaré dit à ce sujet : 
« Sans doute, il faut connaître la notation différentielle; il l'a ut 
pouvoir manier ce langage qui est celui de tout le monde, de 
même qu il faut savoir l allemand... parce qu elle ^la langue alle- 
mande] est parlée par 60,000,000 d'hommes, dont beaucoup sont 
des savants. Mais c'est une science dangereuse qu'il ne faut aborder 
que quand on a appris à penser en dérivées... Poui" donner cette 
habitude aux élèves, il faut dans les commencements employer 
exclusivement la notation de Lagrange... Ce sera donc la dérivée 
que l'on définira d'abord; je voudrais que cette définition soit pré- 
parée par des exemples concrets. Il y en a deux, celui des tangentes, 
celui de la vitesse ; et ils ne sont pas à dédaigner puisque le pre- 
mier a été le point de départ de Fermât et de Roberval, le second 
celui de Neivton... (Conférence du Musée pédagogique, 1904, p. 22; 
VEnseign. mathéni., numéro de juillet 1904, p. 276-277 . 

d) Introduction de la notion d' intégrale. Dans la plupart des 
Etats, on ne se contente pas de définir la dérivée, on introduit 
aussi l'intégrale. Et cela s'explique aisément. .\ous savons bien 
qu'il importe de connaître la dérivée pour exécuter avec une 
méthode nnif[ue et déterminée tous les calculs relatifs aux tan- 
gentes qu'on rencontre en Mathématiques et les calculs relatifs 
aux vitesses et aux accélérations qu'on rencontre en Physi(|ue, 
pour se faire une idée précise de la mesure de la variation d'une 
fonction, pour aborder directement et avec méthode les problèmes 



260 



E. liEKE 



de maxiimiiii et de miiiirmiiii Irailés jusqu'à prcsent par des aiti- 
fices et des moyens détournés. Il importe tout autant de déter- 
miner les aires et les volumes qui figurent sur le pi-ooramme de 
l'enseignement mathématique et les quelques intégrales cachées 
qui interviennent au cours de l'enseignement physique par la 
méthode de l'intégration; méthode plus simj)le, plus économique, 
plus naturelle et surtout plus honnête et plus digne de l'esprit de 
l'enseignement mathématique que les anciennes méthodes d'ex- 
haustion ou le principe indémontré de (>avalieri. Pourtant, dans 
plusieurs Etats où les matières nouvelles n'apparaissent que dans 
les classes supérieures, le programme de l'enseignement mathé- 
matique entier n'ayant pas été remanié, les calculs relatifs à la 
Stéréométrie précèdent les méthodes infinitésimales et, par con- 
séquent, celles-ci ne peuvent plus être utilisées dans le but indiqué 
plus haut. Cela explique que, dans certains Etats, seul le Calcul 
des dérivées est enseî*gné. Tels sont : la France, mais ici les 
Classes de Mathématiques font connaître l'intégrale comme fonc- 
tion pritnitive; la Prusse, où le Calcul différentiel est enseigné 
dans presque toutes les écoles réaies, tandis qu'on est réservé 
relativement au Calcul intégral; la Bavière où le plan d'études 
embrasse le Calcul dillerentiel sans le Calcul intégral; l'Autriche 
où, dans certaines écoles, il n'y a pas de Calcul intégral. Par 
contre, le Calcul intégral est introduit en Russie, en Danemark, 
dans un grand nombre d'écoles anglaises, dans la plupart des 
écoles prussiennes et autrichiennes, en Wurtemberg, en Suisse, 
en Hongrie, dans le plan d'études italien qui va entrer en vigueur 
mais là, seule l'intégrale définie est admise] et dans le projet du 
plan d'études serbe. 

D'après mon avis, l'introduction de la fonction primitive avec 
utilisation de considérations géométriques ne se heurte à aucune 
diiîiculté de la part des élèves et elle a, au point de vue philoso- 
phique, autant d'importance que l'introduction des dérivées. Elle 
en a plus encore au point de vue de l'économie de l'enseignement, 
et cela n'est pas à dédaigner quand il est question de ne pas 
allonger le programme des études pour des élèves menacés déjà 
de surmenage. J'ose exprimer l'opinion que le développement 
réformiste interdira de s'arrêtera mi-chemin. 

Partout oîi la notion d intéarale est enseisrnée, elle suit celle de 
dérivée, quoique, au point de vue de la méthode et même de 
l'histoire, le contraire puisse aussi bien s'imaginer. Dans le cours 
de vacances de l'Université de Gœttingue, M. le professeur Range 
a recommandé cette voie, comme M. Lielznwnn m'en a aimable- 
ment informé. Mais il n'existe pas, à ma connaissance, de manuel 
scolaire qui ait pris ce parti. Dans son cours déjà mentionné, 
M. le professeur Klein pose en même temps le problème des tan- 
gentes et celui de la quadrature, ce qui l'amène à ne pas séparer 



r A i.c r L I) I /•■ /•' È H E /V /• / 1: i. e r i .v /' /•; (. it . 1 1. ka 

le (Calcul (liHV'i'cntit'l et le (lalciil inlt'^ial. I, iiil i odiicliini simiil- 
taiice (les deux iiolioiis loïKlamenlales ne présente (|ne des avan- 
tai'es, nic'ine dans l'exposition du (>alcnl dillerenliel. 

I.es coinnieneements du Calcul intétfral sont divcis ; dans cer- 
taines écoles, rintéi,'iale délinie est enseignée avant l'iritéfriale 
intlélinie, dans d'autres, la marche est inverse. Les écoles alle- 
mandes pratiquent les deux méthodes; en France, seule la fonc- 
tion primitive est enseignée; en Autriche, l'intéj^rale définie pré- 
cède l'inléirrale indéfinie, sauf dans certaines écoles de Bohème 
où. d'après le rapport envoyé par M. le professeur Jijfdzo^'slcij, les 
notions de dérivée et dintégrale sont introduites simultanément. 
Kn Suisse aussi, on enseigne l'intégrale définie d'abord, l'inté- 
grale indéfinie ensuite; en Russie et en Danemark, la marche 
inverse est suivie. I>e plan d'études italien ne fait introduire que 
1 intégrale définie et cela à propos de la détermination des aires 
qui se fait d'abord sur papier quadrillé ; mais je crois que cela 
ne doit pas exclure la définition de la fonction primitive, d'autant 
plus que les instructions mentionnent la détermination des che- 
mins parcourus dans un mouvement uniformément accéléré. 
Parmi les ouvrages anglais les plus répandus. ceuxdeMMl Mercer 
et (jibson commencent par la fonction primitive et celui de M. Ed- 
ivards par l'intégrale définie. 

Les deux méthodes ont, sans doute, chacune leurs avantages 
scientifiques et didactiques propres. Dans l'exposition rigoureuse 
d'un cours de Faculté, on l'existence de l'intégrale définie est 
démontrée, celle-ci doit précéder la fonction primitive, la notion 
d'aire étant l'objet d'une définition spéciale. Parmi les traités 
d'Analyse les plus connus, celui de M. Jordan, par exemple, 
expose la théorie de l'intégrale définie avant celle de la dérivée, 
ce qui est légitime pour la seule raison fet il en existe d'autres' 
que l'ensemble des fonctions intégrables est plus étendu que celui 
des fonctions dérivables. Dans l'enseignement secondaire où l'aire, 
le volume et la longueur d'un arc de courbe doivent être consi- 
dérés comme des notions primitives, il est le plus sage, je crois, 
de suivre le conseil.de Poincarè qui dit iloc. cit.): « Alors ce qui 
reste à faire est bien simple : définir l'intégrale comme l'aire com- 
prise entre l'axe des .r et deux ordonnées de la courbe; montrer 
que, quand l'une des ordonnées se déplace, la dérivée de cette 
aire est précisément l'ordonnée elle-même. C'est le raisonnement 
de iVeii'^o/j, c'est comme cela que le Calcul intégral est né et, bon 
gré mal gré, il faut repasser par où nos pères ont passé. » 

IV. — Applications du Calcul infinitésimal. 

a) Série de Tat/lor. Notre questionnaire se rapportait aussi à la 
démonstration de la formule de Taylor, à la détermination du 

L'Enseignemeat inathém., Ifi' année ; 1914. 17 



262 E. BEKE 

reste et à l'interpolation. Il ressort des réponses que la fornuile 
de Taylor fifii-ure sur peu de programmes de l'enseignement secon- 
daire ; elle est néanmoins enseignée dans les écoles secondaires 
allemandes on le plan d'études embrassait depuis longtemps les 
séries infinies : dans les écoles réaies de Prusse, de Bavière, de 
Wurtemberg et de Hambourg, dans quebjues écoles suisses et au- 
trichiennes, dans les écoles danoises, dans les groupes mathéma- 
tiques des écoles anglaises et dans les classes de Mathématiques 
spéciales en France. Là, où l'on enseigne la série de Taylor, on 
établit les séries de e^, a^ , s'u\ x , cos.r, log(l-(-.i), \l-\-x)'"' et 
arctg.r(la dernière en vue, surtout, du calcul de wi. Cependant 
l'étude des manuels scolaires nous porte à penser que ce terrain 
n'est pas encore suffisamment préparé pour l'école. L'ancienne 
théorie des séries infinies, qui évite soigneusement de faire appel 
à la notion dedéiivée et qui opère habituellement avec la méthode 
des coelTicients indéterminés et avec certaines relations fonction- 
nelles, n'est pas entièrement balayée du terrain, et on aperçoit çà 
et là des restes de la « méthode pure » de l'Analyse algébrique 
qui fut très en honneur dans la seconde moitié du siècle dernier. 

Je ne veux pas traiter ici en détail des questions de méthode, 
ni analyser minutieusement quelque manuel scolaire. J'ouvrirais 
ainsi des discussions portant sur la méthode de tel ou tel chapitre 
de l'enseignement et nous autres, professeurs, nous savons bien 
que ces discussions, une fois commencées, semblent ne jamais 
finir. Je me bornerai à faire une remarque générale, c'est que la 
didactique des mathématiques aurait la tâche de changer les 
grandes valeurs scientifiques en petites monnaies pour qu'un 
élève puisse rassembler petit à petit sa fortune scientifique. Le 
plus souvent, hélas, ce changement ne se fait pas sans perte et il 
entre beaucoup de fausse monnaie dans la circulation. 

Tant que les vérités mathématiques n'entrent pas à l'école sans 
déformation ou, du moins, sans grande déformation, nous ne 
pouvons considérer nos méthodes comme satisfaisantes. De ce 
point de vue je ne dissimule pas qu'aucune des méthodes pio- 
posées dans les manuels scolaires que j'ai pu examiner ne me 
paraît bonne pour établir la formule de Taylor. L'un de ces 
manuels, par exemple, parle de la série infinie de Taylor sans 
définir ce que c'est que la somme dune série infinie; un autre 
affirme qu'une fonction f[.v) est développable en série de Ma- 
claurin, si elle admet des dérivées de tous les ordi-es, finies 
pour X = 0: On pouvait lire dans un livre, c'est à M. Klein que je 
dois cette information, que toute série entière avait pour rayon de 
convergence l'unité. Les nombreuses méthodes graphiques qu'on 
a inventées dernièrement pour évaluer le reste de la formule de 
Taylor ne sauraient êti-e prises pour des démonstrations rigou- 
reuses. M. F. Klein, qui manie avec virtuosité le Calcul différentiel 



c A I. c i I. 1)1 F /•' /; Ji E y T I E I. E r i n r e c k a i. i^:\ 

et iiU('ifral dans son coins <l<'jà plusiciiis fois iiicnlioiiiui, expose 
la théoiic ii^éncrale tle la sciic do Taylor sans s'écai-ler essenlielle- 
menl de la (h'nioust ration li^oiireuse en nsa<^o, fond(''e snr le tlico- 
l'ènie <le liollc. ISaInrelleinenI il sait mettre à profit, dans certains 
cas, les circonstances particnlières ponr toniner la dilliciiltc de la 
détermination du reste. 

Quelque grande que soit rimportance altrihuc'-e a la série de 
Tayloi', (pii ouvre un monde nouveau devant léléve des écoles 
secondaires en lui faisant voir les expressions analytiques des 
fonctions sin.i', cos.r, los^ f 1 -|- ^^'j? arctg.r connues juscju'ici par 
les tables seulement et en lui enseignant la foi-mule généi-alc du 
binôme établie, par des moyens élémentaires, seulement pour des 
exposants entiers et positifs : l'exposition de la théoiiede la série 
de Taylor est, je crois, au point de vue des méthodes, un problème 
irrésolu aujoui'd'hui. Nous attendons des éclairc-isscments sur ce 
sujet des observations de MM. les délégués ici |)réscnts. 

Cependant, la forimdc de l'aylor, en la limitant au terme du 
deuxième ordre, peut sétablii' facilement et à l'abri de toute objec- 
tion, ce ({ui se voit dans plusieurs manuels scolaires. Ola est, 
selon mon avis, pleinement sulHsant pour les besoins les plus 
urgents de l'enseignement secondaire : usage des tables de loga- 
rithmes et des tables de fonctions circulaires, évaluation de l'erreui', 
justification de l'interpolation linéaire. Pourtant on doit constater 
que même dans les écoles où la formule ou la série de Taylor sont 
enseignées, on néglige ces applications. RUes seraient pourtant 
utiles pour bien faire comjjrendie le sens de certains procédés 
qu'on emploie mécaniquement dans les écoles. 

b) Maxininni et ininiinum. On saccorde généralement sur la 
méthode à appliquer pour les problèmes de maximum et de mi- 
nimum. On sent partout que ces problèmes sont peut-être la 
partie la plus intéressante des matières nouvelles de renseignement 
secondaire et qu'ils ont, en outre, une importance universelle qui 
dépasse les cadres de l'enseignement. Dans plusieurs filtats, ils 
étaient toujours traités ou par des moyens algébriques élémen- 
taires en se bornant aux fonctions du second degré ou par des 
méthodes en usage avant l'introduction de la langue du Calcul 
différentiel, métliodes qui cachaient, en réalité, des ,lilf«''rentiations. 

Les dérivées du premier et du second ordre apportent ici l éco- 
nomie, l'unité et l'ordre de sorte que, presque partout, les anciennes 
méthodes sont tombées en désuétude. Il est regi-ettable que, dans 
quelques Etats, en conséquence de la manière dont on a incoi'j)oré 
les matières nouvelles, ces vieilles méthodes de calcul des maxima 
et des miuima aient subsisté. C est à legrelter surtout paice cpiil 
faudrait éviter jusqu'à l'apparence même que les matières nou- 
velles soient placées à côté et au-dessus des anciennes, ne servant 
qu'à augmenter les matières de l'enseignement. 



264 E. H ERE 

CI Applications plii/siques. Il va sans dire — et les réponses 
reçues nous apportent à ce sujet une pleine confirmation — que la 
dérivée une fois définie est utilisée en Physique pour définir la 
vitesse et l'accélération. Cachée, elle intervenait toujours dans 
l'enseignement de la physique; qu'elle intervienne ouveitement 
et cest déjà un succès des idées nouvelles. Dans la Plupart des 
écoles allemandes, le Calcul infinitésimal trouve une application 
plus étendue : on s'en sert pour déterminer des centres de gravité, 
des moments d'inertie, le potentiel, le mouvement du pendule, la 
variation de la hauteur du baromètre avec l'altitude, etc. ; on s'en 
sert en Autriche pour létude du potentiel; en Bohème et Dane- 
mark, pour déterminer aussi des centres de gravité et des moments 
d'inertie. Dans les écoles hongroises qui ont adopté l'enseignement 
du Calcul infinitésimal, on l'utilise dans une foule d'applications 
physiques, sui'tout si l'enseignement des Mathématiques et celui 
de la Physique sont donnés par le même professeur. Il y a cepen- 
dant des chapitres de la Physique où les méthodes infinitésimales 
sont peu employées ; elles sont rarement employées en Optique 
(dans certaines écoles allemandes seulement) et en Klectrodyna- 
mique (dans des écoles allemandes, autrichiennes et hongroises'. 
Comme le remarque justement M. Possé, auteur du rapport sur la 
Russie, en Physique, on ne se sert généralement que des Mathé- 
matiques élémentaires. 

f^e mouvement réformiste ne peut être considéré comme achevé 
tant que nous voyons les notions fondamentales de la Mécanique 
enseignées indépendamment des élémentsdu Calcul infinitésimal. 
L'avenir fera régner certainement l'harmonie, si désirable au point 
de vue pédagogique, entre les enseignements qui s'occupent, l'un 
de l'étude des fonctions et l'autre des phénomènes physiques et 
chimiques. M. Tiinerding, membre de la Sous-commission alle- 
mande, a publié sur ce sujet, pour la Commission internatio- 
nale, une brochure du plus haut intérêt. Après avoir tracé un 
tableau historique du développement des méthodes infinitésimales, 
il soumet à une critique sévère, mais juste, les méthodes qu'on 
emploie en Physique et qui font usage du Calcul infinitésimal 
sans l'avouer; il dénonce les défauts de ces Compléments sur le 
Calcul infinitésimal, écrits à l'usage des physiciens qui sont, selon 
lui, la honte de la littérature mathématique, et il indique sur plu- 
sieurs exemples la marche irréprochable qu'on devrait suivre en 
appliquant le Calcul infinitésimal à traiter des problèmes de Phy- 
sique. « Le Calcul infinitésimal, dit M. Timerding\ rend, en 
Physique, les services qu'on attend d'une méthode satisfaisante 
aux points de vue scientifique et pédagogique : notations claires 
oii apparaît la nature des choses, et déductions simples, dénuées 



* TiMRRDi.N'G, Die Mathematik in den physik. Lehrbiichern, p. 108. 



C Al. CCI. I) I IFÉIiE STI E I. E T I y T É (. Il A I. 265 

d"arlirice ; de plus, il déhairasso la niarcliede rensei^nemeiil j)hy- 
sique des dédnclioiis mathémati(iues eiiconibrantes et insiilli- 
santes. » 

Nous sommes loin de considérer la transformation de l'ensei- 
i,nienient de la Physique, comme achevée dans tous les Riais ; mais 
rinterèt de renscii^nemeiil secoiidaii-f exilée impcMieusemenl riue 
les idées n<Mivelh's dont nous asj)ii ons à la r('alisali(in dans l'ensei- 
jfnementmathémali(iue, pénètrent à fond renseignementphysique. 
Celui-ci en deviendra plus vrai, plus sincère, plus simple, plus 
économique, plus complet par les forces et le temps i^agnés et il 
réagira, à son tour, sur l'enseignement mathématique en le ren- 
dant plus pratique, plus facile à comprendre, plus uni et répon- 
dant mieux à l'idéal scientifique. 

d Applications géométriques. Le Calcul intégral est appliqué 
partout où il est enseigné à déterminer des aires et des volumes. 
Cela ne pourrait pas être autrement et là est principalement le 
caractère économique de l'intioduction des méthodes nouvelles 
dans renseignement secondaire. Si l'on songe aux difficultés de 
la détermination des volumes du prisme oblique, de la pyramide 
et de la sphère, au calcul — qu'on effectue en quelques endroits — 
de l'aire de l'ellipse et d'un segment de parabole, il faut saluer 
comme un affranchissement l'introduction du Calcul intégral 
dans toutes ces questions. Pourtant, il me faut constater une fois 
de plus qu'on continue à appliquer, pour la détermination des 
aires et des volumes, les méthodes anciennes et, dans la plupart 
des cas, le principe sans beaucoup de valeur didactique de Cava- 
lieri, même après avoir exposé les notions fondamentales du 
Calcul intégral. Cela tient assurément, d'une part, à ce que le 
Calcul infinitésimal n'a pas pénétré entièrement la matière de 
l'enseignement mathématique et, d'autre part, que les transfor- 
mations ne se font que très lentement dans la vie des écoles. 
M. Klein dit avec justesse' : « Quand il s'agit de faire entrer des 
développements nouveaux, la loi de l'hystérésis se manifeste plus 
forte dans les Mathématiques que dans d'autres Sciences. Une 
idée mathématique nouvelle ne trouve le chemin de l'école que si 
des professeurs des Facultés la mettent en relief dans leurs cours, 
s'ils forment des générations de professeurs de lycée qui la repré- 
sentent et enfin, si ceux-là lui donnent une forme propie à favo- 
riser la propagation ; elle tombe à la fin dans le domaine public 
et une place lui est désignée dans les institutions scolaires. Rt 
cela dure le plus souvent des dizaines d'années. » Je crois que la 
transformation du calcul des aires et des volumes ne s'accomplira 
aussi que dans quelques dizaines d'années. Il n'y a là rien qui doive 
nous surprendre: ce n'est pas seulement la force de l'habitude 

' Klrin-Rikckh, p. 11. 



266 E. liEKE 

qui conduit le professeur à appliquer les méthodes usuelles et, 
en particulier, la méthode d'exhaustion, c'est aussi, et surtout, la 
beauté de ces méthodes et l'admiration devant l'œuvre grandiose 
de l'antique esprit de la Grèce. Je crois fermement qu'un jour 
la situation sera complètement changée : l'enseignement secon- 
daire utilisera, en vue de l'utilité, de l'économie et de la simpli 
cité, le Calcul intégral et notamment la fonction primitive pour 
déterminer des aires et des volumes, et à l'Université on enseignera 
aussi les découvertes ingénieuses d'Eudt)xe et d'Archimède pour 
perpétuer le souvenir des œuvres et des méthodes créatrices 
grecques et pour former la génération future des savants. 



V. — La question de la rigueur. 

Le Comité central désirait en outre savoir, dans quelle mesure on 
faisait appel à la rigueur en enseignant le Calcul différentiel et 
intégral dans les écoles secondaires des différents Etats; il ne lui 
faisait pas de doute que c'était là le point le plus délicat. C'est 
surtout du côté de renseignement supérieur qu'on entend se 
plaindre que l'enseignement secondaire fait plus de mal que de 
bien s'il n'adopte pas les méthodes rigoureuses d'une exposition 
scientifique; par contre, les représentants de l'enseignement 
secondaire affirment que lintelligence moyenne des élèves ne 
permet pas une exposition rigoureuse du Calcul dilTérentiel et 
intégral. (3ù est donc la vérité? L'avènement de l'entière rigueur 
n'est pas accompli de longue date dans les Mathématiques supé- 
rieures. Une étude historique nous montre qu'aux commence- 
ments on n'exigeait pas une définition précise des notions, ni des 
déductions logiques irréprochables. C'était peut-être favorable au 
progrès, (^omnie M. Picard dit : « dans les époques vraiment créa^ 
trices, une vérité incomplète ou approchée peut être plus féconde 
que la même vérité accompagnée des restrictions nécessaires. Si, 
par exemple. Newton et Leibniz, avaient pensé que les fonctions 
continues n'ont pas nécessairement une dérivée, ce qui est le cas 
général, le Calcul différentiel n'aurait pas pris naissance ; de même 
les idées inexactes de Lagrange sur la possibilité des développe- 
ments en série de Taylor ont rendu d'immenses services et il est 
heureux que Newton ait eu, au début de ses recherches, pleine 
confiance dans les lois de Kepler'^ . » Cet état primitif, précédant 
la critique scientifique, était peut-être propice aux progrès des 
Sciences; les inventeurs n'ont pas vu des barricades se dressant 
de tous côtés; ils croyaient que l'infini s'ouvrait devant eux; ils 
ont mis une confiance exagérée dans leurs forces et dans la force 



* PicAun, La Science moderne, p. .o2. 



CALCUL DIFFERENTIEL ET INTECK. il. ir^l 

de leiii's mélhodcs. Mais le niaiiiticii de cet <''tat de choses serail-il 
légitime et désirable, serait-il conforme à la dignité, à la vérité, 
à la sincérité et surtout à la valeur pédagogique et scientili<|iie de 
lenseignement mathématique .* 

La rigueur du Calcul diflerentiel et intf'gral ne commence 
qu'avec Caiichi/, qui a reconnu, le premier, l'importance du théo- 
rème des accroissements finis, (^elui (pii connaît la lenteur de 
1 expansion des idées ne s'étonnera pas qu'à l'épocpie où (jaiiss, 
Cauchij et même Weiei strass, Dirichh't et liieinann ont agi, la 
plupart des mathématiciens ont appris, en Allemagne et ailleurs, 
les éléments de leur science dans des livres comme ceux de Liihsen, 
d'Autenheimer, etc. ou même dans des cours élémentaires servant 
dintroduction à des ti-ailés de Physique. Cette littérature sans 
nulle critique scientifique n'a pas nui à ceux tpii étaient bien 
doués pour les Mathématiques, elle leur a été utile peut-être en 
les stimulant à préciser les notions enveloppées de brouillard 
métaphysique. Mais à la grande masse du public des écoles elle a 
été funeste : les esprits ont acquis un semblant de science qui 
chancelait, au lieu d'appi-endre une science limpide et sûre. Cette 
époque est caractérisée avec justesse par M. Klein dans son ou- 
vrage autographié Elemenlarmathematik vont huheren Standpiinkte 
ans, où il retrace en quelques mots brefs et décisifs le développe- 
ment historique du Calcul différentiel et intégral '. Quehiues 
souvenirs de jeunesse qu'on trouve dans l'ouvrage déjà mentionné, 
Klein-Riecke, etc. (p. lli, sont particulièrement caractéristiques, 
lin 1865, lorsque la critique mathématique était, sinon à son apo- 
gée, du moins en pleine floraison, il entendit dire, au sortir du 
gymnase, par son professeur de Mathématiques : « les Mathéma- 
ticpies supérieures ont un tout autre caractère que les Mathéma- 
tiques élémentaires; en Alathématiques élémentaires, tout se dé- 
montre, tandis que les Mathématiques supéiieures sont comme un 
système de Philosophie, on les croit ou on ne les croit pas. » Mais 
n'avait-il pas raison, ce brave professeur lorsqu'on pouvait lire 
dans l'ouvrage le plus répandu de l'époque que l'iniiniment petit 
est un souflle. l'ombre d'une grandeur évanouie. Kt ce Calcul dif- 
férentiel et intégral sans rigueur, sans criti(jue a longtemps vécu 
dans les esprits. Comme des couches géologiques à l'intérieur et 
sur la surface de la Terre, des couches humaines se sont conservées 
dans l'enseignement secondaire, couches qui ont gardé les fossiles 
de la Science des époques sans critique. Ne nous étonnons pas 
que, dans cet état des choses, le gouvernement prussien ait letiré 
en 1882 aux écoles réaies, et en 189? aux gymnases réaux, l'autori- 
sation d'enseifîfner le Calcul difTérentiel et intégral'. Je constate 



* Ri.KiN, EUmentarmathemalik voin hôheren Standpunkte ans. Teubner. j». lô'* 
LiETZMANN, Stoff und Méthode, etc., p. 81. 



Î68 



E. BEKE 



anxieux que le Calcul tlillVrentiel et intégral exact n'est toujours 
pas universellement connu et adopté. Eh bien, quelque partisans 
ardents que nous soyons des réformes en vue d'un haut idéal de 
culture générale, nous ne voulons pas de ce Calcul infinitésimal, 
superficiel, dépourvu de toute précision et indigne de la Science. 

Heureusement, la situation change complètement aujourd'hui. 
I.es professeurs d'aujourd'hui de l'enseignement secondaire con- 
naissent, dans le monde entier, le Calcul infinitésimal rigoureux. 
Il n'est peut-être personne jjarmi eux qui nait lu l'un ou l'autre 
des ouvrages sur le Calcul différentiel et intégral de MM. Jordan, 
Dini, (lenocchi-Peano, de la Vallée-Poussin, Hobson, Ko^valewsky 
ou, pour citer le plus récent, celui de M. von Mangoldt. Je ne peux 
pas mimaginer cfuelque part une formation des professeurs de 
lycée où, au moins dans les cours les plus élevés, l'esprit de ces 
ouvrages ne serait pas dominant. Même en Angleterre, où l'on 
s'attache si fort aux traditions de l'enseignement mathématiciue, 
la situation a beaucoup varié. Comme M. le rapporteur nous 
le signale, à Cambridge, il y a 20 à 25 ans, on ne faisait pas entrer 
la rigueur parfaite dans l'exposition des Mathématiques supé- 
rieures. Mais depuis, l'enseignement a subi une transformation 
profonde et les générations nouvelles respirent une atmosphère 
tout autre. 

Nos vues sur la Science sont pénétrées desprit critique. Les 
méthodes de l'enseignement mathématique secondaire se sont 
améliorées. Les démonstrations à souricière de Schopenhauer. 
l'assemblage sans raison des théorèmes abstraits, les construc- 
tions compliciuées fondées sur des artifices, la mémorisation dé- 
modée des Mathématiques ont disparu ou sont sur le point de dis- 
paraître : l'observation personnelle, les considérations d'ordre 
pratique, le travail simultané d'une classe entière, l'habitude du 
travail indépendant et l'introduction de la méthode heuristicpie 
ont transformé de fond en comble le système de l'enseignement 
secondaire. Il est à espérer que, si les nouvelles générations de 
professeurs acquièrent une vue claire et précise des principes 
fondamentaux du Calcul infinitésimal et de ses applications nom- 
breuses et si elles ont une connaissance suffisante des méthodes, 
le travail pédagogique conscient de ces professeurs fera piendre 
au Calcul infinitésimal la place qui lui est due et lui donnera une 
forme aussi aisément maniable que celle des ^matières anciennes. 
Le travail tendant à ce but ne peut pas être considéré comme 
achevé là surtout, où les matières nouvelles ont trop d'étendue. 
C'est à nous, propagateurs des idées de réforme qu'incombe le 
devoir de conquérir le terrain par les armes de méthodes péda- 
gogiques nouvelles. 

Le point le plus difïicile sera d'unir aux raisonnements intuitifs 
la rigueur au sujet de laquelle M. Picard dit avec raison « que la 



c .!/.(( I. I) I /• /.' É n E ^' /• / /,- /. /,• /• / .y / /, f- Il , I 



2 G 9 



vraie noueiir esl fccoïKlc', se dislinouanl ])ar là duiir aiitic pure- 
ment formelle et ennuyeuse qui répand lOnihre sur les piohietnes 
qu'elle touche. » Joindre l'intuition à la rioucir, un enrhainenHiit 
de pensées mal hémaliques à des vues pratiques. Taire un choix ju- 
dicieux de matières et les ranger en hou ordre pour l'éducation :'ee 
sont là des taches pédagooi<,nes et mathématiques que nous atten- 
dons voir accomplies dans l'avenir. A mon avis, notre devoir prin- 
cipal est d'introduire les notions du Calcul dilTérentiel et intégral 
d'une manière intuitive, au moyen de c(»nsidérations géornétri(pies 
et mécaniques et de nous élever oiaducllement aux abstractions 
nécessaires. Toutes nos alhrmations doivent être vraies, mais 
nous ne devons pas visera atteindre la généralité parfaite, f/expo- 
sition des théories doit être naturelle; n'acceptons pour guide 
(pie le simple bon sens et rejetons les artifices incompréhensîbles. 
C est aussi le moyen le plus sur pour éveiller dans nos élèves le 
désir de la rigueur. Le professeur formé par léducation mathé- 
matique moderne, ayant des notions claires de la limite, de la 
dérivée, des intégrales définies et indéfinies, des séries infinies 
pourra aisément satisfaire le désir de rigueur s'il se manifeste. 
Nous n'avons qu'à songer aux paroles de ^\. Hndamard pvoi^oucées 
a propos de l'enseignement de la Géométrie ' : « C'est par le bon 
sens que les commençants doivent comprendre les vérités qui 
relèvent du bon sens — quand ce ne serait que pour éviter cette 
erreur, si fréquente et si déplorable, de croire que les Mathéma- 
tiques et le bon sens sont deux choses opposées. La rigueur 
viendra plus tard, lorsque la nécessité en sera apparue. » 

Le Comité central désirait être éclairé à ce sujet lorsqu'il 
posait des questions relatives à la rigueur; il voulait savoir, 
dune manière précise, quels éléments d'une exposition scien- 
tifique exacte ont pu entrer ou ont la chance dentrer prochai- 
nement dans l'enseignement des établissements secondaires. Il 
semble que le premier rang appartiendra, à cet égard, à l'Italie. 
M. Castelnaovo écrit dans son rapport : « Quelques-uns des pro- 
fesseurs ont introduit ces notions d'une manière rigoureuse, con- 
forme à l'esprit qui domine l'enseignement mathématique de nos 
écoles moyennes. On pouvait respecter la rigueur d'autant plus 
que les programmes officiels des Instituts technicpies comprennent 
la théorie des nombres irrationnels et des limites, théories qu'on 
développe ordinairement avec soin. La notion des irrationnelles 
qui entre aussi dans les progiammes des lycéesl est piésentée 
ordinairement en suivant la methodede M. Dede Idnd oy\ en jiartant 
de la représentation par les nombres décimaux illimites. » 

Nous pouvons nous faire une idée, sinon exacte, du moins appro- 
chée du degré de rigueur, en jetant un regard sur la marche 

* Conférence du .Musée pédagogique, l'.lUi, p. lt)3. 



270 E. BEKE 

suivie dans riiitrodiiolioii des nombres ii rationnels, et des limites, 
sur l'élahlissement des théorèmes relatifs aux limites, sur les 
éclaircissements donués au sujet de la dérivabilité cl enfin sur la 
définition et l'emploi des dirtérentielles. 

a) Nombres irrationneh. Nous avons vu dans les phrases em- 
pruntées à M. C(isteIn((OK>o <{u"en Italie on pi'ésenfe une théorie 
complète et impeccable des nombres iirationnels en ayant recours 
aux coupures de M. Dedekind. Dans d'autres Ktats, on introduit 
les nombres irrationnels incidemment à l'occasion de l'extraction 
des racines et l'on ne s'attarde pas à construire une théorie géné- 
rale. Par exception, (juelques professeurs insistent, dans les classes 
supérieures des écoles allemandes, sur le développement scien- 
de la notion de nombre, et dans un tiers environ des écoles 
autrichiennes on définit le nombre irrationnel par la méthode de 
M. Dedekind. 

b) Limites. Nous avons demandé, pour mesuier le degré de 
rigueur, quel rôle on attribue à la notion de limite. Nous pouvons 
constater que, nulle paît, on ne se contente de Tintuition, pas 
même — d'après les manuels scolaires employés — en France, oii 
pourtant le programme dit expressément : « I>e professeur laissera 
de côté les questions subtiles que soulève une exposition rigou- 
reuse de la théorie des dérivées; il aura surtout en vue les appli- 
cations et ne craindia pas faire appel à Tintuilion. » 

M. le rapporteur anglais résume en une formule concise la 
marche la plus recommandable à mon avis : « State nothing but 
the truth, but tlo not necessarly state the whole truth. » Tandis 
qu'une définition précise des limites ne fait nulle part défaut, les 
théorèmes élémentaires relatifs aux limites sont adoptés, presque 
partout, sans explications. Ainsi on les mentionne à peine dans 
les écoles allemandes et suisses, pas du tout dans les écoles 
anglaises, danoises et françaises ; on les enseigne dans un tiers 
environ des écoles autrichiennes et dans toutes les écoles russes; 
on les trouve dans un manuel scolaire hongrois pour le cas où les 
fonctions envisagées sont de la forme f[.v) = A + (.r — n]^ fp {-i'), 
la fonction y [.r] étant bornée en valeur absolue dans le voisinage 
du point a, ce cas offrant le plus de facilité. A mon avis, on ne peut 
qu'approuver 1 introduction claire de la notion de limite ; la passer 
sous silence serait absolument condamnable. Sans une définition 
précise des limites, seules les dérivées des fonctions rationnelles 
pourraient se déterminer, et encore cela n'iiait pas sans faire 
souffrir la ligueur. Mais d'autie part, la notion de limite invervient 
si fiéquemment au cours de l'enseignement secondaire et même 
dans le cycle inférieui' (fiactions décimales illimitées, aire du 
cercle, logarithme, série géométrique, etc.) que sa définition géné- 
rale ne doit rencontrer aucune difficulté. Sa connaissance est 
indispensable à qui veut acquérir une culture générale mathéma- 



r A i.( r I. n i ff f i: f n t i f i. f t i y / /; (. i: a i. 2: 1 

tique et pliilos()j)hi(jne, ohjcl (le jjifMiiicie imjtoi taiicf ]*()m loiil 
reiiseifriiement secondaire. Je crois inèuic (fu'il existe ji peine une 
notion niathcMnatique qui l'éiralerait poui- l'iniluence sur le déve- 
loppement et l'expansion des habitudes de raisonnements exacts. 

c) DèriK>(ihilHi>. A la question du (Comité central : Sifrnole-t- 
on l'e.vislence de fonctions non dèrivables, les réponses étaient 
aisées à prévoir. Dans la plupart des écoles, on ne parle pas de 
fonctions non dérivables et là, où il en est question, comme par 
exemple dans quelques écoles allemandes, dans les écoles russes, 
dans un ciiuiuièine environ des écoles autrichiennes, dans un 
manuel scolaire anglais et dans certaines écoles suisses et hon- 
groises, on se borne à dire (pi'en certains points il n'y a pas de 
dérivée, parce que la sécante n'admet pas de position limite; 
mais on ne fait même pas allusion à des fonctions continues, n'ad- 
mettant nulle part de dérivées. Il va sans dire, et je crois exprimer 
ici une opinion unanime, que « la pathologie des fonctions » — 
pour employer l'expression de M. Schœnflies — n'est pas :i sa 
place dans l'enseignement secondaire. 

d) Différentielles. La notion de différentielle n'est pas introduite 
dans les écoles françaises et dans la plupart des écoles suisses, 
allemandes et hoiigroises. Parmi les manuels scolaires allemands, 
celui de MM. Behrendsen et Gôtting est le rej)résenlaiU le plus 
répandu des idées de réforme, et ce manuel ne mentionne pas les 
différentielles. Notre rapporteur anglais nous informe que, parmi 
les ouvrages employés, celui de Lodge adopte pour base les diffé- 
rentielles pour la raison qu'elles ont une importance capitale dans 
les applications géométriques et physiques et dans 1 intégration 
considérée comme processus sommatoire et parce quelles sont 
plus facilement compréhensibles que la notion de dérivée, sans 
compter que les considérations d'ordre historique parlent en leur 
faveur. — Cependant, les autres manuels anglais se placent à un 
point de vue différent. 

D'après M. le rapporteur russe : « on définit len Paissie la diffé- 
rentielle d'une fonction, comme produit de la dérivée par l'accrois- 
sement arbitraire de la variable indépendante et l'on ne considère 
jamais le Calcul différentiel, comme Calcul approximatif. » On 
voit que ces idées s'accordent avec la définition Caiichy. C'est ce 
qu'on peut dire aussi du point de vue adopté, dans son manuel 
anglais, par M. Gihson qui définit la différentielle géométri(iue, 
à l'aide de la tangente, comme f (.r) J x et aussi des instructions 
du plan d'études projeté en Serbie, qui définit, d'une manière 
analogue, la différentielle d'une fonction de plusieurs variables. 

Dans les écoles danoises, on parle de différentielles, mais les 
professeurs n'ont, en général, pas pris parti. Nulle part, le Calcul 
différentiel n'est considéré comme ayant un caractère d'approxi- 
mation et il ne semble pas <{ue les différentielles d'ordre supé- 



2:'2 F. liEKE 

rieur aient trouvé des paitisaiis. Notre rapporteur allemand 
écrit qu'on jui»e les dillerenliellcs de faç^'ons diveises. L'impres- 
sion qui se dégage de la littérature est que les difrérentielles ont 
vécu. Pourtant, des mathématiciens soccupant de calculsapproxi- 
matifs, comme M. Schiilkc et ceux qui arrivent au Calcul diffé- 
ï'onliel par la voie de la Physiciuc, comme M. Richter, penchent 
plutôt à la conservation des dideronticllcs. Il est possible, quoique 
la littérature ne foui'nisse j^as d'indications à cet égard, que, 
dans certaines écoles, on opère avec les diMéreutielles comme si 
elles étaient des quantités déterminées. 

Suivant les informations du rapporteur autrichien, les difTéren- 
tielles sont enseignées dans la moitié environ des établissements 
secondaires; on les considère comme des quantités iniiniment 
petites, sauf un établissement où les difïerentielles neremplissent 
que le rôle d'abréger les calculs approximatifs. M. le rapporteur 
est davis que les professeurs eux-mêmes nont pas une idée suflî- 
ment claire de ces choses. 

Les opinions peu dilï'érentes des rapporteurs autrichiens et 
danois ne sont pas isolées. En effet^la littérature scientifique 
elle-même n'a pas pris nettement paiti parmi les diverses défini- 
tions des différentielles. La définition de Caiichy, dont nous avons 
déjà parlé, présente l'avantage qu'une relation homogène quel- 
conque entre les différentielles se ramène immédiatement à une 
relation entre les dérivées, il n'y a, pour cela, qu'à diviser par une 
puissance convenable de d.i. Mais on définit souvent la dift'éren- 
tielle d'une fonction ?/==:/'(./•) par l'égalité : rf//=r [/"' {x]-\-ï]]d:c oixdy 
désigne l'accroissement total de la fonclion // pour l'accroissement 
dx de la variable indépendante et lim rj z= (). Si l'on adopte cette 

dx =0 

définition qui parait convenir mieux aux applications géométri- 
ques et physiques, les relations homogènes existant entre les difFé- 
reutielles ne sorit que des relations approchées qui ne deviennent 
exactes qu'en divisant par une certaine puissance de d.v et en 
passant à la limite d.i=.0. Lune ou l'autre de ces définitions, 
pourvu qu'on les applique conséquemment, apportent également 
la clarté et la précision dans les Mathématiques, mais nous 
sommes, je crois, unanimes à désire/' que le brouillard méta- 
physique de V infiniment petit n'entre pas dans l'enseignement 
secondaire. Je suis d'avis que la méthode la plus sage est de ne 
pas intioduire du tout les difïerentielles dans l'enseignement 
secondaire, (^ette vue est justifiée par la tendance qui veut les 
éliminerde toute la Sc^ience. Dans l'Kncyclopadie der math.Wissen- 
schaften (II. A. 2. p. 69), M. Voss écrit à ce sujet : « Les difTéren- 
tielles employées par Leibniz pour développer d'une manière 
simple le Calcul différentiel, sont superflues dans la théorie 
actuelle, quoiqu'elles soient difficiles à remplacer dans les nota- 
tions usuelles du Calcul intégral, des équations différentielles et 



« 



( ■ A i.c i I. h II' F !■: i: I: y r 1 1: i. i: r i .\ r i: <. n ai. -l'/.i 

(1rs applications ^iM>in('tii(|ii('s ri iiH'caniijiics. » (IV'tail dfja l'avis 
de D'Alenihi'it ; Poincdic aussi se i-alliail a ces vues dans sa «-(infV'- 
reiice plusicius lois cilée. Combien paraît-il plus nécessaire de 
rejeter de l'enseignement les notions (pii doniM'iit lieu ii tant de 
malentendus. 

VI. — Fusion du Calcul différentiel et intégral avec les matières 
de l'enseignement secondaire. 

Tous les pédag<tL>u es sont d accord (jue, jjoui- lespecler l'ensemble 
harmonique et organisé de renseignement sec(mdaii"e, les matières 
nouvelles réclamées par le mouvement réformiste ne doivent pas 
être placées, comme un supplément, à côté des matièi'es anciennes, 
mais une fusion complète devra s'opérer entre elles, [.e mouve- 
ment l'éformiste scU'orce. d'après M. Klein, de faii'e pénétrei' d'un 
esprit nouveau les matières anciennes, j)lutôt que d introduire des 
matières nouvelles^. M. 7V/«e/c^//f^ manifeste une opinion pareille : 
« Nous insistons particulièrement sur le fait que les aspiiations 
réformatrices ne tendent pas à faire suivre d'un cours de Calcul 
infinitésimal les matières enseignées en première, mais plutôt de 
faire entrer, dans toutes les parties de renseignement, les germes 
des notions du Calcul infinitésimal, germes qui ne manciiieront 
pas, dans la suite, de se développer vigoureusement". » 

Conformément à ces vues répandues, la notion de fonction est 
préparée aujourd'hui avec soin depuis les classes inférieures : eu 
insistant, dans l'enseignement de 1 Arithmétique, sur les liaisons 
entre diverses grandeurs ; plus tard, au cours de l'enseignement 
algébrique, sur la repiésentation graphique des fonctions linéaire, 
quadratique et autres et, enfin, elle est préparée par l'intro- 
duction graduelle (lors même que le manuel y consacre un 
chapitre spéciah du Calcul dilFérentiel et intégral. Je n'ai pas à 
exposer ici en détail les réponses se rapportant à ces cpiestions. 
Toutes les réponses constatent que les matières nouvelles se sont 
fondues avec les anciennes. Seul le lapporteur russe est obligé 
d'écrire : Cette introduction n'est préparée dans les classes par 
aucune étude. Les nouvelles matières constituent un supplément 
tout nouveau au programme. 

Pour opérer la fusion, plusieurs plans pouriaient être adoptés : 
je n'ai qu'à rappeler le plan de Meran des professeurs allemands; 
les plans d'études ofliciels de certains Ftats allemands (en parti- 
culier, ceux de Wurtemberg. Bavière et Bade publiés récemment 
parmi les brochures de la Commission internationale^; les plans 



' Klkin-Rikckk, p. 26. 

* TiMKRni.NG. Oie Mathcmatik in den phi/sik. l.chrbiUhern. p. 109. 

2 Neue Erlasse in Bavorn. \^■ù^telnbe^{; iind Haden. von Lict/.niann, Geok. Cramer 
Band. 11. 8. 



274 



liEKE 



d'études français, italien liceo moderno), autrichien; les manuels 
scolaires traitant du Calcul dilïerentiel et intégral. (Je remarque, 
entre parenthèses, qu'à mon avis, notre Commission ferait un 
travail utile en publiant dans un même volume les plans d'études 
mathématiques des divers Ktals). En 1911, dans une école hon- 
groise (école réale du IV'' arrondissement de Budapest), les profes- 
seurs de Mathématiques, présidés par le directeur de l'école, 
M. Kopp, lui aussi mathématicien, se sont mis d'accord sur un 
plan qu'il convient de suivre dans l'enseignement des matières du 
programme. Ce plan étant remarquable par le rôle élargi qu'il 
attribue à la notion de fonction et par la fusion heureuse qu'il 
opère entre le Calcul infinitésimal et le programme du reste des 
matières admises, je me permettrai ici den extraire quelques pas- 
sages : dans les classes de 2*^ et 3*^, on dresse des tables empiriques 
et on représente graphiquement ces tables ^température, pression 
barométrique, lever et coucher du soleil, etc.) ; dans la 4", on repré- 
sente des fonctions entières du premier et du deuxième degré et 
quelques fonctions rationnelles simples; dans la 5'', on étudie la 
signification graphique de l'équation a.v -\- by = c, en faisant 
usage du quotient de différences qu'on écrit avec la notation 

^ et l'on résout graphiquement le système d'équations linéaires à 

deux inconnues sans oublier de mentionner que les méthodes gra- 
phiques ne peuvent pas rivaliser avec le calcul. On suit une marche 
analogue pour représenter les fonctions du second degré et pour 
résoudre les équations du deuxième degré. En 6^, les fonctions 10^ 
et log.r sont étudiées ; la représentation graphique fait voir que 
lune est la fonction inverse de l'autre ; la représentation graphique 
est aussi utilisée pour les fonctions trigonométriquesetpour l'inter- 
polation linéaire. En 7*^ apparaît le problème de la tangente, ce 
qui conduit à différentier d'abord les polynômes. Après avoir défini, 

d'une manière précise, la notion de limite, on détermine lim 

et les dérivées des fonctions trigonométriques ; on passe ensuite 
aux notions de fonction primitive etd'intégrale définie et l'on exé- 
cute, comme applications, les calculs de volumes figurant sur le 
programme de cette classe. Enfin, en 8*^, où le programme porte 
sur les éléments de la Géométrie analytique, on applif[ue, pour 
déterminer la tangente des coniques, la marche qui conduirait, 
en général, à la diflëientiation des fonctions implicites. 11 est 
toujours bien entendu que les démonstrations ne doivent pas 
être inexactes; il est jîermis d'admettre des théorèmes sans 
dénioiistialion, mais il faut le dire. Je tiens pour le principal 
mérite du plan qu'il embrasse /?e« du (Calcul diflerentiel et intégral, 
mais ce peu est bien ordonné, étudié à fond, élucidé par des 
applications et mis en harmonie avec le reste du programme. On 



c A I. c u I. I) I /•' /'■ /■; i< i: N T I !■: t. i: r i s r i: <, n a i. -2:5 

ma iiiloniK' (jne vo plmi niddilu' oLtciiail du siiccrs cl qu il ren- 
dait les inathémali(jiies plus faciles el plus aimées. Je ne ciois 
pas me tromper en atliibiianl ce résultat à la sage modération. 

Ln question de l'allégement. L'élargissement du rôle de la notion 
de fonction et l'inlroduction du Calcul (lillérentiel et intégral ne 
peuvcnl j)roduire le succès que si le j)rogramme ancien est l'éduit 
et s'il devient, dans son ensemble, plus économicpie. Ce dernier 
point n'a pas besoin d'explications. Des dill'éi'entiations et des 
intégrations cachées interviennent si souvent dans l'enseignement 
mathématique et physique (jue leur remplacement pai- une méthode 
uni({ue fait nécessairement gagner de temps etd cHVjiIs. M. Tinier- 
d/niT d\[ avec justesse que celui qui veut emporter du bois delà 
foret fait mieux d'aller le chercher avec une voiture que d'em- 
porter les morceaux un à un, à pied. L'amélioration de la méthode 
produit de l'allégement partout où le plan d'études choisit bien 
le moment d'enseigner les éléments du Calcul dill'érentiel et inté- 
gral; si le choix n'est pas heureux, la simplification ne se fait 
sentir que dans l'enseignement de la Physique en y laisant usage 
des notions nouvelles. — En dehors de l'allégement qui vient de 
l'économie, il y a encore celui qui vient de la suppression de cer- 
taines parties du programme. Ainsi, en Aiieniagne, on désire 
supprimer les constructions compliquées des triangles et les for- 
mules trigonométriques difliciles et beauconp y ajoutent l analyse 
combinatoire et les nombres complexes dans les gymnases), mais 
sur ces derniers points, les partisans de la réforme ne sont pas 
tous d'accord. 

En Autriche, la moitié environ des écoles ne mentionne aucune 
suppression, le reste voudrait voir disparaître du programme les 
transformations algébriques artificielles et les équations et cons- 
tructions compliquées. Il y en a qui suppriment les équations de 
Diophante, mais on est unanime à constatei- la simplification 
qu'apportent les éléments du (Calcul difTérentiel et intégral. 

En ce qui concerne les écoles danoises, jai déjà parlé de la 
question de l'allégement, en remarquant qu'elles pouvaient choisir 
entre deux programmes. En France, on trouve des avantages dans 
la simplification générale des méthodes et surtout dans les apjili- 
cations, notamment en Mécanique; le Calcul des aires et volumes 
se fait avant l'exposition des éléments du (Calcul intégral i)ai- les 
méthodes élémentaires anciennes. En Hongrie, les partisans de 
la réforme sont d'avis qu On peut supprimer les formules trigono- 
métriques compliquées (établies en vue des calculs logarithmiques) 
et les équations compliquées et artificielles (les constructions 
compliquées étant déjà éliminées , mais que l'allégement provien- 
dra surtout du contact intime des enseignements algébrique et 
géométiique, de l'élargissement du rôle de la notion de fonction 
et de l'économie produit j)ar l'introduction des éléments du Calcul 



276" E . BE KE 

difréreiiticl ol intéL;ral. Ei) Anglrlerre, on atlend de l'allégement, 
en Algèbre, dans les méthodes commerciales dai Calcul (obsolète 
commercial riilesj et, en Géométrie, dans l'enseignement formel. 
En R((ssie, les matières de l'enseignement mathématique de la 
classe la pins haute ont été i-emplacées, en grande partie, par 
le Calcul (lillcrenliel et intégral. Ainsi, la revision générale, 
la divisibilité des nombres, les fractions décimales illimitées, les 
équations du second degré, la décomposition d'un polynôme en 
lacteurs, certaines parties de la théorie des équations, construc- 
tion des racines de l'équation du deuxième degré, le dessin pro- 
jectif, etc. sont supprimés, l^n Suisse, on voit un allégement dans 
la simplification des méthodes. 

Ainsi, dans tous les Etats, on cherche à réaliser les réformes de 
façon à éviter le" surmenage des élèves et on attend de la transfor- 
mation des programmes une amélioration des méthodes appor- 
tant un allégement dans l'enseignement. De plus, on espère 
arriver à une réduction en revisant minutieusement les matières 
actuellement enseignées. Les détails sacrifiés ne représentent une 
perte considérable ni pour la culture mathématique générale, ni 
surtout pour les applications pratiques. 



VII. — Le mouvement réformiste et l'opinion publique 
des pédagogues. 

Sur la question de lintioduclion du Calcul dilTérentiel et inté- 
gral dans l'enseignemcnL secondaire, l'opinion publique des péda- 
gogues s'est prononcée non en paroles, mais en actes, lorsque, 
dans presque tous les Etats qui ont adopté dernièrement un nou- 
veau plan d'études, elle attribuait une place plus ou moins impor- 
tante au Calcul différentiel et intégral et que, dans d'autres Etats, 
elle le faisait entrer dans l'enseignement avec le consentement 
tacite ou express des autorités. Pourtant, la (Commission ne se dis- 
simule pas que d'une part le succès, et d'autre part, l'opinion 
publique éveillée des représentants de l'enseignement peuvent 
seuls assurei- le caractère définitif des résultats; c'est pourquoi 
elle avait rédigé ainsi la dernière question : 

Quels sont les rcsullals ohlcnus ? Ln réforme est-elle reconnue 
comme nécessaire .' Dans quelle mesure renconlre-t-elle de l'appro- 
bation ou de l'opposition ? En particulier, (juelle est l'opinion des 
représentants des mathématiques et de la phi/sique :' 

Comme premier résultat, il esta signalei-, d'après le rapporteur 
anglais, que les questions posées aux examens d'Université exi- 
gent une connaissance de plus en plus approfondie du Calcul 
dilférentiel et intégral, et cela ne manquera pas d'agir comme un 
puissant levier sui' l'enseignement secondaire qui se développe 



C A ]. (• U I. 1)1 / ' /' E H E N T l E I. E / / .V T E C. H A I. -lll 

avec mit' cnticic lil)rilc. In seul iiicoin cniciil pt-iil cm l'ésiillfr, 
c Cst <iii(.' la i^ialique des (calculs alircl)ri(|iics en scmllVira. Mais 
lobstacle le plus iriaiid (|iii empt"'ch<' la (lilliision des réfortnes, 
ecsl — d'aiiics M. le rappoi'leur — toujours lineitie. 

M. le lappoiteur (lulrichica nous informe (ju'à la question : 
riiitroduclion du (>aleul dillerentiel et intégral est-elle un pi'ogrès ? 
deux tiers environ des étahlissenienis secondaires ont répondu 
aflirniativement, un sixième négativement et le reste n'a pas mani- 
festé d'opinion. On constate qu'en général les physiciens se 
montrent plus favorables aux réformes que les mathématiciens 
purs (y compris les représentants de la Géométrie descriptive . Il 
y en a qui se plaignent de surmenage et qui craignent que celte 
partie des Mathémati([uos ne devienne un Ibrmalisme vide de tout 
sens. Les mathématiciens appartenant à l'enseignement supérieur 
sont plus réservés encore. Selon eux, il faut, pour suivre l'ensei- 
gnement supérieur, une certaine habileté dans le Calcul, une 
habitude de manier les formules et une capacité de saisir des 
raisonnements enchaînés. Les cours de Calcul différentiel et 
intégral de l'Université et de l'Ecole technique supérieure ne pro- 
fiteraient ])as d'un cours élémentaire oîi les mêmes matières 
auraient été traitées. Ces lemarques visent ceux des élèves qui se 
destinent aux carrières techniques ou à la carrière de mathéma- 
ticien. Mais la majorité des élèves n'est pas dans ce cas et c'est à 
eux que pense M. le rapporteur, en disant que « donner aux 
futurs mathématiciens et aux futurs ingénieurs la préparation 
nécessaire et l'habileté de Calcul indispensable et. en même 
temps, faire acquérir aux autres élèves les éléments mathéma- 
tiques de la cultuie générale, c'est là un problème grave qui n'a 
pas encore reçu de solution. 

Ln Danemark, où le désir unanime des professeurs a été la cause 
de l'introduction du Calcul différentiel et intégral, on considère 
l'innovation comme un progrès incontestable, et les élèves, qui y 
apportent un intérêt très vif, acquièrent vite une habileté dans le 
Calcul différentiel et intégral, non sans le trouver difficile dans 
l'établissement logique des principes. 

D après M. le rapporteur fiançais, « l'introduction d'éléments 
de Calcul infinitésimal est universellement approuvée, pourvu 
qu'on évite certaines exagérations, c'est-à-dire qu'on écarte les 
difficultés logiques en faisant appel à l'intuition et que l'on se 
borne à donner les notions élémentaires et précises suffisantes 
pour les applications usuelles. » Le rapporteur s'est aussi adressé 
au Président de l'Union des Physiciens, qui écrit : « L'avis de 
mes collègues est tout à fait favorable au maintien dans les 
programmes de ces notions sommaires, qui ne paraissent pas 
d'ailleurs présenter pour nos élèves de difiicultés sérieuses. " 

M. le rapporteur russe nous inl'orme que » la plupart des repré- 

L'Enseigncmeiit matliei»., 16« «iiiii-e ; ltfl4. 18 



278 



E . HK A E 



sentants des Mathéinati(|ues considèrent l'inliodudion des clé- 
ments du Calcul infinitésimal comme utile et même nécessaire et 
demandent que cette réforme du programme soit accomplie dans 
les gymnases. Mais on n'est pas d'accord ni sur la manière dont 
cette réforme a été faite, ni sur les résultais obtenus. Les uns 
disent que les élèves suivent avec un grand intérêt les nouvelles 
méthodes et sortent de l'école nneux j)répaiés (juautrelois. Les 
autres signalent queUiues défauts d(! la réloiiue, connue le surme- 
nage ; ils se plaignent de ce (juc la préparation aux matières 
nouvelles ne soit pas faite dans les classes inférieures, de ce 
que la plupart des élèves n'apprennent que des procédés méca- 
niques de Calcul différentiel et intégral, sans y voir le fond, et 
de ce que les Mathématiques élémentaires, jadis enseignées dans 
les classes supérieures, sont oubliées aujourd'hui, etc. » De tout 
cela, M. le rapporteur conclut que la léforme de 1907 ne saurait 
être définitive et qu'une réorganisation complète de tout l'ensei- 
gnement secondaire est ilevenue une nécessité. 

M. le rapporteur suisse observe que les professeurs appartenant 
à l'enseignement secondaire sont contents de la réforme pour des 
raisons scientifiques, vu l'importance extrême de la notion de 
fonction au double point de vue théorique et pratique, pour des 
raisons psychologiques, parce que les matières nouvelles peuvent 
servir de centre à tout l'enseignement mathémati(pie et enlin, 
pour des raisons économiques, [)arce que l'introduction du Calcul 
différentiel et intégral élimine les méthodes élémentaires plus 
difficiles. 

Les professeurs des écoles techniques supérieures suisses, tout 
en approuvant le mouvement réformiste et surtout la mise en 
relief de la notion de fonction et la réduction, dans leurs parties 
superflues, des programmes traditionnels, ne préconisent pas 
l'enseignement du Calcul différentiel et intégral dans les établis- 
sements secondaires, cet enseignement ne faisant qu'aggraver la 
tâche des écoles techniques supérieures. 

Parmi les professeurs hongrois, la plus grande partie regarde 
avec sympathie le mouvement réformiste, mais une minoi-ité 
estime que le Calcul différentiel et intégral devrait être enseigné 
seulement aux élèves bien doués pour les Mathématiques et non 
à des (dasses entières. La majorité des professeurs de l'enseigne- 
ment secondaire et, avec eux, j^lusieurs professeurs d'Université, 
tiennent au contraire comme nécessaire l'introduction du Calcul 
différentiel et intégral d'abord, poui- des raisons de culture géné- 
rale et puis, comme il a été déjà dit, pour des raisons économi- 
ques, pédagogiques et pratiques. Qu'il me soit permis deciteiici 
l'opinion exprimée au sein de notre Commission par M. Czakô, 
membre d'élite du corps des ingénieurs hongrois, professeur et 
actuellement doyen à l'Ecole royale polytechnique de Budapest. 



C A L C U I. 1)1 F F i: /{ F NT/ F I. E T I N J F (, H A I. 279 

II ne croit pas (jnc l'ensoi<riiemoiit du (IjiIcuI (lillV'KMit ici et iiil«''- 
£rial (les clablisscmciits secondaires puisse iiilliier sur renseigne- 
ment nialiiémalique donné à l'Kcole polytechnique; celui-ci, en 
efTet, ne se contenterait pas des notions sommaires acquises par 
les élèves. Mais l'enscii^nement de la Mécanique pouri-ait être 
commencé et terminé plus tôt sur la basedc renseignement secon- 
daire nouveau et cela serait, conformément à un vomi depuislong- 
temps exprimé des inoénieurs, éminemment désirable dans 1 in- 
térêt des élèves-ingénieurs. 

Quoi qu'il en soit, ajoute M. Czakô, Timportance capitale des 
tendances rénovatrices i-éside dans le fait que leurs efFets se leront 
sentir, par l'éducation reçue aux établissements secondaires, sur 
l'ensemble des classes dirigeantes. Parce que, plus en(;ore que 
faire progresser l'enseignement technique, l'école secondaire doit 
se pi'oposer la foi-mation des esprits qui n'embrasseront pas les 
carrières techniques et qui, par la force du nombre, occuperont 
la plus grande partie des places dirigeantes dans la société. Ces 
esprits ont besoin de compiendre les phénomènes par lesquels se 
manifeste la marche de la civilisation humaine; et pour résoudre 
les problèmes toujours nouveaux posés par la civilisation en mar- 
che, il leur faut trouver des voies nouvelles et des moyens appro- 
priés. 

Il me reste à résumer les observations du rapporteur allemand. 
Je fais ce résumé à dessein après les autres pour les terminer avec 
la réponse que M. Klein, notre président, a adressée au rapporteur 
allemand. D'après M. Lielzmann, les professeurs sont contents, 
en général, des résultats et les considèrent comme un progrès ; 
mais les mathématiciens appartenant à l'enseignement supéiieur 
ne sont guère partisans des réformes, quoique peu d entre eux s'y 
montrent résolument hostiles. Voici comment sexprime M. Klein 
à ce sujet : 

« Ce n'est pas aux professeurs de Mathématiques des Universités, 
mais c'est aux professeurs de Mathématiques des F.coles techni- 
(|ues supérieures et aux professeurs de Physique des Universités 
qu'il appartient de se prononcer. Ceux-là, en premier lieu, ont a 
compter avec l'éducation mathématique moyenne des élèves arri- 
vant à l'Université. Comment envisagent-ils l'introduction du 
Calcul infinitésimal ?■ Je suis convaincu qu'un grand nombre 
d'entre eux n'a aucune connaissance de l'état actuel des choses. 
Va il y a encore une autre raison, pour laquelle beaucoup de 
mathématiciens des Universités se prononcent contre l'introduc- 
tion du Calcul infinitésimal dans lécole. C'est l'inexactitude ou le 
manque de rigueur avec lesquels le Calcul infinitésimal est pré- 
senté dans cei'tains manuels scolaires récents. On en conclut (jue 
le sujet est trop difficile pour lécole. 

A cela, on peut répondre que pareils défauts se rencontrent 



280 /;. liEKE 

dans d'autres fha|)itres aussi des manuels scolaii-es, en pailicu- 
lier, dans l'exposition avec les méthodes de l'Analyse algébrique 
des séries infinies. La situation défectueuse s'explique non par les 
diUicullés inhérentes à la matière, mais par le fait qu'un i^rand 
nombre des professeurs des écoles secondaires sont trop absorbés 
par les exigences pratiques de l'enseignement pour pouvoir porter 
leur attention sur les questions de la rigueur. 

Par contre, les mathématiciens de l'Université ont la tendance 
de ne voir dans un manuel scolaire que les incorrections et ils 
néglig'ent de juger la marche méthodique de l'exposition et l'adap- 
tation du livre à l'intelligence des élèves. Ces deux états desprit 
ont éloig'ué les professeurs des écoles secondaires de ceux des 
Universités à tel point que le contact entre eux était très rare 
pendant des dizaines d'années. Maintenant que les questions du 
Calcul infinitésimal intéressent les deux parties, les divergences 
de vue se manifestent de nouveau et avec une ardeur qui crée 
des ditTicultés inutiles mais qui s'explique par le passé impossible 
à supprimer. Il faut, en y réfléchissant, nous réjouir de ce qu'une 
rencontre a été provoquée par la réforme de l'enseignement 
mathématique, réforme à laquelle l'intioduction du Calcul infini- 
tésiuial donne son caractère distinctif. Plus les discussions sont 
vives, plus il y aura de chances que la séparation regrettable qui 
existe entre les milieux de l'enseignement secondaire et supé- 
rieur, et qui fait souffrir l'instruction publique, doive enfin dis- 
paraître. » 



Tous les rapports font ressortir que le rôle élargi de la notion 
de fonction et l'introduction du Calcul dift'érentiel et intégral ont 
rencontré partout la sympathie des professeurs de l'enseignement 
secondaire. En plusieurs endroits, là surtout où les réformes ont 
été accomplies sur l'inUiathe des professeurs, açec leur concours 
actif ou même pur le clioi.v libre de leur volonté, cette sympathie 
allait jusqu'à l'enthousiasme. Us mettent leur ambition à bien 
enseigner les matières nouvelles et s'ils savent garder la mesure, 
s'ils ont de bons livi-es à leur disposition, s'ils peuvent vaincre les 
difficultés de méthode par une main sûre et par une science pro- 
fonde, les résultats acquis ne manqueront pas d'égaler leur zèle. 

Il est à regretter seulement que les professeurs appartenant à 
l'enseignement supérieur ne regardent pas toujours avec sympathie 
le mouvement réformiste. Notre président en a mis en lumière 
les raisons. Les professeurs d'Université, ennemis des réformes, 
les envisagent de leur point de vue spécial. Nous entendons la 
plainte éternelle qu'un cours de Calcul diflerentiel et intégral n'est 
pas suivi avec intérêt par celui qui en a déjà quelques connais- 



CALCUL i> I r F E lu: y r u: L i: r i ntl: c it a i. l'ki 

s.Tiices. Pareils sciupnlcs s»' picsciitaiciil toujoiiis dans d aulics 
biniu'lu's aussi. J'ai entendu parler d'un jirofesseur do Physifpie 
qui connneneait son cours en invitant ses audilcui's ii ouhlicM- tout 
ce cpi'ils avaient appris de la IMiysicpie dans lécole secondaire. 
J'ai connu un chimiste qui, dans l'inlériM de l'enseif^nement supé- 
rieur, s'opposait à l'introduclitui de la Chimie dans l'enseigne- 
ment sccondaiio. In professeui- de la (î('M)niétrie descriptive pré- 
férait les (4èves sortant du jj^yinnase à ceux qui avaient étudié la 
Géométiic descriptive pendant quatre ans dans l'école l'éale. Je 
crois que des exemples pareils abondent dans tous les pays. Le 
scrupule du mathématicien n'est donc pas nouveau et il est aussi 
dénué de fondement que les autres. 

Le professeur d'Université a précisément j>our tâche, après 
s'être rendu un compte exact de l'état d'instruction de ses 
élèves, d éclairer d'un jour nouveau leurs connaissances et de 
bâtir ensuite sur ce fondement reconnu. Si lécole secondaire 
garde une sage mesure et ne veut pas se hausser a l'égal de 
l'Université, cette tâche ne sera point diiUcile. P(ir V étendue, 
le degré de généralité. In rigueur des méthodes, et pnr tout le 
vaste champ des applications, les deux enseignements se distin- 
gueront toujours. Ils se distingueront aussi par la personnalité 
des professeurs, par l'intelligence et la maturité des élèves. Et 
ces différences sont si profondes, pour des raisons pédagogi- 
ques et scientifiques, qu'il ne peut pas èti-e question d'un relâche- 
ment de l'intérêt si l'enseignement supérieur est à la hauteur de 
sa tâche, [j'enseignement secondaire doit respecter les besoins de 
l'enseignement supérieur et celui-ci doit connaître les méthodes 
en usage dans l'enseignement sec(»ndaire. S il en est ainsi, la con- 
naissance des principes du Calcul différentiel et intégral servira 
de base aux développements ultérieurs, tout comme un enseigne- 
ment intuitif de la Géométrie est la base de l'étude systémati([ue 
de la Géométrie, la Physique expérimentale celle de la Physique 
théorique, l'enseignement secondaire de l'Histoire politique 
celle de l'enseignement supérieur de IHistoire des lois et des 
institutions; bref, comme l'enseignement d'un cycle inférieur 
pi'écède et prépare renseignement du cycle supérieur. 

C'est plus qu'il ne faut pour attirer lattention des professeurs 
d'Université sur les aspirations réformatrices et pour les enga- 
ger — comme ils en ont donné l'exemple dans plusieurs pays 
— à donner une direction à l'enseignement secondaire du Calcul 
infinitésimal. Juscpià présent, ils se sont laissé guider à peu 
près uniquement par des considérations ayant trait à leur sjîé- 
cialité. Cependant, comme beaucoup de rapporteurs l'ont fait 
observer, notre question n'est pas celle des futurs ingénieurs 
et mathématiciens, mais celle de la culture générale. Elle est 
la question — j'y insistais dans Tlntroduclion — du dévelop- 



282 



K . H E K !■: 



peinent tle Ihabilutle des laisoiineinents exacts, de la péné- 
tration de Tespiit mathématique dans toute la civilisation 
moderne. « Dans l enseioncment secondaire — dit M. Liaid — 
les études scientiliques doivent, comme les autres, contiibuer à la 
formation de l'homme. Rlles sont donc, elles aussi, à leur façon, 
des « humanités » au sens large du mot, les « iiumanités scienti- 
fiques ». 

Eti envisageant la question de ce point de vue, il est impos- 
sible que les maîtres de l'enseignement supérieur, les plus hauts 
représentants de la civilisation humaine, ne s'associent à nos 
vœux qui tendent à faiie répandre dans le cercle le plus 
large possible, parmi tous les hommes qui cultivent la Science, 
la connaissance du Calcul infinitésimal qui est la Science du 
changement, principe éternel du monde, qui est l'instrument 
indispensable de tout raisonnement scientifique et qui, enfin, 
représente une création magnifique de l'esprit humain. 

J'emprunte l'image à un récent discours éloquent de M. le 
Président de la République française, qui parlait du rôle de 
l'épée et de la plume, et je dirai que l'enseignement secon- 
daire aussi a un triple devoir : Glorifier le passé, honorer le 
présent et préparer l'avenir. A mesure que nous avançons parmi 
ces devoirs de l'école, le rôle des Mathématiques se fait de plus 
en -plus haut dans l'ensemble des humanités. Nous voulons 
préparer l'avenir en formant la jeunesse pour la vie active et 
pour la pensée scientifique. 

Heureusement, notre mouvement réformiste trouve, parmi les 
professeurs d'Université de tous les pays, des appuis forts qui l'ont 
fait naître, qui l'ont doté de manuels scolaires et qui en répandent, 
dans leurs cours, les idées rénovatrices. 11 est à désirer que tous 
les professeurs appartenant à l'enseignement supérieur connais- 
sent ce mouvement qui n'est pas — comme M. Giitziner, collabo- 
rateur dévoué de notre président, l'a dit au Congrès de Rome — 
une révolution, mais qui est une étape de l'évolution. Oui, nous 
travaillons par ces réformes non seulement au progrès de l'ensei- 
gnement mathématique, mais aussi à l'évolution de toute l'éduca- 
tion. Nous attendons de l'évolution de l'enseignement mathéma- 
tique une forte discipline logique, une intuition féconde, un vif 
intérêt pour les questions pratiques, le sentiment des réalités, 
l'appréciation juste des faits, la méthode critique, l'habitude du 
travail indépendant et par-dessus tout : la connaissance et l'amour 
de la vérité. Tout cela ensemble fait l'idéal suprême de l'éducation, 
la question primordiale de la civilisation. Four servir cet idéal, 
pour résoudre cette question, les professeurs des enseignements 
secondaire et supérieur doivent concentrer tous leuis efforts; 
s'ils le font l'avenir sera bien préparé. 



<■ A I.C U I. I) I F F K n K y '/■ I E I. E T I .\ T É (. H A I. 2«:i 

^unexe: .Nous I l'pi-oduisons, à litre (Jocumeiilaire, le qucslioiin;iirc (jui 
a servi de base à l'enquête de M. le F'rof. Beke. 



Questionnaire pour la Sous-Commission A 

sur l'introduction des premières notions de Calcul différentiel 

et intégral dans les Ecoles moyennes. 

Remarques préUinincives. — 1. Le (iomité central pose ces questions de 
niaiiière à être renseijjné sur les matières et la méthode d exposition de cet 
important chapitre du pian d'études de 1 enseignement moyeu. Il lient à rap- 
peler à nouveau qu'il ne prend pas parti pour une tendance déterminée, mais 
qu'il se propose avant tout de mettre en lumière les divers [)oints de vue el 
les résultats obtenus. 

2. — Nous entendons par écoles moyennes les établissements de l'en^ai- 
gnement secondaire supérieur désifi^nés sous les noms de lycées, gymnases 
classiques ou réaux, ou établissements similaires des divers pays. Il serait 
utile d'avoir aussi des renseignements sur ce (|ui ce fait dans les écoles nor- 
inali's d instituteurs, s'il y a lieu. 

I. — Dans quelle mesure a-t-on introduit les premiers éléments de Calcul 
différentiel et intégral dans les écoles moyennes de votre pays ? 

Nous désirons notamment être renseignés sur les points suivants: 
fi ) Le Calcul différentiel est-il limité aux fonctions d'une variable ou con- 
sidèi'e-t-on aussi des fonctions de plusieurs variables ? 

/// Quelles sont les fonctions auxquelles on applique le Calcul différentiel ? 

c) Fait-on du Calcul intégral? si oui, suivant quel programme? 

d) Expose-t-on le théorème de Taylor ? 

!• ) Intègre-t-on des équations différentielles simples? Les(|uelles? 

II. — Quel est le degré de rigueur dont on fait usage dans l'introduction 
des concepts fondamentaux et dans les démonstrations ? 

a'i Se contente-l-on d'une introduction géométrique au Calcul différentiel, 
sans adopter d'une façon expresse la notion de limite, ou utilise-t-on cette 
notion? Dans I affirmative, est-ce que l'on présente une démonstration rigou- 
reuse, ou envisage-t-on comme évidents des théorèmes tels que celui-ci : 

lini 1 = _L ? 
a \\xn a 

h' Fait-on usage des différentielles? Dans l'affirmative présente-t-on le 
Calcul différentiel comme une sorte de calcul approximatif, ou calcule-t-on 
avec des infiniment petits comme avec des grandeurs existant effectivement ? 

Cl Dans le théorème de ïaylor tient-on compte du reste ou non? 

dl Signale-t-on l'existence de fonctions non dérivables ? 

et [..a notion de nombr<» irrationnel est-elle présentée sous une forme 
rigoureuse, ou se contente-t-on de parler seulement occasionnellement des 
nombres irrationnels, par exemple à loccasion du calcul des racines? 

III. — Quelles sont les considérations méthodiques que l on suit dans 
l'introduction au Calcul différentiel et intégral:' 

ai Cette iutrodu'-tion est-elle déjà préparée dans les classes précédentes 
pai- une étude appropriée des fonctions simples et de leur représentation 
graphique, de manière que ces nouvelles matières ne constituent pas un 
supplément au programme, mais comme un chapitre qui se rattache étroite- 
ment à ce qui a déjà été vu. 



284 



oui: S TIOXNAIHi: 



b) Emploie-l-on la notation (lin'érentielle de Leibuiz, on bien les dérivées 
et les intégrales sont-elles désignées autrement ? 

c) Commence-t-on l'exposé par le Calcul différentiel ou pai- le Calcul inté- 
gral, ou éludie-t-on simultanément les deux ? 

dj L'intégrale est-elle présentée comme limite d'une somme (intégrale 
déliiiie) ou comme fonction primitive (intégrale indé(inie) ? Si l'on opère dos 
deux manières, dans quel ordre et dans quel lieu expose-t-on ces deux 
notions ? 

e\ Fait-on usage d'un manuel? Quels sont les ouvrages caractéristiques 
dont on tient compte? (Indication complète du titre, de l'éditeur et de 
1 édition). 

lY. — Quelles sont les applications du Calcul diff'érenliel et intégral que 
Ion donne dans ce premier enseignement ? Telles questions d analyse, de 
géométrie oui de physique utilisant la notion de limite et qui, par leur im- 
portance, se trouvaient déjà partiellement ou entièrement introduites dans 
l'enseignement, sont-elles maintenant attachées directement à l'élude du 
Calcul différentiel et intégral, de manière à obtenir un exposé plus écono- 
mique des matières à étudier ? 

Nous signalons notamment les points suivants : 

a) La théorie des maxima et minima. 

b) Si l'on étudie la série de Taylor, quelles sont les fonctions dont ou fait 
le développement en série entière ? 

cl Au cas où l'on tient compte du reste dans la série de Taylor, fait-on 
usage des séries entières pour l'interpolation, l'extrapolation ou pour le 
Calcul des erreurs? 

dl Au cas où l'on étudie le ('alcul intégral. applii|ue-t-on celui-ci au 
calcul des aires (par exemple de la parabole, de lellipse) et au calcul des 
volumes ? 

ej Pour quels concepts foudamentanx de la Mécanique, (vitesse, accéléra- 
tion travail, moment d'inertie, etc.) fait-on usage du Calcul différentiel et 
intégral ? 

f) De la même manière en Physique, en particulier pour l'optique (courbes 
enveloppes, etc.) et en Électrodynamique (lignes de force, etc.). 

V. — L'introduction du Calcul différentiel et intégral a-t-elle amené un 
allégement du plan d'études en supprimant d autres théories? Dans l'affir- 
mative, de quelle manière ? 

VL — Quels sont les résultats obtenus par l'introduction du Calcul diffé- 
rentiel et intégral? Est-elle reconnue comme une réforme nécessaire ? Dans 
quelle mesure rencontre-t-elle de l'approbation ou de l'opposition? Eu par- 
ticulier quelle est l'opinion des représentants des mathématiques et de la 
physique ? 

Si vous avez à signaler d'autres observations ou remarques concernant 
l'enseignement du Calcul différentiel et intégral, veuillez en faire mention 
dans votre réponse à cette place. 

Quels sont les passages des rapports publiés par votre sous-commission 
eoncernant la question de l'enseignement du Calcul différentiel et intégral ? 



II 

L'ORGANISATION DE L'ENSEIGNEMENT DU CALCUL 

DES DÉRIVÉES ET DES FONCTIONS PRIMITIVES 

DANS LES LYCÉES DE FRANCE 

ET SUR LES RÉSULTATS OBTENUS 

Rapport pii'sentè à Ui sctince du '2 avril l'.il'i. 

l'A It 

Ch. BIOCHE 

Professeur a» Lvcée Louis- le-(lr;ind i Paris). 



Ce rapport doit fompléter ce qui a été exposé dans les volumes 
publiés en 1911 par la Sous-comtnissioii française, et ce qui a été 
répondu à M. le Rapporteur Général pour la (piestion A. Je me 
trouverai obligé de reprendre un certain nombre de choses déjà 
dites pour éviter de renvoyer à des textes dispersés ; mais je serai 
aussi bref que possible, des explications complémentaires pouvant 
être données au cours de la discussion. 

1. — Si on néglio-e quelques faits exceptionnels quejai signalés 
dans le rapport intitulé : « Sur la place et l'importance des mathé- 
matiques dans renseignement secondaire en France », on peut 
dire qu'avant 1902 les dérivées étaient réservées au cours d'ensei- 
gnement supérieur ou à ceux de la classe dite de Malhèinatiques 
.spéciales. 

En 1902. la notion de dérivée a été introduite dans l'enseigne- 
ment secondaire proprement dit; le programme de Seconde C et 
D (élèves de 14 à 15 ans) contenait cet article: 

« Notion de la dérivée; signification géométrique de la dérivée. 
Le sens de la variation est indiqué par le signe de la dérivée ; appli- 
cation à des exemples numériques très simples. » 

En 1912, les notions sur les dérivées ont été supprimées du pro- 
gramme de Seconde et reportées en Première. Voici en entier le 
programme actuel de Première C et D : 

« Equation et trinôme du second degré. Exemples numériques 
où la variable peut être une ligne trigonomélri<iue. Notion de la 
dérivée; signification géométrique de la dérivée, le signe de la 
dérivée indique le sens de la variation ; application à la variation 
des fonctions 

rt.r + '' ». , ^' 

—, T, . (^^ + "■*■ + ^ '''•*■ + " + — 

a .r -\- I) X 



28« Cil. m ovin: 

et il la vaiiatioii de de la loiiclion 

„.,••'' -f hx"^ + ex + (/ 

où les eoefricients sont numériques. 

« Ktude d'un mouvement lectiliyne. uniforme ou uiiirormemcnl 
varié. Définition de la vitesse et de l'accélération dans le mouve- 
ment rectiligne par les dérivées. » 

On voit que le programme précise les fonctions simples aux- 
quelles on doit se borner dans la classe de première. Pour ces 
fonctions l'expression F .r -\- h] — F [x] contient explicitement h 



en f'acteur;on peut donc simplifier le quotient 



F(.r + Al — V {x\ 



et 



obtenir une expression qui a une valeur bien déterminée lorsqu'on 
y fait h = 0. 

Dans la classe de J/<7//ié/»r///V7//e.s^, où entrent les élèves', après 
avoir subi une première série dépreuves, pour se j)réparer à la 
seconde série du baccalaui-éat, on est conduit à des dérivées pour 
le calcul desquelles intervient la notion de limite; on établit, par 
exemple, que le lapport du sinus à Tare tctid veis 1 quand lare 
tend vers 0, ce qui se fait facilement en montrant que 

sin .r 
cos X <^ <] 1 

X 

il y a donc à ce point de vue une différence bien nette entre les 
dérivées considérées en Première et celles c{ui sont réservées pour 
la classe de Mathématiques. Voici la partie du programme qui est 
relative aux dérivées et aux fonctions primitives : 

« Dérivées d'une somme, d'un produit, d'un quotient, de la lacine 
carrée dune fonction, de sin.r, cos.r, tgx. cotg.^■. 

Application à létude de la variation, à la reclierche des maxima 
et minima de quelques fonctions simples, en particulier des 
fonctions de la foime 



«.i- -j- hx + c 



+ p.r + 7 



OÙ les coefficients ont des valeurs numériques. 

Dérivée de l'aire d'une courbe regardée comme fonction de 
l'abscisse 'on admettra la notion d'aire . » 

.le dois citer une note précisant l'esprit de l'enseignement des 
malières précédemment énumérées. « l.e professeur laissera de 
côte toutes les questions subtiles que soulève une exposition rigou- 



' La limite dVign pour la première p:irtie du baccalauréat est IB ans : cependant les élèves 
approchant de cette limite obtiennent facileiiient une dispense d'âge. 



/. ) r !■: i: s I) E Fit A y c i-: 287 

reuse de la théorie dos d('Miv«>('s ; il aura siirloiil en vue dos apjili- 
catioiis cl ne ei'aiiuira pas de taire app(d à riulnitioii. 

Je crois devoir inentiomier la classe de Malhénia tiques spéciales 
sans donner ici beaucoup de détails, parce que cette classe n'a 
pas danaloj^uc dans l'enseignement moyen en dehors de la France. 
Kn Ma(hé/naf/f/ues spéciales on introduit la rigueur dans les f{ues- 
ti«)ns de limites ; les nombres incouimensuiables sont définis au 
n)oyen de la notion de coupure ; on étudie les intiniments petits ; 
on emploie la notation dillérentielle de Leibniz ; on tait la théorie 
logique de l'intégrale définie avec de nombreuses applications 
géom('tri({ues et mécanicpies ; on donne des propriétés ionda- 
mentales des séries entières '■; on intègre certaines é(|uations diUV*- 
rentielles : équations du premier ordi é où les variables se sépaient, 
équations diilerentielles linéaires du premier ordi'e, équations 
linéaires du deuxième ordre à coefficients constants. 

2. — L'introduction des dérivées dans renseignement élémen- 
taire telle qu'elle résulte de ce que je viens de dire, a donné dans 
l'ensemljle de bons résultats. La notion de déiùvée, quand on évite 
les subtilités logiques, semble très accessible aux élèves ; ceux-ci 
s'intéressent aux applications et arrivent facilement à étudier des 
fonctions simples. Je cite pour préciser des types de questions qui 
ont été traitées par des élèves de lycées, et qui semblent bien 
correspondre à ce qu'on peut demander à ceux-ci. 

I. Devoir donné dans une classe de l""*^ C (élèves de 15 à 16 ans). 
Etudier les variations de la fonction 

_)• = .r» — 2x'^ -\- X + l 

et construire la courbe représentative. Dire combien l'équation 1= m admet 
de i-acines, m désignant un nombre donné quelconque. 

II. Composition donnée dans une classe de Mathématiques |I6 à 17 ansi 
[durée de la composition : 2 heures et demie] 

On considère le solide foi-mé par un cône SAA' et un cylindre ABB'A' 
ayant la même longueur de génératrice SA ^ AB =: a. 
Soit X la hauteur SH du solide. 

1° Exprimer le volume V du solide au moyen de a et de .r. 
2° Trouver pour quelles valeurs de x le volume V est maximum. 
Calculer ce maximum en Hectolitres dans le cas où a ::= 1"'. 
3" Construire la courbe qui représente les variations de la fonction 

•' = ^^ 
en représenlant a par 1 luiilè de longueur grapiiique. 



' La théorie des séries entières permet d'éviter les coniplioalions qirentrain<Tit la considé- 
ration du reste, pom- le développement de certaines fonctions d'après la formule de Taylor. 

Par exemple, pour développer L(l + x\, on considère maintenant le développement de — - — 

et on intégre. 



288 



r // . li 10 c II E 



4» Calculer laiie coni|)i-iso oiili-c i;t tombe et l:i corde, joignant le point 
(l'abscisse 1 au point d'abscisse 2. 

5" Déduire de la considération de la courbe combien il y a de valeurs de 
X pour lesquelles )• reprend une valeur donnée. (Calculer les valeurs de x 
(]ui correspondent à y =z 3. 

3. — Beaucoup de formules de uiécaiii(iue ou de physique peuvent 
se démoutrer maintenant dans les classes des lycées sans qu'on 
ait besoin de recourir aux procédés inijénieux, mais souvent bien 
compliqués ou artificiels, qu'on était oblioé d'employer autrefois. 
On trouvera l'opinion des professeurs exprimée dans la lettre dont 
je vais donner des extraits. Cette lettre est de mon excellent collèoue 
M. Wallon, professeur au l.ycée Janson de Sailly, Président de 
rUnion des Physiciens ; celui-ci a bien voulu, avant de m'écrire, 
prendre l'avis de ses collègues constituant le bureau de l'Union, 
de sorte que le témoignage de M. Wallon a une autorité toute 
particulièie. 

<~ Nous nous sommes trouvés d'accord pour penser que l'intro- 
duction dans l'enseignement secondaire des itotions élémentaires 
de calcul différentiel et intégral, nous avait rendu service et pour 
en souhaiter le maintien. Tel de nos collègues qui est, en même 
temps que d'un cours dans un lycée de Paris, chargé dans un lycée 
de jeunes filles de conférences complémentaires, nous signalait 
(pi'à ces jeunes filles il était obligé, pour les besoins de son ensei- 
gnement, de donner ces notions élémentaires. Et tous ceux d'entre 
nous qui ont eu autrefois à faire, en Mathématiques élémentaires 
par exemple, quelques leçons de mécanique, se trouvaient dans 
la même obligation; seulement il leur arrivait souvent de ne pas 
appeler les choses par leur nom ! 11 fallait bien tout de même 
montrer aux élèves, dans l'étude du mouvement uniformément 
varié, que l'équation donnant les vitesses en fonction du temps et 
l'équation donnant les distances à l'origine se déduisaient néces- 
sairement l'une de l'autre! Et je pourrais citer dautres exemples. 

>< Il est certaineruent avantageux pour nous, de trouver nos élèves 
capables d'utiliser dans les cas, simples d'ailleurs, où nous en 
avons besoin avec eux, les méthodes de calcul dont il est questioiu 
Les comprennent-ils bien ? Ceci est autre chose, mais je puis dire 
({lie nous les y aidons, et nous pouvons, à cet égard, invoquer 
leur témoignage même; nous leur fournissons, en effet, l'occasion 
d'appliquer à des choses concrètes, des notions un peu bien abs- 
traites. 

« Vous le voyez, l'avis de nos collègues est tout à fait favorable 
au tuaintien dans les programmes de ces notions sommaires qui 
ne nous paraissent pas d'ailleurs, pour des élèves de cet âge, pré- 
senter des difficultés sérieuses. » 

.le vais maintenant exposer ce<|ui me semble être V opinion géné- 
rale des professeurs de Mathématiques, (opinion qui s'accorde 



f.Ycr: E .s /; /; f h an c e 2so 

bien avec celle de lems collcgues de physiciue , de façon ;i loiintilei- 
la conclitsion de ce rapport. 

Poiif donner de bonnes habitudes aux élèves, il semble utile de 
ne pas faire commencer l'enseignement des dérivées an moment 
même où l'on donne les premières notions sur les fondions. On 
constate en effet, souvent, C{ue les élèves ont trop facilement ten- 
dance à s ima<;iner qu'une fonction ne peut être étudiée sans qu on 
n'ait besoin (remployer la dérivée. Cet abus ne se manifeste pas 
seulement dans les classes de l'enseignement secondaire, car on 
en trouve bien des exemples dans des concours où les concurrents 
ne sont plus des débutants en Mathématiques. L'introduction des 
dérivées dans le programme de Seconde telle quelle a été faite en 
1902 a été, dès cette épo(iue, jugée (piekpie peu prématui'ée j)ar 
bien des professeurs. La modilication apportée en 1912 et (pii con- 
siste à ne donner les notions sur les dérivées qu'à partir de la 
classe de Première conduit à un plan d'études qui se trouve bien 
gradué; les trois années, à jiartir du début du deuxième cycle, 
sont en eifet nettement caractéiisées. 

1. — En Seconde, âge de 14 à 15 ans, les élèves doivent étudier 
directement des ionctions simples 

ax 4- h 



(IX -j- h ax'- -\- hx -\- c 



n'x -j- // 



et se familiariser avec les notions de variation et de repiésentation 
graphique. 

IL — Ces notions acquises facilitent lexposition donnée en 
Première des principes essentiels de la théorie des dérivées en 
faisant appel à l'intuition et en se bornant à des cas simples pré- 
cisés au programme. 

m. — En Mathématiques le champ détudes sélargit encore ; 
à ce moment les élèves arrivent facilement à pouvoir traiter les 
applications simples qui se rencontrent dans les problèmes de 
mécanique ou de physique ; par exemple, dans ma classe de Mathé- 
matiques, je discute les différentes formes que peut prendre la 
courbe correspondant à léquation de Van der Waals et j'établis 
la formule qui donne le moment dinertie dune sphère par rapport 
à un diamètre; mon collègue de physique traitant dans son cours 
les questions correspondantes, relatives à la théorie des gaz et au 
pendule composé. 

En résumé, il semble bien établi que l'introduction de notions 
élémentaires de calcul difféientiel et intégral dans l'enseignement 
secondaire présentede grands avantages si ces notions sont intro- 
duites graduellement et si on utilise le plus tôt possible les notions 
acquises pour des applications pratiques. 



m 



DISCUSSION 

Sur les résu/lals obtenus dans l'introduction du calcul différentiel et 
intégral dans les classes supérieures de l'enseignement secondaire. 

1. Indications complémentaires 

fournies par les délégués. 

Allemagne. — M. W. I^iIetzmaxx: Der Hauptberichterstalter, 
Herr Beke, hat in so auso^ezeichnetei'. vollstaiidiger iind iiber- 
sichtliclier W eise, wie von allen l.andern, so auch von Deutschland 
die Tatsachen zusammengestellt, dass ich es im Augenblick vei- 
meiden mochte, aut" Rinzelheiten einziigehen. Die Zeit isL schon 
weit vorgeschi'itten und sicherlich wiid uns allen wenigei* an 
kleinen Erganzungen, als an einei- recht ausfiihrlichen Diskussion 
gelegen sein. Deshalb niir einige kleine Bemerkungen. 

Es war uns in Deutschland nicht moglich, eine ausfûhrliche 
Rundfrage zur Beantwortung des von der Subkom mission A 
ausgegebenen Fragebogens zu versenden. Ich habe selbst die Ant- 
worten auf den Fragebogen auf" Grund der in den deutschen 
I.MUK-AbhandIungen zusainmengeslellten Darstellungen und der 
sonstigen mir bekannten Literatur gegeben. Um aber einiger- 
niassen sicher zu gehen, habe ich nachtraglich meine Antwort 
an eine grôssere Anzahl von Schulmânnern geschickt, die mir in 
der Mehrzahl intéressante Rrganzungen zu meinen Anfworten 
zukommen liessen. Isl auch iin wesentiichen das Bild ungefahr 
das gleiche geblieben wie vorher, so liessen es doch die man- 
cherlei individuel len Ziige jetzt wiinschenswert erscheinen, das 
Ergebnis zu verofTentlichen. Ich erlaube mir, Ihnen einige Exem- 
plare dieser Aibeit, die in der Zeitschrift lïir mathematischen 
und naturwissenschaftlichen Unterricht erschienen ist, hier vor- 
zulegen *. 

Lassen Sie mich aus dem grossen Komplex der sich aufdriin- 
genden Fragenzwei herausgreifen. Es ist ausserordentlich schwer 
den gegenwartigen Standpunkt, den nian in Sachen der Infinite- 
simalre<;hnung auf'dei' h(theren Schule in Deutschland einnimmt, 



w. LiETZMANN, Die Einfiihriiiig Uer ElL'meiite d-r Diflcrential- uud Integralrechnung in 
die hôheren Schulen. Zeitschrift fiir inathein. und naturw. L'nterricht, 45 (19141, 145 ff. 



CAL cri, I) I m: a i: y ri E I. r.r r\i rcini. 



2'.n 



genaii aii/.ugcben. W ir habeii iilx-iall ciii Xclicin-itiandcr vfiscliir'- 
dener Staiidpniiktc, statt eines einzigeii. I<h iichnic oiii Beispiel 
heiaiis. Ich wiililc die Lehic von dfn PotcMizicilicn, dio an ("ast 
allen deutschen Rcalanstallen und anch an cinoni klcinfii Teile 
dei' Civnmasion hcliaiulclt wrrdcn. l nd ich Ix't l'achlf- da wicdor 
nur die Slellungnaliinc zur niatiieniatisclien Slren;L(e. 

Ich will (Irai Periodcn iinfeischei(hMi. die •■incn hislorischeii 
Ilintergrund haben. 

In dei' erslen I^eriode lechnelc niau mil inuMullichcn lieilir-n 
wie mil endiichen ; manchnial fVdirle nian eitic liechnnng gliick- 
lieh zu Knde, nianchnial nicht. I)ie l'iitersuchniig der Konver- 
geiiz fehite noch. 

In der zweiten Période ist der Beyiill der Konvergenz xoll 
erfasst. Aber in der Art und Weise, wie niaii zii den Heihen 
koninit, ist nian nnkritisch. Man (>ehl irgend einen W eo. (\ev zni- 
Aufstelluno- der Reihe fïdirt. ohne sich dainni zn kiimniern, ob 
jeder der dabei getanenen Sehritte erlaubl ist oder nicht. Man 
vertauscht z. B. den lini und das uber unendiiche Gliedzahl eis- 
treckte Suinnienzeichen ohne zn beachlen, dass das f'alsch ist. l'^s 
wird, kiirz gesagt, der strenge Nachweis dafiir, dass die eihaltene. 
spiiter auf ihre Konvergenz untersnchte Heihe die Funktion auch 
wirklieh darstellt, gar nicht ins Auge gefasst. 

Und schliesslich die dritte Période, die man etwa Kenn- 
zeichnen kann dadurch, dass in der Taylorschen Heihe das Rest- 
glied berùcksichtigt und diskutiert wiid. 

Dièse drei Stellungnahmen zur Strenge bei der Reihenlelue 
gehen nun in unseren deutschen Schulen vollkonmien nebenei- 
ander her. Irgend eine feste Abmachung, was erlaubt ist und 
was nicht, besteht nicht. Dem Mathematiker an der Universilat 
graut, wâhrend gleichzeitig der Methodiker an der Schule das 
Verfahren noch fiir viel zu streng hait. Ich denke, dièses Beispiel 
zeigt recht deutlich. dass wir in unserer Methodik der Infiuite- 
simalrechnung, so grosse Fortsehritte sie gemacht hat, noch nicht 
zu einem festen Abschluss gekommen sind. 

Und deshalb scheint mir eine andere Frage niclit unwichlig. 
Warum wollen wir jetzt in der hoheren Schide Infinitesimal- 
rechnung treiben? Der mathemalische Unterricht ist gar nicht fiir 
die spateren Mathematiker da ; er ist also beispielsweise durchaus 
nicht mit der Classe de mathématicfues spéciales hier in Fiank- 
reich zu vergleichen, die einen gewissen Fachcharakter hat. \\ ir 
denken in unseren hoheren Schulen nur an dert mathematischen 
Bedarf des Gebildeten und vielleicht noch dçn besonderen Bedarf 
aller mehr technisch gerichteten Berufe. vom Kaufmann. Olli- 
zier usw. bis zu den Technikern im engeren Sinne. In Deutsch- 
land war deshalb auch mit dem Findiingen der Inlinitesimal- 
rechnung keine bedeutende StolVvermehiung verl)uuden- das 



29-2 



/)/S C [j'S S /0.\ 



Aiissmass dev MalluMiiatik-Stundcii ist sogar iast tliiifluve<4 1km 
den neueren f^ehiplaiien gleichoeblieben odergar zuiiickgegangen. 
^^ il- woUten mir das. was wir sowieso schon in iinseien hoheren 
Schiilen trieben, eiiifacher, schoiier, auCiichtiger treiben als 
vordein. Die Physik, die wii- voilier aiich schon trieben. wiid mit 
der Benutziino- der Inlinitesiinahechnung eist reeht dnrehsichtig. 
Die Bereehnung der Fliichen und Kôrper kann eist systematisch 
durehgeluhrt werden mit der Inlegralrechniing. Die Kurvendis- 
kussion erfordert Dillerential- und Integralrechnung. Und auch 
wenn wir die Schiller soweit lïihren wollen, dass sie die NYertc 
ihrer Irigonometrischen und ihrer logarithniischcn Tabelle selbst 
lînden konnen, brauchen wir die Reihenlehre. So ist in Deutsch- 
land das Kindringen der Infînitesimalrechnung vor sich gegangen 
ohne dass StofTe ans friiherer Zeit in grosserem Umfange aus- 
geschieden sind. 

Es liegt nahe. an dieser Stelle etwas iiber die Geschichle des 
Eindringens der Infinitesimalrechiinngin das hôhere Interrichts- 
wesen zu sagen, da hierbei der Einfluss des Landes, dessen Gast 
wir hier sind, nicht ohne entscheidende Bedeutung war. Infinitesi- 
maliechnung ist schon seit vielen Jahrzehnten an deutschen 
Realanstalten getrieben worden. W'ichlige Zentren, in denen 
sich eine Methodik der Infinilesimalrechnung unter der Fiihrer- 
schaft hervorragender Pâdagogen entwickelt hat, waren in Siid- 
dentschland Wiirttemberg, im Westen Wiesbaden unter Traugott 
Millier, im Worden, wie Herr Beke naher belegt hat, eine lange 
Tradition in Hamburg. Weiter ist zu nennen der Einfluss von 
Seeger in Giistrow, in Berlin derjenige des Realschulmannes 
Gallenkamp und des Gymnasialmannes Schellbach. Sie haben 
aber doch aile die Sache anders angefasst als wir heute. Der An- 
stoss zu einer regeren Betatigung in der Infînitesimalrechnung 
giiig von Gottingen aus, dort war es das kraftige Eintreten unseres 
verehrten Priisidenten der Internationalen Mathematischen Unter- 
l'ichtskommission, die die Sache vorwiirts getrieben hat. Klein 
aber ist in dem Gedanken. ebenso wie an die Realanstalten auch 
an die Gymnasien die Infinitesimalrechnung zu bringen, wesent- 
lich durch die franziisischen Lehrplanevon 1!)02 beslarkt worden. 
Xamentlich ist es die in diesen Eehrjîlanen zum Ausdruck 
gekonimene Béton ung des Fuiiktionsbegrilles schon in den 
mittleren Klassen gewesen, die ei" als den springenden Funkt 
erkannt hat. Die Durchfiihrung dieser Idée in den Eehrbiichern 
von Tanne/-// und Boicl, die uns in Deutschland in ausgezeichneten 
Uebersetzungen zur Hand sind, hat nicht wenig ain-egend fiïr die 
ersten F()rderer der Ret'ormbewegung, wie nachherfïir die inimcr 
zahlreicher werdenden Anhanger gewirkt. Spater ist man in 
Deutschland in den iiberaus zahlreichen Verofïentlichungen sehr 
bald auch eigene Wege gegangen. Wir legen in Deutschland 



CALCUL 1) I l'FEUEy l l E L El I y T E G 1< A 1. 2'JJ 

sein- viel (iewiclit aiif" ditlaklisclie ' iJurcharbeilun^- clci- IJiiter- 
richtsstofle uiul so ist /. B. in unserei* pada^jo^ischen Presse (iher 
solcheFraj^eii ausserordeiitlich viel diskutiert wf»rden. Iminer aher 
bleibt bestehen, dass die Anre<ifun<; ziir NN'iederauf'iiahtne aller 
Erfahrmiiien imd zii ihrcr all^-oincinercn Verbreitun^ zii citiem 
Teile aiiidas IVaiizosisolu' XOrbikl ziirri('k<4"eht. 

Etals-Uni*!» d'Amérique. — M. il.-)}. \ an \ i.ixk : 
M. D. K. Smith lias correct ly slalcd fsee page 7, repoit of 
M. E. Bkke) « que le calcul diUerentiel et intégral ne figure pas 
dans l'enseignement secondaire » des Etats-Unis. To this it niay 
be added that to some degree the (irstyearor two ofthe American 
Collège course correspond, in character of work, to the last year 
ofthe German gymnasiuni and the classes spéciales ofthe Lycées. 
The study of calculus is very conimonly begun in the second 
year of the collège course, and not unfrequently it is taken by 
students in their first year. Furthermore, graphical représentation 
for simple functions (linear and quadratic functions) lias been 
increasingly introduced as a topic into the algebra of the high 
schools. Froni bolh of thèse facts it is clear that the tendencies 
now under discussion at this conférence are also manifesting 
themselves visibly in the United States. 

Hongrie. — M. Ratz : Nach dem ausfiihrlichen und alleFragen 
beleuchtenden Référât des H. Berichterstatters, Prof. Beke, niochte 
ich niich nur auf einige Bemerkungen beschrânken, welche sich 
auf den Unterricht der Diff.- u. Int. Rechnung in Ungarn beziehen. 
Aus eigener Erfahrung kann ich behaupten, dass wir nur dann 
einen wirklichen Erfolg dièses Unterrichteserwarten kônnen,.wenn 
wir denselben i.n den unteren Klassen gewissenhaft und griindlich 
vorbereiten. Die graphische Darstellung und die Veranderungen 
der Funktionen, so wie auch die Einfiihrung der E^lemente der 
Differential- und Integralrechnung darf sich nicht auf die ober- 
stjen Klassen beschrânken. Fis ist ja nicht Zweck der Reformbe- 
strebungen den mathematischen LehrstofT bedeutend zu ver- 
niehren, sondern wir wollen den Unterricht einheitlichergestalten 
und die bislier voneinander unabhangig behandelten Fragen und 
Aufgaben mittelst allgemeiner Methoden auf genieinscliaftlicher 
Basis behandeln. 

Der Funktionsbegriff niuss sorgfallig vorbereitet werden und 
nian muss den Schiilern dazu hinlânglich Zeit gônnen, daniit sie 
in das voile Verstandnis desselben eindringen kônnen. 

Deshalb beginnen wir mit den graphischenDarstellungen in den 
untersten Klassen. Wir wJihlen verschiedene Aufgaben aus der 
Statistik, der Géométrie, der Physik, dem geschaftlichen Leben 
u. s. w. Dièse vorbereitendeu graphischen Uebungen beschaftigen 
die Schûler 3 Jahre hindurch. Im IV. Jahrgange beginnen wir dann 

L'Enseignement mathém., 16" année; 1914 19 



294 DISCUSSION 

mit der Bildung der Fiinktionen, welche sich auf den vorherge- 
gangenen Keoheiuinlerricht stiitzen. Erst dann wird auf die syste- 
matische Behandlung der Fiinktionen 1., 2. und 3. Grades ein- 
gegangen. Die Lôsung der Gleichungssystenie wird rechnerisch 
und graphisch ausgefiihrt. Grosses Gewicht legen wir auf die 
graphischen I.osungen der Ungleichheiten. Sehr instrukliv ist 
auch die Diskussion der Gleichungen der Kegelschnitte. Der 
Schiller der niittleren Klassen soll, ohne im voraus zu wissen, um 
welchen Kegelschnitt es sich handelt, dnich Eintragung einzelner 
Punkte und ans der Form der Funktion die fundamentalen Eigen- 
schaften des betrelTenden Kegelsclinittes seibst erkeniien. 

Mit diesein Verfahren wird die analytische Géométrie, welche 
auf einer hidieren Stufe des Unterrichtes die Umkehrung dieser 
Aufgabe behandelt, bestens vorbereitet. Auch in dem Unterricht 
der Trigonométrie und der Logarithmen, wird die graphische 
Darstellung ausgiebig beniitzt und verwertet. An die analytische 
Géométrie der Ebene, welche wir in der vorletzten Klasse unter- 
richten, schliesst sich dann die Einfiihrung derlnfinitesimal-Rech- 
nung. 

Wenn der Funktionsbegritï'mittelst einfacher, dem praktischen 
Leben entnommener Beispiele eingefùhrt und befestigt, wenn in 
den mittleren und oberen Klassen der Unterricht in der Algebra 
auf den Funktionsbegriff aufgebaut wird und wenn der Unter- 
richt iiberall die graphische Darstellung begleitet und erganzt, 
dann bietet die Einfiihrung derDifferential- und Integralrechnung 
den Schiilern keine besonderen Schwierigkeiten. 

Es wâre verfriïht iiber den Erfolg dièses Unterrichtes schon jetzt 
ein Urteil fallen zu wollen. Ich mochte nur bemerken, dass die- 
jenigen unserer Schiller, welche die Universitaten und die poly- 
technischen Institute besuchen, uns zu wiederholten Malen ihren 
Dank dariiber aussprachen, dass sie schon in den Mittelschulen 
Gelegenheit fanden sich die Elemente der Differential- und In- 
tegralrechnung anzueignen, da sie dadurch in die giinstige Lage 
versetzt wurden, sich in die wissenschaftlichen Methoden des 
Universitatsunterrichtes besser einarbeiten zu konnen und ihnen 
das Verstàndnis der naturwissenschaftlichen Lehren stark er- 
leichtert wurde. 

Im iibrigen stinime ich dem Herrn Berichterstatter vollkommen 
bei, besonders was den Umfangderzu unterrichtenden Infinitesi- 
mal-Kechnung anbelangt. 

Wenn wir die richtige Grenze iiberschreiten, setzen wir uns 
der Gefahr aus, einzelne Gebiete der Elementar-Mathematik zu 
vernachlàssigen. Es muss besonders betont werden, dass wir den 
Unterricht der Géométrie nicht im geringsten einschranken, son- 
dern denselben auf der bisherigen Hohe erhalten wollen. Deshalb 
diirfen wir im Unterrichte der Differential-Rechnung nicht zu 



CALCUL niFFÉ lu: yji i: I. et intéhhal 295 

weit i(ohen, aber das \Ve!ii<,fe was wir hieteii, imiss (riiitullich iind 
gewisscnhafï diirchjrearheifel wei'deii. 

Italie. — M. Castklnuovo remaque (juOn n'a, en Italie, auniiie 
expérience snr l'enseif^nenient des éléments du calcul infinitésimal 
dans les écoles moyennes, car ces éléments n'y ont pas été intro- 
duits jus(|u'ici, sauf dans quelques classes particulières, sous la 
responsabilité directe des professeurs. C'est seulement dans les 
programmes des lycées modernes qui ont été publiés tout der- 
nièrement et qui seront adoptés l'année prochaine, que paraissent , 
pour la première fois les notions de fonction, de déiivée et d in- 
tégrale définie. M. Castelnuovo. qui a contribué à la rédaction de 
ces programmes et qui est favorable à la réforme de l'enseigne- 
ment secondaire, croit cependant qu'il faut éviter d'introduire des 
sujets trop élevés pour l'intelligence et la culture moyenne d'un 
élève du lycée (tels que la série de Tayloi-, etc. M. Castelnuovo 
pense qu'il faudrait se borner à exposer, dans les écoles secon- 
daires, les notions de mathématiques qui appartiennent à la cul- 
ture générale; il entend parler de ces notions que toute personne 
doit connaître pour aborder l'étude des sciences (économiques, 
naturelles...! où les conceptions et le langage des mathématiques 
ont une importance bien supérieure à celle de l'algorithme. Il 
convient de réserver l'enseignement technique des mathématiques 
aux personnes qui se consacreront à des études spéciales mathé- 
matiques, physique, sciences de l'ingénieur;; la place pour cet 
enseignement se trouve dans les universités ou dans les écoles 
polytechniques. 

Roumanie. — M.Rallet: En Roumanie, dans l'enseignement 
secondaire, en fait de Mathématiques, on a introduit depuis quel- 
ques années déjà, dans les 3-4 dernières années du lycée réal les 
notions de dérivées et fonctions primitives; dans la dernière année 
même on enseigne un peu de Géométrie analytique en particulier 
la ligne droite, le cercle et les coniques, étudiées sur les équa- 
tions simplifiées. 

Russie. — M. C. Possé : M. le général Poproucenko, membre 
de la Direction des écoles militaires en Russie, ici présent, a bien 
voulu me charger de communiquer, que l'enseignement des élé- 
ments d'analyse a été introduit en 30 corps de Cadets il y a 5 ans. 
La notion de dérivées et son application à l'étude de la variation 
des fonctions constitue le programme modeste de ce cours dune 
heure par semaine, pendant les deux premières années d'études. 

Les élèves n'éprouvent aucune difficulté à se familiariser avec 
ces notions et s'y intéressent plus qu'à d'auties matières de leurs 
études. Les éléments de la Géométrie analytique figurent déjà 
depuis longtemps dans le programme de ces écoles. 



■296 DISC rs S ION 

Sei*l>ie. — M. l'irnuivncu : On n'a pas intiodiiil jusim'à pré- 
sent les éléments du Calcul infinitésimal dans les écoles moyennes 
en Serbie. On y a pensé depuis quelque temps, mais les événe- 
ments dont notre pays a été le théâtre ont empêché de mettre le 
projet en exécution. Une sons-commission nationale est mainte- 
nant formée en Serbie, elle fonctionne et a élaboré un plan d'en- 
seignement mathématique dont la réalisation s'effectuera, selon 
toute vraisemblance, dans un bref délai. Pour réaliser le nouveau 
programme, on compte sur les simplifications et réductions à faire 
dans les parties plus élémentaii-es. 

Le délégué serbe compte pouvoir présenter au prochain Congrès 
comme chose finie, la réforme de l'enseignement mathématique 
en Serbie dans le sens des idées modernes, adaptées aux circons- 
tances dont nous aurons à tenir compte. 

2. — Discussion générale. 

Pour donner une image fidèle des intéressants débats auxquels 
donnèrent lieu les rapports très documentés de MM. Beki: et 
Staeckel, il faudrait pouvoir reproduire non seulement dans tous 
leurs détails les observations générales, mais aussi les remarques 
spontanées, souvent fort suggestives, présentées par quelques- 
uns des orateurs. Cela n'est guère possible; aussi devons-nous 
nous borner à signaler les points essentiels sur lesquels a porté 
la discussion. Celle-ci était basée sur les résumés, rédigés par les 
rapporteurs eux-mêmes et rappelant les principales parties de leur 
exposé. 

Résumé du Rappout général de M. E. Beke 

st/r les résultats obtenus 

dans l'introduction du Calcul différentiel et intégral 

dans les classes supérieures de l'enseignement secondaire. 

V. — Place du Calcul différentiel et intégral dans l'enseignement 
secondaire. — Dans tous les pays où, pendant les douze dernières 
années, un nouveau plan d'études des écoles secondaires est entré 
en vigueur, une place plus ou moins grande y a été réservée à la 
Notion de fonction et aussi — à très peu d'exceptions près — aux 
premiers éléments du Calcul différentiel et intégi-al. 

A. — Les Kléments du Calcul infinitésimal figurent au pro- 
gramme officiel des écoles, ou au plan d'études établi par les écoles 
elles-mêmes, dans les pays suivants : 

Etats allemands : Bavière, Wurtemberg, Bade, Hambourg. 

Autres Etats : Autriche, Danemark, France, Iles Britanniques, 
Italie, Roumanie, Russie, Suède et Suisse. 



CALCUL DU-FEHEyriEL ET I N T EGHA 1. 297 

B. — f.es éléments du Calcul infinitésimal ne figurent pas dans 
le plan détudes, mais ils sont enseignés dans un grand nombre 
d'écoles : Prusse, Saxe, Hongrie, Australie, et ils le seront pro- 
bablement a\;iiit peu (Ml llollaiulf. Norvcgf, BclgiqiH- et Serbie. 

2. — Etendue donnée au Calcul différentiel et intégral. — ti] Il 
n'est appliqué piesque partout qu aux fonctions d une vaiiablc. 

b) On enseigne partout la dillérentiation des polynômes, des 
fonctions rationnelles ou au moins des quotients de deux poly- 
nômes linéaires , ainsi que. dans la plupart des pays, celle des 
fonctions exponentielles, trigonométriques et de leurs inverses. 

ry Dans la plupart des pays on préfère la notation de Lagrange 
à celle de Leibniz. 

d\ Dans la plupart des pays on introduit aussi la notion d'inté- 
grale ou de fonction primitive. Partout la notion d'intégrale suit 
celle de dérivée en Bohème on les enseigne simultanément . 
Dans quelques pays, lintégrale définie précède linlégrale indé- 
finie; mais dans la plupart des Etats la marche inverse est suivie. 

3. — Applications du Calcul infinitésimal. — a] La série de Tay- 
lor figure dans peu de programmes. Llle est néanmoins enseignée 
dans les écoles oii les plans d études embrassent depuis longtemps 
les séries infinies. Là on établit les séries de e'^, n^, sin x, cos x, 
log ( l -\- x). l -|- X '», arc tg.r. Je crois que l'exposition de la série 
de Taylor n'est pas encore suffisamment préparée pour l'école 
secondaire. 

h) Le Calcul infinitésimal est appliqué partout à la recherche 
des maxima et minima. 

c) Il est aussi appliqué en Physique, au moins pour définir la 
vitesse et l'accélération, mais quelquefois il trouve une applica- 
tion plus étendue ^centre de gravité, moments d'inertie, potentiel, 
etc.) En Russie, on ne se sert généralement en Physique que des 
Mathématiques élémentaires. 

d) Le Calcul infinitésimal est appliqué en Géométrie à la 
détermination des aires et des volumes, et c'est ici que la nouvelle 
méthode rend le plus de services au point de vue de l'économie. 
Mais on continue à appliquer les méthodes anciennes, surtout le 
principe de Cavalieri. 

4. — La question de rigueur. — C'est un des points les plus 
délicats. Du côté de l'enseignement supérieur on entend dire que 
l'enseignement secondaire fait plus de mal que de bien s'il 
n'adopte pas les méthodes rigoureuses d'une exposition scienti- 
fique ; par contre, les représentants de l'enseignement secondaire 
aiïirment que lintelligence moyenne des élèves ne permet pas 
une exposition rigoureuse du Calcul difiérentiel et intégral. Les 
professeurs des écoles secondaires doivent connaître le calcul 
infinitésimal moderne et rigoureux, mais dans leur enseignement 
ils doivent appliquer une méthode intuitive, des considérations 



298 



Dfsrrss/o.y 



géométriques et mécaniques, et sélever graduellement aux abs- 
tractions nécessaires. C'est aussi la manière la plus sûre d'éveiller 
dans l'esprit des élèves le désir de la rigueui-. 

1/) l^es nombres irrationnels sont introduits presfiue partout 
incidemment à l'occasion de l'extraction des racines. La théorie 
générale n'est exposée qu'exceptionnellement. 

hl La notion de limite est introduite partout, nulle part on ne 
se contente de l'intuition. Les théorèmes élémentaires relatifs aux 
limites sont adoptés picsque partout sans explications. 

Cl On ne fait pas d'allusions à des fonctions continues n'admet- 
mettant nulle part de dérivée. Dans certaines écoles on se borne 
à dire qu'en certains points la dérivée peut cesser d'exister. 

d) Dans la plupart des écoles la différentielle n'est pas intro- 
duite, il règne une confusion dans l'explication de la notion de 
dilï'éretitielle. 11 est à désirer que le brouillard métaphysicjue de 
linliniment petit n'entre pas dans l'enseignement secondaire. 

■). — Fusion du Calcul différentiel et intégral avec les matières 
de l'enseignement secondaire. — Les matières nouvelles ne doivent 
pas être placées comme un supplément à côté des matières 
anciennes, mais une fusion complète devra s'opérer entre elles. 

L élargissement du lôle de la notion de fonction et l'introduc- 
tion du Calcul infinitésimal ne peuvent avoir de succès que si le 
programme ancien est réduit et s'il devient plus économi(|ue. Il 
résulte un allégement grâce à la fusion des matières nouvelles 
avec les anciennes et à la suppression de quelques matières 
surannées. 

G. — Le mouvement réformiste et l'opinion publique des péda- 
gogues. — Le caractère définitif des résultats de notre mouvement 
peut être assuré : l) Par le succès; 2) Par l'opinion publique tou- 
jours éveillée, des représentants de l'enseignement. Le mouve- 
ment a rencontré partout la sympathie des professeurs de l'en- 
seignement secondaire, mais les professeurs appartenant à l'en- 
seignement supérieur, qui le regardent de leur point de vue 
spécial, ne sympathisent pas toujours avec nos tendances. 

Nous entendons la plainte qu'un cours de Calcul différentiel et 
intégral n'est pas suivi avec intérêt par celui qui en a déjà quel- 
ques connaissances. Il n'est pas difficile de réfuter cette assertion. 
Qu'il nous suffise de rappeler les avis favorables que nous avons 
rencontrés parmi les professeurs des Universités de tous les pays, 
qui regardent notre mouvement d'un point de vue plus élevé. 



Vue première partie (le la discussion sur les notions de dérivées et de 
fondions primitives dans l'ensejo'nement secondaire a eu lieu immédiate- 
ment après la lecture du rapport général de M. Beke et du rapport spécial 



CALClf. nn-FÉUENTlEL ET l y T Ê (. I{ A I. 2^'à 

de M. BiocHE. Ont pris la parole : MM. Bchi. iTouloiiseï, Padoa iGèin-s), 
Hadamaki) iPiiris). Castki.nlovo (Rome). PossÉ |Sl-Pôt<-rshouigi, Thakk 
(Hambour^r). A. Lévy (Paris). Th. Holsseal- (Dijon). 

Il ressort de cette première discussion que l'introduction, dans I enseigne- 
ment moyen, des notions de dérivées et de fonctions primitives, a été géné- 
riilement bien accueillie dans les principaux pays. 

Comme la fait rem;irquer M. Hada.makd, membre de llnstitut. il faut que 
dans le premier enseignement des dérivées on évite d'établir un fossé entre 
1 intuition et la rigueur. 

M. Padoa exprime la crainte que, pour donner satisfaction à des préten- 
dues exigences didactiques, on ne retourne à la pseudo-intuition infini- 
tésimale. 

M. Castelnuovo, professeur à l'Université de Rome, désire avoir l'avis de 
ses collègues sur l'étendue adonner au calcul différentiel et intégral dans le 
programme des écoles moyennes. Il pense que dans cette première initiation 
on doit se borner à fixer clairement les notions indispensables pour suivre 
un cours d'une science quelconque, naturelle ou sociale, où l'on introduit le 
langage précis suggéré par les mathématiques. 

A la question soulevée par M. Casteluuovo, M. PossÉ. professeur émérile 
de l'Université de St-Pétersbourg. répond qu'il estime que le minimum de 
connaissances mathématiques que doit fournir l'enseignement secondaire 
supérieur se trouve très bien représenté dans 1 excellent manuel publié par 
Jules et Paul Tannrky, sous le titre Notions de Mathématiques^ programme 
du 31 mai 1902, Librairie Delagrave, Paris. 

.M. Thaek, Directeur d'Ecole réale supérieure (Hambourg), tient à cons- 
tater qu'en Allemagne 1 introduction des dérivées n'a pas apporté de sur- 
charge dans les programmes ; ces notions sont plus accessibles que celles 
qui ont été supprimées dans les classes supérieures. Quant à l'étendue du 
programme, M. Thaer estime que l'on doit s'arrêter à l'aire de l'ellipse ; il 
résume ses remarques comme suit : 

« Ich bin nicht vorbereitet auf die Frage zu antworten, ob bei einem Um- 
fang des Uiiterrichts in der Infinitesimalrechnung, wie er nach dem Bericht 
des Herrn Beke in Deutschiand erteilt wird, eine Ueberbiirdung der Schùier 
eintrilt. Nach meiiien persôniichen Erfahrungen mochte ich sie verneinen. 
Die Infinitesimalrechnung ist cher leichter als schwerer, wenn man sie mit 
dem vergleicht, was frûher in den obersten Klassen getrieben wurde. Kein 
Schùier, der bis dahin in Mathematik normal folgen konnte, versagte in der 
Diflerenziairechnung, ja mancher, der fur Trigonométrie und Stéréométrie 
wenig Interesse zeigte, gewann es an der Infinitesimalrechnung. Auch die 
Philologen stehen in Hamburg wohlwollend dieser Erweiterung des mathe- 
matischen Pensums gegeuùber , waren es doch zwei klassische Philologen 
Direktor Friedliinder und Schulrat Hoche die vor 40 Jahren in Hamburg die 
DifTerenzialrechnung einfùhrten. Die Ergebnisse. wenn man als Grenze des 
Pensums die Berechnung der Flache der Ellipse bezeichnet, sind gut. soweit 
man dies nach der Zenzuren der Schùier beurteilen kann. Jedenfalls wird 
dies Pradikat, wie statistisch festgestellt ist, vier mal so oft in .Mathematik 
erteilt wie in den Sprachen. » 

M. Fh-Er désirerait être renseigné sur le moment où l'on introduit géné- 
ralement les dérivées. Le rapport de M. Bioche signale les modilications ap- 

^ Trad. allemande par P. Klai-ss. B. G. Teubner, Leipzig. 



300 DISCUSSION 

portées en Franche au programme de 1902 : il serait intéressant de connaître 
les raisons qui ont amené cette revision des programmes. 

« Gestatten Sie, dass ich Ihre Aufmerksamkeit auf eine Frage richte, die 
Herr Beke in seinem mùndlichen Bericht nur leicht gestteift hat, weil sie 
nicht ira Fragebogen stand. Das ist die Frage : VVann im Schulleben konnen 
wir, wann mûssen wir mit der Einfùhrung der Ableituug beginnen ? Herr 
BiocHE hat die Frage fiir Fraukreich in einem Bericht beantwortet. Darin 
fand ich zu meinem Erstauuen, dass man die Behandiung der Ableilungen 
in der z^Yeilen Klasse gestricheu. In Hamburg unterrichtet man allerdings 
seit 40 Jahren DifFerenzialrechnung, aber wir sind trotzdem noch nicht zu 
einer dehnitiven Méthode gekommen. Die Ursache liegt vielleicht darin, 
dass wir im XIX. Jahrhundert die luflnitesimalrechnung an den Sciiluss 
eines durchaus im alten Stil gehaltenen Unterricht selzen. Erst durch den 
Einfluss von Herrn Klei.n haben wir seit 10 Jahren mit der Betrachtung der 
Funktionen in den MiHelklassen begonnen, und daraulhin in den letzten 
Jahren, angeregt gerade durch die Beobachtungen, die Herr Grimsehl in 
franzôsischen Schulen gemacht hat, einen ganz elementaren Kursus, der sich 
im wesentlichen auf ganze Funktionen beschriinkt, in der Difïerential- und 
Integralrechnung in der Oberrealschule bei Schùlern von 15 — 16 Jahren ein- 
gefùhrt. Wir haben dadurch den Vorteil, dass wir im zweiten Kursus der 
Phvsik, <ler in derselbeu Klasse beginnt, sofort DifTerentiale und Inté- 
grale benutzen kônuen. Auch der zweite Kursus der Stéréométrie speziell 
die Yolumberechnung wird dadurch auf ein hôheres Niveau gehoben und 
in der analvtischen Géométrie erreichen wir ganz wesentliche Yereinfachun- 
gen besonders bei der Behandiung der ïangenten und Xormalen. Es wiire 
deshaib intéressant, wenn Herr Bioche die Grûnde angeben wollte, waruin 
man in Frankreich die Infînitesimalrechnung in der zweiten Klasse gestricheu 
hat und dadurch auf den Vorteil verzichtet, sie schon niilzlich in der Physik 
zu verwenden. » 

La seconde partie de la discussion a eu lieu samedi matin. Y oui pris 
part : MM. Beke (Budapest), Thaer (Hambourg), Bioche (Paris), Foxtené 
(Paris), Hadamard (Paris). Darboux (Paris), Padoa (Gênes), Enkiques 
(Bologne) et Rival (Grenoble). 

M. Bioche, professeur au Lycée Louis-le-Grand (Paris), répond à M. Thaer 
en le renvoyant au rapport spécial annexé au rapport de M. Beke, on y 
trouve précisément la gradation établie maintenant, depuis la moditication 
apportée en 1912 au plan d'études antérieur. 

En Seconde, étude de fonctions simples, sans dérivées ; 

En Première, notions sur les dérivées et leur usage, en se limitant à cer- 
taines fonctions précisées au programme ; 

En mathématiques, extension aux fonctions rationnelles, irrationnelles du 
2« degré, et trigonométriques. 

Quelques personnes ont trouvé !e programme trop restreint, et ont 
regretté que celui-ci ne mentionne pas la dérivée d une fonction de fonc- 
tion. Il ne faut pas oublier que les |programmes de Première ou de Mathé- 
matiques sont des programmes de baccalauréat ; on a voulu éviter d y men- 
tionner certaines questions pour qUfe celles-ci ne soient pas prises commme 
questions de cours. Mais les professeurs peuvent donner, et donnent effecti- 
vement, des théories ou des formules qui peuvent être utiles, bien que non 
explicitement mentionnées dans le programme; ou peut le constater en lisant 
les traités publiés à 1 usage des élèves. 



CA/.rr I. I) i F F E ]{ E s r i e i. et i y t e t: n a i. :;( i i 

M. FoNTENÉ, inspecleur de l'AcaHémie de Paris, est de l'avis de M. Biociie. 
La séparation prenne dans le programme actuel est très utile : iéiève doit 
d abord étudier In (onction sans faire usage de la dérivée. 

M. Hadamard, membre de l'Institut, se déclare également d'accord avec les 
deux orateurs précédents. Dans l'enseignement il faut éviter l'automatisme; 
il faut, le plus souvent possible, faire appel au bon sens. Le professeur 
doit s'assurer que l'élève sait étudier les fonctions élémentaires pour elles- 
mêmes, par la discussion directe et l'observation, avant de faire intervenir 
la dérivée. M. Hada.mard illustre ses observations par ses souvenirs d e.xa- 
minaleur. 

^L Darboux, membre de l'Institut, l'un des principaux collaborateurs aux 
programmes de 1902, fait remarquer que ces programmes prévoyaient déjà 
une gradation dans 1 introduction des notions de fonction et de dérivée. Il 
faut aussi tenii' compte (ju'à côté du programme il y a également le rôle du 
professeur, qui doit savoir se limiter aux choses essentielles. 

M. Thaer dit qu'en Allemagne la première initiation se fait également 
dans les classes précédentes par la considération de fonctions simples et de 
l'pprésentation graphique. Le maître s adresse alors à des élèves d'environ 
14 ans. Les premières notions de calcul différentiel ne sont présentées que 
plus tard, lorsque les élèves ont 15-16 ans ; ce qui correspond donc, au point 
de vue de 1 âge, à ce qui se fait en France. Pendant les trois années sui- 
vantes, les connaissances acquises sont utilisées, notamment en physique. 

D après M. Padoa, professeur à l'Institut technique de Gènes, le concept 
d intégrale définie est plus accessible que celui de dérivée, car le premier 
réclame la seule notion de limite supérieure et inférieure, que les élèves 
possèdent déjà (nombres réels, longueur d'une circonférence, etc), tandis 
que le second repose sur la notion plus subtile du passage à la limite. 
D'ailleurs, le théorème « sur le maximum d un produit de n nombres absolus, 
ayant une somme donnée » permet de résoudre toutes les questions de 
maximum et de minimum qui se présentent dans les Mathématiques élé- 
mentaires ; tandis que, pour atteindre ce but par la méthode des dérivées, 
il ne suffit pas d étudier les fonctions d'une seule variable. 

M. FoNTE.NÉ insiste à son tour sur la nécessité d'avoir un programme bien 
gradué; il faut éviter chez les élèves un emploi machinal des connaissances 
mathématiques ; il craint qu'avec 1 abus des dérivées, utilisées seules et sans 
réflexion, on ne diminue les occasions d'obtenir un effort personnel. 

Quant à l'étude de la série de Taylor, comme l'a dit M. Beke, les élèves 
ne sont pas encore suffisamment préparés. 

.M. Hadamard estime même que létude directe de la série de Taylor est 
d'un intérêt minime, non seulement dans l'enseignement élémentaire, mais 
d une manière générale, car elle est fondée sur une idée peu scientifique, 
celle qu une fonction arbitraire admet en général un développement de celte 
espèce. 

Les récents programmes de la classe de Mathématiques spéciales ont 
modifié les vues relatives à l'application de la série de Taylor. Les seuls déve- 
loppements qui s'obtiennent par l'emploi du théorème général sont ceux de 
sin j:-, cos j". Tous les autres [a^ . log |1 -f- .r) , |l -|- .m'», arctg .i'] sont 
déduits des propriétés analytiques des fonctions envisagées. A cet effet, les 
propriétés générales les plus simples des séries entières — en particulier 
en ce qui concerne la dérivation et l'intégration — sont démontrées. 

M. Enriqlfs, professeur à 1 Université de Bologne, trouve exagéré le 



302 DISCL'SS/Oy 

point (le vue de M. Hadamaid, d autant plus qu on doit à M. Hadamard des 
mémoires très remarquables qui se rattachent à la série de Taylor. 

M. IJarboux est d'accord dans une certaine mesure avec M. Hadamard. 
Pour les fonctions élémentaires, il n'est pas nécessaire d employer la série 
de Taylor, mais il faut tout de même reconnaître que la formule est utile. 

M. CzuBEK, qui présidait la dernière séance, remercie au nom du Comité 
Central tous ceux qui ont participé à la discussion et proclame la clôture 
des séances de travail. 

Annexe : Extraits de quelques rapports nationaux. 

Voici les Etats dont les délégués ont envoyé des réponses au question- 
naire A coucernanl l'introduction des premiers éléments du Calcul des déri- 
vées et des fonctions primitives dans l'eiiseia^nement secondaire supérieur. 

Rapporteurs: Rapporteurs: 

Allemagne MM. Lietzmann- et Th.er Hongrie MM. Bkke et Mikola 

Australie Carslaw Hes Britanniques Godfket 

Autriche Suppantschitsch Italie Castelnuovo 

Bydzovski Norvège Alfsen 

Brésil E. Gabaglia Russie PossÉ 

Danemark Heegaakd Serbie Petrovitch 

Etats-Unis D. E. Smith Suisse Brandenberger et 

France Ch. Bioche Fehr 
Hollande Cardinaal 

Le rapporteur général a dépouillé et étudié avec beaucoup de soins les 
réponses rédigées par les délégués et qui, pour la plupart des pays, for- 
maient de véritables rapports. Il en a mentionné les résultats essentiels 
dans son excellent exposé ; nous n'avons donc pas à y revenir. 

Trois des rapporteurs nationaux, MM. Godfrey, Lietzmann et Si:ppan- 
TSCHiTSCH, ont publié le résultat de leur enquête à la veille de la Conférence 
de Paris. Nous en extrayons les passages concernant plus particulièrement 
l'accueil fait à l'introduction des premiers éléments du Calcul différentiel et 
intégral dans l'enseignement secondaire. 

A.llemag'ne. — Le rapport publié dans la Zeitschrift fiir mathem. 
u. natiirw. Unterricht aller Schidgatliingen (45. Jahrg., 1914, 3. Heft, 
p. 145-160), sous le titre « Die Einfiihrung der Eiemente der Differential- 
u. Inlegralrechnung in die hôheren Schulen. Bericlit ùber die Verhâltnisse 
in TJoutschIand, der Internationalen Mathematischen Unterrichtskommission 
erstaltet von W. Lietzmamn mit zahlreichen Bemerkungen von Kachleuten », 
se termine par la remarque suivante de M. F. Klein : 

Nicht auf die Vertreter der Mathematik an den Universitâten kommt es 
eigeiUlich an, sondern auf die Mathematiker an den technischen Hochschulen 
und die Universitiitsphysiker. Denn dièse habeu mit der mittleren mathe- 
matischen Durchbildung der Abiturienten in erster Linie zn rechneu. Wie 
sie zur Frage der Eiufiihrung der hifînitesimalrechnung stehen ? Ich fùrchte 
beinahe, dass eine grosse Zahl von dem augenblicklichen Stande der Dinge 
gar keine Kenntnis hat. 

NVir befînden uns eben in einem Uebergangszustande. Im Zusammenhang 
damit steilt sich bei den Zuhorern, die mit einiger Kenntnis der Infini- 



CALCUL D I FFK liENTI i: I. ET 1 NTÏK.UA]. \W.\ 

tesiinalreclinung zur Hochscluile koininen, vielfach eiii besoiiderer Miss- 
stand ein, dei- iiiclil verscliwiegeii worden darf. Die Aiifaiigsvorlesungeii der- 
Hocliscliulcii selzen von altei's lier eine solclie Kcnntnis nichl voraus uiid 
kùiineii sic bis anf weileres aurli nicht allgeniciu \oraussetzen. Es lasst sicli 
aiso nichl vernieitlen, dass zu Begiim Diiige bcnihrl wordL'ii, die jonen Zu- 
hôrern bereits bekannt sind odei- docli bekannt vorkommcii. Der Stndierende 
lUssl sich dadurcli nur zu leicht bestiinineii, den Vorlesungsbesuch eine Zeit- 
lang einzuslellen, um daun plôlzlich zu benicrken. dass er den Anschiuss ver- 
loren hat ; es gibt Falle, wo dieser Scliaden nie inelir gut gemacht wird. Auf 
Grand solcher Erfahrungen kommt dann der Ilochschuldozenl nur zu leicht 
dazu, den Unterricht in lufinitesinialrechnung an der Schule ùberhaupt zu 
verurleilen. Er hôrt auch zuweilen, dass dem Sludierenden die Illusioneii, 
unter denen er zu leiden hat, von der Schule her bereils geliiulig wareu. 
Wie ist da zu helfeu ? Ich denke nur dadurch, dass nian die tatsachlichcn 
Verhallnisse klar nnd immer eineut vor der Ocffcnilichkeit bespricht und 
dadurch den Beleiligten niehr uud mehi- ein riclitiges Urteil liber sie er- 
moglicht. 

Es gibt aber nocli eineu auderen Griind. uni deswillcn sich niaiiciie Hoch- 
schulmathematiker gegen die Einlûhrung der Indnitesiinalrechnung an der 
Schule aussprechen. Es ist dies die Ungenauigkeit oder auch der Mangel 
an Folgerichtigkeit, mil der die Lehren der Iniinitesimalrcchnung in nian- 
chen neuerdings erschienenen Schulbùchern auseinaiidergesetzt werden. 
Man schliesst daraus, dass der Gegensland tûr die Schule zu schwer sei. 

Hieraut ist zu antworten, dass auch in anderen Kapileln der Schullehr- 
bùcher, insbesondere in der Behandlung der unendlichen Reihen mil den 
Methoden der algebraischeu Analysis, âhnliche Unvollkommenheiten aul- 
treten. Der Misssland haftet also nicht am SlofT, sondern begrùndet sich 
dadurch, dass viele Lehrer unserer hôheren Schulen von den praktischen 
Aufgaben der Unterrichlserteilung einseitig in Anspruch genommen siud 
und darùber nicht dazu kommen, den Frageu der Genauigkeit die ertorder- 
liche Aufmerksamkeit zuzuwenden. Umgekehrt neigl der Universitatsmathe- 
maliker dazu, bei der Durchsicht eines Schullehrbuches nur auf letztere zu 
achlen und daiiiber die Leistung, die im melhodischen Aufbau des Lehr- 
ganges und der Berûcksichtigung der Fassungskraft der heranwachsenden 
Schiller Hegt, zu ûbersehen. Beide Arien von Einseitigkeit haben sich bei 
uus so schroff entwickelt, weil der Konlakt zwischen den Vertrelern der 
Schule und der Hochschule bei uns Dezennien hindurch ein ausserst spiir- 
licher gewesen isl. Nun die Frage der Infinitesimairechnung beide Seilen 
interessiert, slosseu die Gegeusâtze unvermitlelt aufeinander. Die Plôtz- 
lichkeit dièses Zusammentreft'ens veruisaclit unnôlige Schwierigkeiten, ist 
aber in den Yerhaltnissen der Yergangenheil begriindet, die wir nichl 
iindern kônnen. Freuen wir uns umgekehrt, dass durch die Reform unseres 
mathemalischen Unlerrichts, die in der Einlïihrung der Inlinitesimairechnung 
ihren bezeichnenden Ausdruck iiudet. ùberhaupt ein ZusamuientrefTen her- 
beigefùhrt wird. Je lebhaller dann die Erorleruugen beiderseits werden, 
um so mehr wird die unheilvolle Trennung zwischen deii Schulkieisen und 
den Hochschulkreisen, an der unser Unlerrichlswesen kraukt. ùberwuuden 
werden. 

A.utricbe. — M. R- SuppANTSt;H»TscH, 1 un des délégués autrichiens à 
la Commission internationale, s'est excusé de ne pouvoir prendre part au 
Cougrès. S étant chargé des travaux préparatoires en réponse au question- 



30 i 



D/ s C rsS ION 



naire A du Comité ceiilial, M. SiippaïUscliitsch a eu l'occasion d'étudier à 
fond l'état de l'cnscii^nement du Calcul des dérivées en Autriche. A ce propos 
il a publié un article dans la Zeitschrift f. das Realschulwesen (1914, nos 1 
et 2, 16 p.) sous le titre « Zur Frage der Iniinitesimalreclinung an den Mittel- 
schulen ». L'auteur a fait hommage à la Conférence de vingt-cinq tirages à 
part de sa Note ; ils ont été distribués à la première séance de travail par 
les soins du secrétaire général, avec les exemplaires de la Zeilschrifl f. 
matliem, iind naturw. Unterricht contenant le rapport de la sous commission 
allemande, par M. Lietzmann. 

Nous reproduisons ci-après les conclusions de M. Suppantschitsch qui 
nous prie, d'ailleurs, d insister sui' le fait qu'il exprime une opinion per- 
sonnelle dont il est seul responsable : 

« Ueber Zustiinmutig und Ahlehnung. — Etwa zwei Drittel der Anslaltcn 
haben sich zustimmend geausserl, die anderen Anstalten verhaltcn sicli zur 
Halfte ablehneud, zur Halfte ganz unentsehieden. 

Die Zustimmung wird motiviert mit der Yereinheillichung aller Grenzbe- 
trachtungen, die frûher im Uuterricht des notwendigen Zusammeiihanges 
entbehrt hatten, mit einem gùnstigen Einfluss auf die Lernfreudigkeit der 
Schûler, die sich besonders durch die Belebung der Wiederholung in der 
obersten Klasse zeige. Es wird gesagt, dass die Schûler den neuen Stoff. 
ohne die Mehrbelaslung als driickend zu empfînden, in zufriedenstellendtr, 
wenn auch nicht eindringlichei- Weise erfassien. Schliesslich wird auch 
manchmal auf den allgemeinen W'ert dieser Dinge fur die Bildung des 
jungen Mannes hingewiesen. Sehr oft wird auch der Vorleil betont, den die 
Absolveiiten auf der Hochschule hatten, da ihnen nunmehr die Yorlesungen 
nicht mehr als etwas unerhôrt Xeues erscliienen. 

Gerade dies ist aber ein heikier Punkt. Hier mùssen wohl auch die aka- 
demischen Lehrer gehôrt werden. Unter ihneu verhalten sich aber die 
meisten sehr ablehnend. Nach der Ausicht vieler von ihuen wiinschen die 
Hochschullehrer bei den jungen Semestern vorziiglich eine beachtenswerle 
Rechenfertigkeit, die Fahigkeit, Formeln zu lesen und bei variierten Grôssen 
zu deuten, und ganz besonders die ^^'illensdisposition, eine Rechnung auch 
bis zu Ende durchzufùhreu. Auf unsichei'en Kenntnissen der Infîuitesiinal- 
rechnung — mehr kônne die Mittelschule ja gewiss nicht leisten — koune 
nian ùberhaupt nicht weiter bauen, man musse nach wie vor von vorue 
beginnen. Kônnten die neuen Yerhaltnisse vielleicht auch ein rascheres 
Vorgehen in den Anfangsvorlesungen nahelegen, so slehe doch dagegen die 
jetzt geringere Rechenfertigkeit der Studierenden und die grosserc Ungleich- 
artigkeit ihrer Yoi-bildung. Es sei auch gar schwer, einmal erwoibene 
unrichtige Auffassungen zu korrigieren. Die Mathematik in der Mittelschule 
habe sich eben vorziiglich um jene Schiller zu bekùmmern, die spiiler nichts 
mehr von dieser VVissenschaft zu hôren bekamen, den andern werde sie ja 
spater in ganz anderem Ausmasse vorgesetzt. 

Das Problem, den kiinftigen Ingenieuren und Naturforschern die passende 
Yorbildung und das nôtige Ausmass an Rechenfertigkeit und gleichzeilig 
den spateren Nichtmatheniatikern die Fahigkeit zum richligen Verslihidnis 
der mathematischen Elemente unserer Kultur zu geben, dièses Problem ist 
eben sehr schwer und noch nicht gel<')St. Bloss um eine Art von Schnicrn 
bat sich die Mathematik der Mittelschule gar nicht oder fast gar nicht zu 
kùmmern, das sind jene seitenen hohen Talenle. die spiiter bis zu eigener 
Forschung vordringen. 



C A 1. C II. 1)1 F F E H E NTI E I. E T I NT E (. /.' . / A 305 

Dell ob«.'ii eroi-lerlc'ii Ziislimmiingeii slelu-n iii tien C'iii}^<.'Çf;iiijreiitii Aiit- 
wortcii aucli scliioffe Ahlelinungen l'iilgcgen Es wird goklagt, dass eiiic 
Uebcibiirdiing «le:- Scliùler einlrete : selir ofl liurt rnaii, dass eiii tuir eiiiiger- 
niassc'ii /.ulVicdonstelIciides Versliindnis bei der • Vielseiligkeil der Lelir- 
anfgabe der Millelschule nichl zu erreithen sei. <lass aucli dieser Teil der 
iMatbomatik in der Schule zu einem verslandnislosen Mechanismus heruii- 
tersiiike. Eine Beantworlung weist auf den fundamentaleu Unlerschied hin, 
der zwischen der auf den niichsten Zweck gerichlelen Siunesart des Roal- 
schiilers iind der dem Probicni an sich mit Interesse gegeiiûberslehendcii 
des Gymiiasiasten beslebe. Die Physiker scbeinen von der Indnitesinial- 
recbniing mehr zu hallen als jene Lehrer, die neben Matbematik nur norb 
darsiellende Géométrie unterricliten. Sehr aligemcin und wohl aiich berecK- 
tigl ist aber die Klage, auch bei zuslimmenden Urleileii, dass die jetzige 
Verteilung des Lelirstofles aiisserst uiigiinstigt sei. Die Iiifiiiitesimairecli- 
nung reife gew.olinlich erst in dem Jahie aus, das aul den Eiiitritt dier Physik 
in den IJnlerrichl folge. Dadurch gehe das passeiidsle Anwendiingsgebiet 
f'ast leer aus. Etwas besser scheiut es in dieser Sache in einem Kronlande 
zu stehen, in dem die Infinitesimalreehnung schon etwas friiher systemaliscb 
zusainmengefasst wird. Sehr allgemein und wohl ebenso berechtigt ist der 
Wunsch, dass Mathemalik und Physik von demselben Lehrer unterrichtet 
werden sollen, uud der Wunsch nach grosser Beschraiikung im Lehrstolfe. 

Man sieht aiso : Die Frage, ob die Einfùhrung der Infinitesimalrechnung 
einstimmig als ein entscheidender Fortschritt zu betrachten sei. ist mit nein 
zn beantworten. Es wird sehr intéressant sein, die hier niedeigelegten Beo- 
bachtungpn mil den Ert'ahrungen anderer Lander zu veigleichen, was eben 
eine Aufgabe der Versammiuiig in Paris sein wird. Bedenke ich aber, dass 
gerade jene Anstallen, die sich nichl mit einer gaiiz groben Approximation 
begnûgeu, am meisten iiber den Mangel an Verstandnis bei den Schùlern 
klagen, so sleigen rair Zweifel auf, ob unsere Schùler ùberhaupt lùr die 
Inlînitesimalrechnung reif sind. Ich halte daher schon jelzt die Frage fur 
sehr diskulierbar, ob die Iiilinitesimalrechnung aus der Schule nichl wieder 
verschwinden soil. » 

Iles Britanniques. — M C. Godfrey, l'un des délégués anglais à 
la Commission internationale, a été empêché, pour raison de service, de se 
rendre à la Conférence de Paris. C'est lui qui avait élé chargé de rensein'ner 
le l'apporleur général pour ce qui concerne les Iles Britanniques. Son rap- 
port a été reproduit dans le no de janvier 1914 de la Mathemalical Gazette 
sons le titre k Teaching of Calculus in Public and Secondary Schools in the 
Uniled Kingdom (16 p.). 

Pariant de 1 accueil fait à l'introduction du Calcul des dérivées et des 
fonctions primitives, .VI. Godfrey s exprime en ces termes : 

In answering ihis question in the absence of defînite replies from a large 
number of correspondents. it is difficult to eliminate one's own personal 
views aud aspirations. The subject has been ably discussed by Mr. 
C. S. Jackson, in a paper entitled : « The Calculus as a School Subject », 
which is incorporaled in Pari I. of the Reports on the Teaching of Matlie- 
matics in the United Kingdom, as presented to the Cambridge Congress 
in 1912. Mr. Jackson's altitude may be described as sympathetic but critical. 

Broadly speaking the movemeut has received gênerai support. Pei'haps 
the most powerful stimulus is thaï of the engineers, as represenled by 
Prof. Perry. The physicists bave long pressed for a modicum of calculus. 



306 • 



DISCUSSION 



and prefer to take it witliout loo mucli maihematical rigour. The Uni- 
versities liave progressively included niorc calculus in their examinalion 
papers for schools ; ihese papers, together nith those set by tlie Civil Ser- 
vice Commissioncrs (for admission to tlie Army and the public service 
generally), are the raost powerfui lever that acts ou the school curriculum. 
It will be uuderstood, of course, that there is in England no gênerai curri- 
culum imposed upon schools : schools frame their own curricula, but tend 
to adapt thera to the examinatiou requirements of their pupils. 

Whatever opposition there has been to an introduction of the calculus at 
an early stage has come from those who fear that a diminished emphasis 
on the manipulative and formai side of algebra will hâve a bad efTect. The 
question raised is this : What algebraic cquipment constitutes a firm base 
for a superstructure of Calculus ? 

This is the only arliculate objection that has found a voice. But the main 
obstacle is that most powerfui force in educational matter — vis inertiîe. 

I submitted a fîrst draft of this report to the members of the Public 
School Sub-committee of the Mathematical Association. I hâve to thank 
many of thèse gentlemen for suggestions which I hâve been glad to incor- 
porate in the hnal report. It mus not be understood, however, that anyone 
shares with me the responsability for the statements made above. 

Prof. Gibson informs me that my remarks may be taken as generally 
applicable to the Secondary Schools of Scotland. 



LA PKÉPAKATION MATHEMATIQUE 
DES INGÉNIEURS DANS LES DIFFÉRENTS PAYS 

I 

RAPPORT GÉNÉRAL 
présenté à la séance du '.i avril l'Jlk 

PAR 

Paul STAECKEL 

Professeur à l'Université de Heidelberg. 



I. — Généralités'. 

Ce n'est pas par hasard que la Commission Internationale de 
lEnseignement Mathématique a inscrit à l'ordre du jour de sa 
réunion de Paris, la question de la préparation mathématique 
des ingénieurs. C'est à Paris, en effet, que se trouve l'Ecole poly- 
technique, cette œuvre caractéristique de la première République,, 
institution qui durant 120 ans a fait honneur à sa fière devise : 
Pour la patrie, les sciences et la gloire. 

C'était une idée véritablement nouvelle que celle qui tiouve 
son expression dans la loi de septembre 1794, et qui demandait 
une éducation théorique uniforme pour tous les jeunes gens dési- 
rant entrer dans certains corps militaires ou civils, l'artillerie, le 
génie, les mines, les constructions navales, les ponts et chaus- 
sées, etc. Pour atteindre ce but, on créa à côté des Ecoles spéciales 
de fondation antérieure, telles que l'Ecole des mines, l'Ecole des- 
ponts et chaussées et d'autres, l'Ecole polytechnique. L'orgauisa- 
tion de cette Ecole exerça une influence durable sur l'Enseigne- 
ment des Mathématiques et sur la préparation mathématique des 
ingénieurs du monde entier. 



' Question I. Comment la formation en vue d'une carrière d'ingénieur est-elle organisée 
dans l'Enseignement supérieur ? — L'entrée aux Ecoles supérieures est-elle précédée d un 
enseignement particulier, comme les Mathématiques spéciales en France ? — Existe-t-il des 
établissements particuliers (écoles techniques supérieures) pour l'instruction des élevés-ingé- 
nieurs, ou n'y a-t-il dans ce but. que des subdivisions spéciales dans les Universités, ou 
bien les deux modes existent-ils simnltanément ? — Une partie de la form;ition, en particulier 
la tormation mathématique est-elle commune avec d'autres étudiants, par exemple avec les- 
étudiants en Mathématiques ou en Sciences naturelles ? 



308 P. STAECKEI. 

D'une façon tfénérale nous trouvons relativement à la prépara- 
tion des ingénieurs deux systèmes. La plupart des pays ont 
adopté pour leurs écoles le système d'organisation mis en vigueur 
au milieu du XIX' siècle à Karlsruhe et à Zurich ; ce sont les 
universités techniques iTechnische Ilochschtileni. Ce qui caracté- 
rise ces écoles, c'est la présence d'une section consacrée aux 
sciences générales, sur le modèle de l'Ecole polytechnique, précé- 
dant d'autres sections spéciales pour les architectes, les ingé- 
nieurs proprement dits, les chimistes. Rn bien des endroits, on 
trouve également des sections pour les constructions navales, les 
mines, les eaux et forêts, l'agriculture et enfin pour la préparation 
des professeurs de mathématiques et de sciences physiques et 
naturelles. Dans ces pays, on accorde une grande importance à 
la réunion des clifïerentes sections en un seul ensemble, car on 
pense que des écoles spéciales isolées risquent de dépérir, si l'on 
les destine surtout à la préparation des fonctionnaires de l'Etat. 

Dans le second système, ce sont les universités elles-mêmes, 
utilisées déjà pour la préparation des carrières libérales, qui se 
chargent de l'enseignement théorique des ingénieurs. Par la créa- 
tion de nouveaux instituts, elles entreprennent également une 
étude plus étendue de certaines branches techniques. 

Le premier système est en vigueur en Allemagne, Autriche, 
Danemark, Espagne, Hollande, Hongrie, Norvège, Russie et Suède. 
Naturellement il existe aussi dans ces pays, outre les Universités, 
d'autres écoles spéciales, comme les Académies des mines et 
forêts, en Allemagne, l'Ecole des voies et communications et 
l'Ecole des mines de S'-Pétersbourg. 

En France, en dehors de l'Ecole polytechnique qui dépend du 
Ministère de la Guerre, il y a des Ecoles supérieures qui dépen- 
dent du Ministère du Commerce et de l'Industrie ou du Ministère 
des Travaux Publics. Ce sont l'Ecole centrale des Arts et Manu- 
factures, le Conservatoire des Arts et Métiers, l'Ecole des Mines, 
l'Ecole des Ponts et Chaussées, les Ecoles d'Arts et Métiers. Ces 
écoles forment des ingénieurs pour l'industrie privée, les Com- 
pagnies de chemins de fer, etc., en même temps que pour les 
Administrations publiques. 

LEcole centiale recrute ses élèves en majeure partie dans les 
lycées. Le Conservatoire des Arts et Métiers recrute ses élèves 
plutôt dans le public des contremaîtres ou des ingénieurs occu- 
pant déjà des situations dans l'industrie et désirant se perfec- 
tionner. 

Depuis la réorganisation des Universités françaises (1897), qui 
dépendent du Ministère de l'Instruction publique, plusieurs 
d'entre elles ont institué un enseignement technique supérieur 
faisant suite à leur enseignement théorique. C'est surtout dans 
les branches de la chimie, de l'électricité et de la mécanique que 



!■: c o I. E s I) I .V c j: y 1 1: i h s 309 

se sont développés ces eiiseigiiemciits lecliniqucs. Citons f-n jjaiti- 
culier les Universités de Grenoble. Nancy, Lille et Toulouse. 

En Anirletcrre l'enseignement des injrénieurs s'est développé 
plus tard que dans les pays continentaux, (^e n'est que vers la iin 
du XI\*^ siècle (|u"oii a organisé des cours techni<|ues faisant suite 
à renseignement théoiicjue des universités. Va\ lilOT on a fondé le 
Collège impérial technique à Londres, institution analogue aux 
universités techniques ; cependant les jeunes gens ont l'habitude 
d'aller travailler dans les ateliers qu'une partie de ceux-ci qui 
immédiatement après avoir fini leurs études théoriques et ce n'est 
reviennent au (>ollege pour compléter leurs études techniques. 

La Suisse possède une Lcole polytechnique fédérale à /uiich 
et une Faculté technique à l'université de Lausanne. 

Autrefois, en Italie, la préparation théorique des futurs ingé- 
nieurs comprenait deux années d'université suivies de trois années 
d étude dans une école technique spéciale ou dans une section 
technique d une université. Fin outre il y avait une université 
technique à Milan fondée par Brioschi. Récemment, on a ajouté 
des universités techniques complètes, avec cinq années d'études, 
à Turin et Padoue. 

Aux Etats-Unis, où une centaine d universités s occupent de la 
préparation des ingénieurs, il en existe à peu près un tiers de 
nature franchement technique; les autres sont des universités ou 
des collèges renfermant, à côté des sections techniques, encore 
d'autres sections. Le rapport de la sous-commission américaine 
indique les avantages qui résultent de cette réunion des diflerentes 
sections. On signale lémulation réciproque des diveises sections; 
la possibilité de se procurer de meilleurs professeurs pour de plus 
grands établissements et de doter plus richement les instituts et 
les bibliothèques; enfin une base plus large pour la préparation 
des étudiants. Comme désavantages, on constate que l'enseigne- 
ment prend facilement un caractère abstrait et que les étudiants 
s'occupent davantage de sports dans les universités que dans les 
collèges séparés. On peut ajouter que. tout récemment, des tenta- 
tives ont été faites dans des pays possédant des universités 
techniques, à Dresde et à Innsbruck, pour rattacher l'université 
proprement dite à Funiversité technique supérieure. 

Quelcpies-unes des universités techniques ont été d'abord des 
écoles spéciales qui avaient été elles-mêmes fondées pour satis- 
faire les besoins de l'industrie. Ce n'est que peu à peu que ces 
écoles ont acquis le rang académique, et qu'on leur a confié la 
préparation des fonctionnaires techniques supérieurs de l'Etat. 
Ce développement progressif est lié étroitement à la question 
de la prépaialion antérieure des étudiants. Ces écoles spéciales 
étaient généralement pourvues d'écoles préparatoires, dont 
l'enseignement était organisé en vue des diverses directions à 

L'Enseignement ninthéni.. IC^anm-e; 1914 -n 



310. 



S' TAECKEL 



suivre ultérieurement ; en outre il existait également des écoles 
indépendantes pour la préparation des techniciens comme les 
filcoles professionnelles provinciales en Prusse et les Ecoles indus- 
trielles de Bavière. 11 est remaicpiable que les écoles de cette 
nature, à part quelques rares exceptions, ont disparu dans le 
courant du XIX' siècle, car l'opinion s'est de plus en plus implantée 
que la préparation anx diverses carrières supérieures doit être 
toujours précédée d'un enseignement général, permettant d'ac- 
quérir une éducation (jui corresponde à l'état actuel de culture 
générale. Jusqu'à quel âge faut-il étendre cette instruction géné- 
rale et quand peut-on commencer à prendre en considéiation 
l'individualité de l'élève? Ce sont là des questions dilïiciles (|ui 
ont été fort discutées durant ces dernières années et sur lesquelles 
nous reviendrons. 

Pour les raisons qui viennent d'être signalées, on exige partout 
pour l'entrée dans une université technique la preuve d'une pré- 
paration antérieure telle que celle qu'on peut acquérir dans une 
école moyenne, de sorte que les jeunes gens peuvent commencer 
leurs études à l'âge de 18 ou 19 ans. Dans le cas où une prépara- 
tion de ce genre ne serait pas prouvée par des certificats officiels, 
on peut, dans bien des pays, remplacer ceux-ci par un examen 
d'entrée qui roule principalement sur les mathématiques. 

En France, l'admission à l'Ecole polytechnique se fait par voie de 
concours; les programmes exigent des connaissances importantes 
puisées dans les éléments de l'algèbre, de l'analyse, de la géo- 
métrie analytique, de la mécanique rationnelle, dont l'ensembl» 
constitue ce qu'on ap^eWe, en ce^Ays^Xes inathéinatiques spéciales. 
La préparation à ce concours peut se faire dans une classe de 
mathématiques spéciales, d'une durée d'un an au minimum, 
généralement de deux ans, et qui fait suite à la classe de mathé- 
matiques élémentaires par laquelle se termine l'enseignement 
secondaire. D'autres classes de mathématiques spéciales orga- 
nisées d'une manière analogue préparent à l'Ecole centrale. En 
dehors de la France, de semblables dispositions n'existent, 
semble-t-il, qu'au Portugal. 

En Allemagne on envisage de plus en plus favorablement l'idée 
d'une transformation de l'enseignement des dernières -classes 
secondaires, afin de permettre aux élèves de manifester plus libre- 
ment leurs goûts et leurs dons particuliers et de faciliter le passage 
à la liberté académique des universités. A cette demande de 
réfoiine, il faut ajouter celle des ingénieurs qui voudraient (|u'on 
fût en droit de supposer connus, dès le début, des cours mathé- 
matiques et de physique professés dans une université technique, 
les éléments d'une forme plus large qu'on ne le fait actuellement. 
A Zurich on est déjà arrivé à n'admettre sans examen comme 
étudiants, que les élèves ayant obtenu leur maturité dans un 



Éc o i. E >• I) ■ / . V r, /■; NI i: Li{ s 3 1 1 

Gymnase scientifique (Jljerrealschule suisse leconnu pai le (lon- 
seil de l'Kcole polytechnique ou ayant une préparation équivalente ; 
par contre ceux qui ne possèdent que la maturité d'un (lymnase 
classi(|ue ou réal doivent subir un examen complémentaire en 
mathéinali(iues. 

Kn Kussie, les jeunes gens qui se présentent a l'admission sont 
soumis à un triage fondé en partie sur les témoignages de maturité 
et en partie sur les résultats d'un concours roulant sur les mathé- 
matiques, la physique et la langue russe. 

Par les observations qui viennent dètre faites, nous avons 
abordé la discussion de la <iuesti()n fondamentale de la prépara- 
tion mathématique antérieure des étudiants. Les réponses (jui ont 
été fournies pai- le questionnaire de la Sous-commission B mon- 
trent que les opinions sur ce sujet sont fort diverses; la question 
mérite par conséquent d'autant jilus qu'on la traite dune façon 
détaillée dans la discussion. 

11 existe d'abord une opinion extrême qui trouve ses adhérents 
surtout parmi les ingénieurs-mécaniciens; ceux-ci veulent faire 
disparaître de l'université technique l'enseignement des mathé- 
matiques et des sciences physiques et le renvoyer entièrement aux 
écoles secondaires. Par exemple, le professeur Riedleii de Berlin 
s'est plaint dernièrement de ce que les universités techniques 
ne soient pas encore devenues ce quelles devraient être à cause 
du tort que leur font les cours de sciences pures qui, à son avis, 
ne servent qu'à combler les grosses lacunes de la préparation 
antérieure. 

Dans le rapport de la Sous-Commission suisse sur l'Ecole 
polytechnique de Zurich l'auteur s'est exprimé très énergique- 
raent contre l'idée d'une étude méthodique du calcul différentiel 
et intégral dans les écoles secondaires. L'Ecole polytechnique, 
dit-il, ne peut renoncer à reprendre ces sujets depuis le début, 
car les bases mathématiques qui ont été inculquées dans rensei- 
gnement secondaire aux élèves des écoles réaies sont beaucoup 
trop peu sûres et ne peuvent guère l'être rendues davantage. En 
outre, la différence de conception et même de notation peut 
faire naître de la confusion et de l'incertitude. Enfin l'expérience 
montre que l'augmentation du champ des mathématiques dans 
l'enseignement secondaire se fait souvent au détriment des 
éléments, c'est-à-dire de l'algèbre, de la trigonométrie et de la 
géométrie analytique et est, par suite, en partie, la cause du peu 
de sûreté dont les élèves font souvent preuve dans ces branches. 

Dans sa séance du mois de décembre 1913, la commission de 
l'enseignement technique, constituée par l'Association des ingé- 
nieurs allemands, qui durant ces trois dernières années a examiné 
la question de l'enseignement technique sous toutes ses faces, a 
formulé une résolution qu'il importe de signaler. D'après celle-ci, 



312- P. STAEC Ki: 1. 

oïl doit exigei' de la part des nouveaux éliidiaiits, outie la sûreté 
et Ihabileté dans l'usage des mathéinati({iies élémentaires, une 
connaissance aj)prot"ondie, acquise par une lonoue pratique, des 
notions de variation des grandeurs et des fonctions, y compris la 
représentation graphique des relations fonctionnelles, ainsi que 
les notions de dérivée et d'intégrale appliquées à des exemples 
simples et clairs. Par contre, l'étude systématique du calcul infi- 
nitésimal est réservée expressément à l'université technique. 

En France, la question est encore envisagée dune façon toute 
différente. A l'Ecole polytechnique et à l'Ecole centrale on exige 
que des candidats soient bien familiarisés avec les éléments des 
mathématiques supérieures, mais ceci afin de pouvoir établir sur 
cette base une forte culture mathématique générale On ne 
néglige pas, il est vrai, de prendre en considération les recher- 
ches mathématiques qui peuvent prendre de l'importance au 
point de vue technique dans un avenir immédiat, mais on prend 
bien garde que cela ne porte pas préjudice aux parties fondamen- 
tales de la théorie. 



II. — Nature de l'enseignement ^ 

Ceci nous amène à l'enseignement mathématique dans les uni- 
versités techniques. 11 peut arriver qu'une grande partie des ingé- 
nieurs qui proviennent de ces universités, une fois dans la pratique 
de leur métier, se servent peu des mathématiques supérieures. 
Par exemple, dans un questionnaire envoyé aux anciens élèves du 
Sibley Collège de la Cornell University, à Ithaca, environ la moitié 
de ceux-ci déclarèrent ne pas faire emploi des mathématiques 
supérieures dans leurs occupations actuelles. Or, tout ingénieur 
scientifique ne doit pas seulement savoir utiliser les lois et for- 
mules fondamentales, mais aussi les comprendre. 11 doit être en 
état de suivre les progrès de la science. Il doit être capable de 
faire face avec honneur aux nouvelles tâches qui lui incombent. 
Pour cela, il ne suffit pas d un entraînement mathématique fai- 
sant comprendre la résolution de quelques problèmes correspon- 
dant à l'état actuel de la technique. Enfin, l'enseignement mathé- 
matique dans les universités techniques a aussi pour but de 
développer et de fortifier la pensée abstraite. 

Les professeurs de mathématiques de même que la grande 
majorité des ingénieurs de tous les pays civilisés sont d'avis ([ue 
l'enseignement de cette branche doit avoir pour but un develop- 



1 Question II. L'enseignement mathématique vise-t-il une formation générale et est-il 
identique pour les étudiants îles diverses branches techniques, ou bien y a-t-il une séparation 
suivant le*' diverses branches et en même temps une a<laptation de l'enseignement aux besoins 
particuliers de chaque catégorie ? 



ÉCOLES n' i NG r: N r i: u li S :;i:{ 

peinent irénéral rnelhodifjne. (l'est p<)ni(|ii()i on ne sani-ait recom- 
mander (létablir, lois des d(;l)utsde l'ensei'^nement des inathf'iiia- 
tiqnes, une sépaiaticm des étudiants suivant les dilIÏTenles 
branches de la science de rintjénieur, c'est-à-dire d'organiser des 
cours spéciaux pour les ingénieurs-constructeurs, les ingénieurs- 
mécaniciens et les ingénieurs-électriciens. Par contre, on tiendra 
compte j>lus tard des besoins particuliers des diverses sections à 
laide de cours complémentaires facultatifs. Il faut encore remar- 
quer qu'il en est autrement pour les architectes. L'enseignement 
mathémati(pie a pour eux moins d'importance; il est presque 
partout séparé de celui des ingénieurs, quelquefois même, il est 
complètement supprimé. 

Ce principe, d'après lefjuel les futurs ingénieurs doivent i-ece- 
voir une éducation mathématique générale, n'est pas en opposition 
avec la nécessité de tenir compte dans l'enseignement de la carrière 
à laquelle les jeunes gens se destinent. En effet, la pédagogie 
exige avant tout que renseignement intéresse les élèves, afin de 
ne pas tomber dans le pire des défauts, celui de devenir ennuyeux. 
La plupart des sujets des cours universitaires éveillent tout de 
suite l'intérêt des étudiants par leur relation directe avec la vocation 
choisie et également par le charme de la nouveauté, spécialement 
si ces étudiants ont fait, comme on le recommande souvent, 
quelque temps de pratique à l'atelier, immédiatement après avoir 
terminé leurs études secondaires. Par contre, les jeunes gens ne 
sauront pas généralement apprécier à sa juste valeur, dès le début 
de leurs études universitaires, l'importance des mathématiques 
pour l'ingénieur. S'ils sont, en outre, surchargés par un plan 
d'études trop vaste, ce dont souffrent beaucoup d'universités tech- 
niques, ils négligeront en premier lieu les mathématiques, et ceci 
est d'autant plus à regretter qu'il n'existe aucune branche pour 
laquelle une interruption des études ait de plus fâcheuses consé- 
quences. Quelques étudiants réussissent à combler les lacunes 
par eux-mêmes. D'autres ont recours à des répétiteurs privés; ce 
qu'ils emmagasineront à la hâte et superficiellement leur suffira 
peut-être pour passer l'examen, mais ne saura leur constituer un 
acquis durable pour la vie. 

Pour remédier aux inconvénients visés, on a essayé, non sans 
résultat, de donner, dès le début, à l'enseignement mathématique 
une «teinte technique », c'est-à-dire de le mettre en relation avec 
les applications des sciences de l'ingénieur. Comment trancher 
cette question ? C est là un des grands problèmes non encore 
résolus de la méthodologie universitaire. 

Une difTiculté de sa solution réside tout d'abord dans le fait 
que plus d'un professeur de mathématiques ignore ces relations 
et qu'il y en a qui ne s'y intéressent pas du tout. Nous aurons à 
revenir sur cette circonstance en parlant de la préparation et 



31'i PS TAK CKEL 

du choix clés professeurs de mathématiques pour les universités 
techniques ; disons déjà, toutefois, que rien ne serait plus funeste 
que de confier l'enseignement mathématique à des professeurs 
qui connaissent bien ces relations, mais ne possèdent pas à fond 
les mathématiques elles-mêmes. 

Une autre dilliculté, non des moindres, résulte du fait que les 
étudiants, durant les premiers semestres, ne connaissent pas 
sulïisamment le domaine technique pour comprendre l'application 
des procédés mathématiques aux sciences techniques. On aurait 
tort de vouloir écarter cet inconvénient en introduisant dans ces 
exemples techniques des simplifications par lesquelles la base 
technique devient illusoire; on ne peut se permettre des sim- 
plifications que sur des circonstances d'importance secondaire, 
autrement le dommage qui en résulte est supérieur au profit qu'on 
en retire. Kn tout cas ce n'est pas la tâche du mathématicien que 
d'enseigner prématurément un peu des sciences de l'ingénieur, 
d'une façon sûrement incomplète et sans grand résultat. Pour 
la physique, les conditions sont plus favorables, mais c'est la 
mécanique surtout cjui fournit une grande abondance de problèmes 
propres à animer l'enseignement mathématique et à réveiller 
chez les étudiants le sens de l'utilisation des mathématiques, sens 
qui n'est pas moins utile à l'ingénieur qu'un certain bagage de 
connaissances mathématiques. 

L'essentiel dans les difficultés qui précèdent, c'est que, dans 
les applications des mathématiques, la recherche pratique et la 
recherche mathématique ne peuvent pas être séparées. Ainsi, 
celui ([ui désire enseigner aux étudiants les méthodes d'approxi- 
mation graphiques, numériques et expérimentales, qui sont de la 
plus grande importance pour le progrès scientifique de la tech- 
nique et le seront toujours davantage, ne doit pas insister unique- 
ment sur le côté logique des recherches, il doit au contraire 
traiter le sujet complet en n'oubliant pas de donner des exemples 
concrets. Mais comment cela doit-il se faire, si les étudiants ne 
possèdent aucune notion claire sur l'objet de l'application ? Dans 
l'avenir, au lieu de restreindre les cours mathématiques, il faudra 
leur donner au contraire de l'extension, c'est-à-dire que, pendant 
les dernières années détude, il faudra rendre obligatoires les 
cours sur les méthodes modernes d'approximation, 

III. — Scolarité ^ 

On se rend compte, par ce qui précède, de la grandeur de la 
tâche qui incombe aux mathématiciens dans les universités tech- 



• Question lll. Combien de temps accorde-t-on à l'instruction mathématique des éléves- 
ingcnieurs ? — Existe-t-il des cours et travaux pratiques, bien définis par un programme 



ÉCOLES nrycÉNiEius 315 

niques. I.'acoomplissemoiit do cette tfichc leur est encore rendu 
plus difllcile par le peu de temps dont ils disposent presfjue par- 
tout. Il est impossible d'établir une comparaison exacte entre les 
dilVérenls pays en ce qui concei-ne le temps consacré aux mathé- 
mati([ues. Le nombre d'heures par semaine qui fijj^urent dans les 
pro<irammes ne sufïit pas pour cela, car on ne peut pas en déduire 
la somme îles heures réservées aux mathématicjues flans le ctuirant 
des années d'études. Mais même la connaissance de cette somme 
n'apprendrait pas grand'chose, car c'est l'emploi des heures qui 
est le principal. Si, par exemple, aux Etats-Unis l'enseignement 
mathématique s'étend sur les cinq premiers semestres, du moins 
tant (juil est obli<4atoire, et si duiant le premier semestre la part 
du lion lui est léservée, cela tient à ce que. étant donné la prépa- 
ration antérieure inégale des étudiants, on cherche à obtenir tout 
d'abord des connaissances uniformes en mathématiques élémen- 
taires. Au second semestre seulement on commence la géométrie 
analytique et au troisième l'analyse supérieure qui s'étend jus- 
qu'au cinquième semestre. Du i-este. on a bien rintentit)n de 
rendre plus difficiles les conditions d'admission, afin de pouvoir 
supprimer, ou en tout cas resteindre, l'enseignement des mathé- 
matiques élémentaires. 

Malgré les données incomplètes, on peut constater qu'il existe 
d'importantes différences entre les différents pays. C'est en Italie 
qu'on consacre le plus de temps à l'enseignement mathématique. 
Ici, pendant les deux premières années, de^beaucoup la plus grande 
partie du temps est à la disposition des mathématiques: puis 
viennent des études techniques d'une durée de trois ans. 

Jusqu'en 1890, les mathématiques jouissaient également, dans 
la plus grande partie des autres pays, des mêmes avantages qu'ac- 
tuellement en Italie. Le mouvement impétueux qui, à cette époque, 
conduisit à une forte réduction des études mathématiques, devait 
en partie son origine au puissant développement des sciences de 
l'ingénieur; l'enseignement de ces sciences prenant une plus 
grande envergure, il a fallu leur créer de la place dans les univer- 
sités techniques. L'aspect extérieur de ces écoles nous permet déjà 
d'apprécier combien les temps ont changé. Il y a 25 ans, ce 
n'était qu'un bâtiment d'études, auquel on adjoignait, le plus 
souvent sous forme d'agrandissements subséquents, un labo- 
ratoire de chimie et un institut de physique. Aujourd'hui, nous 
sommes en présence d'un ensemble de bâtiments, de destina- 
tions très différentes, et par suite de dispositions fort diverses. Nous 
trouvons un laboratoire électro-chimique et un laboratoire électro- 



détaillé, dont la fréquentation est obligatoire et contrôlée, on bien renseignement a-t-il pour 
base une liberté universitaire qui. dans certaines limites, laisse aux professeurs le choix des 
matières et des méthodes, aux élevés le choix des cours et la particip.-)tio>i elTective à l'ensei- 
gnement ? — Comment traite-t-on les exercices mathématiques ? 



;il6 p. STAECKEI. 

technique, une série de laboratoires de machines, des instituts 
pour lexamen des matériaux, en certains endroits des installations 
pourdes expériences de construction hydiaulique ou de navioaiion 
aérienne, etc. 

On fit encore valoir, en faveur d'une réduction des heures desti- 
nées aux mathématiques le fiiit qu'en raison du caractère acadé- 
mique des écoles supérieures techniques, seuls les jeunes gens 
ayant complètement terminé l'école secondaire y étaient admis 
comme étudiants. On pouvait donc leur supposer une meilleure 
préparation et par conséquent économiser du temps dans, les 
cours théoriques. 

Si Ion ne peut nier la valeur de ces motifs, il faut cependant 
reconnaître que le caractère plutôt uniforme des deux premières 
années d'études, consacrées autrefois essentiellement aux mathé- 
matiques et aux sciences physiques, présentait de gros avantages 
sur l'état actuel des choses. Sans doute on a bien fait d'introduire 
dès le début les étudiants dans les sciences de l'ingénieur, mais 
en exigeant déjà pendant les deux premières années l'étude appro- 
fondie d'une série de branches très différentes de ces sciences, on 
a produit une sorte d'éparpillement de l'intérêt qui porte préju- 
dice au rendement de l'enseignement dans toutes les branches, 
mais avant tout au rendement de l'enseignement des mathéma- 
tiques pour lequel une certaine concentration de l'esprit est 
indispensable. Une plus grande diminution du nombre d'heures 
équivaudrait à expulser les mathématiques et les mathématiciens 
des universités techniques, et détruirait ainsi ces liens et cette 
collaboration qui, durant des siècles, se sont montrés de la plus 
haute utilité pour les deux parties. 

Dans le courant de ces dix dernières années, la situation des 
mathématiques dans les universités techniques s'est améliorée, 
et cela pour deux raisons. Tout d'abord, la technique moderne 
s'est peu à peu tellement diversifiée, que les universités techniques 
ne peuvent plus prétendre à faire de leurs élèves des ingénieurs 
accomplis, versés dans toutes les branches spéciales, ou, comme 
on l'a dit, à former des spécialistes universels. L'industrie et ceux 
qui la dirigent demandent plutôt des ingénieurs possédant une 
instruction générale solide pouvant être utilisée au point de vue 
technique. En second lieu, les sciences de l'ingénieur réclament 
de plus en plus l'aide des mathématiques. Tandis qu'autrefois les 
méthodes classiques qu'on trouve déjà, dans leurs parties essen- 
tielles, dans les traités d'EuLER, suffisaient, on y a ajouté actuel- 
lement, pour citer quelques exemples, la nomographie de 
M. d'OcAGNE et les méthodes d'approximation graphiques et 
numériques de M. Ruxce; on ne peut guère non plus se dispenser 
d'initier les étudiants à la théorie des vecteurs. 

En résumé, l'enseignement mathématique dans les universités 



E C O I- E >• 1) l N ('. E y I E r H .< W I : 

fochni(|iies est en train de subir une profonde transformation 
dont on peut reconnaître les traces dans tous les pays. Mcnie 
lAnyleterre ne fait pas exception : il suffit de citer le nom de 
Pkiirv. S'il est possible de modifier i)eu à peu l'enseignement et 
de l'adapter aux exigences de l'époque, cela tient à la liberté 
académique laissée aux professeurs, même à ceux qui sont liés par 
des programmes déterminés. Le grand nombre de professeurs 
pres({ue de tous les pays du monde, présf'uts à notre réuni(»n. nous 
montre combien ceux-ci s'intéressent à cette question. 

On sera obligé, par suite de ces transformations, de l'enseigne- 
ment, d'exiger toujours davantage de la part des étudiants. Ce 
n'est qu'en travaillant sérieusement qu'ils atteindront le but dans 
le temps j)rescrit ; la négligence et l'insouciance peuvent compro- 
mettre toute leur carrière. C'est pourquoi la question de savoir 
jusqu'à quel point l'université peut entreprendre la surveillance 
des étudiants, prend une importance de plus en plus grande. 
Remarquons que, dans bien des pays, cette liberté que possèdent 
les étudiants de choisir leurs cours et de les suivre ou de ne pas 
les suivre, selon leur convenance, n'est pas aussi absolue qu'on 
pourrait le croire ; en réalité elle est fortement limitée par les 
règlements des examens, spécialement par la mesure que les étu- 
diants sont tenus de présenter les résultats de leurs exercices et 
ne sont admis aux examens que si ces résultats témoignent d'un 
travail suffisant. 

Ces exercices ont contribué considérablement à développer 
l'enseignement mathématique; ils jouent actuellement un rôle 
important dans tous les pays. 

Suivant le procédé le plus ancien, les participants sont appelés 
par le professeur à tour de rôle et sont chargés de résoudre un 
problème au tableau ; en cas de besoin, le professeur intervient 
pour aider ou corriger l'étudiant. L'avantage que présente cette 
méthode, c'est que tous les participants peuvent se rendre compte 
des erreurs commises. Comme désavantages, on pourrait signaler 
le manque d'habileté des étudiants, la difficulté de se servir au 
tableau des méthodes graphiques et numériques, et le fait que le 
reste des étudiants n'assiste que passivement à la résolution du 
problème. 

A côté de ce procédé existe celui des exercices individuels où 
chaque participant travaille pour soi, sous la direction et l'aide du 
professeur et de ses préparateurs. Les énoncés des problèmes 
sont écrits au tableau ou reproduits, dans le cas d'un plus grand 
nombre d'étudiants, sur des feuilles, de façon que chacun en 
reçoive un exemplaire ; souvent ces feuilles renferment des indi- 
cations et des formules. Fréquemment, à la fin de la leçon, le 
professeur ou l'un de ses préparateurs exécute les problèmes, ou 
une partie de ceux-ci, au tableau, et l'on peut ainsi relever les 



318 P. STAECKEL 

erreurs et donner des explications. Spécialement en Angleterre et 
aux Ktats-Lnis, on attache une grande importance à ces exercices. 
J^our qu'ils donnent de bons résultats, le nombre des préparateurs 
ne doit pas être trop faible ; malheureusement il n'est pas tou- 
jours facile d'en trouver un nombre suffisant et souvent aussi on 
manque des moyens nécessaires à leur rémunération. 

Les cours de mathématiques obligatoires qui figurent dans les 
plans d'études ne durent généralement que quatre semestres; il 
existe même des universités techniques où l'instruction mathéma- 
tique cesse déjà à la fin du deuxième semestre. 11 y a en outre 
des cours facultatifs, mais parce que les étudiants sont déjà sur- 
chargés par les cours obligatoires, ils n'ont plus de temps pour 
les facultatifs. Par conséquent la mesure prise par quelques uni- 
versités allemandes d'introduire les mathématiques comme branche 
facultative pour les examens du diplôme, n'aura pas grand effet. 
Cependant, cette décision, recommandée par des ingénieurs en 
vue, est un signe heureux de l'importance qu'on attribue aux 
mathématiques dans la technique. Un questionnaire adressé en 
1912 aux înilieux industriels par la Société des ingénieurs alle- 
mands a montré qu'il existe effectivement, pour une série de do- 
maines, un besoin d'ingénieurs possédant une instruction appro- 
fondie dans les mathématiques et la mécanique théorique ; citons 
parmi ces domaines la construction des turbines à vapeur et à eau, 
des réservoirs, des vaisseaux, des ponts et des grues, et certaines 
parties de l'électro-technique. Pour la préparation d'ingénieurs 
de ce genre, mathématiciens et praticiens devraient agir concur- 
remment, et, s'ils parvenaient ainsi à se connaître et à s'apprécier 
davantage, il faudrait s'en féiicitei-. 



l'V. — Matières et méthodes'. 

Dans ce qui suit, il n'est pas question des cours facultatifs; les 
considérations sur les matières, la méthode et l'étendue de l'en- 
seignement mathématique, auxquelles je passe maintenant, ne 



' Question IV. Jusqu'où pousse-t-on l'enseignement des mathématiques aux élèves-ingé- 
nieurs ? (Dnn.ç quelles limites, par exemple, tiaite-t-on des équations différentielles?) — 
Jusqu'à quel point pousse-t-on la rigueur dans les définitions et les démonstrations ? — 
Emploie-t-on des modèles et des appareils pour l'enseignement ? — Les nouvelles méthodes 
d'approximation sont-elles prises en considération ? — La formation des étudiants est-elle 
romplètée, pour certaines catégories, par exemple pour les électriciens, par des cours spéciaux 
de Mathématiques supérieures ? — La Ciéomètrie nniilytique et l'Analyee supérieure sont-elles 
traitées séparément ou bien réunies en un grand ef)urs unique qui embrasse tout le calcul 
dans les Mathéniatiques supérieures ? — Quelles sont la place et l'importance des méthodes 
graphiques dans l'enseignement mathématique ? — Quel est le développement donné à l'ensei-' 
gumnent de la Géométrie descriptive ? — Y a-t-il un cours particulier de Mécaniquea nalytique, 
ou bien la Mécanique est-elle enseignée aux élèves-ingénieurs sous forme de Mécanique 
appliquée ? - Quels sont les rapports de l'Arpentage et de la Géodésie avec les Mathéma- 
tiques ? 



ÉCOLES 1) INGÉNIE ins 81'j 

concernent que les cours ohli^^aloiies. De nombreuses (pieslions 
surgissent ici, mais nous devons nous liorner à ne traiter que les 
plus importantes. 

En ce qui concerne tout d abord 1 étendue de renseignement, 
on peut observer qu'elle est bornée supérieurement par le but 
qu'on se propose d'atteindre, (jui est de fournir aux futurs ingé- 
nieur les connaissances de matlu'mati(iues superieui-es cpii sont 
nécessaires à une étude suffisante de la mécanique et des parties 
fondamentales de la physique. Autrefois on s'occupait aussi dans 
les cours d'analyse supérieure de diverses questions ressortissant 
au calcul des probabilités ; en particulier on enseignait la méthode 
des moindres carrés que les ing'énieurs-constructeurs ont quelque- 
fois à appliquer. Toutefois, lorsqu'on eut restreint d'une façon 
sensible le temps consacré aux mathématiques, ces questions 
furent presque partout réservées aux cours de topométrie. 

Si l'on se place uniquement au point de vue logique, le choix 
des objets d'étude n'est pas chose facile. On a pu s'en rendre 
compte à propos du SijUahus of mathematics YiuhWé par la Société 
pour l'avancement de l'Education des ingénieurs i Society of Pro- 
motion of Engineering Education} en Amérique. A la réunion 
de Pittsburg, en 1911, en effet, une vive discussion s'éleva rela- 
tivement aux quantités complexes qui ne figuraient pas dans 
le plan proposé. Ce n'étaient pas les mathématiciens qui récla- 
maient en leur faveur, mais les ingénieurs-électriciens, ce dont il 
ne faut pas s'étonner dans la patrie d'un Steixmetz. Ce sont les 
ingénieurs qui ont obtenu l'addition au Syllabus, d'un chapitre 
sur les quantités complexes et leurs applications. 

On admet en général que la connaissance du calcul différentiel 
et du calcul intégral élémentaire, c'est-à-dire l'étude de la diffé- 
rentiation et de l'intégration des fonctions élémentaires avec leurs 
applications les plus simples, ne suffit plus pour les ingénieurs. 
La Commission allemande pour l'enseignement technique demande 
dans ses résolutions de décembre 1913, que les étudiants soient 
en état de traiter par les mathématiques des questions comme le 
flambement, le support élastique, les plaques tournantes, les vibra- 
tions provoquées par des forces extérieures. Mais cela n'est guère 
possible qu'à la suite d'une solide instruction dans la théorie des 
équations différentielles. Cependant il ne s'agit pas ici de cette 
étude scolastique des équations différentielles où l'on s'occupe, 
comme au XVII'' siècle, des équations qui se ramènent à des fonc- 
tions élémentaires ou à des quadratures. Ce qu'il faut aux futurs 
ingénieurs, ce sont plutôt les méthodes graphiques et numériques 
d'intégration des équations différentielles, qui se sont dévelop- 
pées pendant le dernier tiers du XIX'" siècle. Mais le temps 
viendra où ces méthodes se relieront aux méthodes de la théorie 
des fonctions qui permettent de déduire les propriétés .d'une 



320 ■ P. STAECKE I. 

fonction de l'équation difrérentiellc qui la définit, et en tirer des 
représentations (.\vn facilitent létude numérique de la fonction 
alors que l'ancienne méthode du dévelo|>pement de l'aylor limité à 
ses premieis termes échoue. C'est là un domaine dans lequel les 
mathématiciens pourront rendre de grands services aux ingénieurs, 
ce qui légitimera une fois de plus le rôie important qu'ils jouent 
dans les universités techniques. Actuellement on ne s'occupe 
de ces nouvelles méthodes d'intégration que dans peu d'établis- 
sements. Il semble cependant ([u il se prépare un revirement à 
cet égai'd ; mais sa réalisation exigera un temps considérable. 

On sait cju'en matière d enseignement les innovations ne 
s'implantent pas du jour au lendemain; ainsi l'usage des modèles 
et des appareils n'est encore que fort peu répandu. Cependant 
dans plusieurs écoles on est encore plus avancé. Non seulement 
on y utilise l'appareil de projection, mais même la cinématographe 
entre en scène. Dans tous les cas, les appareils modernes de 
démonstration ne doivent être introduits dans l'enseignement 
qu'après un soigneux examen de leur valeur didactique. 

Nous ne pouvons passer sous silence la question de la rigueur 
dans l'enseignement mathématique des universités techniques. 11 
ne faut pas oublier que le mathématicien y a affaire à des jeunes 
gens qu'il faut d'abord initier à la pensée mathématique, dont les 
intérêts semblent avoir au début une direction tout autre, chez 
lesquels les procédés déductifs ne sont généralement que peu 
développés, mais qui possèdent souvent des facultés intuitives 
bien formées. Dans les discussions relatives à ce point qui eurent 
lieu en 1897 et 1898 aux réunions de l'Association des mathéma- 
ticiens allemands à Brunswick et à Diisseldorf. un des principaux 
orateurs, M. Félix Kleix, a résumé son opinion en disant ([u'il 
est avant tout important d'intéresser les étudiants des universités 
techniques aux problèmes de mathématiques et de leur expliquer 
le sens et le but des opérations mathématiques; qu'il ne fallait 
pas par contre chercher à approfondir dès le début certaines ques- 
tions de principe dont les étudiants ne pourront comprendre la 
portée et envisager les applications qu'après de longues réflexions 
personnelles. 

Sans doute l'enseignement mathématique dans les universités 
techniques se fait actuellement presque partout conformément à 
ces idées. Il faut bien observer, de plus, que la rigueui' ne doit 
pas être confondue avec l'axiomatique. Une déduction est rigou- 
reuse lorsque les hypothèses, sous lesquelles elle s'opère, sont 
établies exactement; par contre, l'analyse des hypothèses et leur 
réduction au plus petit nombre d'axiomes possible est une ques- 
tion d'une nature toute différente. Les élèves-ingénieurs devraient 
être conduits à une conception intuitive des notions mathéma- 
tiques, dans la mesure où l'état de leurs connaissances et de leur 



/»• C (J I. E S I) I N C. E N I A uns Wl 1 

expérienco If IfMir peiiiicl ; le l';iil (|iic ces nolioiis peuvent et 
doivoiit être soumises à ui» examen plus appiofoudi ne devrait 
être mentionné, au besoin, que l()is<iu"elles seront devenues 
familièies à l'étudiant, et lorsque celui-ci aura acquis une sùretc' 
sullisante dans leur maniement. Autrement, il pourrait se pr()- 
duire des faits analogues à celui que citait M. W oodnvaiii) à la léu- 
nion de la Société pourlavancement de ll'.ducation des ingénieurs 
(Chicago, en i*.)()7, savoir (piun mathématicien, à foice d'explica- 
tions détaillées sur les doutes qui peuvent naître de l'emphii des 
séries infinies dans les calculs, en était anivé à ce que ses élèves 
n'osaient plus se servir des formules d'approximation les plus 
simples. 

Une question qui a été fort discutée aux Etats-Unis durant ces 
dernières années, c'est celle de l'unification de l'enseignement 
mathématique. On entend par cela la réunion des cours de trigo- 
nométrie, de géométrie analytique et d'analyse supérieure en un 
seul cours de mathématiques générales. Une fusion de ce genre 
a été entreprise pour la première fois, semble-t-il, dans les années 
J87.") à 188U, à l'Université technique de Munich, sous la direction 
de MM. les professeurs Brill et Klein. Les expériences faites ont 
été favorables, et peu à peu on a procédé de même dans presque 
toutes les universités techniques allemandes. En Amérique, cette 
unification a été introduite en premier lieu dans la plus grande 
des universités techniques du pays, l'institut technologique de 
Boston. 

La géométrie descriptive, qui est généralement enseignée par 
des ingénieurs et dans les sections pour ingénieurs, est restée 
une branche indépendante. F"]n Allemagne, en Suisse et en Autriche, 
on l'enseigne en la rattachant à la géométrie de position; cet 
enseignement est donné par des mathématiciens. 11 convient 
d'observer que les relations entre la partie purement théorique et 
les applications techniques ont été rendues de plus en plus 
étroites. Cest la méthode de Monge qui est toujours le plus en 
vigueur; en bien des endroits, cependant, on constate la tendance 
de comprendre sous le terme de géométrie descriptive l'ensemble 
des méthodes qui, par le moyen du dessin, servent à établir les 
propriétés et les relations des figures de l'espace. 

Pour l'enseignement de la mécanique, qui touche de si près aux 
sciences techniques, les mathématiciens, autrefois nombreux, ont 
dû peu à peu, presque partout céder le pas aux ingénieurs. Il faut 
chercher la raison de ce changement dans le désir des sections 
techniques de réunir tous les problèmes des diverses branches 
techniques présentant une nature essentiellement mécanique et 
de les exposer d'une manière uniforme. En outre, il faut tenir 
compte du fait qu'en mécanique on estime souvent nécessaire 
d'effectuer, à l'égard des exemples, une séparation entre 1 ensei- 



322 . P. STAECKEL 

gnement des ingënieurs-cotistiucteurs et celui des ingénieurs- 
mécaniciens. Ces transformations qui s'opèrent partout ou sont 
en voie de s'opérer, ont des inconvénients. Selon le rapport amé- 
ricain actuellement la mécanique se présente en Amérique soit 
comme branche de la physique générale, soit comme mécanique 
appliquée, et, sous cette dernière forme, elle est généralement 
enseignée par des ingénieurs. Cependant, dit-on, l'importance de 
la mécanique, et la place fondamentale qu'elle occupe conduisent 
à désirer qu'elle soit envisagée sous ses trois aspects, physique, tech- 
nique et mathématique. L'avantage qu'on en retirerait suffirait à 
justifier la plus grande dépense de temps qui en résulterait. C'est 
pourquoi les cours mathématiques devraient être suivis d'un 
cours spécial sur la mécanique rationnelle. 



V. — Livres \ 

A côté des cours et des exercices, les étudiants ont des livres à 
leur disposition. Ceux-ci peuvent faciliter l'enseignement, mais 
non pas le remplacer; il ne faut pas désirer davantage qu'un 
« textbook » dirige lenseio-nement. 

Les manuels qui proviennent de l'enseignement même ont une 
valeur toute spéciale. La France, en premier lieu, nous a 
fourni un grand nombre d'excellents ouvrages de ce genre; de 
jeunes mathématiciens rédigent les cours, sous la surveillance du 
professeur, et des reproductions sont mises à la disposition des 
étudiants. Cette coutume, qui a donné de bons résultats, s'est 
répandue dans d'autres pays, particulièrement en Italie et en 
Russie. 

I.es traités français reproduisant avec quelques développements 
les cours de l'Ecole polytechnique présentent manifestement le 
caractère d'un enseignement ayant en vue une instruction mathé- 
matique générale; les étudiants en mathématiques et les techni- 
ciens les utilisent avec un égal profit. Quelques-uns d'entre eux 
sont plus que de simples traités, ils ont eu une action décisive 
sur le progrès des sciences mathématiques ; il suffît de rappeler à 
cet égard les ouvrages de Cauchy, de Hermite et de M. Camille 

JoRDAX. 

Si l'enseignement mathématique pour mathématiciens et celui 
pour techniciens se sont peu à peu ditTérenciés, les traités dont 
on fait usage, sont cependant restés longtemps les mêmes. Dans 
le rapport sur les traités d'analyse supérieure présenté par 
M. BoHLMAxxen 1899 à l'Association des mathématiciens allemands. 



' Question V. — Quels sont les ouvrages d'enseignement en usage parmi les étudiants ? 
Caractériser les ouvrages suivant les points de vue indiques à la question III. 



I 



!•: c () 1. 1: s h I iV (i EN I E r h s \vn 

on trouvtN après i:i discussion des oiixianres inalhéinat icjiies dans 
le sens propre un |)arai4ia[)he sur les cou is de portée pluloso[)lii(pie 
et un autre sur ceux de portée physique, mais l'auteur ne parle 
pas des ouvrages de portée technique. En efïet, à ce moment-lii 
on n'avait que très peu de ces cours. Depuis l'année 1000, il en a 
été autrement; du moins il a paru une série de traités écrits pai- 
des ingénieurs et destinés aux ijif^énieurs ; mais il semble (|ue 
les livres dont se servent les étudiants soient écrits presque tous 
par des mathématiciens. 

En plus, nous voudrions mentionner un livre ([ui n'a pas la 
prétention d'être un manuel, mais ([ui rend de grands services à 
l'enseignement mathémati({ue des universités techniques, et cela 
aux professeurs aussi bien qu'aux étudiants. C^'est le Syllabus of 
Mnthematics déjà mentionné, paru en 1911, composé, à la demande 
de la Société pour l'avancement de l'Education des ingénieurs, 
par un comité de professeurs universitaires de mathématicjues et 
de sciences de l'ingénieur et d'ingénieurs pratiijues. Le Syllabus 
cherche à donner un aperçu des matières d instruction mathé- 
matique indispensables à l'ingénieur scientifique; il ne se préoc- 
cupe pas de façon dont ces matières doivent être enseignées ; à 
cet égard, le professeur est laissé libre 'd'agir selon son juge- 
ment personnel. Une deuxième édition qui sera considéral)lement 
améliorée, est en préparation. En outre paraîtront deux volumes 
complémentaires qui contiendront les méthodes du calcul numé- 
rique et la mécanique élémentaire. 

Cet exemple de collaboration des mathématicens et des ingé- 
nieurs mériterait d'être imité partout ailleurs. C est le meilleur 
moyen permettant de résoudre les grands problèmes de l'ensei- 
gnement technique supérieur. 



VI. — Corps enseignant '. 

Un des plus importants parmi ces problèmes est celui de la 
prépaiation dune nouvelle génération de professeurs aptes à 
enseigner les mathématiques dans le sens moderne. Une demande 
réitérée des ingénieurs, formulée encore en 191.3 par la Société 
des ingénieurs autrichiens, est que l'enseignement mathéma- 
tique dans les universités techniques soit confié exclusivement 
à des ingénieui's, alors qu'il se trouve actuellement, à quehiues 
rares exceptions près, entre les mains de mathématiciens. Poui- 



(Uicstiim yi. Les maîtres ciui enseigaent les Matliémaliques sont-ils niathématiciens de 
oarriere ? — Sont-t-e des malhéinaticiens purs ou des inalhéiiiaticiens avant des connaissances 
dans une ou plusieurs bninclies de la Science appliquée ? — ."^ont-ce des ingénieurs autodi- 
dactes qui, ne possédant que les connaissances niathéniatiqu'rs qu'ils ont reçues comme 
étudiants, ont complété eux-mêmes leur instruction ? 



324 P. STAECKEI. 

plus dune raison, il est à présumer qu'il en sera ainsi lon<i^- 
temps encore. I^es jeunes gens qui embrassent les sciences tech- 
niques, ont généralement un goût d'une carrière pratique et sont 
peu aptes à l'enseignement. Ceux du reste qui se destinent à 
la carrière peu lucrative de professeurs universitaires trouvent 
leur emploi dans les dilïerentes sections techniques. Kn outre, 
les connaissances acquises par un ingénieur dans le cours nor- 
mal de ses études ne sulfisent pas pour le rendre capable 
d'un enseignement mathématique utile. Dans les mathématiques 
comme partout le maître doit dominer son sujet; aussi est-il 
nécessaire qu'il possède une instruction mathématique toute 
spéciale. Entîn, il faut remarquer que les nniversilés techni- 
ques ne pourront profiter des progrès des sciences mathéma- 
tiques que si ses maîtres sont en contact personnel avec les 
chercheurs, ou encore mieux s'ils sont eux-mêmes des chercheurs. 

Certainement, pour pouvoir enseigner les mathématiques à des 
ingénieurs, il ne sutïit pas d'être mathématicien. Abstraction faite 
des qualités qu'il faut exiger de n'importe quel maître, et parmi 
lesquelles figurent en premier lieu un certain enthousiasme pour 
la science et le talent de faire naître cet enthousiasme chez les 
élèves, le maître idéal de mathématiques dans les universités 
techniques doit non seulement être mathématicien par ses dons 
naturels et une instruction soignée, mais s'intéresser à la manière 
de voir des ingénieurs et comprendre ce dont ils ont besoin en 
fait de mathématiques. Pour cela, il est nécessaire qu'il se soit 
occupé des mathématiques appliquées et qu'il possède une cer- 
taine expérience dans ce domaine. Des recherches dans les mathé- 
matiques pures seront les bienvenues, mais elles ne sont pas abso- 
lument nécessaires ; à défaut de ces recherches, il faut exiger une 
activité scientifique dans le domaine des applications. 

L'essentiel pour le maître c'est d'acquérir les qualités qui vien- 
nent d'être citées et qui le rendront apte à son enseignement ; la 
façon particulière, par laquelle il les aura acquises est moins 
importante. Disons toutefois que la formation d un professeur de 
mathématiques dans une université technique a généralement 
pour point de départ les études universitaires de mathématiques 
pures et appliquées qui conduisent au doctorat. H sera avanta- 
geux pour lui de passer quelque temps dans une université tech- 
nique ou dans une université proprement dite lui fournissant 
l'occasion d'une pratique jilus approfondie des différentes bran- 
ches des mathématiques ai)pliquèes. Avant d'entrer dans la car- 
rière académi({ue, il pourrait faire un stage dans renseignement 
secondaire, car on y apprend mieux l'art d'enseigner que dans une 
université ; d'ailleurs, un professeur à l'université devrait con- 
naître par sa propre expérience les établissements d'où provien- 
nent ses élèves. En même temps ou immédiatement après, le futur 



E c o 1. 1: s I) I N (. i: .\ I j: L n .v .325 

professeui- devrait occuj)ci' ime place de préparateur de mathé- 
matiques ou peut-être »Hie associé à renseijrnement d'un des 
cours facultatifs supérieurs suivis par des d'étudiants désirant 
approfondir leur instruction au point de vue mathématique ou 
mécanique. 

Conclusion. 

Pendant le dernier siècle, le développement des mathéma- 
tiques s'est effectué dans deux directions en apj)arence oppo- 
sées. Notre science a été arithmétisée, c est-à-dire débarrassée 
de ses parties empiiiques et ramenée à ses bases loiifiques. Mais, 
à cùté de cela, le domaine des applications a pris une extension 
énorme ; conformément à la devise de l'Université technique 
d'Aix-la-Chapelle : Mens agitât jnolem, les mathématiques méri- 
tent d'être considérées comme l'un des plus puissants moyens de 
l'esprit humain qui dominent l'inertie de la matière. Cette sépa- 
ration, cependant, ne doit pas par trop s'accentuer. Livrée à elle- 
même, la théorie pure court le risque de dégénérer en une scolas- 
tique stérile, mais dautre part la déesse de la science refuse sa 
faveur à celui qui ne regarde qu'à l'utilité. Sachons donc consi- 
dérer lensemble des mathématiques comme une science uniforme, 
indivisible, dont les progrès reposent sur les relations vivantes de 
ses différentes parties et sur leur action réciproque. Cette pénétra- 
tion mutuelle des mathématiques pures et appliquées était le sujet 
de la brillante conférence donnée en 1910 à la réunion de Bruxelles 
par notre regretté collègue Bourlet. Il a atteint le but élevé qu'il 
caractérisait alors par ces belles paroles: « Sans rien sacrifier des 
qualités de rigueur, de logique et de précision qui sont l'apanage 
des mathématiques, nous saurons y discerner l'essentiel, y mettre 
en évidence les moyens les plus propres à prépaier les élèves à la 
compréhension des sciences expérimentales. La limite entre les 
mathématiques pures et les mathématiques appliquées n'existe 
pas, car ces deux sciences, loin d'être séparées, doivent sans cesse 
s'entr'aider et se compléter. Cette pénétration est le gage d'un 
progrès certain ». 

Lorsque l'enseignement des mathématiques dans les universités 
techniques se fera dans cet esprit, nous pourrons regarder 
avec confiance dans l'avenir. C'est alors que se réalisera sans 
doute ce que M. Tyler disait dans le rapport américain. « On 
peut fonder de hautes espérances sur le développement futur 
d'une science qui a fait preuve de sa vitalité en face des préten- 
tions des astronomes, des physiciens et des ingénieurs. Les ma- 
thématiciens dans les universités techniques feront bien cepen- 
dant de ne pas exagérer l'importance du rôle que pourront dans 
cet ordre d'idées jouer les mathématiques. S'ils apportent leur 

L'Enseignement mathéni., 16» année 1914. 21 



326 . DfSCL'SSfO.y 

part de contributions au progrès des mathématiques, s'ils savent 
utiliser avec économie et d'une manière efïicace le temps restreint 
dont ils disposent, pour doter les étudiants de la technique d'une 
base solide de connaissances mathématiques et les rendre capa- 
bles de s'en servir, s'ils cherchent d'une façon intelligente à lecon- 
naîtrc et à satisfaire les exigences mathématiques des diverses 
branches techniques, s'ils ont en vue l'utilité commune et n'insis- 
tent pas trop sur les finesses de leur science, ils sauront main- 
tenir la dignité et l'intégrité des mathématiques ». 



Annexe : Liste des documents fournis par les délégués. 

Le ti'avail de M. Staeckel était basé sur les documents foui-nis pai" lesv 
délégués et comprenant : 

al Les rapports publiés autérieuremeiit par les sous-coramissious natio- 
nales ; 

Ijj Les réponses rédigées par les délégués en réponse au questionnaire 
élaboré par le Comité central. 

Allemagne. — a) Abhandlungeu iiber den matheniatischen Unterricht in 
Deutschland, veranlasst durch die Internationale Mathemalische Unter- 
richts-Komniission. Band IV : Die Mathematik an den techuischen Scluilen. 
Heft 9, P. Staeckel, Die mathemalische Ausbildung der Architekten, Chenii- 
ker, und Ingcnieure an den deutschen Technischen Hochschuien. Unler der 
Presse. 

Abhandlungen und Berichte ûber technisches SchuUvesen, veranlasst und 
herausgegeben vom Deutschen Ausschuss lur technisches Schulwesen. Bd. 
IV : Berichte aus dem Gebiet des technischen Hochschulwesens, Leipzig 
1912, p. 12-34. P. Staeckel, Die malhematisch-naturwissenschaftliche Aus- 
bildung der Ingenieure. 

bl Réponses au questionnaire par toutes les Universités techniques alle- 
mandes. 

Australie. — P»époases de M. Carslaw, Sidney. 

Autriche. — al Berichte iiber den mathemalischen Untei'richt in Oesler- 
reich, veranlasst durch die Internationale Mathematische Unteri-ichts-Kom- 
mission, Heft 5, E. Czuber, Der mathematische Unterricht an den techni- 
schen Hochschuien, Wien 1910. 

b) Renseignements complémentaires par M. E. Czuber, Vienne. 

Belgique. — a) Le tome II des Rapports sur l'enseignement mathéma- 
tique en Belgique contiendra un rapport de M. Neuberg, L'enseignement 
des mathématiques dans les Universités et Ecoles techniques svipérieures. 

b) Réponses de M. Xeuberg, Liège. 

Danemark. — a) Internationale Mathematische Unterrichts-Koramission. 
Der Mathematikunterricht in Danemark, Bericht erstattet von Paul Hee- 
GAARD, Kopenhagen 1912, Kapitel IX . Die Universitat und die technische- 
Hochschule, p. 85-87. 94-97. 

bl Réponses de M. Heegaard, Copenhague. 

Espagne. — a) L'enseignement des mathématiques en Espagne, tome I, 
Madrid 1912, Gaztelu : Les mathématiques à l'école des ingénieurs des- 



É c () L !■: s DiN <i i: y 1 1: in s 327 

pouls cl cliausséos : Torm;k, Les inatlu'iiiali(|iic's à I ImoIc d iriL,'^tiiiiiiis dos 
eaux el forèls ; Mataix et Teran, L'enseigiiemonl des mat lurnal ii|ii(s à 
l'Ecole centrale des ingénieurs industriels, j), 70-121. 

h) Réponses de M. Gaztelu, Madrid. 

Etals-Unis. — a) International Coniniissiuii ou tlie tcacliiug of matlu-nm- 
ties. tiic american report. Committee IX, Matlieniatics in the lechnological 
schools of coUegiatc grade in ti>c nnited slates. Washington 1911, 

h) Réponses an questioniuiire par M. I). Iv SArrin, New-York ; rensei- 
gnement par Tyi.er, Boston. 

France. — aj Commission internationale de renseignement malliéma- 
tique, Sous-commission française. Rapports, volume III, Paris, 1911, Vogt, 
Sur l'enseignement mathématique dans les instituts teclinic]ues des Facultés 
des sciences, p. 53-64 ; Humbert, Sur l'enseignement mathématique àl Ecole 
polytechnique, p. 85-96. Volume IV, Paris, 1911 : Bolklkt, Rapport sur 
renseignement des Mathématiques au Conservatoire National des Arts et 
Métiers, p. 173-182; Appei.l, Rapport sur l'enseignement mathématique à 
l'Ecole centrale des Arts el Manufactures, p. 183-208. 

b\ Réponses au questionnaire pour l'Ecole polytechni(|ue, par M. 
d'OcAG.NE, Paris. 

Hollande. — a} Commission internationale de l'enseignement mathéma- 
tique, Rapport sur l'enseignement mathématique dans les Pays-Bas publié 
par la Sous-commission nationale sous la direction de M. Cardinaal, Délit. 
1911. Académie technique, p. 83-99. 

h) Réponses de M. Cardinaal, Deift. 

Hongrie. — a) Internationale Mathematische Unteirichts-Koinmission. 
Ungarische Subkommission. Rados, Der heutige Stand des mathematischeu 
Unterrichts am kôniglich ungarischen Josefs-Polytechnikum (Technische 
Hochschule zu Budapest), Budapest, 1911. 

Iij Réponses par M. Kurschak, Budapest. 

Iles Britanniques. — a) The leaching of mathematics in the nnited kiug- 
doni, being a séries of papers prepared for the international commission on 
the theaching of mathematics. N" 21. Hopkinso.\, The relation of mathema- 
tics to engineering at Cambridge, N» 26. Abbott, The preliminary malhe- 
matical traiuing of technical students. London, 1912 

bl Le rapporteur n'a reçu aucune réponse au questionnaire. 

Italie. — «j Commissione internazionale dell' insegnamento malematico, 
Atti dells sottocommissione italiaua. Scorza, L insegnamento délia mate- 
matica nelle scuole e negli istituti tecnici. Roma, 1911: voir aussi .So//e<- 
tino délia Mat. Anno III, 1911. 

/>/ Réponses au questionnaire par M. Levi-Civita, Padoue. 

Japon. — aj Report on teaching mathematics in Japan, Tokio, 1912. 
Shibata and Yokota. The leaching of mathematics in the faculty of techno- 
logy of the Tokio Impérial University. 7 pages; Otashiro, The teaching ot 
mathematics in technical schools and collèges, 43 pages. 

Nor\-i'ge. — a) Le rapport sur l'enseignement mathématique en Norvège 
n'est pas encore paru. 

h) Réponses au questionnaire par MM. Alfsen et Birkeland, Christiania. 

Portugal. — aj Le rapport sur l'enseignement mathématique en Portugal 
n'est pas encore paru. 

b) Réponses au questionnaire par M. Teixera, Porto. 

Roumanie . — aj Le rapport est en préparation. 



328 DISCUSSION 

b) Pas de réponses. 

Russie. — a) Commission internationale de renseignement niatliématique. 
Sous-commission russe. Possé, Rapport sur l'enseignement mathématique 
dans les universités, les écoles techniques supérieures et quelques-unes des 
écoles militaires, St-Pétersbourg, 1910. 

b) Réponses au questionnaire par M. Possé, St-Pétcrshourg. 

Serbie. — Réponses au questionnaire par M. Gavkilovitcm, Belgrade. 

Suède. — a) Berichle und Mitleilungen, veranlasst durch die schwedische 
Abteilnng der Internationalen Mathematischen UnterriclUs-Kommission, 
H. V. KocH, Die Mathemalik an der Technischen Hochschule in Stockholm, 
Stockholm, 1910. 

})) Pas de réponses. 

Suisse. — aj Internationale mathematische Unterrichts-Kommission. 
Schweizerischo Subkonimission. Berichte N. 7, Grossmann, Der mathema- 
tische Unterricht an der Eidgenôssischen Technischen Hochschule in Zurich, 
Basel und Genf, 1911. 

bj Réponses au questionnaire par M. Grossmann, Zurich, et M. Lacombe, 
Lausanne. 

II 

DISCUSSION 

Sur la préparation mathématique des ingét^ieiirs. 

1. — Indications complémentaires 

fournies par les délégués. 

Alleniag-ne. — M. \V. von Dyck (Munich) : Les diiïérentes 
écoles préparatoires (ou plus généralement les difFérents états des 
connaissances préparatoires acquises avant l'entrée à l'école) ne 
peuvent pas dispenser l'Université technique de faire un cours 
général de Calcul dilFérentiel et intégral et de Géométrie analy- 
tique. Les écoles moyennes ont la possibilité d'obliger les éco- 
liers de résoudre des devoirs spéciaux, de faire des exemples 
numériques, et cela est nécessaire pour que les élèves acquièrent 
une certaine pratique du calcul. Mais donner les grandes lignes 
du calcul infinitésimal devinait être réservé à l'enseignement de 
l'Université. En outre, je pose une question que l'on pourrait 
traiter dans la discussion de l'après-midi: «quelle est la durée 
des études techniques supérieures après l'enseignement secon- 
daire, et combien de temps consacre-t-on spécialement aux études 
théoriques .' » En Allemagne la durée des études à l'Ecole techni- 
ciue supérieure est en général de quatre ans, dont deux pour les 
études théoric|ues. C'est la stricte volonté des ingénieurs pratiques 
que le temps de quatre ans ne soit pas dépassé pour les études 
régulières. 

L'enseignement secondaire doit se borner à des questions spé- 



/•; c () I. E .s- DiN c. !■: N 1 1: u it s w j'j 

ciales, à des exemples île caleiil dillereiitiel el aux elénieiils de la 
géoniélrie analyti(|iie (eoustruelioiis et ef[iiali()iis de eouihes, sfc- 
tions eoniciues . 

I. a vue générale sur 1 esprit du calcul iudnih-siinal cl sur les 
applications géométriques doit être réservée à lUiiiversilé, où les 
étudiants ont une maturité suilisante. 

France. — M. d'()cA(;M; : lui raison du caractère très parti- 
culier, souligné dans le rapport de M. Stackel, de l'Ecole Poly- 
techni<|ue de l-*aris, il y a lieu de signaler le point que voici : l'Ecole 
Polytechnique ne doit pas être envisagée indépendamment des 
écoles d'applications (jui y recrutent leurs élèves (Mines, Ponts et 
Chaussées, Génie maritime, Télégraphes, etc.). Leur ensemble 
constitue, de fait, ce qui, dans le rapport de M. Stackel, est dé- 
signé sous le nom d'Université technique. Des circonstances his- 
toriques, des nécessités administratives paiticulières à la France, 
ont conduit à faire des diverses parties de ce tout des établisse- 
ments distincts, en réalité, il existe, entre l'Ecole Polytechnique 
(division théorique commune) et les écoles d'application (divisions 
techniques diverses) une étroite corrélation que sanctionne la pré- 
sence, dans le conseil de perfectionnement de l'Ecole Polytech- 
nique, de représentants qualifiés de ces diverses branches tech- 
niques. 

Il ne faudrait d'ailleurs pas croire que l'Ecole Polytechnique se 
borne à fournir des fonctionnaires à l'Etat. Un bon tiers, au moins, 
de ces élèves, soit après un cei'tain nombre d'années passées au 
service de l'Etat, soit immédiatement après avoir satisfait à leurs 
obligations militaires, se dirigent vers des cai'rières libérales 
d'ingénieurs, cette circonstance est de nature à rendre plus exacte 
l'analogie indiquée de l'Ecole Polytechnique et de ses Ecoles 
d'application avec une Université technique. 

Iles Britanniques. — M. A. R. Forsyth, Professeur a l'Im- 
périal Collège of Science and Technology-, à Londres : In offering 
sonie observations supplementary to the interesting report to 
which we hâve listened with mueh intellectual profit, I niust 
appeal to the Congress for their indulgence when I speak in my 
own language. My remarks will be concerned with the académie 
training of engineers in so far as they are trained in mathematics 
and cognate subjects (such as graphies and practical geometry) in 
the varions institutions of the United Kingdom ; and 1 do so the 
more readily because the report deals very slightly with the mat- 
ter, so far as thèse institutions are concerned. 

Without attempting to enumerate ail of them, 1 would refer tirst 
to some of the Universities. There are spécial facullies or schools 
of Flngineering in Cambridge, Oxford. Manchester, Liverpool, 
Leeds and Sheflield ; also at Glasgow, Edinburgh; andat Dublin. 



330 ■ Dl .s ( U S S I O N 

The courses are clesig-ned, in varyinoways, for varions classes of 
stndents ; but, in ail tlie courses, mathematics play an inipoi tant 
part. Ai>aiii, the anioiint of liiiK» dovoted to matheniatics is not the 
sanie throni;hont; nor is the distribution of the allowed lime the 
same. But, in ail of theni, niathetnalics is an essential part of the 
Iraining, which aims at giving a theoietical training, and some 
acquaintance with matters of practice, rathei- than al producing 
young engineers. 

But in addition lo thèse l'niversity course, there are Collèges 
and schools of a technical chaiacter. Of one of thèse, the Impérial 
Collège of Science and Technology in London, I vvish to speak in 
particidar, as being concernée! with the teachingand the organisa- 
tion of mathematics in the widest sensé of the word in that Collège. 
There are several constituent bodies in the Collège as will be seen 
from the Calendar, a copy of which I bave the honour to offer to 
the Président for the use of the Commission. And we bave many 
classes of students (1 ani not thinking of branches of science in 
gênerai). There are groups of students for Mining Engineei'ing, 
for Mechanical Engineering, for Civil Engineering, for Electrical 
Engineering, for the engineering necessary in connection with the 
technology of the Oil industries. In ail of the courses, though not 
to the same extent, mathematics is a necessary part of the trai- 
ning. For some. the knowled^ e only proceeds as far as a reason- 
able working knowledge of the dilferentiai and intégral calculus, 
so far as concerns pure mathematics ; for others, a sound working 
knowledge of the useful processes of the ditïerential équations, 
which occur in mechanics, is required, together with other sub- 
ject of the same range. We hâve one class of students, specially 
interested in mathematics and not solely in engineering; they 
consist of young men, who hâve had some scientifîc training, then 
hâve passed a few years in practical works, and then come to us 
for two or three years under spécial encouragement in order to 
pursue their studies in applied mathematics, in some work con- 
nected with the théories in technical mechanics, and not a few of 
them in selected branches of pure mathematics. In regard to 
such students, the avowed signilîcance of mathematics in the 
whole course of their training is obvious. 

As regards the ideals prévalent in British institutions which train 
engineers, there bas been divergence in the past as regards the 
amount of mathematics which should be included in the training 
of engineers. The mathematicians demanded more than theevent 
ultimately allowed; the engineers refiised to give as much as 
présent tendencies now concède and even compel. 1 do not wish 
to dwell upon this divergence which bas laigely disappeared 
under the pressure of expérience ; I would rather refer to the 
décision of the Institution of Civil Engineers in England, whose 



/•; roi. i: s /> / y c, /■■ .v 1 1: r it > x', \ 

décision r(Hiuiics llial, in oïdci to (jualily lor Meiubership, il \\ ill 
be necessary to underj^oa cmnl)! nation of practical work and theo- 
iftical t lainiiiir. in ihe laltcr of which there occurs a snfTicienl 
aniount ol malhcinatics in those blanches bearing npf>n practical 
issnes. In rc<j;aid to tlic whole ()i"this part of" tlio snbjcct, I wonid 
rcicr to iho cxfreincly intereslin^ paper read by the late Sir 
^\ . il. \\ liilc at the international congress of niathematicians 
ht'kl in Clandiritliie in 11)12; tho paper is printed in the Procee- 
dings of that congress. 

In so far as niy own observation aiul kno^vledge e\tend, 1 ain of 
the opinion that the oscillaling divergence, between the opinions 
of niathematicians and engineers as regards the aniount ofniathe- 
niatics to be included in the best training of engineers, is disap- 
peaiing to some considérable extéiit. The niathematicians can 
|)iusue their researches and can obtain their resnlts, and tinie 
will lest and sift tlie value of their resnlts; but engineers cannot, 
generally, be expected to dévote suprême attention to resnlts that 
seeni removed froni the range of their practical ainis. On the other 
haiid engineers, in their practical ainis, seek for immédiate resnlts 
to nieet the uigent needs of mankind; and their results. also, are 
tested and sifted by tinie, more swiftly even that those of the 
niathematicians. They are faced by new demands which arise in 
extended sohitions ofolder questions; an instance is to be found 
in the ever-changing problems of naval architecture. There, engi- 
neers find new conditions requiring the help of mathematics ; the 
niathematicians need ail their knowledge even to attempt the solu- 
tion of the problems propounded. But, as regards the ordinary trai- 
ning of students in engineering, thèse considérations do not arise 
directly, they only shew the necessity for the assistance of mathe- 
matics in even the most advanced stages of engineering wliile, 
«f course, the mathematical results niust be controlled in their 
application by experiment and expérience. The foundations. at 
least sutUciently broad for immédiate needs, niust be laid in the 
earliest stages of training. 

Just one remark in conclusion. For the most part, the mathe- 
matical teaching of engineering students in the best courses in 
England is given by niathematicians ; but it must not be supposed 
as is almost implied by the report that the character of that 
teaching has been niuch affected by Frofessor Ferry, stiniulating 
as was his teaching for niany sections of students. This teaching 
was directed to a spécial niethod of teaching mechanics, a method 
Nvhich often substituted graphical and aritlimetical processes for 
processes of a more directly mathematical character. The changes 
in English mathematical teaching are wide spread, in the Univer- 
sities more particularly ; and an inspection, even ol only the text- 
books that hâve been produced and are being produced, will shew 



332 • DISCUSSION 

the profound transformation that lias taken place in the spirit of 
matheinatical teaching in the principal centres of England. 

Ilalio. — M. Padoa ajoute qu'à Gènes il y a aussi une Ecole 
navale supérieure, qui est une Université technique autonome 
pour la création des ingénieurs constructeurs navals. 

Les deux premières des cinq années du cours sont consacrées 
aux Mathématiques, dont renseignement est confié à des ma- 
thématiciens. 

Roumanie» — M. .1. Rallet, professeur à l'Université de 
Jassy : En Houmanie il existe une école d'ingénieurs, l'Ecole des 
Ponts, à Bucarest; elle est organisée un peu sur le type de l'Ecole 
Centrale des Arts et Manufactures de Paris avec cette différence 
que le concours d'entrée se passe sur les matières du lycée. A la 
suite de ce concours, les élèves sont admis dans une année pré- 
paratoire qui correspond aux mathématiques spéciales de France, 
puis ils commencent les études d'ingénieur comprenant une année 
théorique et deux années d'études techniques proprement dites. 
Pour l'année préparatoire et l'année théorique ce sont des mathé- 
maticiens, généralement professeurs à l'Univeisité, qui font les 
cours. 

Nous avons en outre encore une autre école d'ingénieurs, l'Ecole 
d'application d'Artillerie et de Génie dont les élèves sont recrutés 
parmi les élèves du Lycée militaire de Jassy. 

En plus, on tend à créer des instituts techniques rattachés aux 
Universités, comme par exemple, l'institut électrotechnique de la 
Falculté des Sciences de Jassy et d'Agronomie de la même faculté. 

Quoique encore à l'état embryonnaire, ces deux instituts com- 
mencent néanmoins à donner des résultats assez satisfaisants. 

Serljîe. — M. B. Gavrilovitch, professeur à l'Université de 
Belgiade : Après l'excellent exposé de M. Stàckel, je n'ai pour le 
moment rien à ajouter au rapport que j'ai eu l'honneur de lui 
transmettre sur l'enseignement mathématique, de l'organisation 
et des cours professés à la Faculté technique de l'Université de 
Belgrade. Pourtant, permettez-moi de vous dire que la question 
de l'introduction du Calcul différentiel et intégral dans l'ensei- 
gnement secondaire a été accueilli chez nous, en Serbie, avec un 
enthousiasme bien déclaré. Chez les nations qui ont à peine dans 
leur développement, passé les premiers seuils de la civilisation, 
il n'y a pas de tradition et une idée en général et surtout une idée 
nouvelle, devient très facilement l'idéal même d'une génération. 
Par conséquent, dans ces circonstances la réalisation de cet idéal 
n'est pas empêchée ou retardée par des questions de tradition. Au 
point de vue théorique nous sommes d'accord, en Serbie, que 
l'introduction du Calcul différentiel et intégral dans l'enseigne- 
ment secondaire est une question d'une importance très profonde. 



i: COI. ES 1)1 y <n: y 1 1: r n s ;;;;:; 

Mais y a une question piali(|iie que jOscrais peul-ètic jioscr ici. 
Chez nous, renseignement secondaire est organisé à peu près 
comme en Allemagne ou on Autriche. Nous n'avons pas de classes 
de Mathématiques spéciales; nous avons des gymnases propre- 
ment dits, des gymnases réaux et des écoles réaies Obei- 
Realschule,. Je voudrais bien savoir si le Calcul dillerentiel et 
intégral devrait être introduit dans tous les types des écoles men- 
tionnées ou peut-être seulement dans quelques-uns de ces types, 
disons, dans les gymnases réaux et les écoles réaies. 

Cette question a été posée hier sous une autre forme par 
M. Possé; il serait désirable de la voir discutée par le congrès'. 



2. — Discussion générale. 

Au début de la séance du vendredi après-midi. M. Ff.hr, secré- 
taire-général, rappelle qu'un Congrès international de l'enseigne- 
ment technique a eu lieu à Bruxelles en septembre 1910, et que 
plusieurs membres de la Commission y ont pris part. Il signale le 
rapport rédigé à cette occasion par M. le Prof. \V. von Dvck 
sur « l'enseignement des sciences mathématiques, naturelles et 
techniques dans les Ecoles supérieures » (67 p. in-S*^'). 

Afin de faciliter la discussion, M. le prof. P. Staeckel a résumé 
comme suit son rapport sur la préparation mathématique des 
ingénieurs : 

Résume du Rapport Général de M. Staeckel, 
Sur la préparation mathématique des ingénieurs. 



1. — Généralités. — ai Relativement à la préparation des ingé- 
nieurs il y a deux systèmes. La plupart des pays ont adopté le 
système des Universités techniques ; dans les autres pays ce sont 
les Universités proprement dites qui se chargent de l'enseignement 
théorique des ingénieurs; l'enseignement technique se fait soit 
dans les sections techniques des Universités, soit dans les Ecoles 
d'application. Dans quelques pays il y a mélange des deux sys- 
tèmes. 

b) On exige, pour l'entrée dans l'enseignement technique supé- 
rieur, la préparation par une école secondaire ou une préparation 



' Faute de temps, cette question n'a pas pu être reprise. Mais on peut al'firmer que tous 
ceux qui sont favorables au mouvement de réforme sont généralement d'accord pour demander, 
qu'en raison de leur importance fondamentale. les premières notions de fonctions, de dérivées 
et de fonctions primitives soient enseignées dans toutes les sections de l'enseignement secon- 
daire supérieur. (Voir le lapport de .M. Beke.) H. Feiib. 



334 DISCUSS/O.V 

équi\ alenle. Il y a des ingénieurs qui veulent renvoyer! enseigne- 
ment des mathématiques et des sciences physiques entièrement 
aux écoles secondaires, tandis que les mathématiciens cl la plu- 
pai't des ingénieurs sont convaincus que Ic'tude systémati(jue du 
calcul infinitésimal doit être réservée à l'Université. 

c) Kn France on donne un enseignement étendu des mathé- 
matiques supérieures dans les classes de mathématiques spé- 
ciales. 

II. — Nature de renseignement. — a) f>es professeuis de mathé- 
matiques et la plupart des ingénieurs sont d'avis que l'enseigne- 
ment des mathématiques doit avoir pour but un développement 
général méthodique. 

b) On ne saurait recommander d'établir une séparation de cet 
enseig;nement suivant les difFérentes branches des ingénieurs. 

c) On doit tenir compte, dans l'enseignement mathématique 
des ingénieurs, de la carrière cà laquelle les jeunes gens se des- 
tinent, et lui donner dès le début une teinte technique. Mais ce 
n'est pas la tâche des mathématiciens d'enseigner prématurément 
la science de lingénieur. 

III. — Scolarité. — a) 11 faut convenir que le puissant dévelop- 
pement de la technique a rendu nécessaire une réduction des 
heures consacrées aux études mathématiques, il y a une certaine 
compensation dans la meilleure préparation des étudiants qui 
permet d'économiser du temps en élevant dès le début le niveau 
de l'enseignement. 

b) D'un autre côté, les sciences de l'ingénieur réclament de plus 
en plus laide des méthodes modernes des mathématiques supé- 
rieures. 

c) On peut espérer que les professeuis de mathématiques réus- 
siront à adapter l'enseignement aux exigences de l'époque si on 
leur laisse une certaine liberté. 

d) Il faut attacher une grande importance aux exercices mathé- 
ïhatiques, surtout aux exercices individuels. 

IV. — Matière et méthode. — nj L'étendue de l'enseignement 
mathématique est bornée supérieurement par le but de fournir, 
aux futurs ingénieurs les connaissances de mathématiques supé- 
rieures nécessaires à une étude suffisante de la mécanique et des 
parties fondamentales de la physique. 

b) La connaissance du calcul différentiel et du calcul intégral 
élémentaire ne suffit plus pour les ingénieurs. 11 leur faut en outre 
les méthodes graphiques et numériques d'intégration des équa- 
tions diiï'érentielles qui se sont développées dans le dernier tiers 
du XIX*" siècle. 

tv Question de rigueur. Il ne faut pas chercher à approfondir, 
dès le début de l'analyse supérieure, les (juestions de principe 
dont les jeunes étudiants ne peuvent comprendre la portée. 11 faut 



i: COI. K s I) I y c. i: .\ / /■; r i< s x',:, 

bien ('fahlir cxacteineiil les liypol licses sous les(|iiellcs les (liWliic- 
Jioiis s Opèrent, mais il ne faut pas enseijuiier l'axiomatique. 

d) Lunirieation. La réunion des cours de Lféoniéliie analyticpie 
et d'analyse supéiieure en un seul rouis de inatlK'mati(pies géné- 
rales a eu tie bons lésuitats. 

Nous- donnerons ci-apres un compte rendu ti usai fidèle (jiie pos- 
sil>le, mais forcément l)ien ècourté, de l'intèressunte discussion sur 
les questions si complexes que présente l'ori((inisiition des études 
mathématiques dans les écoles d'ingénieurs. 

I, a. Généralités. — M. G. Fano. professem- à 1 L'iiivcrsilé et à I licoic poly- 
technique de Tui-iii. — En Italie, depuis 18(>0 jusqu'à il y a 6 ans envi- 
ron, nous avons toujours suivi le second système (Universités proprement 
dites, suivies d'écoles techniques), sauf une seule exception : 1 Ecole poly- 
technique de Milan, créée par Brioschi et qui était une véritable Université 
techiu([ue. Les résultats ont été bons, sans doute. L Ecole des Ingénieurs 
de Turin, réorganisée et rendue autonome par la loi de 1906, qui eut seule- 
ment en 1908 pleine exécution, a été constituée en Université technique 
complète à la suite de circonstances particulières, même locales et linan- 
cières, qui à ce moment s'imposèrent. La plus grande parlie de nos mathé- 
maticiens n'étaient pas favorables au changement ; puisque nous n avons pu 
l'éviter, nous l'avons accepté de bon gré, et il s'est accompli, en effet, d'une 
façon très satisfaisante, d autant plus que les professeurs de mathématiques 
de la nouvelle Université technique étaient presque tous les mêmes qu'au- 
paravant à l'Université. A Padoue aussi ou a donné à l'Ecole des Ingénieurs 
un cours complet, en lui conservant les cours de mathématiques en commun 
avec la Faculté des Sciences. — Je crois à présent que tous les deux sys- 
tèmes peuvent donner de bous résultats, pourvu que, dans les Universités 
techniques, les cours de mathématiques soient confiés à des mathémati- 
ciens. Mais, s'il m'est permis d exprimer mon opinion personnelle, j'aime 
toujours beaucoup mieux notre ancien sjstème italien, qui est toujours en 
vigueur chez nous, seuf à Milan. Turin et Padoue (Ecoles qui sont même 
obligées de recevoir dans leur troisième année les étudiants venant des 
Facultés de Sciences). Je crois aussi très avantageux pour les étudiants du 
cours de mathématiques des Facultés de Sciences, de recevoir quelques 
cours en commun avec les ingénieurs ; ils auront ainsi l'occasion de rester 
en contact avec le monde réel et les applications. Dans la suite de leurs 
éludes, ils ont encore bien du temps et de nombreux cours pour se fami- 
liariser avec la science. 

^L d'Ocagxe, professeur à l'Ecole polytechnique et à l'Ecole des Ponts 
et Chaussées, Paris, dit : Il est bien entendu qu'il n'y a pas pour les ingé- 
nieurs des mathématiques distinctes de celles qu'étudient les mathémati- 
ciens ; mais, si vaste est le domaine de ces sciences que. dans leur ensei- 
gnement on peut tout de même faire un peu varier les points de vue, suivant 
le but poursuivi, en insistant, par exemple, davantage sur telle ou telle 
partie des théories générales. 

A lEcole Polytechnique, notamment. 1 enseignement des mathématiques 
pures (analyse et géométrie), celui de lanalyse surtout, a très sensiblement 
évolué depuis quelques années de façon à donner plus d extension aux théo- 
ries qui intéressent plus particulièrement les applications à la mécanique 



33(i ■ DISC US S /OX 

et à la physique, sans toutefois rien sacrifier, comme M. Stackel la très 
justement fait remarquer dans son rapport, des principes qui sont unani- 
mement considérés comme fondamentaux. 

Cette préoccupation ne doit pas prédominer dans les Universités propre- 
ment dites oii elle risqnei-ait d'entraver le développement de la science 
purement désintéressée. 

Il est clair qu'on ne doit pas chercher à creuser un fossé entre les ensei- 
gnements des deux ordres sudisaminent mis en contact par les rapports 
scientifiques qu ont nécessairement entre eux leurs maîtres respectifs ; mais 
il semble plus avantageux de maintenir à chacun son autonomie. 

.M. G. Fano (Turin). — M. d'Ocagne craint qu'en faisant suivre aux ingé- 
nieurs les cours de mathématiques dans les Facultés des Sciences on ne 
puisse suffisamment tenir compte des questions, qui pour eux. ont précisé- 
ment le plus grand intérêt. Or, chez nous on a constaté , et à Rome, à 
Naples, il arrive encore, que, parmi nos étudiants, des cours de mathéma- 
tiques des deux premières années, les neuf dixièmes et même plus sont des 
ingénieurs : et beaucoup de professeurs font justement des cours arrangés 
en vue de la plus grande utilité de ces derniers. Moi-même, je faisais ainsi 
jusqu en 1908, c'est-à-dire avant la constitution de notre Université technique. 

J'admets toutefois que mes opinions ne peuvent avoir une valeur absolue ; 
il faut faire leur part aux conditions locales, même aux professeurs dont on 
dispose. 

Je ne crois absolument pas que l'enseignement donné en commun à des 
groupes différents d élèves, pendant un ou deux ans au plus, puisse entraver 
le développement de la science. C'est dans les cours supérieurs seulement 
que nos étudiants de mathématiques sont dirigés vers des recherches scien- 
tifiques ; et il serait même très bien que pour quelques-uns d'entre eux ces 
recherches puissent avoir pour objet des problèmes vraiment importants 
pour les applications. 

M. Lechatelier, membre de l'Institut, ne croit pas que les méthodes 
d'enseignement des Universités scientifiques doivent nécessairement êlre 
différentes de celles des Universités techniques. Le motif principal pour 
reporter aux Universités techniques l'enseignement des sciences pures est 
surtout qu'elles ont une organisation, une orientation vers un but précis, 
qui leur permet d'obtenir une formation scientifique des jeunes gens, plus 
complète dans un temps donné que l'enseignement dispersé, sans but homo- 
gène des universités purement scientifiques. Mais l'on peut concevoii- l'orga- 
nisation d'Universités scientifiques mieux organisées, et alors la préférence 
à donner à lun ou l'autre système n'est plus évidente. C'est une question 
d'espèce. 

M. E. CzuBER, professeur à l'Ecole technique supérieure de Vienne (Au- 
triche), estime que seu'e l'Université technique est en mesure de tenir compte 
d'une manière satisfaisante des besoins de la technique. 

« Bei der Grïmdung des ersten polytechnischen Instituts (1806, Prag) in 
Oesterreich hat man das 2. System gewahlt und die mathem. und physi- 
kalischen Fâcher an die Universitiit verlegt ; man ist aber bald von dieser 
Fusion abgegangen und hat das polylechnische Institut zu einer selbsliin- 
digen Schule ausgestaltet. Als man 1815 in Wien an die Gnindnng des 
polytechnischen Instituts schrilt, wurde der Versuch einer Verbindung mit 
der Universitiit nicht mehr wiederholt. Im Laufe der spateren Zeit ist wie- 
derholt der Gedanke einer Fusion neu aufgelaucht, aus Griinden der Oeko- 



ECOLES I) I N(. EN I E L' ns WW', 

iKjniic, er isl ahcr imiiiei- mit }reiiaii ilfti.^cllx'ii (jnindcn hckitinpd woniiii, 
welclie llerr ilOcagne bi^lrefls des Stiidiiiiiis dci- mal lniii.-iiatijrwissen- 
scliallliclien Fiiclier an don L'iiiversiliUeii eiiierseits mid (ur die Bediirfiiisse 
der Ingeiiicni'c aiidererseils angeliilirl liât. In neiieslei" Zeit ersl siiid wieder 
Beslrebuiigeii aulf^olrelen, an einzelnc InivcMsitiiten lc<'hnisrlie Abteilnngcii 
anzngliederu (z. B in Iiiusbruck), abcr iiiclil ans innern Grùnden, soiideiii 
uin auf dièse \\'eise einzeluen Landern eincn neuen Bildungsweg zii endriieii 
auf eino leichlere Weise, als dies diircli die koslspielige Scbaffuiig einer 
seibslandigen techiiisclien Hoclisclinle moglich waie. Doch bandell es sich 
hier niir urn speziolle Zwoige der 'J'ochuik, die man im Anscliluss an die 
Universilalen ziir Pflege briiigen will. Die L eberzeiigiing in Oesterieich 
geht daliin, dass nur selbsliindige technisclie Hoclischulen in der I-age sind, 
fiir die Aiifgaben der Toclinik enlsprechend vor/.uboreilen luid die lechnischen 
\N'issenschaften zu kiiltivieren. » 

M. PossÉ, professeur émérite de l'Université de St-Pétersbourg. En 
Russie, l'Institut des ingénieurs de voies de communication a été organisé 
d'après le type de l'Ecole des Ponts et Chaussées à Paris. En 1881, on a élé 
forcé, par des raisons qu'il serait trop long d'énumérer, mais d'un caractère 
plutôt économique que pédagogique, de clore les deux premiers cours, où 
les mathématiques étaient enseignées, et de n'admettre que les jeunes gens 
ayant un diplôme univei-sitaire d'une Faculté physico-mathématique. Après 
une expérience de cinq ans on est revenu à l'ancien système et a restitué 
l'enseignement mathématique à l'Institut même. On s'est persuadé que la 
préparation mathématique universitaire était : 1" trop longue; 2" ne corres- 
pondait pas aux exigences d une école technique. 

iM. VoGT, directeur de l'Institut Electrotechnique et de mécanique appli- 
tjuée de Nancy, estime qu il y a place pour les deux systèmes : Universités 
techniques et Universités p ro prem en t dite s sui vi es d enseignements techniques. 
En France, l'Ecole Polytechnique et les Ecoles d'application ont un recrute- 
ment par concours ; il peut y avoir des étudiants renonçant au concours ou 
ne pouvant le passer pour diverses raisons, et désireux de recevoir un ensei- 
gnement technique ; certaines Universités leur offrent des ressources nou- 
velles. Depuis la réorganisation de l'Enseignement supérieur, les Univer- 
sités ont créé des laboratoires où les applications techniques de la science 
pure sont développées et étudiées à côté des applications théoriques ; de 
très bons élèves entrent dans les Universités pour acquérir des certificats 
de Licence ou se préparer à la carrière de l'enseignement ; s'ils changent 
d'avis et se tournent du côté des applications techniques, ils peuvent main- 
tenant trouver des enseignements faisant suite aux éludes théoriques qu ils 
ont déjà faites. 

Dans certaines Universités, en particulier dans celle de Nancy, il y a un 
enseignement général durant deux années, et conservant son caractère 
d'enseignement supérieur, couronné par des certihcats de Licence : à la 
suite de ces deux années vient un enseignement plutôt technique, qui repose 
dès lors sur des bases solides. Il y a tout avantage à procéder de celte nja- 
nière, car d'une part on offre des carrières aux étudiants des Universités, 
d'autre part ou oriente les études vers les problèmes intéressants de la 
technique. A côté du professeur de Mécanique ralionnelle se trouve un 
professeur de Mécanique technique, et à côté du professeur de Physique 
générale un autre professeur de Physique technique ; tous ces professeurs 
se prêtent appui, et l'enseignement ne peut qu y gagner. 



338 • D/SCL'SS/ON 

L'exemple des Universités qui ont créé des enseignements teclinii]ues 
montre que 1 on peut concilier tous les points de vue. 

M. KcENir.s, professeur à la Faculté des Sciences de Paris, fait observer 
qu un des rôles des laboratoires d'Université peut être d'entreprendre la 
recherche des problèmes que soulève la technique ; ils doivent pouvoir 
admettre des travailleurs, déjà familiarisés avec la technique, et qui, pour 
asseoir plus solidement leurs rechoi'ches, peuvent avoir besoin de certains 
enseiguements de la Faculté. 

M. Kœnigs saisit cette occasion pour inviter l.es membres du Congrès à 
venir visiter les appareils de mécanique exposés pai-M. lingénieur Léonaido 
Torrès dans son Laboratoire, 96, boulevard Raspail. 

M. Makbec, sous-directeur de l'Ecole du Génie maritime, Paris. La place 
occupée dans l'enseignement mathématique par les diverses questions n est 
pas proportionnelle à leur rôle dans les applications. Le cas banal, facile, 
est traité en peu de mots, tous les développements sont nécessairement 
consacrés aux cas difliciles et exceptionnels qui exigent une exposition plus 
minutieuse et plus longue. L'exception prend ainsi aux yeux de l'élève une 
importance excessive. Les élèves sont au contraire, en général, peu 
entraînés aux applications effectives dans des cas usuels. En général, ils ont 
plutôt retenu la « démonstration » que refléchi sur les circonstances où le 
résultat peut être utilisé et sur la façon réelle de l'utiliser. 

.M. DE Demeczky, professeur à l'Université de Budapest, constate qu'il y 
a non seulement une grande variété d'Universités techniques, — il y en a 
même avec des Facultés de droit — mais on trouve aussi des Universités 
proprement dites avec des facultés techniques. Nous sommes trop conserva- 
teurs dans l'organisation de l'enseignement technique. A l'avenir on n'aura 
que des Universités avec des Facultés techniques. 

l, h. — M. Grossmann, professeur à 1 Ecole polytechnique de Zurich. — 
M. Staeckel a signalé dans sou rapport, le passage du rapport suisse, 
d'après lequel il vaut mieux ne pas introduire l'étude systématique du calcul 
différentiel et intégral dans les écoles secondaires. Cette opinion du rappor- 
teur et de ses collègues de l'Ecole polytechnique se base sur des expériences 
faites. Comme l'a dit M. Beke, hier, il y a en Suisse des Ecoles dont le pro- 
gramme contient les éléments du calcul différentiel et intégral depuis une 
cinquantaine d'années. Nous avons fait l'expérience, que les élèves venant 
de ces écoles n'étaient eu général pas mieux préparés que leurs camarades. 
Beaucoup d'entre eux avaient de sérieuses lacunes dans leurs connaissances 
élémentaires ; ils avaient oublié les mathématiques élémentaires sans avoir 
compris les mathématiques supérieures. 

M. J. Franel, professeur à l'Ecole polytechnique de Zurich. — Nous 
avons fait à l'Ecole polytechnique de Zurich, les constatations suivantes : 
les élèves auxquels on enseigne les éléments du calcul infinitésimal se 
figurent, à tort, généralement, posséder la matière. Aussi considèrent-ils 
nos premières leçons comme une sorte de répétition superflue, ils n'y 
prêtent qu'une attention distraite, le sujet est comme défloré ; il n'a plus^ 
pour eux l'attrait de la nouveauté. Or ces premiers éléments sont rarement 
exposés avec la rigueur et la précision voulues. Vouloir bâtir avec des maté- 
riaux aussi chancelants serait faire œuvre chimérique. Nous sommes donc 
obligés de revenir sur ces premiers principes, d insister sur ces notions 
fondamentales. Nous ne pensons pas qu'on puisse altendi'e un profit véri- 
table en effleurant un sujet qu on n a pas le temps d'approfondir. L'intro- 



/•; c () I. E s I) I .\ (. i: A / /: u ii s :!:^9 

(liiclion (lu calcul des diM-ivi'es dans rfMiscigiiciiiciil sccuiidaii <■ pi'iil se jiisli- 
(ici' |)af d excellents aririiiiii-uts. Nous do mandons s( nlcnicnl (pion le lasse 
avec prudence et modération. 

M. Keiik, prolesseiir à l'Université de (ienève, lient à compléter ce que 
viennent de dire MM. Grossmann et l'i-anei. 11 est indispensable que l'eiisei- 
i^nement secondaire supérieur fournisse, dans les différentes sections, une 
initiation aux notions de fonction et de dérivées. Ces notions doivent être 
étudiées dune manière plus approfondie dans les sections qui conduisent à 
renseiLfnenient technique supérieur. 

Quant à l'étendue à donner, c'est nue ([uestion de mesure. Il est fl'accord 
pour (|ue Icnseif^nement secondaire n'empiète pas sur des cours qui apftar- 
tiennent réellement à l'enseignement supéi'ieur. Peut-èti'e ferons-nous bien 
d'éviter dans les programmes de l'enseignement secondaire les termes de 
(( calcul difl'érentiel et intégral. » Il fait remarquer, à ce point de vue, que 
les programmes français se bornent à parler des dérivées et des fonctions 
primitives. En F'rance, le terme de « calcul différentiel et intégral » n'ajjpa- 
raît que dans les classes dites de mathématiques spéciales, dont l'enseigne- 
ment correspondant se donne ailleurs dans les Facultés. 

M. de Demeczky (Budapest). — Diins l'enseignement secondaire supérieur, 
il serait désirable qu'à la fin des éludes secondaires des classes spéciales 
soient établies en vue des principales sciences et par conséquent aussi pour 
les mathématiques. 

M. VON Dyck, professeur à 1 Ecole technique supérieure de .Munich. — 
L'Université doit donner des vues générales dans les différentes branches ; 
il faut réserver ce caractère à son enseignement. Les cours de sciences 
maihémaliques et physiques de I école moyenne ne peuvent remplacer un 
cours universitaire. 

1, c. — -M. Tkipier, sous-directeur de l'Ecole Centrale. Paris. — A 
1 Ecole Centrale, le cours sur les éléments de l'Analyse mathématique 
principalement professé par M. Appell, depuis vingt ans, ne donne plus 
d'aussi bons résultats depuis que les intégrations simples et la résolution 
des équations dilférentielles élémentaires ont été introduites dans le pro- 
gramme du concours d'admission à l'Ecole, qui puise dans les matières de 
la classe de Mathématiques spéciales. Nous pensons donc, et pour les rai- 
sons qu'a indiquées M. Franel, qu'il est préférable de ne pas trop rejeter 
l'enseignement du Calcul diff. et intégral avant l'entrée à 1 Université technique. 

M. Hadamakd, membre de 1 Institut, estime que pour le professeur de 
l'enseignement supérieur, il esl insupportable de se trouver en face d'un 
programme partiellement traité. Il y a intérêt à ce que, dans les Ecoles se- 
condaires qui préparent à cet enseignement, les questions soient traitées ou 
ne le soient pas au lieu de l'être à demi. 

M. Tripier a pu constater que les élèves de l'Ecole Centrale ne sont |)as 
suffisamment préparés pour l'application des mathématiques par les coins 
de mathématiques spéciales. 

En réponse à M. le Professeur Hadamard, je préciserai en disant que les 
élèves qui ont subi avec succès les épreuves du concours d'admission à 
1 Ecole, savent faire des calculs, mais eu ne faisant trop souvent ainsi que 
du mécanisme, en restant pourtant insuffisants au point de vue de leur 
faculté de faire vraiment des applications, parce qu'ils sont arrêtés lorsque 
le problème posé n a pas les aspects auxquels ils ont été accoutumés, ce qui 
montre qu'ils ne possèdent pas la signification pour ainsi dire concrète des 



340 • D/SCUSSION 

calculs qu ils soiil capables de réussii'. Ou es-l ainsi conduit à penser que les 
futurs ingénieurs seront mieux préparés au cours supérieurs des Universités 
techniques par l'Université technique elle-nième, où le souci de l'appiica- 
lion et du sens concret est constant. 

II. — Nature de l'enseignement. — Le résumé de M. Staeckel relatif à la 
nature de l'enseignement ne donne guère lieu à de longues remarques. Tout 
le monde semble d'accord pour reconnaître que l'enseignement mathéma- 
tique dans les Ecoles d'ingénieurs doit avoir pour but un développement 
général méthodique. 

M. Kœ.nigs fait remarquer qu il y a un danger à donner une trop grande 
place au.K développements analytiques au détriment de la géométrie propre- 
ment dite. La géométrie a un caractère éducatif qu'elle tient de sa nature et 
qu il faut lui conserver. 

Pour ce qui est des applications, M. Haua.mard estime que le professeur 
de mathématiques a tout à gagner en étant à 1 affût des applications au 
point de vue mathématique. Il peut en tirer parti pour émailier son ensei- 
gnement. 

A ce propos il rappelle le passage du rapport de M. Beke dans lequel 
l'auteur parle du rôle de l'intuition jointe à la rigueur. 

III, a, h, cl. — Scolarité. Les objets a et 6 du résumé de M. Staeckul 
ne donnent lieu à aucune remarque. — c) Pour adapter l'enseignement aux 
exigences modernes il faut laisser vme certaine liberté aux professeurs. En 
Russie, dit M. PossÉ, les nouveaux programmes laissent une grande liberté. 

Comme le fait remarquer M. d'OcACNE, il faut éviter d'enserrer le pro- 
gramme dans un cadre trop rigide ; il faut que le libellé soit assez élas- 
tique pour que des modifications soient possibles. 

M. Enriques, professeur à l'Université de Bologne, parle dans le même 
sens. Une certaine liberté doit être accordée aux professeurs. Celle-ci 
pourrait être limitée en prévoyant que les examens soient passés auprès 
d'un jury ne renfermant pas le professeur qui a donné l'enseignement. 

d) Exercices de Mathématiques. — M. Lefèvre, professeur à l'Ecole 
militaire de Belgique, désire compléter les renseignements donnés par 
M. Staeckel, relatifs aux exercices pi'atiques qui doivent contribuer au 
développement de l'enseignement mathématique. Depuis une quinzaine d'an- 
ces exercices jouent un rôle important dans le Cours d'Analyse ainsi que 
dans la plupart des autres cours de l'Ecole militaire de Belgique où ils sont 
organisés d'une façon complète et systématique. 

Ils sont donnés chaque semaine et ils exigent la connaissance des matières 
exposées dans les trois, quatre et parfois cinq dernières leçons. Les élèves 
sont livrés à eux-mêmes, en ce sens qu ils travaillent isolément sous la sur- 
veillance d'un répétiteur. A la fin de toute séance d'exercices pratiques, la 
solution de la question est affichée dans la Salle d'études ; les élèves peuvent 
donc ainsi apprécier eux-mêmes leurs erreurs, avant la correction. Après 
la remise du travail corrigé, un échange de vues s'établit entre le correcteur 
et les élèves ; ceux-ci acquièrent ainsi rapidement une grande confiance 
dans le personnel attaché à leur enseignement ; c'est avec confiance aussi 
qu'ils font usage des règles qui synthétisent les théories exposées: ils 
s'habituent enfin à travailler avec ordre et méthode. 

Une amélioration sera pi-ochainement introduite dans le régime, car ils 
pourront, comme le fait généralement lingénieur, s'entourer de renseigne- 
ments nécessaires à l'élaboration de tout travail. Ils auront à leur disposi- 



E r o I. E s h I ,v (; e .\ i e i ' /.' .s 3 \ 1 

tion un (onniilairc du Com-s d Ari;ilysc, forriiiilaiiX' <|iii leur pfi-iiiellta 
d éviler des erreurs r(5sultaul (!<• l'oiihli de rertaines Toi-uiules uièineti élé- 
menlaircs. 

Nous avons pu constater que les exercices indivuJuels donnent de très 
bons résultats ; mais il est utile d'ajouter ([ue les promotions de l'Kcole 
militaire sont relativement faibles {60 à 70 ('dcvesi ; il est don<' toujours 
facile de trouver un nombre suffisant de répétiteurs chargés de la correc- 
tion. 

M. vox DïCK. — A l'Université leclinique de Municii, les exercices figurent 
pour 2 heures par semaine pour 4 heures de cours. I^es étudiants sont 
appelés à ré.-ïOiulre les exei'cices par écrit. Ces travaux pratiques forment 
un complément indispensable du cours. 

IN'. — Matière et méthode. — a] Au sujet de l'étendue de l'enseignement 
des mathématiques pour les futurs ingénieurs. M. Haua.mard estime que 
rUniversité technique doit fournir une culture élevée. Le choix des matières 
est une affaire do tact et de mesure. M. Blhl (Toulouse) est du même 
avis. 

.M. Tripiek dit ([ue 1 enseignement doit être assez développé, non seule- 
ment afin d'élever les vues des futurs ingénieurs, mais aussi afin que l'ingé- 
nieur puisse conserver toujours assez de mathématiques pour suivre la 
marche de la science et résoudre les questions théoriques simples qui se 
poseront à lui, et ceci malgré la grande contraction qui se produira souvent 
dans ses connaissances mathématiques au cours d'une carrière où il aura 
très peu à les appliquer. 

IV. cj. — M. Padoa, professeur à l'Institut technique de Gênes, attire 
1 attention de ses collègues sur la confusion que l'on fait souvent entre la 
rigueur et la volonté d'analyser certaines questions. La rigueur n exclut 
aucun appel à l'intuition; elle veut seulement que ces appels ne soient pas 
faits subrepticement dans les définitions et dans les démonstrations, mais 
qu ils soient énoncés à pai't (concepts fondamentaux, poslulalsl. Sans rigueur 
il n y aurait ni mathématiques, ni honnêteté scientifique. 

Dans toute proposition mathématique il faut faire ressortir l'hypothèse et 
la thèse ; la démonstration est rigoureuse si elle prouve que Ihypothèse est 
suffisante. La recherche de ce qui arriverait en supprimant quelques-unes 
des conditions dont se compose l'iiypothèse donne naissance à des nouvelles 
questions qui peuvent intéresser le mathémalicien sans intéresser 1 ingénieur. 

.M. Hadamard a été conduit, par son expérience de renseignement à une 
idée qui peut paraître paradoxale : c'est qu'il faut développer 1 intuition dans 
l'usage de la rigueur. Il importe à 1 élève — l'expérience le montre — de 
savoir que, pratiquement, il y a des cas où la rigueur n'est qu'une formalité 
et d'autres où il est nécessaire d'j- apporter la plus grande attention. 

M. PossÉ parle dans le même sens. Sans ligueur il ny a pas de science; 
son emploi n'est pas aussi difficile qu on le croit parfois. 

M. Castel.nuovo remarque que lorsqu'on parle à des élèves dirigés vers 
les applications, il faut éviter de donner l'illusion que la rigueur théorique 
puisse suffire pour transporter les résultats dans la technique. Il faut, au 
contraire, toujours rappeler aux élèves qu'enti-e la théorie et la pratique il 
y a encore un abinie à franchir, et que les coefïicients de réduction dont les 
praticiens font usage, n'ont pas une moindre imporlance que les résultats 
tliéoriques sur lesquels On s'appuie. 

M. BiocHE, ajoute qu'il importe de faire observer qu une solution tliéo- 

L'EneeigaeniPQt matliHin., 16«Hnut-e; 1914. 22 



342. DISCUSSION 

rique d un problème uest pus nécessairemeul une solulioa réalisable, et 
(i'infliqiier comment on doit adapter la solution aux différents cas qui 
peuvent se présenter. Par exemple, lorsqu'il s agit de déterminer le 
rayon d'une sphère solide la méthode classique donnée dans les traités de 
géométrie n'est pas applicable pour une sphère lisse, comme celles qu'on à 
a considérer en optique ; on doit dans ce dernier cas employer le sphcro- 
mètre. Pour déterminer le rayon de la terre on ne peut employer le pro- 
cédé, élégant et ingénieux, fondé sur la dépression de l'horizon, pour un 
observateur placé à une certaine altitude, ce procédé manquant de préci- 
sion. 

Quoi qu'il en soit, on ne doit pas négliger, même pour de futurs praticiens, 
d'exposer les principes théoriques qui donnent les raisons fondamentales 
des règles de calcul. Ainsi la considération des courbes unicursales et celle 
de diverses autres théories géométriques permettent de reconnaître dans 
quels cas des problèmes de calcul intégral peuvent être résolus complète- 
raent, et donnent des procédés réguliers pour obtenir la solution. 

IV, d). — Quant à la réunion des cours de mathématiques destinés aux 
ingénieurs en un seul cours, M. PossÉ ne pense pas que ce soit bon. 

M. ExRiQUEs n'y serait pas opposé; peut-être que les expériences faites 
dans ce sens ne sont pas encore assez longues. La fusion pourrait se faire 
en tenant compte du développement historique de lanalyse. 

M. Staeckel fait remarquer que l'unification a été faite à Munich. Elle a 
le grand avantage de ne pas traiter certaines questions dans les deux cours 
de géométrie analytique et de calcul différentiel intégral. 

M. BuHL, professeur à lUniversité de Toulouse, pense que l'enseigne- 
ment des mathématiques générales doit faire appel à la fois à la Géométrie 
et à 1 Analyse. Il faut montrer les relations réciproques entre les différentes 
branches mathématiques. 

Dans les cours faits à de futurs techniciens, on ne peut avoir uniquement 
en vue les besoins, prêtés assez arbitrairement d'ailleurs, à ceux-ci. Les 
professeurs doivent voir les choses de manière élevée ; des applications 
diverses peuvent être réunies en examinant des sujets qui ne correspondent 
directement à aucune application. 

Si le professeur appartient à l'enseignement supérieur (mathématiques 
générales), il a pour premier devoir d'être un savant, un homme susceptible 
de recherche originale et alors il lui répugnera naturellement d avoir iini- 
quement. dans ses préoccupations, ce qui est nécessaire pour la technique 
industrielle. Les méthodes qui lui semblent bonnes et fécondes pour ses 
découvertes ne lui sembleront pas propres à être rayées de son enseigne- 
ment. 

Quant au choix des méthodes il ne doit pas être étroit, il ne faut pas 
sous pi-étexle d'homogénéité, d unicité, se tenir, par exemple, sui* le terrain 
de la géométrie quand les calculs peuvent intervenir utilement dans une 
démonstration, et réciproquement. 

Autres questions. — Sur la proposition de M. Castelnuovo, la Conférence 
consacre ensuite un court échange de vues sur les deux questions suivantes : 

1° De la place des mathématiques dans le plan d'études des Ecoles d'in- 
génieurs ; 

2° Ingénieurs techniciens et ingénieurs théoriciens. 

1" Pour ce qui concerne le premier point, M.' Castelnuovo demande s'il 
convient de séparer nettement, dans la préparation des ingénieurs, les 



K C O I. K S I) 1 1\ C. É N l EU 1{ S -6 '« '.i 

t^iules théoriques de leurs applications, coiniiie on tait maintenant dans la 
plupart des pays, ou bien s'il conviendrait d alterner dans chaque année les 
cours théoriques et les pratiques. Cette dernière solution a été scieniincMil 
proposée par M. Lori, professeur à l'Ecole Polytechnique de Padouc, avec 
le but de porter tout de suite l'attention des élèves sur les questions 
tediniques, et d'éviter qu'on oublie l'instrumenl des mathématiques dans 
les cours supérieurs consacrés ordinairement aux questions techniques. 

M. LoRiA, professeur à l'Université de Gènes, (ait remarquer que dans la 
répartition des cours on peut accompagner les branches théoriques de cours 
pratiques n'exigeant pas trop de mathénialiques, tel que, par exemple, la 
topographie. On peut faire alterner les cours tiiéoriques et les cours pra- 
tiques d un caractère élémentaire. 

.M. Staecki;l observe qu en Allemagne les étudiants ingénieurs ont dès la 
première année des cours techniques élémentaires. 

2" Les ingénieurs italiens, dit .M. CAsTEt.Nuovo, affirment parfois que cer- 
tains cours destinés aux élèves ingénieurs sont trop élevés. Quelques pro- 
fesseurs out tenu compte de ces remarques, mais il y a pourtant une limite 
intérieure dans l'ensemble des connaissances indispensables que doit fournir 
1 Université technique. Si l'on veut juger ces différents points de vue, il faut 
se rappeler qu'il y a deux catégories d ingénieurs : ceux qui appliquent la 
science déjà formée, et ceux qui développent et qni construisent la science 
de 1 ingénieur. Dans ces conditions l'Université technique peut donner aux 
ingénieurs techniciens une culture limitée mais elle doit ajouter des cours 
supérieurs en vue de la seconde catégorie. 

M. PossÉ appuie la distinction qui vient d'être signalée. 

-M. Staeckel dit qu'en Allemagne les Universités techni([ues demandent à 
foimer les deux catégories : 1. Les ingénieurs techniciens ; 2. Ceux qui 
poussent les études jusqu au doctorat. 

Eu outre on trouve les écoles techniques moyennes (MaschinenbauschulenI 
(jui forment une catégorie importante de techniciens. 

.\1. Kranel parle de lorganisation de l'Ecole polytechnique de Zurich. On 
y prévoit des cours obligatoires pendant les deux premiers semestres (5 h. 
de cours, 2 h. d'exercices et 1 h. de répétitoirel, et comme complément, des 
cours facultatifs recommandés aux étudiants et dont le sujet est variable 
suivant le semestre. 

M. CzuBKR, qui présidait la dernière séance de discussion, résume les 
débats et remercie tous ceux qui ont pris une part active à la discussion. 



Extrait d une lettre de M. Andrade. — M. J. Andrade, professeur à la 
Faculté des sciences de Besançon, empêché pour raison de sauté de prendre 
part à la Conférence, nous adresse une note dont voici un extrait : 

« Un enseignement technique supérieur sera celui qui arme I esprit et la 
voloulé de ses élèves de ce sens critique réaliste ou de cette intuition rapide 
mais précise qui fait reconnaître la valeur exacte d une invention. L'esprit 
d invention souffle d où il veut, il n'appartient certes à aucune école, il ne 
relève d aucun esprit de corps. 

l> organisation de renseignement technique lioit aussi prévoir l'éducation 
d ingénieurs. 



344 DISCUSSION 

L'opposition de ces deux vocables a Ingénieurs ou Techniciens)) appar- 
tient à une classification surannée avec laquelle il nous faut compter; ayons 
néanmoins la franchise de dire nettement que cette opposition ne correspond 
plus à aucune réalité. 

A l'époque où fut fondée l'Ecole Polytechnique, le nom même de cotte 
école avait une signification réelle; les sciences d'une paît, les manifesta- 
tions industrielles d'autre part étaient alors assez simples pour permetlre 
à une même école de mêler ensemble la culture scientifique et la formation 
technique ; il n'en est plus de même anjourd hui ; si l'ingénieur a, plus que 
jamais besoin d une culture scientifique solide, il a aussi plus que jamais 
besoin d'être autre chose qu'un chef administratif de techniciens; technicien 
lui-même il doit être ; il sera donc initié à fond aux travaux personnels du 
laboratoire ou de l'atelier ; de plus en plus la distinction entre manuels et 
intellectuels est devenue techniquement fausse ; et nulle part cette fausseté 
n'est plus choquante que dans les programmes administratifs et dans les 
façades de l'éducation des ingénieurs. 

Sans aucun doute, quelques bons mathématiciens ont pu devenir des tech- 
niciens, comme quelques artisans adroits ont pu devenir de bons ingénieurs, 
mais l'esprit humain artificiellement coupé en plusieurs tronçons a pu refor- 
mer son unité de pensée et d'action à travers les cloisons étanches des classi- 
fications factices ; il serait toutefois prudent de ne pas exagérer la dilliculté 
demandée à l'initiative individuelle et de revenir à des méthodes jjlus saines 
dans l'organisation des enseignements scientifiques et techniques combinés » . 



3. — Suite de la discussion. 

La discussion s'est poursuivie le vendredi soir à la Société des Ingénieurs 
civils de France sous la présidence de M. Gai-l. Elle a été résumée dans le 
Procès-verbal de la séance du 3 avril 191i, publié par la Société dans sou 
bulletin intitulé Résumé de la Quinzaine (1914, n" 7, p. 68-81). M. le Secré- 
taire administratif A. de Uax, gérant, a bien voulu nous autoriser à repro- 
duire le compte rendu de la discussion rédigé par 1 un des secrétaires tech- 
niques M. A. Gosse. 

Séance de la Société des Ingénieurs civils de France. 

M. LE Président rappelle qu'il y a actuellement à Paris un Congrès inter- 
national d enseignement mathématique. 

.M. l'Ingénieur en Chef des Ponts et Chaussées d Ocagne, Professeur à 
l'Ecole Polytechnique, a bien voulu acceptei- de venir faire à notre Société 
le compte rendu des premières séances de ce Congrès. 

Il lui souhaite la bienvenue ainsi qu'à M. Stackel et aux nombreux con- 
gressistes qui ont bien voulu venir assister à la séance de ce soir. Il cite 
parmi eux M. Torres y Quevedo, l'inventeur de machines à calculer et à 
intégrer ; Sir George Greenhill, auteur de « The Tabulation of Bessel and 
other functions » ; et M. F'ehr, le distingué Secrélaii'e Général de la Com- 
mission Internationale de l'Enseignement mathématique. 

.M. le Président rappelle ensuite que le Congrès a été inauguré par un 
rapport extrèmepient remarquable de M. Stackel, Professeur à 1 Université 



I 



Éc o r.Es ni N (j i: n i a i n s :! '• 5 

d'ileidt'lhi'iijj ; celtii-ci, dans un liMViiil (Je lios liaiitr iriiparl i:ilili-. a Ijieii 
voulu rappeler un souvenir (|ui nous est paiticulièrenienl cliir. a (|n(l(|ne 
origine que nous appartenions : ce sont les circonslances qui ont [)i-é.sidé à 
la création de llicole l'olyleclinique, il y a cent vingt ans, au mois de sep- 
tembre i79'i. M. le Professeur Sliickel a bien voulu lendre lionimage aux 
idées ti'ès générales qui oui présidé à l'organisation de renseignement nia- 
théniatique dans celte lù'ole et à l'influence qu'a eu cet enseignement sur la 
préparation des Ingénieurs du monde entier. M. le Président croit que c'est 
la première fois que cela a été tait dans un compte rendu de ce genre. Il 
adresse tous les remei'ciemeuls de la Société à .\I. h- Professeur Stiickel. eu 
lui disant combien nous avons tous été toucliés des sentiments auxipiels il a 
obéi. 

M. LE Président ajoute que aM. Torres y Quevedo. se mettra très volontiers 
à la disposition des Membres de la Société, le mercredi 8 avril, de 9 heures 
à midi, au Laboratoire de Mécaui((ue de M. Ktenigs, 96, boulevard Raspail, 
pour leur montrer ses appareils remarquables. 

M. le Président remercie M. Torres y Quevedo de son aimable invitation. 

M. -M. D'OcAG^E, ingénieur en chef des Ponts et Chaussées, Pi-ofesseur à 
l'Ecole Polytechnique, membre de la délégation française à la Commission 
internationale de renseignement mathémati<|ue ', fait un exposé sommaire 
de l'échange de vues qui a eu lieu, aujourd hui même, au sein du Congrès 
international réuni à Paris par les soins de cette Commission, relativement 
aux questions que soulève la préparation mathématique des ingénieurs, 
questions qui ont été })Osées dans un rapport rédigé, à la suite d'une en- 
quête faite dans les différents pays, par M. le Professeur Stackel, de l'Uni- 
versité de Heidelberg, qui assiste à la séance. 

Parmi ces questions, celles sur lesquelles M. d'Ocagne croit devoir parti- 
culièrement attirer l'atlention des ingénieurs en raison des utiles avis qu'elles 
pourront sans doute provoquer de leur part, sont les suivantes : 

1° Deux systèmes principaux sont en présence pour la formation des futurs 
ingénieurs ; ils consistent l'un à leur faire faire leurs études mathématiques 
dans une UniK-ersité ordinaire, au milieu des étudiants ne recherchant qu'une 
pure culture scientifique, pour les diriger ensuite vers des écoles stricte- 
ment techniques, I autre à leur enseigner les mathématiques supérieures à 
part, dans une institution spéciale rattachée au.\ écoles techniques, et for- 
mant avec elle un groupe désigné sous le nom à' Université technique. 

Des renseignements recueillis par M. le Professeur Stackel, il résulte que 
c'est, aujourd'hui, d'une manière générale, le second système, celui des 
Universités techniques, qui semble devoir prévaloir. 

En France, où l'enseignement technique a le plus anciennement re<;u une 
organisation systématique, les circonstances historiques font que celte orga- 
nisation se présente sous une forme particulièi-e. Toutefois, on peut consi- 
dérer que l'ensemble de 1 Ecole Polytechnique et des diverses écoles d'appli- 
cation qui s'y recrutent constitue nue sorte d'Université technique. Une 
remarque analogue s'applique à l'Ecole Centrale bien que l'enseignement y 
soit commun à tous les élèves non seulement pendant Tannée d études théo- 



' Les autres membres de la délégation française sont M\l. Hadainard, Membre de l'Institut, 
Professeur au Collège de France et à l'Eoote Polytccbnique, et Bioche. Professeur au Lvcée 
Louis-le-Grand. La Commission internationale a pour Président M. le Professeur Félix Klein, 
de Gœttingue, et pour Secrétaire Général M. le Professeur Fehr, de Genève. 



3'i6 nrscrss/o.x 

riques, mais encore pendant les deux années techniques, alors que, dans 
les Universités techniques pcoprement dites, il y a, après la période 
d'études scientifiques communes, spécialisation des cours suivis par les di- 
verses catégories d étudiants suivant la branche à laquelle ils se destinent. 

Le système des Universités techniques a l'inconvénient, au regard des 
Universités ordinaires, d en réduire sensiblement l'animation. Il a l'avantage 
de permettre de donner à l'enseignement desTnathématiques une orientation 
plus favorable au développement des applications aux sciences physiques, 
mécaniques et, par suite, aux sciences techniques, sans d'ailleurs toucher 
aux principes fondamentaux qui se trouvent nécessairement à la base de tout 
enseignement mathématique élevé. 

2» A quelles bornes doit-on arrêter l'enseignement mathématique dispensé 
aux futurs ingénieurs? Faut-il, comme le pensent certaines personnes, s'en 
tenir aux premiers éléments du calcul différentiel et intégral? Ou bien con- 
vient-il de tenir compte, dans une certaine mesure, du développement pris 
par les mathématiques modernes ? Au sein de la Conférence internationale, 
la tendance s est afllrmée de ne pas proscrire systématiquement tout ce qui 
dépasse tant soit peu les éléments classiques. Nous ne savons pas, en effet, 
ce que demain nous réserve. Il se peut que telle théorie, qui apparaît 
aujourd'hui comme purement abstraite, soit susceptible, d'ici quelques 
années, d'intervenir utilement dans un domaine de la technique. A ce point 
de vue, l'exemple du calcul des quantités imaginaires est caractéristique. 
Qui se fût douté, il y a une cinquantaine d'années qu'il dût devenir, entre 
les mains des électrotechniciens, l'outil vraiment si commode qu'il est 
aujourd'hui ? Il est bon que les ingénieurs soient mis en état de comprendre 
au moins le sens des principales nouveautés mathématiques afin d'avoir la 
possibilité, le cas échéant, d en tirer parti pour tel ou tel objet qui les 
intéresse. 

3° Pour le temps à consacrer aux études mathématiques supérieures pré- 
paratoires aux études techniques, l'avis dominant, dans les différents pays, 
est qu'il est bon de ne pas le réduire à moins de deux ans. 

L idée s'est fait jour en Italie qu'il serait peut-être à propos d'établir une 
sorte de pénétration réciproque entre l'enseignement théorique et l'ensei- 
gnement pratique afin, dune part, d'intéresser de meilleure heure les élèves 
aux choses de la réalité et, d'autre part, de leur faire utiliser les notions 
mathématiques qu'ils acquièrent alors qu'elles sont bien fraîches dans leur 
esprit. Une telle réforme, qui peut séduire à première vue, comporte toute- 
fois, quand on y regarde de plus près, de sérieuses difficultés de réalisation 
qui ne sauraient probablement être levées que dans des cas d'espèce. 

4" Untj autre importante question qui a été examinée est celle du choix 
du corps enseignant mathématique pour les ingénieurs. Doit-il de préfé- 
rence se recruter parmi les techniciens ou parmi les mathématiciens de pro- 
fession ? Sur ce point, M. le Professeur Stiickel n'a pas hésité à faire 
observer que, pour enseigner les mathématiques, quel que soit le but parti- 
culièrement visé, il faut, avant tout, être mathématicien. On ne saurait, en 
effet, enseigner utilement que^ue sujet que ce soit si on ne le domine pas et 
même d'un peu haut. Maintenant, il est clair qu à cette aptitude mathéma- 
tique indispensable, il vaudra mieux que le professeur joigne une connais- 
sance assez avertie des besoins des ingénieurs, acquise de préférence par 
une expérience personnelle. Il ne semble pas que l'on puisse recommander 
le système consistant à confier un tel enseignement à des ingénieurs n'ayant 



I 



l'ICQ LE s D' I m: /■: N 1 1: iii S \\\i 

jamais rien produit par eux-mônies dans le rloniainc dos niatliôinatiques et 
n'en ronnaissaiit que la pratique courante. 

M. K. (^HAL'DY ne désire présenter des observations que sur quelques 
poiiils seulement du remarquable rapport de M. Slackel. 

Tout d abord convient-il de donner aux futurs int^énieurs renseignement 
malliématique supérieur en dehors fies Universités techniques, c est-à-dire 
dans les Universités proprement dites, pour leur donner ensuite 1 enseigne- 
ment technique dans les écoles spéciales, ou bien faut-il leur donner cet 
enseignement mathématique dans les Universités techniques elles-mêmes? 

De 1 avis de .NU Chaudy. il convient de donner l'enseignement mathéma- 
tique supérieur aux futurs ingénieurs dans les Universités techniques. C'est 
ce qui se fait, en France, à l'Ecole Centrale ainsi qu à 1 Ecole Polytechnique 
qui prépare, le cas échéant, aux Ecoles des Ponts et Chaussées et des Mines. 

La raison qui. selon M. Chaudy, milite en faveur de cette opinion, c'est 
que, comme le permet l'organisation de l'Ecole Centrale, par exemple, le 
Conseil de perfectionnement de cet Etablissement peut servir d intermé- 
diaire entre les professeurs-mathématiciens et les professeurs de sciences 
appliquées tn vue d obtenir que les mathématiciens n'enseignent que les 
parties de leur science qui peuvent servir à 1 Ingénieur dans l'exercice de 
sou art. 

Le mathématicien professant en Sorbonne a naturellement tendance à 
pousser très loin son enseigneraenl, plus loin certainenient qu'il ne faut pour 
la formation des ingénieurs. 

L inconvénient qui résulterait pour ceux-ci d'une culture mathématique 
trop élevée ser-ait de diminuer chez beaucoup le sens inné des applications 
mathématiques en vue des réalisations pratiques. 

Ln ingénieur qui a reçu un enseignement mathématique trop élevé eu 
égard à cet objectif des applications à son art, risque beaucoup d échafauder 
plus tard des théories tout à fait à côté des réalités. On a vu des ingénieurs 
très versés dans les sciences mathématiques prétendre déterminer algébri- 
quement la réaction dont un terrain est capable sous une charge donnée, 
comme celle de la poussée d'un arc, parce qu'ils ne voyaient pas que la 
compressibilité des terres est une chose qui échappe au calcul. On en a vu 
d autres, et non des moindres, s attaquer à la théorie de la résistance des 
poutres en béton armé et qui ne s'apercevaient pas de l'utilité de cet organe 
essentiel que les constructeurs appellent des étriers. Et tout cela provenait 
vraisemblablement de ce que ces ingénieurs, plus mathématiciens que phy- 
siciens, avaient, en développant trop leur sens mathématique, si on peut 
s'exprimer ainsi, diminué cette sorte de prescience des choses de la pra- 
tique qu il faut avoir pour bâtir des théories saines. 

Ce sens particulier que doivent posséder les ingénieurs, les mathémati- 
ciens purs de l'Université proprement dite ou de 1 Ecole normale supérieure 
ne l'ont pas, et c'est pour cela qu'il parait nécessaire à M. Chaudy que, dans 
les Universités techniques, les professeurs-ingénieurs se mettent en rapport 
avec les professeurs-mathématiciens pour leur faire connaître les besoins 
de leur art, afin que le professeur de mathématiques ne fasse que signaler 
dans son cours les théories qui paraissent être sans utilité pour les appli- 
cations, et insiste sur les autres. A ce sujet, M Chaudy rappelle les services 
que rendent aux ingénieurs la Statique graphique et la Xomographie, et 
on ne peut signaler cette dernière sans rappeller les travaux de M. d Ocagne 
sur les abaques. 



3'*8 ■ DISCUSSION 

Sur la question de savoir si. dans les Universités techniques, il convient 
de faire enseigner les mathématiques par les mathématiciens ou par des in- 
génieurs ayant de fortes connaissances en mathématiques, M. Chaudy est 
d'avis qu'il faut laisser cet enseignement aux mathématiciens purs, car, 
comme le dit très bien M. Stiickel dans son rapport, il faut toujours que le 
professeur domine son sujet. Or, les ingénieurs ne peuvent prétendre à la 
connaissance approfondie de leur art et des mathématiques. On est mathé- 
maticien ou ingénieur, on ne peut être les deux à la fois. 

M. C. MoNTEiL présente quelques observations sur le raj)portdeM. Stackel 
et sur le commentaire qui en a été fait par M. d'Ocagne. 

Il a été dit en premier lieu que la plupart des grandes écoles techniques 
françaises possèdent leurs chaires théoriques, ce qui dispense leurs élèves 
d'un séjour préalable dans les facultés de sciences, mais, en revanche, ces 
élèves doivent subir, dans les classes de mathématiques spéciales des lycées, 
une préparation très longue. 

Pour critiquer la durée de cette prépaiation, M. Monteil est amené à 
analyser le rôle des mathématiques dans la préparation aux écoles tech- 
niques. Ce rôle est double. En premier lieu, l'enseignement des mathéma- 
tiques doit procurer une documentation préalable de méthodes et formules. Ce 
premier point de vue est loin de justifier un développement aussi important 
des mathématiques spéciales, le secours réclamé par les applications aux 
mathématiques pures étant très faible. 

En second lieu, et il n'échappera à personne que c'est là le côté important 
de la question, les mathématiques jouent uu rôle dans la formation intellec- 
tuelle d'un cerveau. Elles y apportent les qualités solides de justesse, de 
rigueur, et celles subtiles de finesse et d'ingéniosité, toutes qualités pour 
lesquelles les démonstrations d'algèbre sont le plus efficace des entraî- 
nements. 

Mais il ne faut pas perdre de vue que les mathématiques ne sont pas 
l'unique méthode de formation intellectuelle. Les études littéraires, histo- 
riques, de droit, aboutissent au même but avec des modalités différentes, et 
il faut s'en souvenir pour ne pas tracer pour les préparations des programmes 
trop étroits. 

Une observation fort décevante, et dc>nt il n'existe nulle trace dans le 
rapport, est le fossé entre les sciences d'une part et, d'autre part, les be- 
soins réels que font naître les applications. 

M. d'Ocagne a cité un certain nombre de sciences qui constituent, d'après 
lui, l'intermédiaire entre le champ de la science pure et celui des applica- 
tions. Ce sont 1 Elasticité et l'Hydrodynamique. Il n'est pas douteux que, les 
problèmes concrets qui y sont posés intéressent au plus haut point l'ingé- 
nieur, mais ils se traduisent, hélas, par des équations différentielles rebelles 
à toute intégration, et derrière lesquelles la solution semble plus cachée 
encore qu'elle ne l'était sous l'énoncé primitif. 

Il a fallu alors créer des sciences d'ingénieurs totalement étrangères aux 
précédentes, ce sont: la résistance des matériaux et l'hydraulique, où la 
détermination expérimentale directe de quelques fonctions inconnues et aussi 
quelques complaisances de raisonnement permettent l'aboutissement jus- 
qu'aux solutions numériques. 

Restons fidèles à l'enseignement élevé des mathématiques pour leur con- 
tribution incontestable à la formation préalable des esprits, mais réduisons 
cnergiquement le séjour, actuellement exagéré, dans les classes de mathé- 



I 



i: c 1. E s DIS ('. E s I E r II s ; i 1 y 

iiiati(|iies spéciales, ut invitons lus savants à se lapproelier île plus en pl;i» 
des (|ueslioMS vraiment utiles qu ils ont toujours volontairement ignorées 
jusqu'à ce jour, et pour l'étuilo riesquelles ils sont |)orsonnellempnt mai 
prépai'és 

M. Cil. Uabut dit que le plus f^i-ave inconvénienl reproché au systèniff 
français de préparation matliématique des ingénieurs, c'est assurément 
l'exagération du temps passé dans les classes de matliémaliques dites élé- 
mentaires, élémentaii'es fortes et spéciales (quatre ans en moyenne, pour la 
préparation à l'iîcole Polytechnique) comparé au temps accordé à l'ensei- 
gnement lechni(|ue proprement dit (deux ans et demi à l'Ecole des Ponts et 
Chaussées). 

Ce contre sens vient de ce que le Concours décisif a été placé, non à la 
sortie, mais à lentrée des grandes Ecoles: l'Université, ainsi rendue mai- 
tresse de la préparation, s arrange naturellement pour garder les candidats 
le plus longtemps possible ; c'est ainsi qu'ils se voient presque obligés de 
suivre deux fois les cours élémentaires, et deux, trois, quatre, et même cinq 
fois les cours spéciaux, alors qu'ils ne suivent qu une fois, et même rapide- 
ment, les cours techniques dés Ecoles. 

Un autre inconvénient non moins grave est que l'objet des cours s[)éciaux 
est presque exclusivement sportif, sans valeur éducative, étranger à la lor- 
mation de 1 ingénieur ; exemples : les règles de convergence des séries 
(toujours subtiles, de temps en temps reconnues fausses!, la théorie générale 
des équations algébriques (qui ne peut aboutir à rien moins qu'à leur réso- 
lution), l'étude des lignes et surfaces du premier et du second degré au 
moyen de leurs équations générales (une batterie d'artillerie pour tuer n\t 
moineau ')• 

Ce second contre sens vient de ce que, parmi les professeurs de spéciales, 
les examinateurs d entrée aux Ecoles et les fonctionnaires appelés à rédiger 
les programmes des concours, les ingénieurs ne figurent qu exceptionnelle- 
ment, et toujours en infime minorité. 

Ces défauts de l'enseignement ont engendré un mal de plus en plus grand 
signalé par les ingénieurs de profession: l'abus du calcul dans la Science 
appliquée. 

Formés exclusivemejit à la méthode déductive, presque étrangers à la 
méthode expérimentale qui doit être, par excellence, la mélhodede la Science 
appliquée, encore plus étrangers à l'observation et à la critique qui sont les 
meilleures armes de l'ingénieur, les élèves de nos grandes Ecoles ne par- 
viennent pas toujours à y réformer leur mentalité au contact de profes- 
seurs qui ont vécu leur métier, et ils apportent dans l'exercice de leur pro- 
fession un reste des contre sens de I enseignement préparatoire, cela au 
détriment de notre art. 

M. Rabut se borne à deux exemples empruntés aux deux matières ([u il a 
eu Ihonneur d'enseigner: la Construction et l'Hydraulicjue. 

Parmi les constructeurs eu maçonnerie, les voûtes, {]ui ne se calculent 
guère, ne donnent lieu qu'à peu de mécomptes : les grands barrages, au 



' .\l. Ai'HKi.r . la plus haute aiilorit»- universitaire en matit-re de pédagogie soientifiqup, a 
écrit dans V Enseignement mathéniatù/ue, du !.'> septembre 1900 : «. On est arrivé a un ensei- 
" gneinent qui est moins une science qu'un sport et auquel il faut reprocher : l'artifice:... 1« 
« dédain des applications, des calcul niimériques, des questions simples : l'abus de la géo- 
" métrie analytique : eto. ■•. 



350 ■ DISCrssiON 

contraire, dont les dimensions sont rigoureusement déterminées par le 
<îalcui, périssent par accident les uns après les autres. 

Parmi les constructions métalliques, les premiers ponts construits par 
Brunel et Stéphenson presque sans calcul, mais après auscultation d'un 
modèle réduit, sont encore debout, alors que des milliers d'ouvrages, petits 
et grands, établis depuis sur des calculs minutieux, ont péri en peu d'années, 
souvent même pendant leur construction. L'auscultation des ouvrages en 
service en a donné la raison en accusant des déformations très différeiites de 
ce qu annonçait le calcul usuel, notamment dans les barres de tieillis et les 
fermes en arc. 

En Hydraulique, c'est une éclipse presque complète de la science des 
«aux courantes, due à la persistance d'un enseignement théorique suranné : 
pendant un demi-siècle, on ignore l'œuvre expérimentale immense de Bazin, 
qui commence seulement à porter ses fruits. Cinq équations simultanées 
aux dérivées partielles aboutissant piteusement à la formule (insuffisante, 
d ailleurs) de l'écoulement uniforme dans un canal prismatique; n'est-ce pas 
encore une batterie d'artillerie dressée contre un moineau ? 

La substitution de la méthode déductive à la méthode expérimentale, 
seule légitime dans l'enfantement de la Résistance des matériaux et de 
l'Hydraulique, a été le crime d' m-orteinent exercé contre lart de construire, 
et se chiffrant, rien qu'en France, par des centaines de millions en argent 
€t des centaines de vies humaines. 

M. Rabul se permet de conclure en souhaitant: 

1» Que, sauJ les premieis éléments, l'instruction mathémalique soit 
■donnée aux futurs ingénieurs, non en Sorbonne, mais dans les Ecoles tech- 
niques, par des ingénieurs ayant pratiqué leur art avec succès ; 

2° Que cette instruction soit limitée au strict nécessaire, le premier prin- 
cipe de l'enseignement étant de subordonner l'emploi de la méhode déduc- 
tive à celui de la méthode expérimentale, de ne jamais calculer ce qu'on 
peut mesurer. 

M. R. SoREAU s'excuse de prendre la parole après d éminents professeurs 
qui ont une compétence et une autorité particulières sur le sujet en discus- 
sion. Il se bornera à présenter quelques observations, comme ingénieur et 
aussi comme père de famille. 

Ayant eu récemment trois fils en mathématiques spéciales, il a pu appré- 
cier le bien fondé des critiques que vient de formuler M. Monteil sur la trop 
longue préparation donnée dans cette classe. D'autre part, les élèves y 
subissent un surmenage véritablement abusif. Les programmes actuels com- 
prennent presque toutes les matières d'il y a trente ans augmentées d une 
très notable partie des cours d'analyse et de mécanique qu'on apprenait alors 
à l'Ecole Polylechnique en première, et même en deuxième année ; c'est 
ainsi qu'on y expose la théorie des équations différentielles du second ordre. 
Certes, le développement donné au calcul différentiel et intégral est une 
innovation excellente en soi, tant au point de vue spéculatif qu'au point de 
vue pratique, puisque ce calcul s'impose dès qu'où aborde des problèmes 
tant soit peu élevés de mécanique rationnelle ou de mécanique appliquée ; 
mais il aurait fallu alléger d'autant les programmes par ailleurs : cet allége- 
ment eût été facile et même profitable, car il aurait permis au professeur de 
<légager plus vigoureusement les théories générales, les seules qui importent. 
L'enseignement actuel est beaucoup trop touffu : c est le cas de dire que 
1 abondance des feuilles masque les arbres de cette forêt. 



Eco 1. E S I) I N C. E y I E l ■ /(• .s 351 

Les infoiivciiients d'un Ici syslriiiL- sont j^raves : fatij^uf iiiiirqiiée fJe la 
plupart dos élèves, alors qu'on devrait avoir le souci de les faire eiilr-<-r frais 
et dispos dans les écoles teciiniques (|ni vont leur demander un effort im- 
portant ; proloiifjation excess^ive et sans jjrofit des années passées hu colléj^e ; 
rendement en définitive médiocre, étant donné qu'on écréme les classes de 
sciences au profit des mathématiques spéciales, pour ne conduire qu'une 
partie de leurs élèves dans les écoles techniques. 

A qui cet état de choses incomhe-t-il ? Est-ce, comme on le donnait à 
entendre, à l'Université, qui cherche à g;ai"der ses élèves le plus longtemps 
possible? M. Soreau ne le pense pas; il estime même que la faute n'en est 
pas seulement aux programmes, car il ne suffirait pas de les alléger: en 
effet, pour discriminer des candidats qui sont trop nombreu.x, les e.xamina- 
teurs, et, à leur suite, les professeurs auraient tôt fait d'introduire de nom- 
breuses subtilités en marge de ces programmes, qui ne se trouveraient 
réduits que sur le papier. Pour enrayer un surmenage véritablement insensé, 
il faut abaisser les limites d'âge : de la sorte, n'entreraient en spéciales que 
les jeunes gens suffisamment sûrs d eu.\-mèmes : quant aux autres, ce serait 
leur rendre service que d'orienter leur activité vers des carrières diffé- 
rentes, et de leur éviter de rester trois ou même quatre années dans celte 
classe, souvent pour ne pas franchir le seuil de l'école à laquelle ils se des- 
tinaient. Tous les hommes qui se rendent compte du danger que présente 
pour un pays le gaspillage des forces intellectuelles de la jeunesse, et les 
pères de famille au premier rang, devraient porter une attention particulière 
à cette importante question de la limite d âge, et protester énergiquement 
quand les pouvoirs publics 1 augmentent inopinément de deux années, ainsi 
qu ils viennent de le faire pour l'une de nos grandes Ecoles. 

En ce qui concerne l'enseignement mathématique dans les écoles techni- 
ques elles-mêmes, M. Soreau ne conçoit pas qu il puisse être réduit au rôle 
strictement utilitaire préconisé par un de nos Collègues ; au surplus, on ne 
connaît les contingences de la pratique que pour l'heure présente, et les 
notions théoriques acquises dans les écoles doivent servir pour la vie. Tout 
au contraire, il faut aux ingénieurs une culture maihématique étendue, qui 
convienne non seulement aux besoins de la technique actuelle, mais encoie 
aux besoins inconnus de la technique de demain, qui leur permette de colla- 
borer aux progrès incessants de la science, ou tout au moins d en suivre le 
développement. Pour de telles fins, l'enseignement mathématique doit être 
nourri de méthodes générales, et donné par des mathématiciens éminents 
qui sauront y faire passer un souffle large et puissant, tout en évitant 
d alourdir le bel ordonnancemeni de ces méthodes par des discussions de 
Sorbonne, par des subtilités d'un intérêt médiocre pour de futurs ingé- 
nieurs ; sans rien sacrifier de l'ingéniosité de certaines théories, ils ne 
doivent pas, suivant la remarque très profonde qui termine le Rapport de 
M. Slackel, « trop insister sur les finesses de leur science «. 

Quand le professeur de mathématiques pures aura donné aux élèves-ingé- 
nieurs ce fort enseignement général, quand il aura mis entre leurs mains ce 
levier d une puissance incomparable, les professeurs des techniques spé- 
ciales pourront venir, et ils seront compris: plus tard, après la sortie de 
l'Ecole, la technique pourra progresser ou même se modifier profondément : 
si cette évolution fait appel aux connaissances mathématiques, les ingénieurs 
ainsi formés la suivront sans peine. 

On parlait tout à l'heure des équations générales de l'Hydrodynamique. 



352 DISCUSSION 

et i on rappelait coii)l)ien les résultats auxquels elles conduisent sont dé- 
cevants et concordent peu avec les lois réelles ; la tante n'en est pas aux 
mathématiques, mais à 1 application qui en est faite •, et ce serait vraiment 
une prétention singulière que de compter sur une concordance entre des 
résultats tliéoi'iques découlant d un simple concept, et les résultats expéri- 
mentaux obtenus avec un fluide réel. Mais rien ne dit que l'analyse matlié- 
matique ne parviendra pas à donner la clé de la mécanique des fluides le 
jour où nous connaîtrons mieux leur nature intime. M. Soreau a beaucoup 
étudié une technique de cet ordre, celle de l'Aérodynamique, plus décon- 
certante encore que l'Hydrodynamique : et voici déjà qu'une connaissance 
plus complète du rôle de la viscosité et de la compressibilité de l'air 
permet d'expliquer partiellement certaines singularités apparentes de cette 
technique. 

M. d'OcAGNE, au sujet d une des observations présentées par M. Soi eau 
(dont il a, par ailleur.s, beaucoup apprécié la manière de voir) demande à 
faille, à son tour, une remarque, ajoutant que, bien que professeur à l'Ecole 
Polytechnique, il n a pris aucune part à lélaboratiou du programme d'admis- 
sion à cette Ecole, et que, par suite, dans ce qu'il va dire, on ne doit voir à 
aucun degré un plaidoyer ^/-o doiiio sud. 

La remarque est celle-ci : on entend souvent dire, comme M. Sor-eau vient 
de le faire, que l'on rencontre maintenant dans le programme d'admission 
des matières qui, naguère, étaient enseignées à l'Ecole, voire en seconde 
année, et l'on en conclut tout naturellement à 1 effroyable surmenage des 
pauvres candidats. Mais on ne prend pas garde que si ces nouveautés oui, 
en effet, été introduites dans le piogramme, bien d'autres théories en ont, 
par contre, été retranchées, ni, peut-être, que certaines de ces matières nou- 
velles exigent un moindre effort intellectuel que celles dont elles ont pris la 
place. Il n'est pas niable, par exemple, que les cas élémentaires d'intégra- 
tion des équations différentielles, auxquels M. Soreau a précisément fait 
allusion et qui effraient surtout à cause de leur nom, sont en réalité d'une 
étude beaucoup plus facile, exigeant une bien moindi-e dépense cérébrale, 
que les développements sur la théorie des équations algébric|ues, compre- 
nant notamment le théorème de Sturm, et divers autres difliciles théorèmes 
d Hermite, de Laguerre. etc., avec lesquels devaient être familiarisés les can- 
didats à l'Ecole d'il y a trente ou quarante ans. Des observations analogues 
pourraient au reste être faites à propos d'autres parties du programme. 

Les nouveaux programmes comportent peut-être, dans leur ensemble, une 
somme un peu plus grande de matières ; il ne semble pas toutefois qu'il 
faille, pour se les assimiler, un effort bien supérieur à celui qu'exigeaient 
les anciens. 

M. SoREAV reconnaît volontiers qu'on a supprimé quelques parties des 
anciens programmes de spéciales, mais quand on en retirait long comme le 
doigt, on en ajoutait long comme le bras, à tel point que beaucoup de pro- 
fesseurs de celte classe sont \éritablement effrayés de tout ce qu'on les force 
à introduire dans de jeunes cerveaux. 

.NL Rabut, répondant à ]\L Soreau, fait remarquer que la limite d àgo a 
toujours pour effet de réduire le nombre d années consacrées par les can- 
didats, non pas aux mathématiques s.péciales, mais bien aux classes de lettres, 
aux humanités, ce qui n'est pas désirable '. 



' \'oir H. t'oi.NCAuÉ: Les Scitnces elles Humanités. 



I 



ÉCOLES n iNGENi i: r i{ S H',:{ 

M. le Prolesseur A. I'adoa (Gênes, llalie) se trouve [(leiMeinenl (i acrord 
avec M. Sorcau sur plusieurs points Mais comme la f|ueslioii dont on 
s'occupe a été posée par une Conférence internalionalc, il lui semble bon de 
l'cnvisaf^er à un point de vue un peu plus général, cl, précisément, au lieu 
de s'attarder à blâmer on à exalter l'état actuel de 1 organisation des études 
en France, il trouve jjréférable d'analyser les tendances qui à ce moment 
[jartatfent les opinions dans presque tous les pays. 

Kst-ce seulement au moment où ils vont commencer leurs études t'^ch- 
niques c(ue les futurs ingénieurs doivent être séparés des futurs malliéma- 
ticiens, ou vaut-il mieux les séparer dès la lin des écoles secondaires? Jiis- 
(ju'à présent, des raisons didactiques et financic-res s'accordaient pour donner 
la prc'férence à la première solution, mais le développement progressif des 
éludes tliéorifjucs cl techniques et la nécessité de ménager- les foi'ces des 
élèves finiront peut-être par imposer la seconde, qui d ailleurs se trouve 
déjà réalisée dans plusieurs universités techniques. 

Or, dans celles-ci, est-ce aux mathématiciens ou aux ingénieurs eux-mêmes 
qu'il faut confier l'enseignement des mathématiques pures ? On vient de 
dire, ce soir même, que l'application des mathématiques à des problèmes 
sur la résistance des matériaux n'avait pas donné des résultats satisfaisants, 
d'où une prétendue raison de méconnaître la valeur des mathématiques et 
le vœu que l'enseignement des mathématiques fût animé d'un esprit plus 
pratique, que seulement un ingénieur aurait pu lui donner. Mais avant 
d'appliquer un théorème quelconque, il faut s'assurer si les données de la 
question pratique vérifient Ihypothèse de ce théorème, au moins d'une ma- 
nière suflisamment approchée ; et Ion ne doit jamais rendre responsable les 
malhématiques des fausses applications qu'on eu peut faire. Or, sans nier 
qu il y ait des ingénieurs auxquels on pourrait confier un cours de malhé- 
matiques, dans la plupart des cas il est à craindre qu'ils feraient prévaloir 
la tendance technique sur la tendance théorique, en faussant le caractère de 
cet enseignement qui ne doit pas seulement fournir des règles, mais doit 
aussi contribuer à la form-ilion de l'esprit scientifique. 

Mais alors, en quoi se distinguerait le cours de mathématiques poui- les 
ingénieurs de celui pour les mathématiciens ? Certainement, ce n'est pas au 
point de vue de la rigueur, car sans rigueur il n'y aurait plus de mathéma- 
tiques. C'est plutôt une question d'opportunité dans le choix des tiiéories à 
traiter, de mesure dans le développement à donner à chacune d elles, d'insis- 
tance sur les applications numéiiques des résultais les plus importants, 
parce que les règles dont on n'a pas appris à se servir avec siireté et rapi- 
dité sont vite oubliées. 

Donc, en laissant aux mathématiciens les soins cl la responsabilité de 
l'enseignement théorique cl aux ingénieurs les soins et la responsabilité de 
l'enseignement technique, ce qui est désirable c'est qu'un accord s établisse 
entre les mathématiciens et les ingénieurs, et que cet accord devienne 
toujours plus cordial et plus intime, pour amener à une collaboration con- 
tinue dans le choix des programmes, leur coordination et leur revision, tant 
au point de vue général des liens entre la théorie et la pratique, qu'à celui 
de l'organisation et de la coordination des difTérents cours d'une même école. 

M. J. Legrand rappelle à M. d'Ocagne qu il a eu 1 honneur de lentendre 
comme répétiteur de mécanique à l'Ecole Polytechnique, il y a vingt ans. 
S'il recherche quels avantages il a tirés pour sa carrière de renseignement 
de ses maîtres, il apprécie comme le principal la possibilité d'aborder la 



354 . D/SCi'SSION 

lecture d iiu ouvrage de science moderne quelconque sans être rebuté par 
les notations et les développements de calcul. 

Il s'est trouvé aux côtés de collègues qui avaient reçu à l'Ecole iSavale 
une instruction scientilique plus spécialisée en vue d'une carrière unique et 
qui lui ont semblé éprouver, du fait de cette formation moins générale, plus 
de difficultés que lui-même dans l'étude des questions de balistique ou de 
mécanique appliquée. Un ingénieur qui veut se documenter fait appel aux 
sources étrangères. S il doit vaincre, outre les difiicultés d'une langue qui 
n'est pas la sienue et de notations inhabituelles, le manque d entraînement 
aux développements scientiliques, sa tâche sera rebutante. Il ne faut pas 
attacher trop d'importance à la valeur des théories scientifiques, qui évo- 
lueront, et l'on ne peut prévoir quelles applications s imposeront plus tard 
à l'attention d'un jeune homme qui veut entrer à Polytechnique ou à 
l'Ecole Centrale. 

En père de famille, M. J. Legrand recommande la haute culture scien- 
tifique, mais surtout comme une gymnastique et un assouplissement. 

M. St^ckel remercie la Société de l'intérêt qu'elle a bien voulu prendre 
à la Conférence Internationale de l'Enseignement mathématique et surtout 
au rapport sur l'enseignement mathématique des ingénieurs. Il est convaincu 
que les remarques formulées dans la discussion seront d'une grande impor- 
tance pour les travaux futurs de la Commission Internationale, parce que les 
problèmes de renseignement mathématique des ingénieurs ne peuvent se 
résoudre que par la collaboration des ingénieurs et des mathématiciens. 

M. LE Pkésident dit que les paroles aimables de M. le Professeur Sliickel 
abrègent beaucoup sa tâche. 

Au début de son compte rendu, M. d'Ocagne a bien voulu poser des ques- 
tions à notre Société et M. le Président remercie à son tour ceux de ses 
collègues qui ont pris part à la discussion et qui ont répondu d'une façon 
qui a satisfait si pleinement M. Stackel. 

M. Chaudy a apporté lavis de la pratique; MM. Monteil et Rabut ont fait 
bénéficier la Société du produit de leur haute expérience de professeurs. 

M. Soreau a parlé avec l'autorité d'un père de famille et nul plus que lui 
n'avait le droit de formuler les observations qu'il a faites, et cela avec la 
clarté à laquelle il a habitué ses (Collègues. 

Il remercie M. le Professeur Padoa de son intervention; M. Legrand, qui 
a bien voulu reprendre la parole et qui a rendu un juste hommage à l'ensei- 
gnement qui lui a été donné. 

M. le Président croit qu'il ne pourrait mieux faire que de reprendre lui- 
même une phrase qui l'a beaucoup frappé dans le rapport de M. Sliickel, 
qui dit, en parlant des mathématiques spéciales citées au cours de la 
discussion : 

« Les mathématiques méritent d'être considérées comme l'un des plus 
« puissants moyens de l'esprit humain qui dominent l'inertie de la matière ». 

Ces paroles résument admirablement la discussion qui a eu lieu ce soir. 

M. Androui.n', n'ayant pu prendre la parole, vu Iheure avancée, a remis 
en fin de séance la note suivante : 

M. Andkouix pense que l'enseignement spécial à la formation des ingé- 
nieurs comprend certaines branches principales qui, énumérées dans l'ordre 
où chacune d elles sert à l'intelligence de la suivante, sont: la Science pure 
(mathématiques, etc.); la Science appliquée (mécanique rationnelle, électri- 
cité théorique, etc.) ; la Technique (mécanique appliquée, électricité indus- 



f:io LES 1)1 N (, i: y i E u n s U55 

ti-ielle, olf.i: la Technologie lélude tiesciiptive des produits iiidustiiels et 
des moyens de production); les Travanx pratiques (bureau, salle de dessin, 
laboratoire, atelier, chantier, etc.). 

L'élève ingénieur doit, évidemment, être assez avancé dans chacune de 
ces branches, pour proliter pleinement de l'enseignement (|u'il reçoit de la 
suivante; cela, pour la science appliquée, détermine le minimum de science 
pure il enseigner. La question du maximum sera envisagée un peu pl:;s loin. 

Sur la question de savoir si l'enseignement des sciences pures et celui de 
la technique doivent être donnés à la même époque, M. Androuin répond 
sans hésiter: oui. En effet, il importe que le futur ingénieur vive le plus 
tôt possible dans une ambiance propre à le pénétrer de sa profession. Cela 
lui rend létude de la technique inliniment moins pénible, puisf|u il se 1 est 
assimilée graduellement par le travail naturel de l'esprit. 

Il est d ailleurs très important de réduire au minimum la dnrée des 
études. Lorsque les études sont trop longues, en effet, 1 ingénieur débute 
dans l'industrie à un âge où il ne lui est plu.s très facile d accomplir dans le 
rang nn^ période d'apprentissage, sans laquelle il est extrêmement didicile 
d'acquérir celte intuition que 1 un de nos collègues a appelée « le flair de 
l'ingénieur». Les éludes trop longues ont aussi le très grave inconvénient 
d être excessivement coûteuses et de fermer la carrière d ingénieur à ceux 
des bons sujets dont les parents ne sont pas assez riches. 

Dans ces conditions, il semble que, pour la facilité de l'organisation de 
l'enseignement, il soit préférable d'enseigner les mathématiques aux futurs 
ingénieurs dans des institutions techniques où ils puissent entrer très jeunes. 

Sur les questions de choix des matières à enseigner et du personnel 
enseignant : Dans l'enseignement des mathématiques aux futurs ingénieurs, 
I objectif doit être bien moins de leur enseigner beaucoup que de leur ensei- 
gner très bien. La considération d où découle le minimum à enseigner a 
été indiquée plus haut. Le maximum ne doit pas trop s en éloigner, mais 
Tensemble de chaque branche enseignée eu mathématiques doit toi'mer un 
tout homogène où l'enchaînement de tous les éléments apparaisse d une 
manière bien nette. 

C'est seulement à cette condition que 1 on aura atteint l'objectif principal 
de renseignement mathématique, qui est de donner à 1 esprit les qualités 
d'ingéniosité et de précision dont 1 ingénieui- a besoin. 

La question de l'enseignement limité et spécialisé sur la base de l'utilita- 
risme immédiat ne se pose même pas ; un tel enseignement jetterait le dé- 
sordre dans l'esprit des élèves qui, après avoir dans leurs toutes jeunes 
années étudié Iharmonieux ensemble que présentent les premiers livres de 
la géométrie et les mathématiques élémentaires en général, auraient la dé- 
sillusion de se trouver aux prises avec un fatras de théories sans liaison. 

U est donc nécessaire que chaque pi'ofesseur de mathématiques ait une 
mentalité de mathématicien, et que, dans la pratique de son enseignement, 
il attribue la première place à la culture générale tout en se tenant en con- 
tact avec les professeurs de sciences appliquées afin de donner à ceux-ci des 
élèves capables de comprendre facilement les parties de ces sciences appli- 
quées où il est fait usage des mathématiques. 

En résumé, 1 enseignement doit être dirigé de manière à : 

A. — Donner aux élèves une culture générale bien ordonnée dont leur 
esprit puisse rester indéfiniment imprégiié. et cida sans su relia rijer leur 
mémoire. 



356- J. II A DAM A ni) 

B. — Maintenir dans l'ospi-il des élèves \' é(fui[ihve entre cette culture 
générale et les notions professionnelles. 

C. — Rédnire au minimum ta durée des études, afin de donner aux jeunes 
ingénieurs les plus grandes facilités pour leur apprentissage industriel, et 
de laisser la carrière d'ingénieur aussi largement ouverte que possible. 

Erratum. 

Rapport général de M. E. Beke, p. 276, lignes 6 à 11. 

Dans une lettre datée du 30 juin 1914, M. C. Possé, l'un des délégués 
russes, nous signale une modification à introduire dans un passage concer- 
nant la Russie. La phrase « Ainsi, la revision générale » doit être rem- 
placée par la suivante : 

« Ainsi, la révision générale du cours des classes précédentes, la discus- 
sion des équations du second degré, le dessin projectif, I application de 
l'algèbi'e à la géométrie (homogénéité des formules, construction des for- 
mules rationnelles et des racines des équations du second degré, etc.), sont 
supprimés. » 



POINTS-PINCES, ARETES DE REBROUSSEMENT 



ET 



REPRÉSENTATION PARAMÉTRIQUE DES SURFACES' 



Les « poinls-pinces » de Cayley sont assurément, en un sens, 
une particularité très spéciale, très exceptionnelle des surfaces. 
11 ne semble pas, au premier abord qu'il puisse y avoir lieu de s'y 
arrêter dans un cours d'Analyse destiné aux débutants. 

Or je me trouve amené presque obligatoirement à y faire une 
brève allusion dans l'enseignement très condensé cependant que 
je professe à l'Ecole Polytechnique. 

(^est à propos de la représentation paramétrique des surfaces 
que je suis conduit à opérer ainsi. Soient les équations 

(1) .r^.r(/<,f| . r^^r[n,y) , :=:(«,»•) , 

Il et (^ désignant deux paramètres variables. On se borne généra- 
lement à dire que, ii et v variant indépendatnment de tontes les 
manières possibles, ces équations définissent: 



* Coiiiintinicalion présentée par M. J. Hadamard, membre de l'Institut, ;i la Société matlié- 
maticpic de France, le \*' avril 1914, h l'occasion de la Conférence internationale de l'ensei- 
gnement mathématique. 



n i: p i{ i: s i: N T A ri uy i^auame i ukjle 

(I une siiifiU'O, si lOii n'a |)as siniiillaiiciDciil 



:iô: 



Du/. .) 



D(«. Il 



\)\ 



Du/. 



= 



b) une courbe, si les lelations 2 ont lieu ensemble quels que 
soient //, <'. 

J'ai été frappé de ce qu'il y avait d'antiscientificiue et, par contre 
coup, de vicieux au point de vue éducatif, danscette énuméiation 
volontairement incomplète, faussée, des cas possibles. 

Il tombe sous le sens, en elfet, que ces cas ne sont pas au 
nombre de deux, mais de quatre, savoir (outre (i et b) : 

Cl Ces trois déterminants 2) s'annullent ensemble en un point 
unique. 

d) (>es trois déterminants s'annuUent ensemble en tous les 
points d'une ligne. 

En ce qui concerne ce dernier, il ny a qu'avantage à l'introduire 
dans l'enseignement. 

11 correspond, en elïet, à une <ircle de rebroiissement ; et ceci 
permet d'établir, de la manière la plus simple, l'existence (énon- 
cée très souvent sans démonstration dune telle ai'ète. 

A quoi correspond le cas c) ? Autrement dit, quelle forme a, 
autour de l'origine, la surface 



(2') 



.r|//, v\ = (iiii -\- />,r -|- 7.i//- + 2;i»i' -f- yji'^ -)- 



si les trois formes linéaires 

(3) </i// + /'!'■ . ('.,11 + /'ji' . fisit 4- l'z^' 

sont proportionnelles les unes aux autres ? 

On peut voir que, dans ce cas, la surface ,2') peut, en général^, 
par une transformation ponctuelle 



(I) /'i.r. _v, r.i = X 



/'(. 



* Plus précisément, c'est ce qui a lien si on suppose : 
1' que l'un au moins des coefficients Cj, 6^ ii = 1, 2, 3/, a . par exenip 
zéro ; 



fst clillVrent de 



l." que 

1 a» *! — /i «1 

«J ''s — % "t 
s S'a ''s — ,-s "s 

L'Enseignement maltiém.. Itl' anme ; 19U 



T'i ''t — Ti "t 
l'a ''a — "i's "a 



358 . /. HADAMARD 

régulière et à jacohien non nul à rorigine, se /-amener à 

(So) Y- 1= XZ- 

Tout d'abord, il est clair que moyennant une subtitution linéaire 
effectuée sur .r, y, ", on peut supposer nulles les deux premières 
des formes (3). 

Puis, comme rien n'empêche d'effectuer également sur //, i> 
n'importe quelle transformation ponctuelle 

(II) ?(«■ f) = U , •}(,/, rj = V 

h jacohien non nul à l'origine, on peut (si la forme (3) restante 
n'est pas identiquement nulle ^) supposer que la troisième équa- 
tion i2') se réduit à 

(4) z = u 

Ceci fait, nous supposerons - que l'un des deux coeflicients y, 
par exemple y, , est différent de zéro et peut, par conséquent être 
pris égal à 1. 

On peut alors admettre que la première équation (2'! se réduit à 

i4') r =^ r- 

Pour le voir, remarquons que l'équation 

15) ■ L^:':=^, + r.^u + ... =0 

z 0*' 

est alors résoluble en i> dans le voisinage de // z= «^ = et donne 

>■=?. H + )-2 u' + -.. =■/.(«)• 

Effectuons le changement de variable 

y = y\ii) -f- V 

lequel est de la forme (II). Ceci revient à admettre que l'équation 
(5) est vérifiée (identiquement en //) pour c = 0, c'est-à-dire que 
le développement dex ne contient aucun terme linéaire en r, soit 



• C'est l'hypothèse 1» de la note précédente. 

' Ceci est contenu dans l'hypothèse 2" de la note précédente. 



/.' /: l' Il i: s i: y I A 1 1 o .\ /' i /; .1 m i. i i: i <j i 1. .i:/.) 

Or 

t' I I -p nii II + "i *' + ■ I " =: V 

est une transfonnaf ion II , et 

X — <I> u I = X 

est une transformation 1 . I^n les elleetuant toutes deux. 1 expies 
sien de .r est bien réduite à la forme V . 

(>elle de // peut s'écrire, en séparant les termes pairs et les 
termes impairs en i>, 

y =z vl'"(«, r'i + G {II, 1-*!.= l'Fi:. .r) + G|:,.r) 

Comme la transformation // — G{z,u\ = Y est de la forme 'I , 
on peut supposer G =r 0. Les é(|uations de la sui-face sont alors V', 
4' et 

(4") V = rFi:, .r| , 

(l'on 

(Sil V* = .»■ F^ r- . M 

En général ^ F contiendra un terme en z seul du premier de- 
gré. Il pourra être alors pris comme nouvelle variable cet l'équa- 
tion sera ramenée à la forme iS(,u Sur celle-ci, il apparaît bien 
que l'origine appartient à une ligne double et joue le rôle de ^^point 
pince » -. 

En laissant de côté le détail des calcul qui précèdent, on voit 
que l'étude très simple de la surface Soj suffît à rendre compte de 
ce qui se passe dans le cas c]. 

J. Hadamaho, 

Membre de 1 Institut, Paris. 



' C'est riiviiotheso ï" mentionnée dans la note I de la page précédente. 

^ Un point de rebroussenienl non situé sur une ligne double ^exemple: i,* =:= x le* -|- x*' est, 

ce point de vue, une singularité plus élevée que celle du texte. 



SUR DEUX APPLICATIONS 
DES COORDONNÉES INTRLXSÈQUES 



1. — Dans un article « Sur quelques généralisations de la trans- 
formation de M. E. Koestlin », qui paraîtra prochainement dans 
les « Annales de l'Académie de Porto », nous avons traité Varcuïde. 
Nous y avons généralisé cette courbe ' en remplaçant Taxe recti- 
ligne par une axe curviligne (voir la définition au n" 2). De même 
nous avons mentionné plusieurs générations et les propriétés 
principales des courbes, dont l'équation intrinsèque est 

(1) R = ne""^ coHnz ou |1'| li = (içe'"'^ . 

Ces courbes, que nous avons nommées logarithmoïdales, ont 
été signalées comme semblables à leurs développées successives 
par M. G. I^oria ^, nous les avons traitées comme causticoïdes de 
la spirale logarithmique^ La logarithmolde fn =ii 1) a fait l'objet 
de plusieurs articles de M. Koestlin; (voir INlitt. math. nat. Verein 
Wiirttemberg, (2), 9, 1907, p. 21-30; (2), 11. 1909, p. 54); elle a 
aussi été mentionnée par d'autres auteurs^. 

Dans ce qui suit, nous allons déduire une relation intéressante 
entre les trois courbes associées à une courbe (Cj à l'aide des 
coordonnées intrinsèques. 

2. — Si l'équation intrinsèque de C a la forme 

(2) (C) = f\s , lli = 

on aura la courbe de Mannheim, repi'ésentée par l'équation ponc- 
tuelle 

(3| (Ml = /'i.r . VI = 



* Voir In thèse de M. Kokstlin : L'bcr eiiie Dcutung der Gleichung, die zwischen dein 
Bogen eiiier Kurve und der Seiguiig der Tangente im Endpitnktc des Bogens einer ebenen Ku've 
he.tteht, Tubingeii, 1907. — H. Wikleitnich, Spezielle ehenc Kurven. Leipzig, 1908, p. 373. 

- Voir Spezielle Ebene Knrvcn, 2» éd., Leipzig, 1910-11, t. If, p. 2t!0. 

" Voir Nii.s Gramî, Cher Kurven mil gleicha,rtigeii successiven Developpoiden, thèse, Lund, 
18»'i ; Ct. Lohia, II. p. 309. 

* L- Braudk, tber einige Verallgemeinerungen des Begriffes dtr Evolutnïde. .^rchiv der 
Math, und Physik |3), XX, p. 44-5-2 ; E. TuRuiicm:, L'Enseign. Miith. XV, 1913. p. 236; 
H. WiKLUiT.MiR, Spez. Eb. Kurven. p. 373. 



(■()<) H I) () y y E E s I y 1 1; i y s i- ij i /•; > :{G i 

comme lieu tlii pieniiei' (ciitie de cou i l)iii e (|uaiul on fait rouler' 
(Cl sur l'axe des ./ . 

Eu chercliaut à laide de ['«Miuatiou 

(4) </.v = Wdz, 

le inyon de courhui-e comme fonction de sa déviation tp , on auia 
léqualioii intrinsèque sous la forme 

(5i i(.:i = /iiU . il = . 

Alors la iddùile'' de C est le lieu des extrémités des rayons 
vecteurs équipollents aux rayotis de courbure de (Ci ; son ('quation 
polaire est 

(6) /;i/- . 'o') — . 

Enlin, en représentant la courbe (]j jjar l'équation 

(7) .s- = /iiç) 
VarcHïde de C) aura IVHjuation langentielle : 

(8) .»• eus z -\- y siii ç — /j'^) cos s r= 

Elle sera l'enveloppe des droites parallèles aux normales de (C) 
qui coupent l'axe des .v aux points dont les abscisses sont égales 
aux arcs correspondants de C. 

En dérivant (8î ou l'équation é({uivalente 

|8'| .»• + r l-ç — .s- = 

on aura les coordonnées cartésiennes du point de contact P.r, y), 
savoir 

(9) .»• = s — 1! siii ç ci>s z . V r= R ^o^- ç . 

De là, on déduit 

x — .s|- -j- 1 - = R- cos- 3 . 

le point Pi.i", y) est donc la projection du point E.*' = n. // = R . 
c est-à-dire du point correspondant de la combe de Maniiheini M 
sur la tangente 8 . 

3. — D'après un théorème publié par M. Santaxcelo et quelque 
temps après par l'auteur^, on peut faire rouler la radiale ,R de 



' Voir A. Ma.nnhkim. Oéoin. ciném., p. ô<lO ; G. LoKlA, 11, p. 231 ; H. A\'iki.i<it.nkh , p. 227 
Voir de même notre ihpse t'ber einige Vcraligemeinerungen des Begriffes der Maiinheimscheti 
Kitn-e, Heidelbei-g, 1911. 

- Voir G. LoBiA, 11, p. 289; H. Wiklkit.nkr, p. :î62. 

^ Voir G. B. Santangklo. SitlCe cnrve di Mannheini. sulU radiale e und gencralizzazione 
di i-sse, Rend. Cire. Mat. Pal., 29, 1910, on notre these, ou enlin notre article L'tbcr Itoll- itiid 
Ftiispunktkiirven, Rend. Cire. Mat. l'ai., 34, 1912. 



362 



A . li H A U D F. 



la courbe (C) sur la courbe de Mannheiiii (M) de sorte que Ja rou- 
lette du pôle est l'axe des .v , théorème qui est identique aux théo- 
rèmes bien connus de Steiner et de llabich sur les roulettes à 
base rectiligne et sur les podaires (Wieleitner, p. 207, 208). En ce 
cas la tangente g de (A) et l'ordonnée de (M) ou le rayon de (R) 
forment toujours l'angle y; g est donc identique à une droite 
immobile menée par le pôle'de (R). De là, il résulte : 

Quand on fait rouler la radiale (R) sur la courbe de Mannheini 
(M) on aura comme enveloppe d'une droite g, menée par le pôle de 
(R), une certaine arcnïde de (C). 




Par variation de g on aura les oc' différentes arcuïdes de (C), 
liées entre elles par la transformation de Koestlin, c'est-à-dire 
par une rotation constante de chaque tangente autour de son tracé 
sur l'axe des x. 

Applications. — a) Soit (C) une circonférence de rayon a, alors 
la coui'be de Mannheim est une droite g parallèle à l'axe des x à 
la distance d\ la radiale est une circonférence congruente pour 
laquelle le pôle est situé au centre. En la faisant rouler sur i,» on 
aura, d'après Chasles [G. Loria, 11, p. 142) comme enveloppes des 
diamètres un système de cycloïdes congruentes, représentant les 
arcuïdes de (C). 

bj Supposons que (C) est une cycloïde 



(10) 



.v=' + 11- z= ,1- 



OU 



(111 



c () o i{ DONN i: i: .s / 1\ T II f.\ s /■: (^> u k s mwi 

Alors la radiale esl la ciicoiiféreiu'c 
(12| ;• = a fos (ç — ç^i 

la courbe de Mann/wini est une circonférence à double extension 

(12') .1- + y- = o- . 

En faisant rouler (12) de même courbure sur (12' , onauraconime 
roulette du pôle qui est ici, d'après !12 un point 1* de sa péri- 
phériei Taxe des x de (12'). I/enveloppe d'une droite If^ menée 
par P est une aslroïde oblique, parallèle à l'enveloppe du diamètre 
de (12) qui est parallèle à g. 

c) L'arcuïde d'une astroïde droite, représentée par 

(13) 4.S- + R- = a- 
ou 

(13') .s- = -sin 2(5 — Ço' . f^ = " ^os 2(9 — ç^l 

est une hypocycloïde de Steinei\ dont l'extension est indépendante 
de la position de l'astroïde; son équation tangentielle est 

n 

(14) X cos ç + 1 siii 9 — — siii 2|5 — ç^,) cos 9 ^ 

elle aura donc toujours l'axe des x comme tangente à l'origine^. 
La radiale de \V.\] est la rosace à quatre feuilles 

I i5i /• = a sin la , 

la courbe de Mannheim est l'ellipse correspondante: 

(15') i.r- -\- y- =: a- . 

De là, il résulte : 

Quand on fait roule/- la rosace (15) sur l'ellipse (15') de sorte 
que la roulette du pâle soit l'axe des x on aura comme enveloppe 
d'une droite quelconque g menée par le pôle un système d'hypo- 
cycloïdes tricuspidales congruentes entre elles. 

d) Enfin la spirale logarithmique 

(16) R = as 

aura comme courbe de Mannheim la droite y = ax\ la radiale est 
une spirale congruente. On aura donc sans aucun calcul l'arcuïde. 



* Voir Laguerkk, Œuvres, 11, p. SSli; Wiki.kitnkr. p. 384; quant à une généralisation de ce 
théorème et de quelques autres, mentionnés dans cet article, voir aussi notre petit opuscule : 
Les coordonnées intrinsèques, Gauthier- \'illars, 1914. 



364 . L. li R A V n i: 

c'est-à-dire la /o^a/vV/^moiV/e eom me enveloppe d'une droite menée 
par le pôle de la spirale qu'on fait rouler sur la droite. 

4. ^ De même nous allons regaixler les arcuïdes d'une famille 
die courbes à courhiue proportionnelle. On aura une telle famille 
de courbes par la variation de la constante c dans l'équation 
intrinsèque 

|17) Il — cfist . 

Les courbes de Mannheim dont les équations ponctuelles sont 

(17') .V = <-/i.r) 

sont atTines entre elles par rapport à l'axe des .v. L'équation polaire 
des radiales est 



yi /• ds 



on aura donc toutes ces courbes par une seule par la multipli- 
cation du rayon polaire et de l'angle polaire avec deux constantes 
réciproques entre elles. Lnfîn les arcuïdes de R ^ fis) et de 
R =: cf{s) ont les équations 

(19) (A) X + r it? ? — •'"== . 
(19') (A'i .r + Y tg «ç — s = . 

On aura donc (A') en divisant l'angle (p compris entre la tan- 
gente de (A) et l'axe des x dans un rapport constant. 

Applications. — a) Soit (C) une circonférence dont l'arcuïde est 
une cycloïde. Toutes les courbes à courbure proportionnelle sont 
des circonférences semblables; de là il résulte : 

Quand on divise l'angle entre la tangente (normale) d'une cycloïde 
et la tangente aux sommets (directrice) dans un rapport constant, 
l'enveloppe de ces droites est une cycloïde semblable. 

bj Soit (C) une spirale logarithmique R = as alors toutes les 
courbes à courbure proportionnelle sont des autres spirales : 
R = a^s; de là on déduit : 

Quand on divise l'angle de contingence d'une logarithmoïde par 
rapport à l'axe fondamental (tangente} dans un rapport constant 
on aura comme enveloppes des droites une autre logarithmoïde. 

c) Supposons enfin comme (C) une astroïde oblique 

(20) .r cos ç + V siii z — cos ç eus (o — ro) = • 

Elle est l'arcuïde de la cycloïde .s = cos{(p — cpg] ou R- + ■">"'' = ^ ; 
l'axe des x est une tangente double de l'astroïde. En appliquant 

la transformation s = .s', Pi =■ -7 , la cycloïde aura comme courbe 



c ()() li I) () .V .V i: i: s i \ / 1< i y s i. <> i ■ e s '^ç^'^ 

\\ comijuie pio|)(>ili(nm<'llc iiiio asli-oïtle clroilc, dont I hkiiiiIi- est 
une liypocycloule de Steinei-. On trouve donc : 

Qiitind on dédouble Vnn^U>. d'inclinaison de Ui hini^ente \'aiiahle 
d' une (istruïde oblique par rapport à une tangente double, l'enve- 
loppe de ces droites est une hijpocycloide tricitspidale. 

Si par exemple l'équation cartj'sienne de l'astroïdf est 

(21) M- — /»)*' + .■»''—'-'«= 

celle tle rhyjxKVcloïdc tiicuspidale est 

l21'i .»■ l'Os 3 -\- 1 siii ç — '2(1 cos-' ç = , 

il y a dont; au point de rebroussement de 21 , situé a 1 oii;uinc. 
un rebroussement de la courbe 21'; ; le sommet opposé de 21' 
est situé dans l'autre rebroussement de (21 , c"est-à-dire au point 
v = 2a, ?/ = . 
Pour la croix de Malte 

|22| x cos ç. -(- V siii ç; — a cos- ç; z= 

dont Taxe des .v est la tangente au point auto-tangentiel, la podaire 
de la transformée 

i22'| X cos z -\- y siii ç — a cos s cos 2ç := 

est un t /i/o lin ni droit ^. 

L. BiiAUDE Bierstadt -Wiesbaden . 



' Voir G. LoniA, 1, p. ITU: F. G. ïi inkiha. Traite de courbes spcciaUs reniarquahles planes 
et gauches, Coïmbre. l'JcS. t. 11. p. 18X: H. Wiki.eitnkh, p. 149. 



REMARQUE SUR LES POINTS D'INFLEXION 
D'UNE CUBIOUE A POINT DOUBLE ^ 



La construction des points d'inllexioii du ne cubique à point 
double levient, au fond, à la construction des trois éléments unis 
d'une correspondance (1,2). Sous ce point de vue, le problème 
n'est point nouveau, puisque la définition des points d'inflexion 
par une correspondance (1,2), a déjà été donnée par Em. Weyr ^ 
et que la construction des points unis d'une correspondance (1,2 
générale par l'intersection de deux coniques est un problème 
depuis longtemps résolu ■^ 

Mais on peut se poser un autre problème au sujet de la cons- 
truction des points d'inilexion d'une cubique unicursale : c'est 
celui de construire la droite, joignant les trois points d'inilexion 
et que l'on peut appeler ligne des inflexions. On verra dans la 
suite que celte construction se fait par la règle seule; aussi cette 
construction résume-t-elle une grande partie de la théorie des 
points d'inflexion. 

J'appelle conjugués' deux points qui ont le même point tan- 
gentiel. Rappelons deux propriétés de ces points : 

aj La ligne qui joint deux points conjugués, dont le point tan- 
gentiel est A, rencontre la courbe à nouveau au point A', conju- 
gué du point A ''. 

h) Toutes ces lignes touchent une même conique''. 

l^es couples de points conjugués forment une involution sur la 
courbe ; ils sont donc découpés par les coniques d'un faisceau [F] 



' A propos de la communication de M. L. Crkmiîr, Sur les correspondances en géométrie 
si/nthètique (V. V Enseignement mathématique, n» du 15 nov. 19t;i|. 

- E. WicVR, Théorie dcr mehrdcutigen geomctrischcn Elementargcbilde (Leipzig, 1869), 
].. 93. 

= V. p. ex. H. ScilRŒTicu, Die Théorie der ebenen Kiin'en dritter Ordnnng (Leipzig, 1888). 
p. -.'(t. 

■^ V. p. ex. H. ScHniKTiiH, /. r., p. 6. 

" V. p. ex. H. ScHRtETER, /. C, p. 11. 

'■ V. Em. Wkvh, l. c, p. 103. 



l'Oixi s I) I y r 1. 1: .\ I () .\ .'jg: 

passant par Ir point (loiililc (), par deux ])()iiit>> lixrs choisis aihi- 
trairemeiit siw la (((iiihc (M par un qualriètiie point (^ silin- liois 
de la comlx' fl (Icleiinint' pai- les li-ois pif'cédcnls. Prenons poni- 
les (k'nx points lixes sni- la combe un couple de points conjn<,aiés 
P.P'. [-e faisceau [F"i est lié par une correspondance horno^Ma- 
phi({ne au faisceau de droites projetant du point O les points 
tangentiels coninuins des couples de points conjugués. Ces deux 
faisceaux engendrent une cubique C ayant () p(tur point double et 
passant pai' les points P,P',Q; on conçoit facilement ((u'elle coupe 
en outre la courbe primitive aux trois points dindexion. La 
courbe C se compose de trois droites. Kn ell'et : a la droite (JP 
correspond dans le faisceau [¥] la conique découpant les deux 
points conjugués dont le point tangentiel est P; ces deux points 
sont situés théorème a sur une droite />> contenant P' ; comme 
cette droite a trois points communs avec la conique, cette coui-be 
se compose de la droite />, qui doit contenir le point Q, et de la 
droite OP. Donc, cette droite fait partie de la courbe (^; il en est 
de même de la droite OP'. Appelons /la ti'oisiènie droite concou- 
rant à former la courbe C. On conclut du raisonnement qui pré- 
cède que la droite /' contient les trois points d'inflexion tle la 
courbe ; que cette droite contient le point Q ; que par le point Q 
passent aussi la droite p et la droite analogue p\ laquelle passe 
par le point P et joint les points dont le point tangentiel est P'. 

On a le théorème : P/enons deii.v couples de points conJKgiiés 
dont les points tangentiels communs sont eux-mêmes conjugués. 
Les droites Joignant les deux couples se rencontrent sur la ligne 
des inflexions. 

On pourrait déduire de ce théorème une construction quadra- 
tique de la ligne des inflexions. 

On a vu que chaque conique passant par le point double, par le 
couple de points conjugues P.P'et par un autre couple arbitraire 
de tels points passe par le même point Q situé sur la droite /. 
Soit B le point d'intersection de la droite OQ avec la courbe ; et 
soient R,R' les points conjugués ayant 13 pour point tangentiel. 
La conique déterminée par les points 0,P,P'li,R' passe aussi par 
le point Q. Puisqu'on peut inteivertir les rôles des deux couples 
P.P'Pi.R', on conçoit lacilement que la droite joignant le point 
double au point tangentiel du couple P,P' rencontre la conique 
pour la deuxième fois en un point de la ligne des indexions. 

Donc : la conique déterminée par le point double et par deux 
couples de points conjugués rencontre la droite des inflexions aux 
tnèmes points que les deux droites qui Joignent le point double aux 
points tangentiels des deux couples. 

Faisons coïncider les deux couples; on conclut du théorème 
précédent : la conique passant par le point double et touclmnt la 
courbe en deux points conjugués touche la ligne des inflexions au 



;i(i8 />'. Il y 1) zo V sK y 

point of'f ci'tle lii^ne est iciicoiitrce par la dnn'te (jui Joint le point 
double au point ttiniie/itiel du couple des points conjugués. 

On dëcluit tic ce llicoi-ème la construction suivante de la ligne 
des in/le.vions : consti iiisons la tangente en un point P de la courbe 
et déterminons son point tan^enliel A ; menons de ce point la 
seconde tangente ii la courbe et détei-minons son point de contact 
P'. La ligne PP' lenconlre la droite OA au point A,; construisons 
le conjugué harmoni<[ue Q du point O par rapport aux points 
A, A,, et le conjugué harmonique N du point A^ par rapport aux 
points P,P' ; la ligne joignant les points Q,N est la ligne des 
inflexions. Cette consliuction se fait par la règle seule. 

Puisque la ligne PP' contient le point A' conjugué au point A, 
il est facile de voir cjue la ligne NA contient le couple de points 
conjugués ayant A' pour point tangentiel. Les lignes NA, NA, 
sont par suite deux tangentes de la conique-enveloppe des 
droites qui contiennent les couples de points conjugués (théo- 
lème hj ; il suit de la construction précédente que la ligne des 
inflexions est la polaire du point double par rapport à cette conique. 
Les tangentes au point double de la courbe sont aussi des ligues 
contenant des couples de points conjugués (ce sont les deux 
points superposés au point double ; il s'ensuit que la lii>ne des 
infle.vions rencontre la. conique aii.v deux points oii elle est coupée 
par les tangentes au point double ^ 

B. Bydzovsky (Prague-Karlin). 



' J"ai publié une autre démonstration de la construction de la ligne des inflexions dans 
lasopis pro pèstovàni inathematiky a fysik;/, t. XXXV (Prague. 1905). 



MKLANGKS 



coi{Ki:siM)M)AN(:fc: 



A propos de la remarque de M. Bvdzovskv 

Extrait d'une Icllri' de M. L. Cki;i.ii;k. 



Nous avons coniiminiqiie la .NDle ci-dessus, en ëpieuve, ;i 
M. CnELiER, qui nous a répondu par une lettre dont voici le prin- 
cipal passage. (IV. de la Rêd.l 

« Quand jai publié mes premières lecherches sur la irèométiie 
synthéti(iue des courbes supérieures L Ensi'i<^ii. Math., IDOOi, le 
travail de .M. Em. ^VEvn m'était inconnu. Si nous sommes ai-rivés. 
Weyr et moi à des résultats analogues, nos points de départ et 
nos raisonnements sont quand même différents. 

« Où Weyr n'a donné qu'une méthode de construction, j'en 
apporte en général deux et, d'autre part, par mes notes parues 
en 1906 et 1907, les résultats obtenus peuvent immédiatement 
s'appliquer à des courbes plus générales que celles du 3"^ degré 
ou de la 3" classe. 

Enfin l'application systématique et constante de la dualité des 
raisonnements m"a permis d'étendre quelque peu et par des 
moyens faciles le champ des courbes de classe. 

;( A titre d'exemple, j'appliquerai la méthode dualistique à la 
Note même de M. Bvdzovskv et j'en tirerai a priori les deux théo- 
rèmes suivants dont je donnerai la démonstiation dans un pro- 
chain numéro de VEns. Math. : 

« I. — Les trois tangentes de rehronssenient d'une courbe de la 
3" classe à tangente double isolée se coupent en un même point. 
Celui-ci est le pôle de la tangente double par rapport à la conique 
auxiliaire lien des points de coupe des tangentes conjuguées. 

« II. — Dans une courbe de 3" classe avec une tangente double à 
points de tangence réels et différents, la tangente du seul rebrous- 
sement possible passe par le point de coupe des tangentes de la 
conique auxiliaire menées par les points de tangence de la tangente 
double. )) 

L. CitELiEii Berne-Bienne . 



CHHOiAIlUUE 



Le Premier Congrès de Philosophie mathématique '. 

Piu-is, 6-8 avril 1914. 

Le premier Congiès de Philosophie mathématique a en lien à 
Paris du (> au 8 avril 1914, sous les auspices de la Société française 
de Philosophie, et comme suite à la Conférence internationale de 
l'Enseignement mathématique. Les séances se tinrent à la Sor- 
bonne, sous la présidence de M. Xavier f.i':o\, directeur de la 
Revue de Métaphysique et de Morale, et principal organisateur de 
la réunion. 

î.,e dimanche 5 avril, à 4 heures, une réception des plus cor- 
diales, offerte par M. et M""^ X. Léox, permettait aux membres du 
Congrès de faire connaissance. 

Lr sêcowe généf-nle d'oin'ert(i/-e eut lieu le lundi matin sous la 
présidence de iNI. Emile Boitkoux, membre de llnstilul et prési- 
dent d'honneur du Congrès. 

M. X. LÉt)x exposa tout d'abord les origines de cette réunion de 
phih)sophes et de mathématiciens. 

Dans son discours tl'ouverture, M. E. Bouthoux a commencé par 
rappeler le nom de M. Henri Poixcaré, son beau-frère, dont le 
souvenir est présent dans tous les cœurs; il salue les congres- 
sistes au nom de cette chère mémoire. Puis il étudie les rapports 
de la philosophie avec les sciences et plus spécialement avec les 
mathématiques. Cette étude, remarquable par la richesse et la 
hauteur de ses vues aboutit à la conclusion que voici : Comme son 
histoire le montre, la philosophie ne peut se développer que par 
un contact intime avec les sciences; mais sous peine de manquer 
à sa mission elle ne doit se laisser absoiber par aucune d'entre 
elles et maintenir jalousement sont autonomie. 

M. TiMEiîDiNc expose ensuite les ditlicultés tiès grandes qu'il y 
a à organiser le plan et la matière des ouvrages qui, dans VEncy- 



' Les travaux et les discussions <lu Congrès feront l'objet d'un numéro spécial de la lici'iu 
de Métaphysique et de Morale dirigée par M. X. LÉON. Librairie Arm. Colin, Paris. 



(■ Il II () N I n u !■: :ri 

clopcdit' des Sciciues nuillu-nuttiques, seioiit consacn's à la philo- 
sophie. Les rappoils (pii exislent entre les niathémaliqiir's cl la 
philosophie ont ('lé et sont encoi-e trop étroits j)our (pie l'on 
puisse n('gliu;er ictte dei'nière; mais conimenl les compiendre ? 
Quelles sont les questions philosophiques qui sont d'un intérêt 
vital pour les mathématiques? M. Timerding espère que le nou- 
veau Congrès qui s'ouvre permettra de préciser en partie ce 
problème. 

Les séances suivantes lurent consacrées à la lecture et à la dis- 
cussion des travaux énumérés ci-après: 
Al. P. Lan(;evix : Le temps local. 

M. H. DiXGLKR : Sur la théorie des Sciences de Henri Poincaré. 
M. DiEXES: Sijnibolisine et rècilitè dans les mathématiques. 
M. L, Coutuhat: De l'abus de l'intuition dans l'enseignement nia- 

thématicitie. 
INI. R. Lk Kov : Les démarches essentielles de la pensée mathéma- 
tique en analj/se pure. 
M. F. ExitiQLEs : L'infini mathématique. 
M. A. Rey.mond : \j infini géométrique et l'intuition. 
M. D. K()M(; : a) Neue Grundlagen der Logik. Arithmetik nnd 
Mengenlehre von J. Kônig. — b) Sur un problème de la tJiéorie 
générale des ensembles. 
M. A. Padoa : Des conséquences d'un changement d'idées primitives 

dans une théorie déductive quelconque. 
M. H. Duil.mieiî: La logique des classes et la théorie des ensembles. 
M. A.-N. Whitehead: La relation d'espace ithe relational theory 

of space). 
JVl. L. Nelson: Ueber die Grundlagen der Géométrie. 
M. J. Hadamard : Propriétés intrinsèques de l'espace. 
M. J. Hadamaku : Le calcul fonctionnel., analyse et synthèse. 
M. L. BuLxscHvicG : L'arithmétique et la théorie delà connaissance. 
M. M. Wixter : Le temps et la mécanique héréditaire. 

Dès lundi après midi et jusqu'au mercredi soir, les séances 
furent toutes consacrées à l'étude critique des travaux cpii fiifu- 
raient au prooramme. Les communications avaient été gioupées 
suivant leur contenu, ce qui contiibua à donner plus d'unité aux 
discussions; mais, comme le fît remarquer M. Fehiî à la fin du 
Congrès, peut-être y aurait-il eu avantage à limiter et à concen- 
trer encore les sujets que l'on se proposait d'étudier. 

Dans la séance du lundi après-midi, M. Lax(;evix donne tout 
d'abord, d'après ses propres idées et en tenant compte des récents 
travaux d'Einstein, un exposé magistral et complet de la question 
que soulève le temps local. M. Aijuaham fait des réserves sur les 
conclusions formulées par M. Langevin. Le groupe de transfor- 
mations défini par F.instein est bien plus un programme de 
recherches qu'un fait établi, car en tant qu'il caractérise une pro- 



372. C un NI QUE 

priété d'invariance il doit s'a])|)liqiicr à tontes les forces phy- 
siques, y compris le champ de gravitation, ce qui n'est pas le cas. 

M. DiNCLKit lit ensuite sa communication sur la //léori'e des sciences 
d'Henri Poincaié. Il montre que sui" ce point les idées du jj^rand 
mathématicien ne sont pas aussi contradictoires qu'elles le parais- 
sent à première vue. Pour les comprendre il faut distinouei- « deux 
espèces de recherches : a) l'une opérant avec des conventions et 
h) l'autre opérant par l'expérience. En trouvant les fiontières qui 
les séparent l'une de l'autre on peut montrer comment elles 
peuvent subsister simultanément». M. Padoa loue M. Dingler 
d'avoir dissipé les équivoques que le style subtil et paradoxal de 
Poincaré a pu faire naître chez certains esprits faibles et d'avoir 
montré que ses théories ne donnent pas le droit de contester la 
valeur de la science. 

M. DiEiXEs résume les théories essentielles d'un remarquable 
travail intitulé : Symbolisme et réalité dans les mathématiques. Les 
symboles mathématiques ont pour caractère essentiel de consti- 
tuer un système ; ils forment un tout auquel chacun d'eux est lié 
d'une façon indissoluble. Pris isolément, les termes n'ont aucun 
sens mathématique. La construction d'un système dit mathéma- 
tique n'est ni déductive ni inductive ; mais elle procède par géné- 
ralisations successives. Les mathématiques ne forment pas un 
ensemble de conventions arbitiaires, à moins de procéder comme 
Hilbeit et de dépouiller les signes de toute signification. On peut 
ne pas symboliser le côté systématique de la réalité sensible ; mais 
si l'on s'engage dans cette voie, les mathématiques surgissent in- 
évitablement et c'est pourquoi elles ont une objectivité indéniable. 

Dans son étude sur « l'Abus de l'intuition dans l'enseignement 
mathématique)), M. I^. Couturat pose le problème suivant : Quelle 
place convient-il d'attribuer respectivement à la logique et à 
l'intuition dans l'enseignement des mathématiques? Il conclut en 
disant qu'après avoir pris dans la réalité intuitive et objective une 
base suffisamment large, la démonstration doit procéder par voie 
déductive, s'interdire tout appel à l'intuition et pratiquer la mé- 
thode même qu'Luclide croyait ou voulait employer. D'après 
iNl. Hadamahu on ne saurait faire dans l'enseignement secondaiie la 
part trop grande à l'intuition ; ce qu'il faut réprimer c'est, non pas 
l'abus de l'intuition, mais l'insuffisance de la rigueur. La rigueur 
doit marchei' de pair avec l'intuition, et pai- rigueur il faut en- 
tendre l'énoncé complet des axiomes nécessaires à une théorie 
déductive, et non la réduction de ces axiomes au pins petit nombre 
possible. Cette dernière tâche, en effet, doit être réservée à l'ensei- 
gnement universitaire. 

En France, dit M. Bioche, on s'efforce de ne pas sacrifier la 
rigueur dans l'enseignement élémentaire; on se borne parfois à 
énoncer et \\ faire vérifier expérimentalement certaines proposi- 



CIIliONinUE 373 

tions lorsque la démonstiatioii en est trop complexe. M. Padoa 
fait reiiiar(|uer que par abus de rintiiition il faut entendre sim- 
plement l'emploi des pseudo-démonstrations. Loin de masquer 
les appels à l'intuition, la logistique les ftiet en pleine lumière 
par le fait qu'elle énonce tous les postulats d'une théorie déduc- 
tive. M. (]oi;tuhat estime qu'il y a équivoque sur le mot intuition. 
Celui-ci désigne, tantôt un recours à l'usage des yeux et des sens, 
tantôt une opération intellectuelle, irrédiictihle et inanalysable. 
M. Coulural n'a jamais voulu condamner l'intuition sous la 
deuxième de ses formes. M. Foxtené, enfin, insiste sur la rigueur 
qui caractérise l'enseignement des mathématiques en F'rance. Une 
figure n'est jamais inti'oduite sans que l'on en ait démontré 
l'existence. 

Malgi'é l'heure avancée, M. Le Roy sut retenir l'attention de 
l'auditoire par sa belle conférence sur « les démarches essentielles 
de la pensée maihématique en analyse pure. Par des exemples 
appropriés il montre qu'il y a dans les fonctions mathématiques 
un élément d'objectivité irréductible à l'analyse. 

Le mardi matin, 7 avril, M. F. ['^muques aborde le problème de 
l'infini mathématique. L'idée de l'infini ne peut provenir unique- 
ment de l'expérience; elle implique nécessairement l'intervention 
de la raison et se présente sous deux aspects : potentiel et actuel. 
Jusque-là, tous les philosophes sont d'accord ; mais peut-on 
passer de l'infini potentiel à linfini actuel ? C'est sur cette ques- 
tion que les opinions divergent, et que les mathématiciens se 
partagent en réalistes et nominalistes pour employer une termi- 
nologie empruntée à la scolastique. 

Les réalistes affirment l'existence d'un infini actuel, et cette 
affirmation, bien qu'elle soit indispensable comme méthode de 
recherche, repose cependant sur de faux principes qui sont les 
suivants: toute suite d'approximations successives a une limite ; 
toute infinité est égale à une classe ; à la limite on peut passer du 
fini à l'infini. Les nominalistes se refusent à accepter de sem- 
blables propositions parce qu'elles conduisent à des paradoxes 
comme celui énoncé par Galilée. D'autre part, Dubois-Reymond 
a montré que sous le nom d'idéalisme et d'empirisme les deux 
tendances qui viennent d'être caractérisées coexisteront toujours. 
Cantor, tout en se défendant d'être réaliste a essayé de surmonter 
la difficulté et de manier l'infini ; mais il a dû recourir pour le 
nombre w à un postulat d'existence ; par suite il n'échappe pas aux 
difficultés que soulève le réalisme et que les antinomies de Burali- 
Forti ont mises en pleine lumière. 

M. Hadamaru se défend d'être réaliste au sens défini par 
M. Enriques; il approuve les critiques adressées par Burali-Forti 
au cantorisme : mais d'autre part il admet le théorème de Zermelo 
suivant lequel le continu peut être bien ordonné, ce qui suppose 

L'KnscMgnement ni;it1)éin., 1l>- année; llMi. i\ 



374 C un ON /QUE 

pour l'esprit la possibilité de concevoir une infinité de cln)ix indé- 
pendants. Un certain réalisme touchant Texistence de l'infini est 
impliqué dans les mathématiques. La fonction de Dirichlet- 
Riemann ne peut sans cela être interprétée d'une façon satisfai- 
sante. M. Borel bien que professant le nominalisme a cependant 
pris une attitude réaliste dans quelques-uns de ses plus remar- 
quables travaux, par exemple dans la démonstration du théorème 
suivant: une série de Taylor, écrite au hasard, admet en général 
son cercle de convergence comme coupure. M. Cahkn fait remar- 
quer que ce théorème recevra peut-être un jour une interpi'étatioîi 
nominaliste comme cela est arrivé dans d'autres cas. M. ^NniQUEs 
admet la fonction de Dirichlet-Riemann, parce que la notion en 
est suggérée par l'expérience ; mais cette suggestion fait défaut 
lorsqu'il s'agit de l'axiome de Zermelo, lequel suppose un choix 
extia-expérimental pour ainsi dire. M. Lebesguh estime que 
M. Hadamard est plus ou moins conduit par sa conception à sup- 
poser l'existence d'une intelligence divine capable d'opérer une 
infinité de choix indépendants ; les mathématiques dans ce cas 
renfermeraient des théorèmes que nous ne pourrons jamais com- 
prendre. S'engager dans cette voie c'est aboutir à l'axiome de 
Zermelo et aux antinomies cantoriennes. MM. Coutuhat et Dliu- 
MiEii insistent sur la distinction qu'il faut faire relativement à ces 
problèmes entre la notion de loi et celle de correspondance. 
M. Whitehead enfin parle des moyens que M. Russell et lui ont 
mis en œuvre dans les Principia inathematica pour échapper aux 
antinomies de l'infini. 

La séance du mardi après-midi fut ouverte par deux communi- 
cations de M. Konk;. Dans la première, M. Komc résume les idées 
de son père sur la logique, l'arithmétique et la théorie des en- 
sembles. Gi'àce à un choix judicieux daxiomes et de définitions 
les contradictions relatives au transfini disparaissent et n'ont plus 
de sens. Dans sa deuxième communication M. KiiMc; donne la dé- 
monstration d'un problème concernant la théorie des ensembles et 
cela en s'appuyant sur l'axiome de Zermelo. 

M. Padoa parle ensuite des conséquences d'un changement d'idées 
primitives dans une théorie déductive quelconque. 11 commence par 
montrer l'intérêt de ce problème pour la coordination déductivc 
de toute science. Etant donné le système d'idées primitives et le 
système de postulats sur lesquels repose une science, à quelles 
conditions peut-on en opérer la réduction et en découvrir de meil- 
leurs? Lorsqu'il s'agit des postulats, le problème est très simple; 
mais dans le cas d'une déduction des idées primitives la tâche est 
plus délicate et demande une série d'opérations que M. Padoa 
analyse avec grand soin. 

M. H. DuFUMiER dans son étude sur la logique des classes et la 
théorie des ensembles se propose de montrer que sous sa forme 



i 



CimOMQUE 375 

systématique l'alocu-ithme des classes doit être considéré comme 
une généralisation de la théorie des ensembles. La signilication 
logique du concept ne réside pas dans son extension, c'est-à-dire 
dans une fonction numéiique, mais bien dans le fait qu'il peut être 
afiirmé ou nié. Or la notion d'ensemble dépouillée des détermi- 
nations qui lacheminent vers la notion de nombre se ramène a 
ceci: délimiter dans un univers donné et par rapport à cet uni- 
vers un domaine d'objets qui lépondent à une désignation définie 
à l'exclusion de tous les objets qui n'y satisfont pas. Classe et en- 
semble reposent donc sur le même fondement logique. 

M. Pauoa critique cet exposé et reproche en particulier à 
M. Dufumier d'avoir dans son exposé historique commis des 
erreurs en ce qui concerne l'emploi des symboles de subsomption. 
M. DuiiMiER déclare que M. Padoa ne l'a pas compris. L'emploi 
défectueux des symboles que celui-ci lui reproche avait précisé- 
tiient pour but de mettre en lumière leur Imperfection. 

M. Arnold Reymond résume sa communication sur l'in/ini géo- 
métrique et l'intuition. Mathématiquement on peut lamener le 
problème de l'infini géométrique à celui de l'infini analytique ; 
logiquement on peut le définir comme un élément idéal par rap- 
port à d'autres éléments dits réels ; mais philosophiquement un jiro- 
blème subsiste. Pour le résoudre il faut distinguer entre lintuition 
et la transintuition géométriques, l'une et l'autre concevant l'éten- 
due comme homogène et continue. Cela étant, la considération des 
éléments à l'infini fait toujours intervenir une dimension spatiale 
de plus que ce n'est le cas pour ces mêmes éléments envisagés dans 
Le fini. Rn outre, l'infini géométrique implique des caractères à la 
fois stati({ues et dynamiques. Kn efièt, les éléments de linfini sou- 
tiennent avec ceux du fini des rapports constants de position et de 
situation. D'autre part, ces rapports ne peuvent être explicités 
autrement que par des nombres et le dynamisme qui est propre à 
la loi de la numération s'introduit dans la notion de l'infini géo- 
métrique et la rend transintuitive. 

M. Enriques ne croit pas qu'une dimension nouvelle inter- 
vienne nécessairement dans la considération des éléments à 
l'infini. La droite peut être définie sans être considérée comme 
une ligne fermée. M. Keymoxd répond que logiquement cela est 
en effet possible; mais, du point de vue de l'intuition, la droite 
indéfinie ne peut être conçue autrement que comme une ligne 
lérmée. Une discussion s'engage ensuite entre MM. Fontené. Lax- 
(;evix et Exriques sur les espaces à n dimensions. 

Le mercredi matin 8 avril, M. A.-N. Whitehead donne une étude 
approfondie sur la relation d'espace. Cette étude utilise un sym- 
bolisme trop technique pour que nous puissions la résumer ici. 
Disons seulement ([ue M. \\ hitehcad fait ressortir avec netteté les 
divers sens attribués au mot espace. Il y a tout d'abord un espace 



376. CHROMQUE 

appaienl qui comprend lui-rnèine deux caléiroi-ies : l'espace appa- 
leut immédiat (pii varie dnu individu à laulre et lespace apparent 
coujplet auquel se réfère le commun des hommes dans la conver- 
sation. Vient ensuite l'espace physique qui est celui d'un monde 
hypothétique d'objets, le même pour tous, et qui correspondrait 
exactement à nos sensations. Reste enfin l'espace abstrait auquel 
cori-espond la géométrie abstraite. 

Il existe de nombreux espaces apparents immédiats et de nom- 
breux espaces abstraits. Il est d usage de supposer qu'il n'y a 
qu'un espace apparent complet et qu'un espace physique, ce qui 
est contestable pour ce dernier. 

Cela étant, M. Whitehead développe la thèse suivante. Pour 
établii- les fondements de la géométrie il ne faut pas prendre 
comme idées primitives et indéfinissables les notions de points, 
lignes, etc., car l'on est alois fatalement conduit à une théorie 
absolue de l'espace qui, nominalement du moins, est universelle- 
ment abandonnée. Pour conserver un sens à la relativité de 
l'espace il faut définir les points en fonction des relations cjui 
existent entre objets et M. Whitehead montre comment une telle 
définition peut être établie. 

M. Hadamaru signale un rapprochement intéressant entre les 
idées de i\l. Whitehead sur la limite conceptuelle et celle que 
iM. Fréchet a développées dans sa thèse. M. Dixgler fait remar- 
Cfuer que les opinions de M. Whitehead sont en désaccord avec 
les conclusions adoptées par M. Russell dans les Principles of 
mathematics. iNI. Whitehead réplic|ue en disant que sa collabora- 
tion avec M. Russell n'empêche pas certaines divergences de vues 
et que du i-este celui-ci a évolué dans ses idées sur l'espace. 

Avec la maîtrise et la compétence que l'on sait, I\I. Hadamard 
expose ensuite deux sujets du plus haut intérêt. Le premier con- 
cerne une façon nouvelle et ingénieuse de concevoir les propriétés 
intrinsèques de l'espace par analogie avec la périodicité qui carac- 
térise les fonctions elliptiques. Quant au second il traite du <:(7/r/// 
fonctionnel, analyse et synthèse; mais il ne saurait être i-ésuméeii 
quelques lignes seulement. 

Le mercredi après-midi, ÎNL L. Nelson donne lecture de son tra- 
vail sur les fondements de la géométrie. D'après lui, on oscille 
constamment dans l'étude de cette ciuestion entre deux théories 
opposées qui sont l'empiiisme et la logistique; comme chacune 
d'elles s'affirme en niant l'autre, la lutte est sans issue. Si en dé- 
sespoir de cause on les rejette l'une et l'autre on aboutit au con- 
ventionalisme ; mais cette solution est aussi fausse que les deux 
autres. C'est dans une synthèse féconde que la vraie solution sera 
trouvée. Cette synthèse a pour base une intuition à priori et une 
série de propositions démontrant que seule la géométrie eucli- 
dienne répond à la vérité géométrique intégrale. 



CHRONIQUE 377 

M. Kniuqies conteste qu'il y ait une intuition à priori de la 
géométrie euclidienne. Plusieurs géométries sont éf^alement pos- 
sibles ; mais par l'expérience nous finissons par acquérir l'intui- 
tion de l'espace euclidien, et celle-là seulement. M. Padoa estime 
que l'on ne saurait opposer l'expérience et la logique; elles lepré- 
sentent deux moments successifs et non simultanés dans l'évolu- 
tion de la science. On ne saurait, d'autre part, réaliser intuitive- 
ment un espace non euclidien avec des éléments tirés de l'espace 
euclidien. M. Foxtenh, enfin, développe des considérations sur la 
géométrie générale en s'inspirant des idées de Cayley. 

M. Bruxschvicg résume brièvement sa communication sur 
V Arithmétique et la théorie de la connaissance. Il conclut en disant 
que certaines conceptions comme le nominalisme et le réalisme 
sont dépassées. Ce qui importe, c'est de saisir la connexion entre 
l'activité de l'intelligence et l'épreuve des faits. 

La dernière communication annoncée au programme était celle 
de M. WixTER : le temps et la mécanique héréditaire. En voici les. 
idées essentielles. D'après M. Picard, un système est dit non- 
héréditaire si son état futur ne dépend que de l'état actuel et de 
l'état infiniment voisin ; il est héréditaire dans le cas contraire. 
L'étude du mouvement d'un projectile dans le vide appartient au 
premier type; quand au second, on peut en donner, outre les 
phénomènes d'hystérésis, l'exemple pratique suivant: un pont 
métallique, selon cju'il est en usage dej^uis longtemps ou non, ne 
se déforme pas de la même façon sous l'influence d'une même 
charge. 

Les travaux de M. Volterra concernant les fonctions de lignes 
et qui se rattachent au calcul fonctionnel ont permis de soumettre 
à un traitement mathématique les phénomènes mécaniques héré- 
ditaires. La détermination de ces phénomènes- doit tenir compte 
de tous les états antérieurs du système jusqu'à un certain instant 
t^ au delà ducjuel l'action héréditaire est négligeable. 11 fallait 
trouver un algorithme exprimant cette action de toutes les valeurs 
d'une fonction le long du temps. M. Volterra a montré que selon 
les cas cet algorithme peut prendre, entre autres, la forme d'une 
équation intégrale, où la fonction inconnue figure sous le signe 
intégral ou bien d'une ou de plusieurs équations intégro-dllfé- 
rentielles, dans lesquelles les dérivées de la fonction inconnue 
figurent également sous le signe intégral. 

Mais certains auteurs et notamment M. Painlevé estiment que 
la non-hérédité des phénomènes mécaniques n'est qu'apparente. 
Si nous disposions d'ultra-microscopes très puissants, nous j^our- 
lions analyser l'état moléculaire d'un système mécanique dans ses 
conditions initiales et en exprimer le cycle par des équations 
différentielles ordinaires. 

Une semblable objection suppose ({u'iin seul type d'explication 



378 . CHRONIQUE 

mécanique convient aux phénoinènes de la nature; ce qu'il est 
téméraii-e d'allirmer en présence de la mécanique de la relativité 
dune part et de la mécanique basée sur la statisticjue d'autre part. 
La conception de M. Volterra suppose sans doute une sorte 
d'action à distance dans le temps analogue à laction des forces 
newtoniennes dans l'espace. iMais on peut, dans un cas comme 
dans l'autre, ne pas trancher métaphysiquement le prol>lème et 
dire (jue les choses se passent comme si une telle action existait 
en réalité. 

Quoi qu'il en soit, la conception de phénomènes mécaniques 
héréditaires \ surtout le fait que ces derniers peuvent être inter- 
prétés mathcviiTtiquement grâce au calcul fonctionnel constitue 
un problème philosophique du plus haut intérêt. Non seulement 
cette conception s'accoide par exemple avec la théorie bergso- 
nienne de la durée, mais par le fait qu'elle comporte une méthode 
mathématique elle peut en s'appliquant aux phénomènes biolo- 
.giques en suggérer une intei-prétation plus rigoureuse que par le 
passé. 

Le congrès se termina par une double allocution, l'une de 
M. Xavier Léon, et l'autre de M. E. Boutroux. Ce nest plus à des 
étrangers, mais à des amis que je parle, dit M. X. Léo\ et il 
exprime le vœu qu'un prochain congrès continue la tradition inau- 
gurée en celui-ci. M. Bouthoux, en des paroles élevées, rappelle la 
joie et les bienfaits du travail en commun, puis il termine en espé- 
rant que les congressistes étrangers garderont, comme autrefois 
Marie Stuart, un bon souvenir de la « douce France » où ils ont 
vécu quelques jours. 

Arnold Reymoxd, 
Professeur à lUniversité de Neucliàlel. 



Fondation Henri Poincaré. 

Sur l'initiative de MM. MrrTA(;-LF.Fi liîh et G. Dahhoix, il vient 
de se constituer un Comité international comprenant les notabi- 
lités de la Science et des Lettres et portant le nom de « Comité in- 
ternational de la Médaille et de la Fondation Henri Poincaié ». 
Pour perpétuer la mémoire du grand mathématicien et pour atta- 
cher son nom à une i'ondation scientifique, le Comité invite les 
amis, les collègues et les admirateurs de Poincaié de tous les pays, 
à bien vouloir participei' à une souscription iniernaiion/i/c^ des- 
tinée : 

1° A frapper une Médaille it relligie de Henri Poincaré ; 



' Une M(''tlaille de liron/.e sera envoyée aux personnes dont la Souscription sera égale ou 
supérieure à 25 francs et inférieure à 50 francs; une Médaille d'argent sera envoyée aux per- 
sonnes dont la Souscription sera égale ou supérieure à 50 francs. 



I 



CJinONlQUE 379 

2° A constituer un Fonds dont les arrcrai^es seraient employés 
par rAcadéniie des Sciences de Paris à encourager ou à récom- 
penser de jeunes savants qui s'occupent des parties de la Science 
dont le génie de Henri Poincaré a assuié le jîiogrès : l'Analyse 
mathcrnati({ue, la Mécanicpie céleste, la Physi(jue mathématique, 
la Philosophie scienti(î(pie. 

Le Bureau de formation du Comité international est composé 
de MM. Paul Appell, président de llnstitut; Etienne F^amy, secré- 
taire perpétuel de l'Académie française; Gaston Dauboux, secré- 
taire perpétuel de l'Académie des Sciences, et F>nest Lebon, 
professeur honoraire, secrétaire-trésorier. Pi'ière d'adresser les 
communications et les souscriptions à M. Ernest I.ebon. secré- 
taire-trésorier, rue des Ecoles, n° 4^''^, Paris, 5". 



Conférence internationale de l'enseignement mathématique. 

Munich, 1-5 août 1915. 

La Commission internationale de l'Enseignement mathén.a- 
tique se réunira à Munich, du dimanche V' au jeudi 5 août 1915, 
en une Conférence qui aura principalement pour objet la pré- 
paration théorique et pratique des professeurs de mathématiques 
des divers degrés de l'enseignement. 

Sur la demande du Comité Central M. le Prof. Gino Loria 
(Gênes , a bien voulu se charger du rapport général concernant 
l'enseignement secondaire lycées, gymnases, écoles réaies supé- 
rieures, etc. . Des conférences et des rapports seront également 
consacrés à la préparation des professeurs de l'enseignement pro- 
fessionnel (écoles techniques moyennes) et des maîtres de l'ensei- 
gnement élémentaire. 

Le questionnaire qui servira de base ii l'enquête est en prépa- 
ration. Il sera reproduit dans l'Enseignement mathématique du 
15 novembre 1914. 



Académie des Sciences de Paris. — Prix décernés. 

Mathématiques. — Le Prix Poncelet est attribué à ^L Lebesgue, 
maître de conférences à la Faculté des Sciences de Paris. 

Le Grand Prix des Sciences mathématiques n'est pas décerné. 

Astronomie. — Prix Lalande : M. Glillaume, astronome à 
rObservatoire de Lyon, pour l'ensemble de ses travaux. 

Le Prix Valz est partagé entre M. P. Chevalieh, directeur de 
rObservatoire de Zo-Sé, près Shanghaï, et M. Pierre Salet, astro- 
nome à l'Observatoire de Pans. 



380- CHRONIQUE 

Pi'ix Janssen : M. jAiîiiv-DKsr.ocEs, astronome, pour son étude 
sur les planètes, en particulier sur la jilanèle Mars. 

Prix Damoiseau: M. Gaii.i.ot, ('()rres|)ondant tle 1 Institut, poui- 
ses Tables rectitiées du mouvement de Ju])iter. 



JULES MOLK 

8 décoinbix' 1857 — 7 mai 1914 

La Faculté des Sciences de IVancy vient de perdre un Professeur 
éminent dont l'enseignement était hautement apprécié de tous 
ceux qui ont suivi ses cours ; la science française perd aussi un 
homme de valeur qui a rendu de grands services aux sciences 
mathématiques. 

Jules MoLK, naquit <à Strasbourg le 8 décembre 1857. Sa famille 
a laissé, dans l'histoire de sa ville natale, des souvenirs impéris- 
sables ; plusieurs de ses ancêtres ont joué un rôle actif dans 
l'administration de la ville libre de Strasbourg. D'autre part le 
père de notre collègue a fait preuve, pendant la période doulou- 
reuse de 1870-71, d'un dévouement dont les vieux Strasbourgeois 
ont conservé pieusement le souvenir ; il a en elîet dirigé, pendant 
et après le siège, le restaurant populaire de la Halle Couverte qui 
rendit des services considérables, non seulement aux habitants, 
mais encore plus tard à tous les prisonniers français qui traver- 
saient Strasbourg poui" rentrer en France. 

Tous les spectacles que notre collègue eut sous les yeux pendant 
son enfance ont contribué à conserver et à développer chez lui 
l'attachement à sa ville natale et c'est toujours avec une profonde 
émotion qu'il rappelait les souvenirs de Strasbourg et de sa patrie 
à laquelle il conservait un culte filial. 

Jules MoLK fit ses premières études au Gymnase protestant de 
Strasbourg, fondé par Sturm; il y apprit les éléments du calcul 
pratique enseigné par un maître aussi distingué que modeste, 
Ledermann ; il fut ensuite élève de l'Ecole Professionnelle de 
Mulhouse alors dirigée par Emile Cherbuliez qui lui enseigna les 
éléments des mathématiques. 

Il fit, de 1874 à 1877, des études complètes à l'Ecole Poly- 
technique fédérale de Zurich dont il acquit le diplôme ; il y suivit 
les cours de Edouard Mkquet, de G. -F. Geiskh et de G. Frobi:xius ; 
ces maîtres développèrent chez lui le goût des études théoriques 
(ju'il savait allier au sens des réalisations pratiques. 

11 continua ses études à Paris et à la Sorbonne où il acfjuit les 
grades universitaires français ; il eut alors pour professeurs : 
Hermiti;, Bouquet, BoxxEr, TissEitAxn, Jules Tanxehy, dont il 
devint plus tard le collaborateur et 1 un des meilleurs amis. 

Nommé secrétaire-rédacteur de la Bibliothèque de l'Ecole des 



I 



c II no s I ou E .{«1 

llaiites-Ktiides le 21 mars 1.S.S2. il profita hioiilôf des f'a(ilit«''s ((iii 
lui étaient oll'ertes de rontiiuier ses études eu Allemaj^ue, [joui' se 
diriger vers l'Université de Berlin dont les tnaîlres jouissaient 
alors d'un renom considérable. 

De 1882 à 1884, il y suivit les eoui-s de K. \\ i ii:iisi iiass, de 
H. fIr;i.MHor.Tz, de G. Kiiiciiuoi i- et surtout de L. KiioxrxKKii ; les 
leçons de ce dernier sur l'Arithmétique supérieure et l'Algèbre 
eurent une influence considérable sur Jules Molk qui s'attacha à 
approfondir et à éclaircir les idées de léminent mathématicien 
dont il devint presque le collaborateur et le confident. 

Les recherches personnelles de Jules Molk, jointes à dillerenles 
questions tirées des cours de Kronecker et qu'il mit au point, 
fournirent le sujet de la thèse qu'il soutint au niois de juillet 188'i 
à la Sorbonne pour obtenir le grade de Docteur es sciences 
mathématiques. 11 fut alors nommé Maître de Conférences à la 
Faculté des Sciences de Rennes 28 octobre 1884 ; là il se lia sur- 
tout avec Morin. dont l'esprit critique et le sens profond lavaient 
attiré. 

Le 28 octobre 1883, il fut envoyé comme charge de cours a la 
Faculté des Sciences de Besançon ; il y enseigna la mécanique, 
d'abord comme chargé de cours, puis comme professeur titulaire 
1«'' mars 1888 . 

La chaire de Mathématiques appliquées étant devenue vacante 
à la Faculté des Sciences de Nancy, à la suite du décès de 
Mathieu, il demanda son transfert et y fut nommé le 18 décembre 
1890; lors de la création d'une nouvelle chaire en 1898. il fut 
nommé professeur de mécanique rationnelle 26 décembre 1898 , 
fonction qu'il conserva jusqu'à sa mort survenue le 7 mai 1914. 

Il obtint successivement des avancements mérités et il était 
Chevalier de la Légion d'Honneur depuis le 15 juillet 1909. 

L'influence de Jules Molk à la Faculté des Sciences de Xancy fut 
considérable. Ses méthodes d'enseignement si claires et si pré- 
cises lui attiraient l'estime de tous ses auditeurs qui voyaient en 
lui un guide siir, développant leur initiative personnelle: il con- 
tribua aussi pour une large part au succès des diflerentcs créa- 
tions de l'Université de Xancy, et en particulier de l'Institut 
Electrotechnique et de Mécanique appliquée. Il avait gardé le 
souvenir de l'enseignement qu il avait reçu à Zurich et il cher- 
chait par tous les moyens à créer à Xancy un centre d'instruction 
supérieure à la fois théorique et technique qui pût remplacer 
pour les jeunes gens français et étrangers, l'Ecole polytechnique 
de Zurich; il eut la joie de voir le succès toujours croissant de 
cet Institut, couronner les efforts qu'il avait faits et rendre en 
({uelque sorte hommage aux vues qui 1 avaient guide. 

Les œuvres de Jules Molk se rattachent à trois ordres d'idées : 

1" L'Arithmétique au sens de Kronecker. 



382- CHRONIQUE 

Il publia un premier article Sur les unités complètes inséré 
dans le liiilletin des Sciences Mathématiques et Astronomiques 
[2" série), t. Vil, 1883, !'■' partie, p. 133 et 13(5. 

Il rédigea sa thèse Sur une notion qui comprend celle de la 
divisibilité et sur la théorie générale de l'élimination^ publiée dans 
les \cta Mathematica, t. \I, p. 1 à 160 (18(S4i. Ce travail considé- 
rable est un développement, avec compléments personnels, du 
grand mémoire de L. Kronecker Grundzuge einer Arithmetischen 
Théorie der Algebraischen Grôssen ; Festschrift zu Herrn E.-E. 
Kummers Doctor Jubilâum (Berlin 1882). 

11 fit ensuite une traduction d'un mémoire de Lipschitz 
Recherches sur la transformation par des substitutions réelles 
d' une somme de 2 ou de 3 carrés en elle-même. Journal de Mathé- 
matiques pures et appliquées, k" série, t. 11, 188G, p. 373; il y étudie 
les nombres complexes entiers dont la norme est un entier donné 
et il généralise aux quaternions entiers. 

11 publia aussi dans le Bulletin des Sciences Mathématiques, 
2« série, t. XIV (1890), l"'*' partie, p. 186 et 228, une Exposition de 
la démonstration donnée par K. IVeierstrass, des théorèmes de Lin- 
demann sur la fonction exponentielle (transcendance des nombres 
e et n . 

2° Les relations qu'il entretint avec Jules Tannery eurent pour 
résultat la publication, en collaboration avec lui, d'un grand 
ouvrage en quatre volumes sur les Eléments de la théorie des fonc- 
tions elliptiques. (Paris Gauthier-Villars). 

l*^"" Volume 1893. Introduction. Calcul différentiel (P'' partie). 

2""^ Volume, 1896. Calcul différentiel (2'^ partiel ; 

S'"'^ Volume, 1898. Calcul intégral ir*^ partie) ; 

4me Volume, 1902. Calcul intégral (2""' partie), et applications. 

Cet ouvrage fondamental a pour but de donner aux élèves 
des Facultés des Sciences, en commençant pai- les notions les 
plus élémentaires, un exposé des beaux travaux modernes relatifs 
aux fonctions elliptiques et à leurs applications en partant du 
point de vue de Weierstrass (Voir le compte rendu de M. Andoyer 
dans le Bulletin des Sciences Mathématiques, 2'' série, t. XVII, 
1893, p. 205). 

3° Depuis la publication de cet ouvrage sur les fonctions ellip- 
tiques, Jules MoLK s'est donné tout entier à une anivre fondamen- 
tale qui doit réunir et fixer les documents accumulés jusqu'au- 
jourd'hui sur les sciences mathématiques et leurs applications au 
point de vue historique et bibliographique ; cette œuvre est 
\ Encyclopédie des Sciences mathématiques pures et appliquées. 

Flntreprisc pai' les Académies des sciences de Gottingue, de 
Leipzig, de Munich et de Vienne, TRucyclopédie a été d'abord 
rédigée en langue allemande, mais il était du plus grand intérêt 
den avoir une édition française. Cette édition dont se charsfea 



CIIliOMQUE 383 

notre c()llègue, a été commencée en 1902 et le premier fascicule a 
paru en 1904 ; elle ne constitue pas une simple li-aduclion de 
l'ouvrage allemand, et les additions qu'y ont ap|)ortées Jules 
Moi.K et ses coliahorateui's, en oni fait un ouvrage en quelque 
sorte nouveau, adapté aux lecteurs de langue fiançaise. Cette 
Encyclopédie, ainsi présentée successivement dans les deux 
langues en tenant compte des qualités particulières d'exposition 
des deux peuples, embrasse l'exposé des découvertes faites dans 
tout le domaine des sciences mathématiques et dans leurs apjdi- 
calions à la Mécani^iue, à la l*hysi<|ue, à la Géotlésie et à l'Astro- 
nomie. 

Tous les savants du monde entier s intéressent à celte publica- 
tion, qui a un succès considérable et à laquelle le nom de Jules 
MoLK restera attaché ; notre collègue s'est en effet dépensé tout 
entier et a mis au service de la Science son espi-it clair et métho- 
dique, faisant des démaiches personnelles auprès des savants de 
t«us les pays et servant de trait d'union entre tous cf nx (fui ont 
collaboré à cette œuvre magistrale. 

Les Académies les plus célèbres ont tenu à honneur de compter 
Jules MoLK parmi leurs membres. H était membre de l'Académie 
Léopoldine Carolina à Halle, docteur honoraire en philosophie de 
l'Université de Padoue et de celle de Giessen. L'Académie des 
sciences de Paris lui avait décerné en 1912, le prix- Binoux comme 
récompense de ses travaux et de la publication française de l'En- 
cyclopédie. 

En dehors de cette OMivre. Jules Molk tiouva encore le temps 
d'analyser plusieurs publications étrangères et de faire des 
comptes rendus dans le Bulletin des sciences mathématiques; il 
était le collaborateur assidu de ce Bulletin et il y envoyait régu- 
lièrement les analyses des mémoires insérés dans les comptes 
rendus de l'Académie des Sciences de Berlin, ainsi que l'Aca- 
démie des Sciences de Munich. 

La lourde tâche qu'il s'est imposée a contribué à abréger son 
existence si bien remplie, et il est mort avant d'avoir pu réaliser 
en entier le programme qu'il s'était tracé ; son souvenir reste 
vivant dans la mémoire de ses collègues et de tous ceux qui l'ont 
approché, il est pour eux un modèle de devoii- et de probité scien- 
tifique. 

H. VtxiT Xancv . 



Association allemande pour l'avancement de l'enseignement 
des sciences mathématiques et naturelles. 

La XXXJIL" assemblée générale de l'Association allemande pour 
avancement de renseignement des sciences math('matiques et 



38^ CIinONIQUE 

naturelles a été tenue à Brciiinsc/nve/'i;., du 1-4 juin 1014, sous la 
présidence de M. le prof. A. Th.kh (llanibouri^;. 

Nous devons nous borner à sii>i)alor ici les conférences et dis- 
cussions se rattachant aux inatliénialiques. Kn voici la liste : 

Prof. PiKTZKEit, Worte der Erinnerun^ an \V. Krumnie. 

Schulrat Weiixicke, Matheniatik und Philosophie. 

Prof. PosKi:, Physik und Philosophie 

Dir. Giti.MSKHi,, Interferenzerscheinungen. 

Dr. HiKiîKftEi.L, Photogranimetrie in der Schule iniit Licht- 
bildei'n j. 

Prof. H.EXTzscHi-x, Das Hationale isi der algebr. Géométrie. 

Geheimrat Huxge, Die Bedeutung der angewandten Mathe- 
niatik fiir die Schule. 

Gyninasialdirektor IIildebrandt, Das Zeichnen, insbesondere 
das geometrische, auf der hoheren Lehranstalten. 

Prof. Nabaueh, Koordinaten ini Gelande. 

Prof. TiMERDiNG, Mathematische Statistik auf der Schule. • 

Diskussion iiber annewandte Mathematik. 

La conférence de M. Tinierding, sur la statistique mathénia- 
ticjue dans l'enseignement, a été suivie d'une discussion sur les 
mathématiques appliquées. S'inspirant du vœu formulé par divers 
orateurs à la Conférence internationale de l'Enseignement mathé- 
matique, l'assemblée a adopté à l'unanimité une résolution en 
faveur des mathématiques appliquées à l'université; elle estime 
qu'il est désirable que l'enseignement universitaire fournisse aux 
étudiants en mathématiciues Toccasion de s'initier aux méthodes 
des mathématiques appliquées et d'acquérir des connaissances 
plus approfondies dans au moins un domaine d'applications. 
Voici le texte même de la résolution : 

« Es liegt im Interesse des mathematischen Schulunterrichtes, 
der nicht bloss die formale Geistesbildung. sondern auch die 
AnvVendung der Mathematik auf die Erfassung der Wirklichkeit 
zu beriicksichtigen bat, dass miiglichst aile .Mathematiklehrer 
wenigstens mit den Grundsatzen der mathematischen x\nwen- 
dungen vertraut sind. Deshalb ist es dringend zu wunschen, 
dass auf allen Ilochschulen den Studierenden der Mathematik 
voile Gelegenheit geboten wird, einen Einblick in die Methoden 
der angewandten Mathematik und in wenigstens ein besonderes 
Anwendungsgebiet zu gewinnen. Die Beschaftigung mit der an- 
gewandten Mathematik ist auch in der Priitung fur die Erlangung 
einer voUen Lehrbefahigung in der Mathematik nachzuweisen. » 

Dans sa séance administrative, la Société a renouvelé son bu- 
reau. M. Thœr, président sortant de charge, ayant décliné toute 
réélection, a été remplacé comme président par M. le prof. Giu.m- 
sEHL Hambourg . 

La |)rochaine assemblée annuelle aura lieu k Dusseldorf'en 1915. 



J 



ClIIiONIQUE 385 



Association des Professeurs de mathématiques 
de l'Enseignement secondaire public français. 

L'Association des Professeurs de malhérnati(|uos de IKnseijijne- 
nieut secondaire public français s'est réunie à Paris en assemblée 
générale, le 19 avril 1U14, sous la présidence de M. Gros. 

l/ordre du jour comprenait un rapport de M'"* MossÉ (Lille), sur 
les Mathématiques dans l'enseif^neinent secondaire féminin et la 
préparation au.v b/ei'ets primai/es, aux diplômes et au baccalau- 
réat. M'"* MossÉ estime (jue les horaires sont insuffisants pour 
pouvoir traiter complètement les programmes et que les classes 
de mathématiques sont désorganisées par des élèves préparant 
des examens autres que les examens du cours normal ; elle 
exprime le vœu, qui est appuyé par l'assemblée, que la question 
de la réorganisation de l'enseignement secondaire féminin soit 
au plus tôt mise à l'étude. 

Dans des réunions précédentes l'Association s'était déjà occupée 
de Vunification des définitions et des notations mathématiques. 
IMM. Gros et W'kill rappellent les difticultés que présente l'étude 
de cette question. Après discussion. l'Association décide de con- 
tinuer l'enquête. Le Comité est chargé de recueillir les communi- 
cations relatives à cette question ; il soumettra chaque année à 
l'assemblée générale, s'il y a lieu, un tableau des définitions de 
mots et des notations sur lesquelles l'entente semble pouvoir se 
faire. Ce tableau sera publié et l'emploi en sera conseillé. 

L'assemblée examine ensuite la question de la création d'une 
épreuve écrite des mathématiques au baccalauréat de premières A 
et /?, à la suite d'un rapport présenté par M. Blum Douai . 

L'assemblée décide ensuite de mettre à l'étude la question sui- 
vante comme contribution aux travaux que la Commission inter- 
nationale de l'Enseignement mathématique met à l'ordre du jour 
de sa prochaine réunion (Munich, août 1915; : Etude des modifi- 
cations à apporter au concours de l agrégation des sciences mathé- 
matiques et des moyens d'assurer la meilleure préparation des pro- 
fesseurs de l'enseignement secondaire. 

Le Comité a été renouvelé comme suit pour une année : 

M. PouTHiER, président; M'"" Ficquet, M. Boxix, A'ice-prési- 
dents ; M. Saixte-Laguë, M. Dubesset, secrétaires ; M. Jiliex, 
trésorier. 

France. — Thèses de mathématiques. 

1912-1913 

A. Blondel: Sur la théorie des marées dans un canal. Appli- 
cation à la Mer Rouge Paris, 15 novembre 1912, 60 p. in-4°i. 



386 CHRONIQUE 

Toulouse, Privât, 1912. — M. I.uizei- : Les céphéides considérées 
comme étoiles doubles avec une monographie de l'étoile variable 
d Cépliée Lyon, IG novembie 1912, 151 p. in-S"), Lyon, Rey, 1912. 
— K. Poi'oi r: Sur le mouvement de 108 Ilécube (Paris, 7 octobre 
1912, 58 p.in-4°). Paris, Gatithier-Villars, 1912. — Alex. Véiionnet: 
Rotation de rellipsoïde hétérogène et figure exacte de la terre 
(Paris, 17 juin 1912, 136 p. in-4°), Paris, Gauthier-Villars, 1912. — 
Patrick-J. Biioavxe: vSur un problème d'inversion posé par Abelet 
sur ses généralisations (Paris, 28 juin 1913, 148 p. in-4"), Toulouse, 
Privât, 1913. — Gaston C^oirv : Les fonctions abéliennes et la 
théorie des nombres (Paris, 8 mais 1913, 172 p. in-4"), Toulouse, 
Privât, 1912. — P'assbinde» : Sur la dynamique des systèmes 
variables et la rotation de la terre (Paris, 13 juin 1913,58 p. in-4°), 
Paris, Gauthier-Villars, 1913. — M. Geviîey: Sur les équations 
aux dérivées partielles du type parabolique Paris, 28 juin 1913, 
214 p. in-4°], Paris, Gauthier-Villars, 1913. — Lient. Ch. Pi.atiuer: 
Sur les mineurs de la fonction déterminante de Fredholm et sur 
les systèmes d'équations intégrales linéaires (Paris, 8 avril 1913, 
74 p. in 4"), Paris, Gauthier-Villars, 1913. — Louis Roche: Sur la 
surface des ondes dans la polarisation rotatoire magnétique et 
dans quelques phénomènes plus généraux (Paris, 13 juin 1913, 
100 p. in-4''j, Paris, Gauthier-Villars, 1913. — L. Rouyer: Sur la 
déformation des quadriques et les surfaces conjuguées par rap- 
port n un complexe du second degré (Paiis, 9 juin 1913, 120 p. 
in-4°), Toulouse, Privât, 1913. — J. Trousset: Etude semi-ana- 
lytique du mouvement du huitième satellite de Jupiter (Paris, 
22 avril 1913, 67 p. in-4<'), Paris, Gauthier-Villars, 1913. 

Nouvelles diverses. — Nominations et distinctions, 

Alleiuag'ne. — M. E. Hellinger, privat-docent à Marbourg, a 
été nommé professeur extraordinaire de Mathématiques à l'Uni- 
versité de Francfort s/M. 

M. P. Staeckel, professeur ii l'Université de Heidelberg, a été 
nommé membre honoraire de la Société mathématico-physique 
de Budapest. 

Ont été admis en qualité de privat-docents : W. A. Bbill, pour 
l'Astronomie, à l'Université de Francfort s/M. ; M. VV. Lenz, pour 
la Physique théorique, à l'Université de Munich. 

Anjij^lcterre. — MM. A. Berry de Kings Collège, et G. H. 
Hardy, de Trinity Collège, ont été nommés professeurs de Mathé- 
matiques à l'Université de Cambridge. 

Italie* — M. L. Toxeixi, professeur d'Analyse algébrique à 
l'Université de Cagliari, occupera, l'année prochaine, la chaire 
d'Analyse infinitésimale à l'Université de Parme. 



NOTES ET DOCUMENTS 387 

Ont été admis en qualité de prival-dorents : M. \\. iio.MHiAXi, 
pour la Géométrie analyli(|ue, à l'Université de l^avie; M. A. Co- 
MESSATTi, pour la Géonnitrie descriptive, a rL'niversité- de Padoue; 
M. Umberto CiiiDicu, poui- la Pliysicpie inathémati(iue, à l'Uni- 
versité de Rome; M. M. Picone, pour l'Analyse inlinitésimale, à 
l'Université de Turin ; M. C. Rosati, pour la Géométrie projective, 
à l'Université de Pise ; M. A. Toxolo, pour l'Analyse infinitési- 
male, à l'Université de Padoue. 

Nécrologie. 

M. Georg IIktinki!. professeur à l'Ecole technique supérieure 
et à l'Université de Berlin, est décédé le 24 mai 11(14, à l'âge de 
59 ans. 



NOTES ET DOCUMENTS 



Commission internationale de l'enseignement mathématique. 

Compte vendu des truiaur des Soiis-co?ninissions nationales. 
il8e articlei 

ALLEMAGNE 

La préparation mathématique des géomètres. 

Die matliematische Atishildung der deutschen Laiidiuesser\ vo.n Ph. Flri- 
wAENGLERet G. Rlum. — C est le 8"i« t'ascicule du 4*^ volume (écoles techniques I 
des rapports de la sous-commission allemande de l'enseignemeut mathéma- 
tique. Comparé à plusieurs des fascicules de la même série, parus précé- 
demment, celui-ci est un des plus objectifs. Il n'a pas de longueurs inutiles, 
pas de détails superflus sur des questions élémentaires ; il donne une idée 
très exacte de la place et de l'importance de la culture mathématique dans la 
préparation des géomètres, ainsi qu'un aperçu très clair des méthodes 
employées en Allemagne. A côté de cela, ce petit livre nous renseigne fort 
bien sur l'état actuel de la question des géomètres chez nos voisins fin 
Nord, car chez eu.\ comme dans d'autres pays, cette question est à l'ordre 
du jour. 
. En Suisse, par exemple, la préparation des géomètres est aussi de toute 



' Abhandlungen uber den niathem. Unterricht in Deulschland, Band IV. Heft 8. — 1 fasc. 
in-S-, 5U p., B, G. Telbm:r, Leipzig et Berlin. 



388 NOTES ET DOCUMENTS 

actualité. D après le nouveau règlement du t'i 6.13. les candidals aux exa- 
mens fédéraux de géomètres du cadastre devront être désormais porteurs du 
certificat de maturité. Cette innovation n'est pas arrivée à chef sans soulever 
bien des discussions. Malgré cela, la question de formation même des géo- 
mètres reste posée sans avoir encore reçu une solution définitive ou durable. 
Le travail de MM. Kurtwiingler et Ruhm comprend quatre chapitres : 

1. La préparation des géomètres dans les divers Etats allemands; 

2. Programmes des études mathématiques ; 

3. Le calcul géodésique ; 

4. Historique des écoles de géomètres et état actuel du mouvement de 
réforme. 

Nous passerons sommairement en revue les points principaux de chaque 
chapitre. 

L — Les écoles allemandes qui s'occupent de la formation des géomètres 
sont .• 1 Académie agronomique de Bonn-Poppelsdorf (Prusse), l'Université 
agronomique de Berlin (Prusse) et les Universités techniques de Karlsruhe 
(Baden), Dresde (Saxe), Stuttgart (Wurtemberg) et Munich (Bavière). 

Les conditions d'admission dans les sections de géomètres de ces écoles, 
ainsi que les examens de fin d'études varient passablement d'un Etat à 
l'autre. Néanmoins nous retrouvons, avec les auteurs, deux courants princi- 
paux, les mêmes que nous avons eu chez nous : Les géomètres sans matu- 
rité et les géomètres avec la maturité. 

La Prusse est pour le premier type de géomètres, ainsi que le Grand- 
Duché de Bade, le Wurtemberg et l'Alsace. 

Les candidats quittent le gymnase après la première inférieure (Unter- 
prima) ou après la seconde supérieure (Obersekunda). — Ils font un stage 
pratique de 1 à 2 ans, sous le nom d' « Elèves » puis commencent leurs 
études spéciales; elles durent en général deux ans et se terminent par un exa- 
men théorique. Le jeune homme doit ensuite travailler pendant quelques 
années dans la pratique avant de faire son dernier examen qui lui confère le 
titre et les droits officiels de géomètre. 

La Bavière et le Grand-Duché de Mecklembourg-Schwerin sont pour le 
système des géomètres avec maturité. Les jeunes gens suivent un gymnase 
complet, font l'examen de maturité puis entrent à l'Université technique. Le 
stage pratique intermédiaiie entre le gymnase et l'Université n'est pas obli- 
gatoire en Bavière. Les études universitaires sont de trois années et elles 
se terminent par l'examen d' « Ingénieur-géomètre ». Les géomètres des 
services de l'Etat se recrutent par voie de concours, dans un deuxième exa- 
men, après quelques années de pratique. 

La Saxe piévoit les deux systèmes : il y a des géomètres avec les études 
analogues à celles de la Prusse et des « Ingénieurs-géomètres » comme en 
Bavière. 

II. — Les programmes mathématiques correspondent évidemment aux 
deux courants dont il vient d'être question. 

Dans les écoles de géomètres où l'on n'exige pas la maturité, les cours 
de mathématiques comprennent, d'une manière générale : 

1. Les mathémaliijues élémentaires avec la géométrie descriptive, la trigo- 
nométrie plane et la trigonométrie sphérique ; 

2. La géométrie analytique du plan et de lespace ; 

3 L'analyse algébrique : Combinaisons, binôme, séries et théorie des 
équations supérieures ; 



I 



iV O TE S E T I) () C U M K N T S 389 

4. Les éléin<?nls fin calcnl ililléifiiliel et intégral, (lin vnecles application)* 
à la géodésie. ) 

5. La théorie des t'rrenrs d'observations et la uK-tliode des nioindi'cs 
carrés. 

Au snjet de la géométrie descriptive, il est intéressant de relever que, 
des 3 heures prévues au programme pendant un semestre, une est exclusi- 
vement consacrée à la stéréométrie : calcul des corps, règle de Gnidin et 
élude particulière des théorèmes servant de base à la géométi'ie descrip- 
tive. 

Dans la géométrie analytique, la formule des surlaces des polygones au 
moyeu des cooidonnées des sommets joue un rôle de premier ordre, étant 
donné son application journalière dans les calculs géodésiques. 

Le cours de calcul différentiel et intégral est de 3 heures, pendant un 
semestre d'hiver seulement. 

Pendant les 4 semestres d'études, le plan prussien prévoit 4 heures 
d'exercices consacrées aux diverses parties des mathématiques étudiées 
jusque-là. 

Pour les géomètres ayant préalablement suivi les cours complets du 
gymnase, le programme des branches mathématiques est évidemment diffé- 
rent de ce que nous venous de résumer. C est à peu de chose près le même 
que pour les ingénieurs des autres directions. 

On commence directement les mathématiques supérieures avec la géo- 
métrie analytique et le cours complet de calcul différentiel et intégral 
jusqu à l'intégration des équations différentielles aux dérivées partielles. 

Le cours de géométrie descriptive et celui de la méthode des moindres 
carrés se retrouvent également dans cet enseignement, mais ils sont pré- 
sentés sous un jour différent, correspondant à la culture préalable des can- 
didats. 

III. — Les auteurs du fascicule ont tenu de donner une place à part au 
calcul géodésique. Ceci s'explique pour deux raisons. La première, c'est 
que le calcul géodésique constitue l'application par excellence des méthodes 
d'approximation, et la seconde, c'est que la méthode numérique des coor- 
données teud de plus en plus à remplacer les méthodes graphiques dans la 
levée des plans. L emploi de la planchette dans les opérations d'une cer- 
taine importance a pour ainsi dire disparu. Dans ces conditions, comme le 
disent du reste les auteurs, le calcul géodésique est une question de pain 
quotidien pour les géomètres. 

Sous cette dénomination de calcul géodésique, MM. furtwangler et Ruhm 
font ressortir l'importance d une notation uniforme pour les grands 
nombres, pour les logarithmes, pour les nombres négatifs, pour la simpli- 
fication des nombres décimaux, etc. Nous remarquerons encore qu'en géo- 
métrie, le sens des aiguilles de la montre est considéré comme le sens 
positif et que les appareils sont construits d'après cette observation. 

Dans les cours de I Académie agronomique de Bonu-Poppelsdorf. les 
questions (jue nous venons d'indiquer sont rattachées à lanalyse algébrique 
comme suite naturelle de larithmétique. Dans le cours de trigonométrie on 
insiste sur la question des petits angles et sur les moyens d'opérer le plus 
exactement possible quand ils se présentent. Nous avons déjà indiqué en 
passant 'importance de la question des coordonnées et du calcul corres- 
pondant des figures dans la géométrie analytique. 

La question de notation est considérablement facilitée eu Prusse par 

L'Enseignement n>athéni., 16* année; 1914 25 



390. .V OTE S ET DOC UMEA TS 

runiformilé des labiés de calcul et des tableanx ofiicicls de disposition des 
opérations. 

n. — Le quatrième et dernier chapitre est consacré à l'historique de la 
question des études de géomètre en Prusse et en Bavière. Le chapitre se 
termine par des propositions de réforme qui semblent avoir trouvé un 
appui considéi-able dans les cercles intéressés. Ces propositions seraient : 
1. Les études de géomètre ne devraient être accessibles (ju'à des candidats 
possédant le certificat de maturité ; 2. La durée minimum des études 
devrait être portée de deux à trois ans ; 3. La pratique préalable d une 
année comme « Elève » devrait être maintenue et le diplôme détinitif ne 
devrait être accordé qu'après plusieurs années de pratitpie. 

Tels sont les principaux points exposés par les auteurs dans leur inté- 
ressant rapport sur la préparation mathématique des géomètres. 

L. Crelikr iBienne-Berne). 



ILES BRITANNIQUES 

N» 34. — Examens de mathématiques à Oxford. 

Malhematical Examinations at Oxford^. h\ Mr. A. L. Dixon, Fellow 
and Tulor of Merton Collège, Oxford. 

L — Examens pour le titre de « Bachelor of Arts ». Il faut remonter à 
l'année 1800 pour trouver les origines du système d'examens actuellement 
en vigueur. A cette époque, chaque candidat pouvait se présenter soit à 
l'examen habituel de passage, à la lin de chaque terme, soit à un examen 
plus sévère à Pâques, auquel ou accordait des « honours » selon le mérite. 
En 1807 des « honours » eu « disciplinis mathematicis » ainsi qu'en « literis 
humanioribus » furent introduits. Eu 1852 on intercala le « First Public 
Examination » ou « Modérations » entre les « Responsions » et le « Public 
Examination ». A partir de cette époque, il était donc nécessaire pour obte- 
nir son titre de passer les examens suivants : 

1. « Responsions » un examen de passage en latin, grec, arithmétique et 
à choix Euclide, livres I, II, ou algèbre. 

2. « Modérations » un examen de passage ou d' « honours » en « Classics » 
avec à choix logique ou Euclide, livres I, II, III, et algèbre. 

3. Un examen de passage ou d « honours » sur deux branches finales, 
l'une devant être « Literae Humaniores » et l'aulre pouvant être à choix 
les mathématiques, les sciences naturelles ou le droit et l'histoire moderne. 

« Honours » en « Modérations », eu « disciplinis mathematicis » pouvaient 
être également obtenus à la suite d'examens sur les mathématiques pures, 
tenus deux fois par an. Pour les examens finaux « final honour school » 
figuraient auss^i les mathématic[ues appliquées, « Mixed Mathematics ». 

Les règlements concernant ces examens se trouvent dans une brochure 
intitulée « New Examination Statutes, 1852 ». On y trouve une copieuse 
liste des livres en usage (80 à 90 titres). 

Ce n est qu'à partir de 1886 que les étudiants en mathématiques purent 
s abstenir d'un examen de passage en « classics » dans les « modérations ». 



1 Un fasc. 117 p. ; Prix 6 d. Wvman and .Sous, Londres. 



NOTE S E T n C UME N TS 391 

Depuis celte (''po(|iie, les candidats f|ui ont passé les « Besponsioiis » et qui 
désirent se vouer aux rnatliéuiaticjnes ont encore deux examens à subir : les 
« Matheinalical Modeialioiis » au bout d'un ou deux ans et le « Final 
Honour Scliool of Matlienialics » après trois ou quatre ans. 

A titre de renseignement, l'auteur nous expose les règiemenls concernant 
ces deux examens, publiés eu 1877 par le « Boai'd ol' Studies ». Les con- 
naissances requises n'étaient pas très étendues. Pour les derniers examens 
on n'exigeait pas de la part du candidat une spécialisation dans l'une ou 
l'autre des branches des mathématiques, ni une connaissance approfondie 
des développements modernes. Par contre on accordait plus d'importance 
à son habileté dans la résolution de problèmes variés sur divers sujets, à 
son exactitude et à sa rapidité dans ses calculs. On ne craignait pas, à cette 
époque, les questions à artifices. L'éducation universitaire consistait princi- 
palement à développer la rapidité de pensée et la souplesse de l'esprit et 
non pas à former des hommes de connaissances profondes et étendues. 

Actuellement il en est tout autrement, on insiste parliculièrement sur 
lacquisition de connaissances solides et d une ampleur suffisante sans 
perdre son temps sur les à côté du sujet et sans chercher à obtenir une 
habileté tout à fait superflue dans les manipulations. Par diverses réformes, 
on s est eflorcé : 

1. D introduii'e plus tôt létude des mathématiques appli(juées ; 

2. D'accorder une plus grande liberté dans les méthodes de travail afin 
d éviter un entraînement excessif dans les manipulations ; 

3. De permettre aux candidats une certaine spécialisation dans quelques 
sujets avancés en accordant quelque liberté dans le choix des sujets d'exa- 
men ; 

4. De donner une place importante à la théorie de l'électricité à lexamen 
final. 

Le rapport nous fournit 1 histoire détaillée des réformes successives qui 
furent apportées aux programmes d'examens à partir de 1884. Eu 1911 
(programme actuellement en vigueur) les sujets dexanien pour les « Mode- 
rations » étaient : 

1. Algèbre : Théorie des écjuations ; Trigonométrie plane et sphérique; 

2. Géométrie pure ; géométrie analytique à deux dimensions ; géométrie 
analytique à trois dimensions jusqu'aux propriétés les plus simples des 
surfaces du second ordre, la théorie des surfaces homofocales étant exclue. 

3. Calcul différentiel et intégral avec applications simples à la géométrie 
plane et de l'espace ; équations différentielles ; 

4. Les éléments de la statique des solides et des fluides ; les éléments de 
la dynamique des points matériels et des solides rigides à deux dimen- 
sions. 

Pour le « Final Honour School of Mathematics » de 1913, les candidats 
étaient examinés sur les sujets suivants : 

Algèbre ; théorie des équations ; trigonométrie plane et sphérique ; séries 
et produits infinis ; 

Géométrie pure et analytique à deux et à trois dimensions; 

Calcul différentiel et intégral ; éi|uafions différentielles. 

Les éléments de la théorie des fonctions d'une variable complexe, avec 
applications aux fonctions élémentaires et aux fonctions elliptiques. 

Les éléments du calcul des différences finies. 

Les éléments du calcul des variations. 

L'Enseignement mathéin., 16' an née ; 1914. 25 



392 NOTES ET DOCUMENTS 

Statique et dynamique des points matériels, des solides ligides et des 
cordes ; les éléments de la dynamique analytique ; statique des barres légè- 
rement inclinées. 

Hydrostatique ; le.^ éléments de I liydro<iynanii(jue ; vagues liquides. 

Attraction ; théorie du potentiel 

Electr(jstatique ; magnétostati([ue ; courant électrique constant ; éleclro- 
magnélisme ; eleclrodyuamique : courants diélectriques. 

Vibration des cordes ; propagation du son ; vibration de lair dans les 
tuyaux. 

Les élémenls de l'optique géométrique. 

I/astronomie sphérique. 

II. — Examens pour « scholai-siiips » universitaires. A Oxtord il existe 
deux « scholarships » universitaires en mathématiques. Ce sont en réaiilé 
des prix accordés après examen aux meilleurs candidats de l'année. Les 
candidats pour le « Senior Scholarship » doivent avoir passé les examens 
pour le titre de « Bachelor of Arts », mais ne doivent pas avoir achevé sept 
années d'études depuis leur immatriculation. Les candidats pour le « Junior 
Scholarship » doivent être des non-giwdués, immatriculés depuis moins de 
deux ans. Chaque examen comprend généralement 6 parties. 

Il y a une trentaine d'années, le « Junior Scholarship Examination » 
comprenait l'algèbre ; la trigonométrie et la théorie des équations ; la géo- 
métrie pure ; la géométrie analytique ; le calcul dilTérentiei , problèmes. On 
n'exigeait aucune connaissance du calcul intégral. En 1903, on introduisit le 
calcul intégral et les équations différentielles. A partir de 1904 on accorda 
une pins grande liberté quant aux méthodes utilisées. Actyellement l examen 
porte toujours exclusivement sur les maihémaliques pures, mais le champ 
des connaissances requises va constamment en s accroissant. 

Le « Senior Scholarship Examinalion » est une récompense et un encou- 
ragement pour les candidats qui désirent continuer l'étude des mathéma- 
tiques après avoir obtenu leur titre. Les sujets d'exanaen étaient les mêmes 
que ceux du « Final Honour School », mais on en exigeait une connaissance 
plus étendue. Les six parties se répai-tissaient comme suit : I, II mathéma- 
tiques pures ; III problèmes sur les mathématiques pures ; IV, V mathéma- 
tiques appliquées ; VI problèmes sur les mathématiques appliquées. Ce 
règlement subit diverses modifications jusqu'en 1911, époque à laquelle 
l'examen fut aboli. Actuellement le « Senior Scholarsliip » est accordé au 
candidat qui présente la meilleure dissertation sur un sujet de son choix en 
mathématiques pures ou appliquées. 

On trouvera en appendice une reproduction des questions d'examen pour 
les « Modérations ; Final Honour School ; Junior University Scholarship ; 
Senior University Scholarship » des années 1885 et 1911. Par leur compa- 
raison, le lecteur pourra se rendre compte des modifications introduites et 
des tendances actuelles. J.-P. Dumur (Genève). 



1 



NOTES ET DOC U M E N T S :{<j:{ 

Cours universitaires. 
Semestie d'hivci' llM'i-lUlô. 



ÉTATS-UNIS D'AMÉRIQUE 

Columbia University (New- York). — C. J. Keyser : Philosophie ot 
MalheiiKitics, 3. — Prof. T. S. Kiske : Theory of point sets, 3, second half- 
year. — Prof. F. N. Cole : Algebia, 4. — Prof. James Macklay : Theory 
of functions, 4. — Prof. Edw. Kasnek : Intégral équations, 2, second half- 
year ; seminar in Differential Geometry, 2. — Prof. \V. B. Fite : Calculus 
of variation, 3, first haif-year. — Prof. H. E. Hawkes : Diff. Geometry of 
curves. 3, first half-year. — Piof. C. Gkove : Malheni. Theory of Statislics, 
3, fîrst half-year. 

Cornell University (Ithaca). — Prof. J. Me Mahon : Theory of probabi- 
litius. ;>. — Prof. J. 1. llurcHi^so.N : Elliptic functions, 2. — Prof. V. S.nydek : 
Descriptive geometry ((irst lerm),' 3; Algebra (second tern)), 3. — Prof. 
F. R. Shakpe : Fourier séries and spherical harmonies, 3. — Prof. W. B. 
Carver . Analytic and projeclive geometry, 3. — Prof. A. Ra.nl.m : Line 
geometry (Hrst term). 2. — Prof. D. C. Gillepsie : Calcuius of variations, 
2. — Dr F. VV. Owens : Mcchanics, 3. — D"" J. V. Me Kelvey : Advanced 
calculus, 3. — D'' L. L. Silvekmax : Infinité séries (lîrst term), 3. — 
D"" W. A. HuRWiTZ : Partial differential équations of mathematical physics, 
2. — D' R. \V. BiRGEss : DiffL-rential équations, 2. 

Harvard University (Cambridge, Mass.). — Ail courses meet three times 
a week throughoul the year e.vcept those marked*, which meet for half a 
year. — Prof. W. F. Osgood : Inlinite séries and products* ; Introduction 
to potential functions aud Laplace's équation * ; Gaiois theory of équa- 
tions. * — Prof. M. BôcHER : Analytic theory of heal : Fourier séries and 
Legendre polynomials * ; Linear dilferential and intégrai équations. — Prof. 
C. L. Bouton : Advanced calculus ; Elementary differential équations* : 
Geomelrical transformations, with spécial référence to the work of Sophus 
Lie. — Prof. J. L. Cooudge : Geometry of the circle : Introduction to 
modem geometry and modem algebra (with D'' Greexi. — Prof. E. \ . Hu.n- 
TiNGTON : Fundamental concepts of mathematics *. — Prof. G. D. Birkhoff : 
Advanced dynamics ; Calcuius of variations '. — D' D. Jackson : Theory of 
functions; Defînile intégrais*. — D^ G. M. Green : Dilferential geometry 
of curves and surfaces* ; Projeclive differential geometry*. 

Professors Bouton aud Biikhoff will couduct a fortnighlly seminar in ana- 
lysis. 

Courses of research are also offered by Professer Osgood in the theory 
of functions ; by Professor Bôcher in aualysis and algebra ; by Professor 
Bouton in the theory of point transformations ; by Professor Coolidge in 
geometry; by Professor Birkhoff in the theory of differential équations: by 
D"" Jackson in the theory of functions of real variables. 

Johns Hopkins University (Baltimore). — Prof. F. Morley : Higher 
aceomeirv, 3. — Prof. A. B. Coblf : Modular functions, 2 ; Theory of proba- 



39'+ \ OIES ET DOC LMEN TS 

bilily, 2, second lialt-year. — D' A. Couk.n : C;ilculiis of viirialioiis, 2. — 
D"" H. Bateman : DiOerenlial e([iiations of physics, 2. 

University of Illinois (Urbana, 111.) — Prof. I]. J. To\v.\se.\u : Funciious 
of a compli'x \arial)lt', o ; Oïdinai y and partial diffei-ential equalions and 
advanced calculus, o. — Prof. G. A. Mii.LiiR : Klenienlary gi'oups, 3 ; Theory 
of equalions and dcteiniinants, 3, second semesler. — Prof. H. L. Rietz : 
Actuarial theory, 3, first semesler ; Averages and ihe mathenialics of 
investnient, 3, second semesler. — Prof. R. M. Fréchet : General analysis, 
(a) abslract sets, two hours ; (b) funclional opérations, 2. — Prof. C. H. 
SiSA.M : Algebraic surfaces. 3 ; Solid aualytic geometry, 3, second semester.- 
Prof. J. B. Shaw : General algebra, 3. — Prof. A. Emcii : Projeclive geome- 
try, 3. — D"" A. R. Crathorne : Calculus of variations, 3. — D"" R. L. 
BoRGER : Modem algebra, 3. — Di" E. B. Litle : History of mathemalics, 2, 
second semesler : Teacber-'s foiirse, 2, first semesler. 

Princeton University (Princeton, N. J.). — Prof. H. B. Fine : Alge- 
bra, 3. — Prof. L. P. EisENHARï : DifFerential geometry, 3 ; Mechauics, 3. — 
Prof. O. Vi;blen- : Projeclive geometry, 1. 3 ; Projective geometry, II, 3. — 
Prof. BouTROux : Differential équations and advanced calculus, ihree hours ; 
Higher analysis, 3. — Prof. H. T. Gronwall : Integra! équations, 3. — Prof. 
E. P. Adams : Hydrodvnamics, 3. 



ITALIE^ 

Bologna. — Università. — Burgatti : Teoria dell elasticilà ; in partico- 
lare tcuria délie vibrazioni elastiche, 3. — Do.nati : Elettrodinamica dei corpi 
in movimento. Termodinamica ; teoria délia radiazione ; ipotesi dei quanti , 
sua porlala e sue applicazioni, 3. — Enriques : 'l'eoria délie curve e super- 
ficie algebriche, 3. — Pi.ncheri.e : Funzioni ellittiche. Equazioni integrali- 
esislenii di equazioni liueari ad infinité incognite. 

Catania. — Universilà. — Damf.le : Equilibrio dei corpi elastici, 4. — 
De Franchis : Geometria sulle superficie algebriche secondo l'indirizzo Ira- 
scendente., 4. — Pennacchietti : Idrodinamica, 4. — Severini : Teoria délie 
funzioni analitiche ; teoria délie funzioni permutabili, 4. 

Genova. — Unn-ersità. — Levi : Calcoio délie variazioni, 4. — Loria : 
Applicazioni geomel riche délie funzioni ellittiche, 3. — Tedone : Ottica 

geoinetrica e fisica, 3. 

Napoli. — Università. — A.moueo : Storia délie scienze malematiche 
neli' evoantico, 3. — Del Re : Analisi di Grassmann ad n diraensioni con 
applicazioni alla meccanica degli spazi a curvatura costanle, 4 '/j. — Mar- 
cOLONGO : Equazioni délia dinamica. Soluzioni periodiche ; soluzioni asin- 
totiche. Problema ristretlo dei tre corpi, 3. — Montesa.>o : Teoria délie 
superficie algebriche e dei loro sistenii lincari. Teoria délie trasformazioni 
birazionali dello spazio, 3. — Pascal,: Le funzioni di linee e il calcolo délie 
variazioni, 3. — Pinto : Termodinamica, 3. — Torelli : Complenienti della 



* Los cours fondanientiiijx cinalyse algébi'iqiie et infiiiilôsiniale, jréoniéti'ie analytique, 
projective, descri|)tive, inccani([iie rationnellcl, existant dans toute Université, ne figurent 
pas dans la liste. 



J 



A () T E X K T I) O C U M K y I S :i95 

leoiia dtfjjli iiisiemi aii uiia o a più ilimeiisioiii. fili iiiti.gr;ili seiiiplici <• 
iiuiilipli <li Lcbesgnc. Ftinzioiii d'insiemo. Dcrivazionc dcf^li inlcgrali iiide- 

liiiiti. 'i '/2. 

PalermO. — l'iiivemilà. — Bac.nkka : l'iinzioni di viiiiabile coni|jle.ssa. 
Trasceiidciili inlei-e di una e due variabili, '-i. — Gkbbia : Oscillazioni elct- 
(riche ; onde clcllfomagnelifhe, 4 '2. — Glcdia : Teor-ia générale dellc 
curve e superficie algebridie, \ 'j-i. — Vkntuki : F''oiidanienli pei nioderni 
inelodi in meccanit-a céleste secundo Poincaré. Melodo di Hill pcr la Lnna, 

i ';2. 

Padova. — Uni^ersilà. — d'Akcais : i'iinzioni di variabile compicssa. 
Equazioni integrali, 4. — Cumessatti : Geonieliia algebrica, 3. — Gazza- 
MGA : Teoi'ia dei nuineci, 3. — Levi-Civita : Meccanica analilica. Problema 
dei Ire corpi. 4 '/î. — Ricci : Calcolo differeiiziale assoiulo. Polcnziale. 
lîlaslicita, 4. — Severi : Sislemi lineari di cuive piane e superficie razio- 
uali, 4. — ToxoLO : Série di Fourier. Equazioni a dei'ivate parziali, 3. — 
Veko.nese : Applicazioni geonielricbe deila teoria degli insiemi, 4. 

Pavia. — Univer.sitii. — Bkkzolaki : Geomelria sopra una curva algebrica 
e applicazioue ai sislemi liueai'i di curve piane algebricbe. 3. — Bompia.ni : 
Geomelria differenziale, o. — Cisom : Meccanica dei sislemi conlinui. 
Poteiiziale. Elellricilà, 3. — Gekbaldi : Fuiizioni di variabile complessa. 
Funzioni ellilticlie. 3. — Yivanti : Equazioni iulegrali, 3. 

Pisa. — Università. — Berti.m : Trasformazioni cremoniane nel piano e 
nello spazio, 3. — Bianchi : Funzioni di variabile complessa. Equazioni 
differenziali lineari, 4 '/j. — Dim : Equazioni inlegrali. Equazioni difleren- 
ziali lineari nel campo reale. 4 '/a. — MACct : Principi délia meccanica ana- 
lilica. Priacipi deila teoria délia luiizione polenzialc. Esposizione lenonieno- 
logica délia teoria dei canipo eletlromagnelico, 4 '2. — Pizzetti : Teoria 
délia interpolazione. Xozioni geuerali di astronomia slerica. Teoria géné- 
rale délie perlurbazioni, 4 '/a. 

Roma. — l/nii'er.sità. — Bisconci.m : Applicazioni geonielriclie dei cal- 
colo, 3. — Castelnuovo : Calcolo délie probabililà, 3. — Su, la : Cincmatica 
e meccanismi. 3. — Voltekra : Funzioni permntabili. Equazioni aile deri- 
vate funziouali. Applicazioni, 3 — Elasticilà, o. — N. X. : Analisi supe- 
riore, 3. 

Torino. — L'/iwersità. — Boggio : Funzioni polciiziali cd idrodinaraica. 
i>. — Flbi.m : Calcolo délie variazioni. Série di Fourier. Il principio di 
uiinimo corne applicazioue délie série di Fourier al calcolo délie variazioni, 
3. — Segke : Teoria degli invarianti applicala alla i;eomelria, 3 — Somi- 
i.LiANA : .Magnelismo ed elellromagnelismo, 3. 



BIBLIOGRAPHIE 



cil. BiocHE. — Histoire des Mathématiques. — 1 vol. in-16 caii., 93 p. : 
1 fr. 75; E. Bclin, Paris. 

L'auteur a cherché à éciire une histoire des idées plutôt que celle des 
o&uvres ou de la vie des mathématiciens. D ailleurs le progrès scieijtilique, 
même en mathématiques, est surtout le résultat d'uu effort collectif. Les 
grands inventeurs ont trouvé le terrain préparé, et leurs découvertes ont été 
souvent mises au point et rendues vraiement fécondes par bien des hommes 
dont le rôle peut-être un peu effacé n en a pas moins été fort utile. C'est 
une constatation encourageante pour tous ceux qui aiment les sciences et qui 
peuvent ainsi espérer avoir leur part de mérite dans le progrès général. 

L'histoire d,e l'astronomie a été détachée dans des chapitres spéciau.x 
pour qu'il soit plus facile au lecteur de comprendre l'évolution de l'astro- 
nomie. 

Spécialement destiné aux élèves de renseignement secondaire supérieur, 
l'ouvrage de M. Bioche a sa place marquée dans toutes les Bibliothèques 
de gymnases ; il sera lu avec intérêt par des professeurs qui ne manqueront 
pas d'en tirer parti pour illustrer leur enseignement d aperçus historiques. 

Voici l'énuméralion des 11 chapitres que comprend 1 ouviage : 

1° Les Mathématiques avant l'Ecole d Alexandrie. — 2» L'Ecole d'Alexan- 
drie. — 3" Le Moyen âge. — 4° La Géométrie de la Renaissance. — 5" La 
formation de l'Algèbre. — 6° La (jréoméirie analytique. — 1° Le Calcul 
infinitésimal. — 8° La Géométrie au xvii^ et au xyiii» siècle. — 9" Le xix* 
siècle. — 10" L'Astronomie dans l'antiquité. — 11° L Astronomie moderne. 

E. BoREL. — Le Hasard. (Nouvelle collection scientifique E. Borel.) — 1 vol. 
in-8o de IV-312 p. ; 3 fr. 50 ; F. Aican, Paris, 1914. 

Les plus illustres savants qui ont publié des Traités sur le Calcul des 
probabilités, comme Laplace, Bertrand, Poincaré. ont volontiers /ait pré- 
céder leur exposé mathématique d'une préface pouvant être lue par les gens 
du monde ; il me semble voir, dans le nouveau volume de M. Borel, le déve- 
loppement d'une telle préface qui pourrait d'ailleurs se raccorder fort aisé- 
ment avec un ouvrage plus spécialement savant dont M. Borel est également 
l'auteur. 

L'œuvre semble résulter, à volonté, des progrès de la philosophie mathé- 
matique ou de ceux de la physique statistique; il résume les deux points de 
vue et, si quelc|ues esprits se refusent encore à accorder leur conduite phi- 
losophique avec une discussion malhémalique de hasard, ils ne peuvent que 
s'incliner devant les merveilleuses explications tirées des lois de ce même 
hasard au profit des théories telles que la théorie cinétique des gaz. 



H 1 H II i: Il A l' Il I E 397 

Les niiitliémaliqiieîs, lor